2022-2023学年苏科版数学九年级上学期1.2.3一元二次方程的解法——公式法 同步训练
一、单选题
1．（2021九上·呼和浩特期中）已知a是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的较小的根，则下面对a的估计正确的是（ ）
A．﹣2＜a＜﹣1 B．2＜a＜3 C．﹣4＜a＜﹣3 D．4＜a＜5
2．（2021九上·奈曼旗月考） 是下列哪个一元二次方程的根（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021九上·厦门期中）关于 的一元二次方程 的根是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021九上·遵义月考）用公式法解方程 所得的解正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2019九上·深圳期中）小丽同学想用公式法解方程 ，你认为a，b，c的值分别是（ ）
A． 、3、 B． 、3、1
C． 、 、 D．1、 、
6．方程2x2-6x+3=0较小的根为p，方程2x2-2x-1=0较大的根为q，则p+q等于（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
二、填空题
7．（2021九上·绵阳月考）已知 （b2－4c≥0），则 x2＋bx＋c的值为 .
8．（2020九上·朝阳期末）一元二次方程 的根为 ．
9．（2021九上·高邮期末）如果关于x的方程 有一个小于1的正数根，那么实数a的取值范围是 .
10．（2019九上·龙泉驿期中）若代数式 的值等于代数式 的值，则x= ．
11．（2018九上·老河口期中）一元二次方程 的根是 .
12．当x= 时，代数式x2-8x+12的值是-4．
三、解答题
13．（2021九上·扬州月考）解方程：
（1）；
（2）.
14．（2021九上·灌云期中）按照下列不同方法解方程.
（1） （直接开平方法）
（2） （配方法）
（3） （公式法）
（4） （因式分解法）
15．（2020九上·昆山月考）已知关于x的方程2x2+kx+1﹣k＝0，若方程的一个根是﹣1，求另一个根及k的值.
16．（2019九上·江都月考）已知关于 的方程 .
（1）用含 的代数式表示这个方程的实数根.
（2）若 的两边 恰好是这个方程的两根，另一边长 ，求 的值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】一元二次方程 ，
，
，
，
则较小的根 ，即 ，
故答案为：A．
【分析】先求出，再求出，最后求解即可。
2．【答案】C
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】A、 的解为 ，不符合题意；
B、 的解为 ，不符合题意；
C、 的解为 ，符合题意；
D、 的解为 ，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据一元二次方程的求根公式即可判断结论。
3．【答案】D
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：当 时，
一元二次方程 的求根公式为x= .
故答案为：D.
【分析】直接根据一元二次方程的求根公式进行解答.
4．【答案】D
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
这里a=1，b=-6，c=1，
∵△=36-4=32＞0，
∴x= = .
故答案为：D.
【分析】根据a=1，b=-6，c=1，代入根的判别式b2-4ac中算出结果，由根的判别式的值大于0可知方程有两个不相等的实数根，再代入求根公式x=中，即可求解.
5．【答案】A
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：原式可变为-x2+3x-1=0
∴a=-1，b=3，c=-1
故答案为：A.
【分析】将方程整理为一般式，即可得到a，b以及c的值。
6．【答案】B
【知识点】代数式求值；公式法解一元二次方程
【解析】【解答】2x2－6x＋3＝0，
这里a＝2，b＝－6，c＝3，
∵△＝36－24＝12，
∴x＝ ＝ ，
即p＝ ；
2x2－2x－1＝0，
这里a＝2，b＝－2，c＝－1，
∵△＝4＋8＝12，
∴x＝ ＝ ，
即q＝ ；
则p＋q＝ ＋ ＝2．
故答案为：B
【分析】分别利用公式法解出题干中的两个方程，根据方程2x2-6x+3=0较小的根为p，方程2x2-2x-1=0较大的根为q，得出p，q的值，再代入代数式即可算出答案。
7．【答案】0
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ ，
∴x为一元二次方程 的一个根，
∴ ，
故答案为：0.
【分析】利用已知x的值，可知x为一元二次方程 的一个根，即可得到代数式的值.
8．【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】a=1，b= 3，c=1，
∵△=9 4=5，
∴
故答案为
【分析】利用公式法求解即可。
9．【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据方程的求根公式可得：
x= = ，
解得x1=1，x2=2a+1
∵x1=1，
∴小于1的正数根只能为2a+1，
即0＜2a+1＜1，
解得 < a<0.
故答案为： < a<0.
【分析】先利用方程的求根公式表示出方程的两个根，再利用“有一个小于1的正数根”这一条件确定a的取值范围.
10．【答案】 或
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意得， ，
整理得， ，
解得：x＝ 或 ，
故答案为： 或 ．
【分析】根据代数式的值相等列出方程，然后解方程即可．
11．【答案】 ，
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ =( )2-4×(-6)=32>0,
∴ ，
∴ ， .
故答案为： ， .
【分析】观察方程的特点：二次项系数为1，一次项系数含有根号，利用公式法，先求出b2-4ac的值，再代入一元二次方程的求根公式进行计算，即可求出方程的解。
12．【答案】-4
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意得
x2-8x+12=-4，
∴x2-8x+16=0，
∴△=(-8)2-4×1×16=0，
∴ ，
∴x=4时，代数式x2-8x+12的值是-4
【分析】根据题意建立方程x2-8x+12=-4，将其转化为一般形式，求出b2-4ac=0，再代入求根公式即可求解。
13．【答案】（1）解：x2-4x=0
x（x-4）=0，
解得：x1=0，x2=4；
（2）解：
这里
∴
∴，
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）方程是一元二次方程的一般形式，而且左边易于利用提取公因式法分解因式，因此用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）方程是一元二次方程的一般形式，首先找出二次项的系数a、一次项的系数b及常数项c的值，再算出根的判别式b2-4ac的值，由判别式的值大于零可知方程有两个不相等的实数根，进而利用求根公式求出方程的根.
14．【答案】（1）解： （直接开平方法）
，
，
， ；
（2） （配方法）
，
，
，
，
或 ，
， ；
（3） （公式法）
，
，
，
， ；
（4） （因式分解法）
，
或 ，
， .
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）由原方程可得x2=4，然后利用直接开方法进行求解；
（2）将常数项移至等号的右边，然后给两边同时加上一次项系数一半的平方，对等号左边的式子利用完全平方公式进行分解，接下来利用直接开方法求解即可；
（3）求出判别式的值，然后结合求根公式进行计算；
（4）对原方程因式分解可得x(x-3)=0，据此求解.
15．【答案】解：∵关于x的方程2x2+kx+1﹣k=0的一个根是﹣1，
∴2﹣k+1﹣k=0，解得k= ，
∴原方程为2x2+ x﹣ =0，解得x=﹣1或x= ，
即方程的另一根为 ，k的值为 .
【知识点】一元二次方程的根；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】把方程的根代入可求得k的值，代入方程，再解方程即可求得另一个根.
16．【答案】（1）解：
∴
∴ ，
（2）解：当 为斜边时，
， (舍去)
当边长为 斜边时
综上： 或
【知识点】公式法解一元二次方程；勾股定理
【解析】【分析】（1）利用公式法求出方程的根即可；
（2）分两种情况讨论①当c=5为斜边时，利用勾股定理可得，求出m的值并检验即可；② 当边长为 斜边时，利用勾股定理可得，求出m的值即可.
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一、单选题
1．（2021九上·呼和浩特期中）已知a是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的较小的根，则下面对a的估计正确的是（ ）
A．﹣2＜a＜﹣1 B．2＜a＜3 C．﹣4＜a＜﹣3 D．4＜a＜5
【答案】A
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】一元二次方程 ，
，
，
，
则较小的根 ，即 ，
故答案为：A．
【分析】先求出，再求出，最后求解即可。
2．（2021九上·奈曼旗月考） 是下列哪个一元二次方程的根（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】A、 的解为 ，不符合题意；
B、 的解为 ，不符合题意；
C、 的解为 ，符合题意；
D、 的解为 ，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据一元二次方程的求根公式即可判断结论。
3．（2021九上·厦门期中）关于 的一元二次方程 的根是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：当 时，
一元二次方程 的求根公式为x= .
故答案为：D.
【分析】直接根据一元二次方程的求根公式进行解答.
4．（2021九上·遵义月考）用公式法解方程 所得的解正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
这里a=1，b=-6，c=1，
∵△=36-4=32＞0，
∴x= = .
故答案为：D.
【分析】根据a=1，b=-6，c=1，代入根的判别式b2-4ac中算出结果，由根的判别式的值大于0可知方程有两个不相等的实数根，再代入求根公式x=中，即可求解.
5．（2019九上·深圳期中）小丽同学想用公式法解方程 ，你认为a，b，c的值分别是（ ）
A． 、3、 B． 、3、1
C． 、 、 D．1、 、
【答案】A
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：原式可变为-x2+3x-1=0
∴a=-1，b=3，c=-1
故答案为：A.
【分析】将方程整理为一般式，即可得到a，b以及c的值。
6．方程2x2-6x+3=0较小的根为p，方程2x2-2x-1=0较大的根为q，则p+q等于（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
【答案】B
【知识点】代数式求值；公式法解一元二次方程
【解析】【解答】2x2－6x＋3＝0，
这里a＝2，b＝－6，c＝3，
∵△＝36－24＝12，
∴x＝ ＝ ，
即p＝ ；
2x2－2x－1＝0，
这里a＝2，b＝－2，c＝－1，
∵△＝4＋8＝12，
∴x＝ ＝ ，
即q＝ ；
则p＋q＝ ＋ ＝2．
故答案为：B
【分析】分别利用公式法解出题干中的两个方程，根据方程2x2-6x+3=0较小的根为p，方程2x2-2x-1=0较大的根为q，得出p，q的值，再代入代数式即可算出答案。
二、填空题
7．（2021九上·绵阳月考）已知 （b2－4c≥0），则 x2＋bx＋c的值为 .
【答案】0
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ ，
∴x为一元二次方程 的一个根，
∴ ，
故答案为：0.
【分析】利用已知x的值，可知x为一元二次方程 的一个根，即可得到代数式的值.
8．（2020九上·朝阳期末）一元二次方程 的根为 ．
【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】a=1，b= 3，c=1，
∵△=9 4=5，
∴
故答案为
【分析】利用公式法求解即可。
9．（2021九上·高邮期末）如果关于x的方程 有一个小于1的正数根，那么实数a的取值范围是 .
【答案】 【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据方程的求根公式可得：
x= = ，
解得x1=1，x2=2a+1
∵x1=1，
∴小于1的正数根只能为2a+1，
即0＜2a+1＜1，
解得 < a<0.
故答案为： < a<0.
【分析】先利用方程的求根公式表示出方程的两个根，再利用“有一个小于1的正数根”这一条件确定a的取值范围.
10．（2019九上·龙泉驿期中）若代数式 的值等于代数式 的值，则x= ．
【答案】 或
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意得， ，
整理得， ，
解得：x＝ 或 ，
故答案为： 或 ．
【分析】根据代数式的值相等列出方程，然后解方程即可．
11．（2018九上·老河口期中）一元二次方程 的根是 .
【答案】 ，
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ =( )2-4×(-6)=32>0,
∴ ，
∴ ， .
故答案为： ， .
【分析】观察方程的特点：二次项系数为1，一次项系数含有根号，利用公式法，先求出b2-4ac的值，再代入一元二次方程的求根公式进行计算，即可求出方程的解。
12．当x= 时，代数式x2-8x+12的值是-4．
【答案】-4
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意得
x2-8x+12=-4，
∴x2-8x+16=0，
∴△=(-8)2-4×1×16=0，
∴ ，
∴x=4时，代数式x2-8x+12的值是-4
【分析】根据题意建立方程x2-8x+12=-4，将其转化为一般形式，求出b2-4ac=0，再代入求根公式即可求解。
三、解答题
13．（2021九上·扬州月考）解方程：
（1）；
（2）.
【答案】（1）解：x2-4x=0
x（x-4）=0，
解得：x1=0，x2=4；
（2）解：
这里
∴
∴，
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）方程是一元二次方程的一般形式，而且左边易于利用提取公因式法分解因式，因此用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）方程是一元二次方程的一般形式，首先找出二次项的系数a、一次项的系数b及常数项c的值，再算出根的判别式b2-4ac的值，由判别式的值大于零可知方程有两个不相等的实数根，进而利用求根公式求出方程的根.
14．（2021九上·灌云期中）按照下列不同方法解方程.
（1） （直接开平方法）
（2） （配方法）
（3） （公式法）
（4） （因式分解法）
【答案】（1）解： （直接开平方法）
，
，
， ；
（2） （配方法）
，
，
，
，
或 ，
， ；
（3） （公式法）
，
，
，
， ；
（4） （因式分解法）
，
或 ，
， .
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）由原方程可得x2=4，然后利用直接开方法进行求解；
（2）将常数项移至等号的右边，然后给两边同时加上一次项系数一半的平方，对等号左边的式子利用完全平方公式进行分解，接下来利用直接开方法求解即可；
（3）求出判别式的值，然后结合求根公式进行计算；
（4）对原方程因式分解可得x(x-3)=0，据此求解.
15．（2020九上·昆山月考）已知关于x的方程2x2+kx+1﹣k＝0，若方程的一个根是﹣1，求另一个根及k的值.
【答案】解：∵关于x的方程2x2+kx+1﹣k=0的一个根是﹣1，
∴2﹣k+1﹣k=0，解得k= ，
∴原方程为2x2+ x﹣ =0，解得x=﹣1或x= ，
即方程的另一根为 ，k的值为 .
【知识点】一元二次方程的根；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】把方程的根代入可求得k的值，代入方程，再解方程即可求得另一个根.
16．（2019九上·江都月考）已知关于 的方程 .
（1）用含 的代数式表示这个方程的实数根.
（2）若 的两边 恰好是这个方程的两根，另一边长 ，求 的值.
【答案】（1）解：
∴
∴ ，
（2）解：当 为斜边时，
， (舍去)
当边长为 斜边时
综上： 或
【知识点】公式法解一元二次方程；勾股定理
【解析】【分析】（1）利用公式法求出方程的根即可；
（2）分两种情况讨论①当c=5为斜边时，利用勾股定理可得，求出m的值并检验即可；② 当边长为 斜边时，利用勾股定理可得，求出m的值即可.
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