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2022-2023学年苏科版数学九年级上学期1.2.5 一元二次方程的解法——因式分解法 同步训练
一、单选题
1．（2021九上·滨湖期中）一元二次方程x2－3x＝0的根是（ ）
A．x＝0 B．x＝3
C．x1＝0，x2＝3 D．x1＝0，x2＝－3
2．（2021九上·南京期末）一元二次方程x2＝－2x的解是（ ）
A．x1＝x2＝0 B．x1＝x2＝2
C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝0，x2＝－2
3．（2021九上·江阴月考）已知一个等腰三角形的两边长恰是方程 的两根，则这个等腰三角形的周长是（ ）
A．8 B．10 C．8或10 D．12
4．（2018九上·太仓期末）一元二次方程 x(x﹣2)＝2﹣x 的根是（ ）
A．﹣1 B．﹣1 和 2 C．1 和 2 D．2
5．（2020九上·宿迁月考）菱形ABCD的一条对角线长为6cm，边AB的长是方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长等于（ ）
A．10cm B．12 cm C．16cm D．12cm或16cm
6．（2018九上·黄石期中）一个三角形的两边长为3和8，第三边的长是方程x(x-9)-13(x-9)=0的根，则这个三角形的周长是（ ）
A．20 B．20或24 C．9和13 D．24
二、填空题
7．（2021九上·江都期末）一元二次方程 的根是 .
8．（2021九上·无锡期中）一元二次方程（x+1）（x-2）=0的解为 .
9．（2021九上·滨海月考）一元二次方程的解是 .
10．（2020九上·苏州期中）三角形的两边长分别是4和5，第三边长是方程 的根，则该三角形的周长为 .
11．（2019九上·无锡月考）若 ，其中 ，则 .
12．（2019九上·贾汪月考）一个三角形有两边长为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8＝0的根，则这个三角形的周长等于 .
三、解答题
13．（2021九上·南京期末）解方程：
（1）x2－2x－3＝0；
（2）x （x－2）－x＋2＝0.
14．解方程
（1）x2+2x﹣3=0
（2）3x（x﹣2）=2（2﹣x）
15．（2020九上·江都月考）已知关于x的方程x2－（k＋2）x＋2k＝0.
（1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形一边长为4，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长.
16．（2020九上·沭阳月考）阅读下面的例题：解方程
解：当x≥0时，原方程化为x2－x－2＝0，解得：x1＝2，x2＝－1（不合题意，舍去）；
当x＜0时，原方程化为x2＋ x－2＝0，解得：x1＝1，（不合题意，舍去）x2＝－2；
∴原方程的根是x1＝2，x2＝－2.
请参照例题解方程 .
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解： x2－3x＝0
或
故答案为：C.
【分析】观察方程的特点，右边为0，左边易用提取公因式法分解因式，故此题利用因式分解法求解，即可得出该方程的根.
2．【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解 ：x2＝－2x
x2+2x=0
x（x+2）＝0，
x＝0或x+2＝0，
所以x1＝0，x2＝-2.
故答案为：D.
【分析】将方程化为一般形式，发现方程的左边易于利用提取公因式法分解因式，因此直接利用因式分解法求解即可.
3．【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：解x2-6x+8=0得：x=4或2，
当三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；
当三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，三角形的周长为2+4+4=10.
故答案为：B.
【分析】求出方程的解，利用等腰三角形的性质以及三边关系确定出三角形的三边，进而可得周长.
4．【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】x（x-2）+（x-2）=0，
（x-2）（x+1）=0，
x-2=0或x+1=0，
所以x1=2，x2=-1．
故答案为：B．
【分析】移项，用提公因式法可将一元二次方程分解成ab=0的形式，则a=0或b=0，解这两个一元一次方程即可求解。
5．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，
解方程x2﹣7x+12＝0得：x＝3或4，
即AB＝3或4，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝DC＝BC，
当AD＝DC＝3cm，AC＝6cm时，3+3＝6，不符合三角形三边关系定理，此时不行；
当AD＝DC＝4cm，AC＝6cm时，符合三角形三边关系定理，
即此时菱形ABCD的周长是4×4＝16，
故答案为：C.
【分析】先求出方程的解，再根据三角形的三边关系定理判断，最后求出周长即可.
6．【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】方程x（x-9）-13（x-9）=0，
分解因式得：（x-13）（x-9）=0，
解得：x1=13，x2=9，
当第三边为13时，3+8=11＜13，不能构成三角形，舍去；
则三角形周长为3+8+9=20．
故答案为：A．
【分析】利用因式分解法求出方程的根，然后根据三角形三边的关系判断出三角形的第三边的长度，最后根据三角形周长的计算方法即可算出答案。
7．【答案】 ，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵3x2 x=0
即x(3x 1)=0
解得： ，
故答案为： ， .
【分析】先把方程整理成一般形式，方程的左边利用“提取公因式法分解因式，根据两个因式的乘积等于0，则这两个因式至少有一个为0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程即可求解.
8．【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
或 ，
.
故答案为： .
【分析】观察方程可得：方程的左边是两个因式的乘积，右边是0，则至少有一个因式为0，据此可得x+1=0或x-2=0，解两个一元一次方程，即可得出原方程的解.
9．【答案】x1=-1，x2=2
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：方程整理得：x（x+1）-2（x+1）=0，
分解因式得：（x+1）（x-2）=0，
可得x+1=0或x-2=0，
解得：x1=-1，x2=2.
故答案为：x1=-1，x2=2.
【分析】观察方程的特点：方程两边含有公因式（x+1），因此先移项，再利用因式分解法解方程.
10．【答案】14
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】解：解方程 ，得 ，
当第三边长为5时，三角形的三边长为4、5、5，该三角形的周长为4+5+5=14；
当第三边长为9时，由于4+5=9，此时不能构成三角形，须舍去；
故答案为：14.
【分析】解一元二次方程可得x1=5，x2=9，然后分第三边为5或9并结合三角形的三边关系判断是否能够组成三角形，进而求出周长.
11．【答案】 或
【知识点】分式的值；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】∵ ，
∴（x-3y）（x-2y）=0，
∴x-3y=0或x-2y=0，
即x=3y或x=2y，
∴ 或 .
故答案为：2或3.
【分析】把y作为常数，将方程的左边利用十字相乘法分解因式，根据两个因式的乘积为0，则这两个因式中至少有一个为0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程得出原方程的解，然后分两种情况代入分式约分得出答案.
12．【答案】13
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】解：解方程x2﹣6x+8＝0得：x1＝2，x2＝4，
当第三边长是2时，2+3＜6不满足三角形的三边关系，应舍去；
当第三边长是4时，能构成三角形，周长是3+6+4＝13.
故答案为：13.
【分析】利用因式分解法求出方程的两根为x1＝2，x2＝4，然后分：当第三边长是2时与当第三边长是4时两种情况，分别根据三角形三边关系判断能否围成三角形，对能围成三角形的利用三角形周长的计算方法算出答案。
13．【答案】（1）解：x2－2x－3＝0
x2－2x＋1＝3＋1
（x－1）2＝4
x－1＝±2
∴x1＝3，x2＝－1；
（2）解：x （x－2）－（x－2）＝0
（x－2）（x－1）＝0
x-2=0或x-1=0
∴x1＝2， x2＝1.
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）首先将常数项移至右边，然后给两边分别加上一次项系数一半的平方“1”，对左边的式子利用完全平方公式分解，然后利用直接开方法进行计算；
（2）此方程是一元二次方程的一般形式，方程的左边易于利用提取公因式法分解因式，故直接利用因式分解法求解即可.
14．【答案】解：（1）分解因式得：（x﹣1）（x+3）=0，
可得x﹣1=0或x+3=0，
解得：x1=1，x2=﹣3；
（2）方程变形得：3x（x﹣2）+2（x﹣2）=0，
分解因式得：（3x+2）（x﹣2）=0，
可得3x+2=0或x﹣2=0，
解得：x1=﹣，x2=2．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解；
（2）方程变形后，利用因式分解法求出解即可．
15．【答案】（1）证明：∵△＝（k＋2）2－8k＝k2＋4k＋4－8k＝（k－2）2≥0，
∴无论k取何值，方程总有实数根；
（2）解：当边长为4的边为腰时，则可知方程有一个实数根为4，
∴16－4（k＋2）＋2k＝0，解得k＝4，
∴方程为x2－6x＋8＝0，解得x＝4或x＝2，
∴a、b的值分别为2、4，
∴△ABC的周长为10；
当边长为4的边为底时，则a＝b，即方程有两个相等的实数根，
∴△＝0，即（k－2）2＝0，解得k＝2，
∴方程为x2－4x＋4＝0，解得a＝b＝2，
此时2＋2＝4，不符合三角形的三边关系，舍去；
综上可知△ABC的周长为10.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）计算其判别式，得出判别式不为负数即可；（2）当边长为4的边为腰时，则可知方程有一个根为4，代入可求得k的值，则可求得方程的另一根，可求得周长；当边长为4的边为底时，可知方程有两个相等的实数根，可求得k的值，再解方程即可.
16．【答案】解：①当x﹣1≥0即x≥1时，原方程化为 ， ，
解得：x1＝1，x2＝0（不合题意，舍去）；
②当x﹣1＜0即x＜1时，原方程化为 ， ，
解得：x1＝1（不合题意，舍去），x2＝﹣2，
故原方程的根是x1＝1，x2＝﹣2.
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】根据题干中提供的方法，利用绝对值的性质进行分类讨论，利用因式分解法解一元二次方程.
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2022-2023学年苏科版数学九年级上学期1.2.5 一元二次方程的解法——因式分解法 同步训练
一、单选题
1．（2021九上·滨湖期中）一元二次方程x2－3x＝0的根是（ ）
A．x＝0 B．x＝3
C．x1＝0，x2＝3 D．x1＝0，x2＝－3
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解： x2－3x＝0
或
故答案为：C.
【分析】观察方程的特点，右边为0，左边易用提取公因式法分解因式，故此题利用因式分解法求解，即可得出该方程的根.
2．（2021九上·南京期末）一元二次方程x2＝－2x的解是（ ）
A．x1＝x2＝0 B．x1＝x2＝2
C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝0，x2＝－2
【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解 ：x2＝－2x
x2+2x=0
x（x+2）＝0，
x＝0或x+2＝0，
所以x1＝0，x2＝-2.
故答案为：D.
【分析】将方程化为一般形式，发现方程的左边易于利用提取公因式法分解因式，因此直接利用因式分解法求解即可.
3．（2021九上·江阴月考）已知一个等腰三角形的两边长恰是方程 的两根，则这个等腰三角形的周长是（ ）
A．8 B．10 C．8或10 D．12
【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：解x2-6x+8=0得：x=4或2，
当三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；
当三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，三角形的周长为2+4+4=10.
故答案为：B.
【分析】求出方程的解，利用等腰三角形的性质以及三边关系确定出三角形的三边，进而可得周长.
4．（2018九上·太仓期末）一元二次方程 x(x﹣2)＝2﹣x 的根是（ ）
A．﹣1 B．﹣1 和 2 C．1 和 2 D．2
【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】x（x-2）+（x-2）=0，
（x-2）（x+1）=0，
x-2=0或x+1=0，
所以x1=2，x2=-1．
故答案为：B．
【分析】移项，用提公因式法可将一元二次方程分解成ab=0的形式，则a=0或b=0，解这两个一元一次方程即可求解。
5．（2020九上·宿迁月考）菱形ABCD的一条对角线长为6cm，边AB的长是方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长等于（ ）
A．10cm B．12 cm C．16cm D．12cm或16cm
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，
解方程x2﹣7x+12＝0得：x＝3或4，
即AB＝3或4，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝DC＝BC，
当AD＝DC＝3cm，AC＝6cm时，3+3＝6，不符合三角形三边关系定理，此时不行；
当AD＝DC＝4cm，AC＝6cm时，符合三角形三边关系定理，
即此时菱形ABCD的周长是4×4＝16，
故答案为：C.
【分析】先求出方程的解，再根据三角形的三边关系定理判断，最后求出周长即可.
6．（2018九上·黄石期中）一个三角形的两边长为3和8，第三边的长是方程x(x-9)-13(x-9)=0的根，则这个三角形的周长是（ ）
A．20 B．20或24 C．9和13 D．24
【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】方程x（x-9）-13（x-9）=0，
分解因式得：（x-13）（x-9）=0，
解得：x1=13，x2=9，
当第三边为13时，3+8=11＜13，不能构成三角形，舍去；
则三角形周长为3+8+9=20．
故答案为：A．
【分析】利用因式分解法求出方程的根，然后根据三角形三边的关系判断出三角形的第三边的长度，最后根据三角形周长的计算方法即可算出答案。
二、填空题
7．（2021九上·江都期末）一元二次方程 的根是 .
【答案】 ，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵3x2 x=0
即x(3x 1)=0
解得： ，
故答案为： ， .
【分析】先把方程整理成一般形式，方程的左边利用“提取公因式法分解因式，根据两个因式的乘积等于0，则这两个因式至少有一个为0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程即可求解.
8．（2021九上·无锡期中）一元二次方程（x+1）（x-2）=0的解为 .
【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
或 ，
.
故答案为： .
【分析】观察方程可得：方程的左边是两个因式的乘积，右边是0，则至少有一个因式为0，据此可得x+1=0或x-2=0，解两个一元一次方程，即可得出原方程的解.
9．（2021九上·滨海月考）一元二次方程的解是 .
【答案】x1=-1，x2=2
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：方程整理得：x（x+1）-2（x+1）=0，
分解因式得：（x+1）（x-2）=0，
可得x+1=0或x-2=0，
解得：x1=-1，x2=2.
故答案为：x1=-1，x2=2.
【分析】观察方程的特点：方程两边含有公因式（x+1），因此先移项，再利用因式分解法解方程.
10．（2020九上·苏州期中）三角形的两边长分别是4和5，第三边长是方程 的根，则该三角形的周长为 .
【答案】14
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】解：解方程 ，得 ，
当第三边长为5时，三角形的三边长为4、5、5，该三角形的周长为4+5+5=14；
当第三边长为9时，由于4+5=9，此时不能构成三角形，须舍去；
故答案为：14.
【分析】解一元二次方程可得x1=5，x2=9，然后分第三边为5或9并结合三角形的三边关系判断是否能够组成三角形，进而求出周长.
11．（2019九上·无锡月考）若 ，其中 ，则 .
【答案】 或
【知识点】分式的值；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】∵ ，
∴（x-3y）（x-2y）=0，
∴x-3y=0或x-2y=0，
即x=3y或x=2y，
∴ 或 .
故答案为：2或3.
【分析】把y作为常数，将方程的左边利用十字相乘法分解因式，根据两个因式的乘积为0，则这两个因式中至少有一个为0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程得出原方程的解，然后分两种情况代入分式约分得出答案.
12．（2019九上·贾汪月考）一个三角形有两边长为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8＝0的根，则这个三角形的周长等于 .
【答案】13
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】解：解方程x2﹣6x+8＝0得：x1＝2，x2＝4，
当第三边长是2时，2+3＜6不满足三角形的三边关系，应舍去；
当第三边长是4时，能构成三角形，周长是3+6+4＝13.
故答案为：13.
【分析】利用因式分解法求出方程的两根为x1＝2，x2＝4，然后分：当第三边长是2时与当第三边长是4时两种情况，分别根据三角形三边关系判断能否围成三角形，对能围成三角形的利用三角形周长的计算方法算出答案。
三、解答题
13．（2021九上·南京期末）解方程：
（1）x2－2x－3＝0；
（2）x （x－2）－x＋2＝0.
【答案】（1）解：x2－2x－3＝0
x2－2x＋1＝3＋1
（x－1）2＝4
x－1＝±2
∴x1＝3，x2＝－1；
（2）解：x （x－2）－（x－2）＝0
（x－2）（x－1）＝0
x-2=0或x-1=0
∴x1＝2， x2＝1.
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）首先将常数项移至右边，然后给两边分别加上一次项系数一半的平方“1”，对左边的式子利用完全平方公式分解，然后利用直接开方法进行计算；
（2）此方程是一元二次方程的一般形式，方程的左边易于利用提取公因式法分解因式，故直接利用因式分解法求解即可.
14．解方程
（1）x2+2x﹣3=0
（2）3x（x﹣2）=2（2﹣x）
【答案】解：（1）分解因式得：（x﹣1）（x+3）=0，
可得x﹣1=0或x+3=0，
解得：x1=1，x2=﹣3；
（2）方程变形得：3x（x﹣2）+2（x﹣2）=0，
分解因式得：（3x+2）（x﹣2）=0，
可得3x+2=0或x﹣2=0，
解得：x1=﹣，x2=2．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解；
（2）方程变形后，利用因式分解法求出解即可．
15．（2020九上·江都月考）已知关于x的方程x2－（k＋2）x＋2k＝0.
（1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形一边长为4，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长.
【答案】（1）证明：∵△＝（k＋2）2－8k＝k2＋4k＋4－8k＝（k－2）2≥0，
∴无论k取何值，方程总有实数根；
（2）解：当边长为4的边为腰时，则可知方程有一个实数根为4，
∴16－4（k＋2）＋2k＝0，解得k＝4，
∴方程为x2－6x＋8＝0，解得x＝4或x＝2，
∴a、b的值分别为2、4，
∴△ABC的周长为10；
当边长为4的边为底时，则a＝b，即方程有两个相等的实数根，
∴△＝0，即（k－2）2＝0，解得k＝2，
∴方程为x2－4x＋4＝0，解得a＝b＝2，
此时2＋2＝4，不符合三角形的三边关系，舍去；
综上可知△ABC的周长为10.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）计算其判别式，得出判别式不为负数即可；（2）当边长为4的边为腰时，则可知方程有一个根为4，代入可求得k的值，则可求得方程的另一根，可求得周长；当边长为4的边为底时，可知方程有两个相等的实数根，可求得k的值，再解方程即可.
16．（2020九上·沭阳月考）阅读下面的例题：解方程
解：当x≥0时，原方程化为x2－x－2＝0，解得：x1＝2，x2＝－1（不合题意，舍去）；
当x＜0时，原方程化为x2＋ x－2＝0，解得：x1＝1，（不合题意，舍去）x2＝－2；
∴原方程的根是x1＝2，x2＝－2.
请参照例题解方程 .
【答案】解：①当x﹣1≥0即x≥1时，原方程化为 ， ，
解得：x1＝1，x2＝0（不合题意，舍去）；
②当x﹣1＜0即x＜1时，原方程化为 ， ，
解得：x1＝1（不合题意，舍去），x2＝﹣2，
故原方程的根是x1＝1，x2＝﹣2.
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】根据题干中提供的方法，利用绝对值的性质进行分类讨论，利用因式分解法解一元二次方程.
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