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2022-2023学年苏科版数学九年级上学期1.2.4 一元二次方程根的判别式 同步训练
一、单选题
1．（2021九上·滨湖期末）下列方程有实数根的是（ ）
A．x2＋x＋1＝0 B．x2－x－1＝0
C．x2－2x＋3＝0 D．x2－ x＋1＝0
2．（2020九上·常州月考）一元二次方程 2x 1＝0，其解的情况正确的是（ ）
A．有两个相等的实数解 B．有两个不相等的实数解
C．没有实数解 D．不确定
3．（2020九上·沛县期中）下列一元二次方程没有实数根的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2020九上·江阴期中）关于 的方程 有两个相等的实数根，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021九上·灌云月考）已知关于x的一元二次方程 有两个实数根，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． 且 D． 且
6．（2021九上·姜堰月考）定义：如果一元二次方程 满足 ，我们称这个方程为“阿凡达”方程.已知 是阿凡达方程，且有两个相等的实数根，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2021九上·扬州月考）已知关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值为 .
8．（2021九上·南京月考）如果关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 .
9．（2020九上·沭阳月考）已知等腰△ABC三边分别为a，b，c，其中a＝4，若关于x的一元二次方程x2﹣6x＋b＝0有两个相等的实数根.则等腰△ABC的周长为 .
10．（2020九上·常州期末）关于x的一元二次方程(2-k) x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则整数k的最小值是 .
11．（2021九上·邗江期末）若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围是 .
12．（2021九上·玄武期末）关于x的方程 ，无论实数p取何值，该方程总有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为 .
三、解答题
13．（2019九上·宜兴期末）已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，求m的取值范围.
14．（2019九上·江都月考）已知关于 的一元二次方程 .试证：无论 取任何实数，方程都有两个不相等的实数根.
15．（2018九上·宁江期末）已知关于x的一元二次方程x2+3x+1﹣m=0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为负整数，求此时方程的根．
16．（2021九上·秦淮期末）已知关于x的方程 .
（1）求证：不论m为何值，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的两个实数根在数轴上所对应的点关于原点对称，则m的值为 .
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A、 x2＋x＋1＝0， =12-4×1×1=-3＜0，该方程没有实数根；
B、x2－x－1＝0， =(-1)2-4×1×(-1)=5＞0，该方程有实数根；
C、x2－2x＋3＝0， =(-2)2-4×1×3=-8＜0，该方程没有实数根；
D、 x2－ x＋1＝0， =(- )2-4×1×1=-2＜0，该方程没有实数根.
故答案为：B.
【分析】利用一元二次方程根的判别式，得出当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根，故确定各个方程a，b，c的值，代入公式判断出△的符号即可得出结论.
2．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵△＝b2 4ac＝（ 2）2 4×（ 1）＝8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根.
故答案为：B.
【分析】利用一元二次方程根的判别式，得出当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根，故只要算出该方程根的判别式的值即可判断得出答案.
3．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A、△=（-2）2-4×1×（-1）=8＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以A选项不符合题意；
B、△=12-4×1×（-1）=5＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以B选项不符合题意；
C、△=12-4×1×1=-3＜0，则方程没有实数根，所以C选项符合题意；
D、△=（-2）2-4×1×1=0，则方程有两个相等的实数根，所以D选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】利用一元二次方程根的判别式，得出当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根一一判断得出答案.
4．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得 ，
解得 .
故答案为： .
【分析】利用一元二次方程根的判别式，得出当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根.
5．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ 是一元二次方程
∴
∴
又∵一元二次方程有两个实数根
∴
即：
∴满足题意的a的取值范围是： 且
故答案为：C
【分析】根据一元二次方程的定义得出a≠1，再根据一元二次方程根的判别式得出a≥-3，即可得出答案.
6．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，
∴△=b2-4ac=0，
又∵a-b+c=0，
∴b=a+c，
代入b2-4ac=0得（a+c）2-4ac=0，
化简得（a-c）2=0，
所以a=c.
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程根的判别式得出b2-4ac=0，再把b=a+c，得出（a-c）2=0，从而得出a=c，即可得出答案.
7．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的方程x2+5x+m=0有两个相等的实数根，
∴，
解得：，
故答案为：.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此列出不等式，求解即可.
8．【答案】m＜2且m≠1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴ 且 ，
即 且 ，
∴ 且 .
故答案为：m＜2且m≠1.
【分析】由一元二次方程的定义知m-1≠0，已知方程有两个不相等的实数根，知b2-4ac＞0，据此可得到关于m的不等式，然后求出其解集即可.
9．【答案】22
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴ ， ，解得 ，
∵ 是等腰三角形，∴另一个边 或 ，
但是当 时，三条边构不成三角形，∴ ，
.
故答案是：22.
【分析】先根据一元二次方程根的判别式求出b的值，再根据等腰三角形的性质以及三角形三边关系得到c的值，最后求出三角形周长.
10．【答案】3
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵关于x的一元二次方程(2-k) x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，
∴ = 且2-k≠0，
∴k>1且k≠2，
∴整数k的最小值是3，
故答案是3.
【分析】根据一元二次方程(2-k) x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，可得判别式的值大于0且2-k≠0，进而求出k的取值范围，即可得到答案.
11．【答案】m＜1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴b2﹣4ac＞0，
∵a＝1，b＝﹣2，c＝m，
∴（﹣2）2﹣4×1×m＞0，
解得：m＜1.
故答案为：m＜1.
【分析】利用一元二次方程根的判别式，得出当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根.
12．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；偶次幂的非负性
【解析】【解答】解：原方程可化为 ，
当该方程总有两个不相等的实数根时，
则其根的判别式 ，
解得 ，
无论实数p取何值，该方程总有两个不相等的实数根，即无论实数p取何值，不等式 恒成立，
小于 的最小值，
由偶次方的非负性得： ，
，
的最小值为1，
，
故答案为： .
【分析】 由于无论实数p取何值，该方程总有两个不相等的实数根，可得，从而得出，根据偶次方的非负性，可得，据此可得.
13．【答案】解：∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴m≠0且△＞0，即4﹣4m （﹣1）＞0，解得m＞﹣1，
∴m的取值范围为m＞﹣1且m≠0，
∴当m＞﹣1且m≠0时，关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】由关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，由一元二次方程的定义和根的判别式的意义可得m≠0且△＞0，即4﹣4m （﹣1）＞0，两个不等式的公共解即为m的取值范围.
14．【答案】解：
∵
∴ ，即
∴无论 为何实数，方程都有两个不相等实根
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】先求出根的判别式△=b2-4ac=（m+3）2+16,由（m+3）2≥0，即得△＞0，据此判断即可.
15．【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程x2+3x+1﹣m=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=32﹣4（1﹣m）＞0，
即5+4m＞0，解得：m＞﹣ ．
∴m的取值范围为m＞﹣ ．
（2）解：∵m为负整数，且m＞﹣ ，
∴m=﹣1．
将m=﹣1代入原方程得：x2+3x+2=（x+10）（x+2）=0，
解得：x1=﹣1，x2=﹣2．
故当m=﹣1时，此方程的根为x1=﹣1和x2=﹣2．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）主要考查一元二次方程判别式与根的情况，方程有两个不相等的实数根，说明b2-4ac>0，即可求得m的取值范围。
（2）主要考查解一元二次方程，根据（1）小题求得的m的取值范围，加上m为负整数，可知m的取值，然后把m的值代入即可求得这个一元二次方程的根。
16．【答案】（1）证明：∵ ，
∴不论m为何值，该方程都有两个不相等的实数根.
（2）0
【知识点】实数在数轴上的表示；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：（2）原方程可改写为： ，
解得： ， .
∵该方程的两个实数根在数轴上所对应的点关于原点对称，
∴ ，
解得： .
【分析】（1）先求出判别式△=4＞0，据此即得结论；
（2）利用因式分解法求出方程的根为 ， ，根据该方程的两个实数根在数轴上所对应的点关于原点对称，可得x1+x2=0，据此列出等式并解答即可.
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2022-2023学年苏科版数学九年级上学期1.2.4 一元二次方程根的判别式 同步训练
一、单选题
1．（2021九上·滨湖期末）下列方程有实数根的是（ ）
A．x2＋x＋1＝0 B．x2－x－1＝0
C．x2－2x＋3＝0 D．x2－ x＋1＝0
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A、 x2＋x＋1＝0， =12-4×1×1=-3＜0，该方程没有实数根；
B、x2－x－1＝0， =(-1)2-4×1×(-1)=5＞0，该方程有实数根；
C、x2－2x＋3＝0， =(-2)2-4×1×3=-8＜0，该方程没有实数根；
D、 x2－ x＋1＝0， =(- )2-4×1×1=-2＜0，该方程没有实数根.
故答案为：B.
【分析】利用一元二次方程根的判别式，得出当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根，故确定各个方程a，b，c的值，代入公式判断出△的符号即可得出结论.
2．（2020九上·常州月考）一元二次方程 2x 1＝0，其解的情况正确的是（ ）
A．有两个相等的实数解 B．有两个不相等的实数解
C．没有实数解 D．不确定
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵△＝b2 4ac＝（ 2）2 4×（ 1）＝8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根.
故答案为：B.
【分析】利用一元二次方程根的判别式，得出当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根，故只要算出该方程根的判别式的值即可判断得出答案.
3．（2020九上·沛县期中）下列一元二次方程没有实数根的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A、△=（-2）2-4×1×（-1）=8＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以A选项不符合题意；
B、△=12-4×1×（-1）=5＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以B选项不符合题意；
C、△=12-4×1×1=-3＜0，则方程没有实数根，所以C选项符合题意；
D、△=（-2）2-4×1×1=0，则方程有两个相等的实数根，所以D选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】利用一元二次方程根的判别式，得出当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根一一判断得出答案.
4．（2020九上·江阴期中）关于 的方程 有两个相等的实数根，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得 ，
解得 .
故答案为： .
【分析】利用一元二次方程根的判别式，得出当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根.
5．（2021九上·灌云月考）已知关于x的一元二次方程 有两个实数根，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． 且 D． 且
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ 是一元二次方程
∴
∴
又∵一元二次方程有两个实数根
∴
即：
∴满足题意的a的取值范围是： 且
故答案为：C
【分析】根据一元二次方程的定义得出a≠1，再根据一元二次方程根的判别式得出a≥-3，即可得出答案.
6．（2021九上·姜堰月考）定义：如果一元二次方程 满足 ，我们称这个方程为“阿凡达”方程.已知 是阿凡达方程，且有两个相等的实数根，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，
∴△=b2-4ac=0，
又∵a-b+c=0，
∴b=a+c，
代入b2-4ac=0得（a+c）2-4ac=0，
化简得（a-c）2=0，
所以a=c.
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程根的判别式得出b2-4ac=0，再把b=a+c，得出（a-c）2=0，从而得出a=c，即可得出答案.
二、填空题
7．（2021九上·扬州月考）已知关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值为 .
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的方程x2+5x+m=0有两个相等的实数根，
∴，
解得：，
故答案为：.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此列出不等式，求解即可.
8．（2021九上·南京月考）如果关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 .
【答案】m＜2且m≠1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴ 且 ，
即 且 ，
∴ 且 .
故答案为：m＜2且m≠1.
【分析】由一元二次方程的定义知m-1≠0，已知方程有两个不相等的实数根，知b2-4ac＞0，据此可得到关于m的不等式，然后求出其解集即可.
9．（2020九上·沭阳月考）已知等腰△ABC三边分别为a，b，c，其中a＝4，若关于x的一元二次方程x2﹣6x＋b＝0有两个相等的实数根.则等腰△ABC的周长为 .
【答案】22
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴ ， ，解得 ，
∵ 是等腰三角形，∴另一个边 或 ，
但是当 时，三条边构不成三角形，∴ ，
.
故答案是：22.
【分析】先根据一元二次方程根的判别式求出b的值，再根据等腰三角形的性质以及三角形三边关系得到c的值，最后求出三角形周长.
10．（2020九上·常州期末）关于x的一元二次方程(2-k) x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则整数k的最小值是 .
【答案】3
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵关于x的一元二次方程(2-k) x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，
∴ = 且2-k≠0，
∴k>1且k≠2，
∴整数k的最小值是3，
故答案是3.
【分析】根据一元二次方程(2-k) x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，可得判别式的值大于0且2-k≠0，进而求出k的取值范围，即可得到答案.
11．（2021九上·邗江期末）若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围是 .
【答案】m＜1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴b2﹣4ac＞0，
∵a＝1，b＝﹣2，c＝m，
∴（﹣2）2﹣4×1×m＞0，
解得：m＜1.
故答案为：m＜1.
【分析】利用一元二次方程根的判别式，得出当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根.
12．（2021九上·玄武期末）关于x的方程 ，无论实数p取何值，该方程总有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为 .
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；偶次幂的非负性
【解析】【解答】解：原方程可化为 ，
当该方程总有两个不相等的实数根时，
则其根的判别式 ，
解得 ，
无论实数p取何值，该方程总有两个不相等的实数根，即无论实数p取何值，不等式 恒成立，
小于 的最小值，
由偶次方的非负性得： ，
，
的最小值为1，
，
故答案为： .
【分析】 由于无论实数p取何值，该方程总有两个不相等的实数根，可得，从而得出，根据偶次方的非负性，可得，据此可得.
三、解答题
13．（2019九上·宜兴期末）已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，求m的取值范围.
【答案】解：∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴m≠0且△＞0，即4﹣4m （﹣1）＞0，解得m＞﹣1，
∴m的取值范围为m＞﹣1且m≠0，
∴当m＞﹣1且m≠0时，关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】由关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，由一元二次方程的定义和根的判别式的意义可得m≠0且△＞0，即4﹣4m （﹣1）＞0，两个不等式的公共解即为m的取值范围.
14．（2019九上·江都月考）已知关于 的一元二次方程 .试证：无论 取任何实数，方程都有两个不相等的实数根.
【答案】解：
∵
∴ ，即
∴无论 为何实数，方程都有两个不相等实根
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】先求出根的判别式△=b2-4ac=（m+3）2+16,由（m+3）2≥0，即得△＞0，据此判断即可.
15．（2018九上·宁江期末）已知关于x的一元二次方程x2+3x+1﹣m=0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为负整数，求此时方程的根．
【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程x2+3x+1﹣m=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=32﹣4（1﹣m）＞0，
即5+4m＞0，解得：m＞﹣ ．
∴m的取值范围为m＞﹣ ．
（2）解：∵m为负整数，且m＞﹣ ，
∴m=﹣1．
将m=﹣1代入原方程得：x2+3x+2=（x+10）（x+2）=0，
解得：x1=﹣1，x2=﹣2．
故当m=﹣1时，此方程的根为x1=﹣1和x2=﹣2．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）主要考查一元二次方程判别式与根的情况，方程有两个不相等的实数根，说明b2-4ac>0，即可求得m的取值范围。
（2）主要考查解一元二次方程，根据（1）小题求得的m的取值范围，加上m为负整数，可知m的取值，然后把m的值代入即可求得这个一元二次方程的根。
16．（2021九上·秦淮期末）已知关于x的方程 .
（1）求证：不论m为何值，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的两个实数根在数轴上所对应的点关于原点对称，则m的值为 .
【答案】（1）证明：∵ ，
∴不论m为何值，该方程都有两个不相等的实数根.
（2）0
【知识点】实数在数轴上的表示；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：（2）原方程可改写为： ，
解得： ， .
∵该方程的两个实数根在数轴上所对应的点关于原点对称，
∴ ，
解得： .
【分析】（1）先求出判别式△=4＞0，据此即得结论；
（2）利用因式分解法求出方程的根为 ， ，根据该方程的两个实数根在数轴上所对应的点关于原点对称，可得x1+x2=0，据此列出等式并解答即可.
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