2022-2023学年苏科版数学九年级上学期1.3 一元二次方程的根与系数的关系 同步训练
一、单选题
1．（2021九上·姜堰月考）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＝2的两个实数根，下列结论正确的是（ ）
A．x1＋x2＝－2 B．x1 x2＝1 C．x1＋x2＝2 D．x1 x2＝2
2．（2021九上·沭阳月考）方程 的一个根是 ，那么a的值是（ ）
A．-5 B．5 C．-3 D．3
3．（2021九上·沭阳月考）若一个等腰三角形的一边为4，另外两边为 的两根，则m的值为（ ）
A．32 B．36 C．32或36 D．不存在
4．（2021九上·江阴月考）已知 是方程 的两根，则 的值为（ ）
A． B．2 C． D．4
5．（2021九上·盐城月考）下列方程中，两根分别为2和3的方程是（ ）
A．x2-x-6=0 B．x2-5x-6=0 C．x2+x+6=0 D．x2-5x+6=0
6．（2020九上·沭阳期中）设x1、x2是方程x2﹣5x+m＝0的两个根，且x1+x2﹣x1x2＝2，则m的值是（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣7 D．7
二、填空题
7．（2021九上·南京期末）设x1，x2是方程x2－3x－1＝0的两个根，则x1＋x2＝ ，x1x2＝ .
8．（2021九上·泰兴期中）已知一元二次方程x2﹣2x+n＝0的一个根为1+ ，则另一个根为 .
9．（2021九上·浦口月考）已知一元二次方程x2﹣6x﹣5=0的两根为m，n，则m2﹣mn+n2= .
10．（2021九上·泰兴期中）如果 是一元二次方程 的两个根，则 的值是 .
11．（2021九上·沭阳月考）已知方程 的两个实数根分别为 、 ，则 .
12．（2021九上·宿迁月考）设m、n是方程 的两个实数根，则 的值为 .
三、解答题
13．（2020九上·东台月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x＋m2﹣3m﹣5＝0的一个根是﹣1，求m的值及方程的另一个根.
14．（2021·无棣模拟）已知 、 是关于 的一元二次方程 的两实根，且 ，求 的值．
15．（2021九上·宿迁月考）在等腰 中， 、 、 的对边分别是a、b、c；已知 ，b、c分别是方程 的两个根，试求 的周长.
16．（2021九上·南京月考）已知关于x的一元二次方程x2+6x﹣m＝0.
（1）若方程有两个实数根，求m的取值范围；
（2）在（1）中，设x1、x2是该方程的两个根，且x1+x2﹣2x1x2＝0，求m的值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：
x1，x2是一元二次方程 的两个实数根，
故 不符合题意， 符合题意；
故答案为：
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，即可得出答案.
2．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据一元二次方程的根与系数的关系，可知 ，解得另一根为5，然后根据两根之和可得 ，可求得a=3.
故答案为：D.
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，先利用两根之积求出另一根，再利用两根之和列式求出a即可.
3．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：分为两种情况：
①当腰长是4时，设底边为a，
依题意得：a+4=12，
解得：a=8，
即三边为4，4，8，不能构成三角形，舍去；
②底边为4，设腰长为b，
依题意得：b+b=12，
∴腰长为b=6，
即三边为4，6，6，
∴m=6×6=36；
故答案为：B.
【分析】分为两种情况：①当腰长是4时，设底边为a，②底边为4，设腰长为b，然后根据一元二次方程根与系数的关系列式求出另一根，然后根据两根之积列式求出m即可.
4．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ 是方程 的两根
∴ ，
∴
∴
故答案为：A.
【分析】根据方程根的概念得m2+3m-1=0，根据一元二次方程根与系数的关系得m+n=-3，接下来代入求解即可.
5．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵方程的两根分别为2和3，
∴2+3=5，2×3=6，
∴方程为x2-5x+6=0.
故答案为：D.
【分析】根据两根分别为x1、x2的一元二次方程“x2-(x1+x2)x+x1x2=0”可求解.
6．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x1、x2是方程x2﹣5x+m＝0的两个根，
∴x1+x2＝5，x1x2＝m.
∵x1+x2﹣x1x2＝5﹣m＝2，
∴m＝3.
故答案为：B.
【分析】根据韦达定理，分别求出x1+x2和x1x2的值，即可得出答案.
7．【答案】3；－1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x1，x2是方程x2－3x－1＝0的两个根，
∴ .
故答案为：3，-1.
【分析】若x1、x2为一元二次方程ax2+bx+c=0的两根，则x1+x2=
，x1x2=
，据此解答.
8．【答案】1﹣
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设方程的另一个根为a，则：（1+ ）+a＝2，
解得：a＝1﹣ ，
即方程的另一个根为1﹣ .
故答案为：1- .
【分析】设方程的另一个根为a，由根与系数的关系可得(1+)+a＝2，求解即可.
9．【答案】51
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2-6x-5=0的两个根，
∴m+n=6，mn=-5，
则m2-mn+n2=（m+n）2-3mn=36+15=51.
故答案为：51.
【分析】设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，利用一元二次方程根与系数x1+x2=，x1×x2=可得m+n=6，mn=-5，然后根据完全平方公式将原式变形，再代值计算即可.
10．【答案】2018
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵α，β是一元二次方程x2+3x-2=0的两个根，
∴α2+3α-2=0，即α2+3α=2，α+β=-3
∵α2+4α+β+2019=（α2+3α）+（α+β）+2019=2+（-3）+2019
∴α2+4α+β+2019=2018
故答案为：2018.
【分析】根据方程解的概念可得α2+3α=2，由根与系数的关系可得α+β=-3，然后将待求式变形为(α2+3α)+(α+β)+2019，接下来代入计算即可.
11．【答案】-5
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵方程 的两个实数根分别为 、 ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为：-5.
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系求出两根之和与两根之积的值，然后将原式变形代值计算即可.
12．【答案】2021
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意，
∵m、n是方程 的两个实数根，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：2021.
【分析】m、n是方程 的两个实数根，将m代入方程得出，再根据一元二次方程根与系数的关系得出，再将原式变形，代值计算即可.
13．【答案】解：设方程的另一根为x2，
∵关于x的一元二次方程x2﹣6x＋m2﹣3m﹣5＝0的一个根是﹣1，
∴x＝﹣1满足关于x的一元二次方程x2﹣6x＋m2﹣3m﹣5＝0，
∴（﹣1）2﹣6×（﹣1）＋m2﹣3m﹣5＝0，即m2﹣3m＋2＝0，
∴（m﹣1）（m﹣2）＝0，
解得，m＝1或m＝2；
又由韦达定理知﹣1＋x2＝6，
解得，x2＝7.即方程的另一根是7.
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝ 1代入关于x的一元二次方程x2 6x＋m2 3m 5＝0，求得m的值；利用根与系数的关系求得方程的另一根.
14．【答案】解：由已知定理得： ， ，
∴ ，
即 ，解得： ，
当 时，△= ，
∴ 舍去；
当 时， △= ，
∴ 的值为1．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】由定理得出，即 ，解得： ，当 时，△= ，所以 舍去；当 时， △= ，所以 的值为1．
15．【答案】解：∵b、c是关于x的方程 的两个实数根，
∴ ， ，
当a=3为其腰时，则b=a或c=a，
此时三角形三边为3，3，9，
∵ ，
∴不能构成三角形；
当a=3为其底时，b=c，原方程有两个相等的实数根，
∴ ，
此时三角形三边为6，6，3，周长为 ，
综上， 的周长为15.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【分析】根据根与系数的关系，把b+c和bc表示出来，然后分两种情况讨论，即当a=3为其腰时，当a=3为其底时， 结合等腰三角形的性质分别求出三边长，再根据三角形三边的关系判断三角形是否存在，最后求周长即可.
16．【答案】（1）解：根据题意得：△=36+4m≥0，解得：m≥﹣9，即m的取值范围为：m≥﹣9；
（2）解：根据题意得：x1+x2=﹣6，x1x2=﹣m.
∵x1+x2﹣2x1x2=0，∴﹣6﹣2×（﹣m）=0，解得：m=3（符合题意），即m的值为3.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）利用已知一元二次方程有两个实数根，可知b2-4ac≥0，据此可得到关于m的不等式，然后求出不等式的解集即可；
（2）利用一元二次方程根与系数可知x1+x2=﹣6，x1x2=﹣m，结合已知条件可得到关于m的方程，解方程求出m的值.
1 / 12022-2023学年苏科版数学九年级上学期1.3 一元二次方程的根与系数的关系 同步训练
一、单选题
1．（2021九上·姜堰月考）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＝2的两个实数根，下列结论正确的是（ ）
A．x1＋x2＝－2 B．x1 x2＝1 C．x1＋x2＝2 D．x1 x2＝2
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：
x1，x2是一元二次方程 的两个实数根，
故 不符合题意， 符合题意；
故答案为：
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，即可得出答案.
2．（2021九上·沭阳月考）方程 的一个根是 ，那么a的值是（ ）
A．-5 B．5 C．-3 D．3
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据一元二次方程的根与系数的关系，可知 ，解得另一根为5，然后根据两根之和可得 ，可求得a=3.
故答案为：D.
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，先利用两根之积求出另一根，再利用两根之和列式求出a即可.
3．（2021九上·沭阳月考）若一个等腰三角形的一边为4，另外两边为 的两根，则m的值为（ ）
A．32 B．36 C．32或36 D．不存在
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：分为两种情况：
①当腰长是4时，设底边为a，
依题意得：a+4=12，
解得：a=8，
即三边为4，4，8，不能构成三角形，舍去；
②底边为4，设腰长为b，
依题意得：b+b=12，
∴腰长为b=6，
即三边为4，6，6，
∴m=6×6=36；
故答案为：B.
【分析】分为两种情况：①当腰长是4时，设底边为a，②底边为4，设腰长为b，然后根据一元二次方程根与系数的关系列式求出另一根，然后根据两根之积列式求出m即可.
4．（2021九上·江阴月考）已知 是方程 的两根，则 的值为（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ 是方程 的两根
∴ ，
∴
∴
故答案为：A.
【分析】根据方程根的概念得m2+3m-1=0，根据一元二次方程根与系数的关系得m+n=-3，接下来代入求解即可.
5．（2021九上·盐城月考）下列方程中，两根分别为2和3的方程是（ ）
A．x2-x-6=0 B．x2-5x-6=0 C．x2+x+6=0 D．x2-5x+6=0
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵方程的两根分别为2和3，
∴2+3=5，2×3=6，
∴方程为x2-5x+6=0.
故答案为：D.
【分析】根据两根分别为x1、x2的一元二次方程“x2-(x1+x2)x+x1x2=0”可求解.
6．（2020九上·沭阳期中）设x1、x2是方程x2﹣5x+m＝0的两个根，且x1+x2﹣x1x2＝2，则m的值是（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣7 D．7
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x1、x2是方程x2﹣5x+m＝0的两个根，
∴x1+x2＝5，x1x2＝m.
∵x1+x2﹣x1x2＝5﹣m＝2，
∴m＝3.
故答案为：B.
【分析】根据韦达定理，分别求出x1+x2和x1x2的值，即可得出答案.
二、填空题
7．（2021九上·南京期末）设x1，x2是方程x2－3x－1＝0的两个根，则x1＋x2＝ ，x1x2＝ .
【答案】3；－1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x1，x2是方程x2－3x－1＝0的两个根，
∴ .
故答案为：3，-1.
【分析】若x1、x2为一元二次方程ax2+bx+c=0的两根，则x1+x2=
，x1x2=
，据此解答.
8．（2021九上·泰兴期中）已知一元二次方程x2﹣2x+n＝0的一个根为1+ ，则另一个根为 .
【答案】1﹣
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设方程的另一个根为a，则：（1+ ）+a＝2，
解得：a＝1﹣ ，
即方程的另一个根为1﹣ .
故答案为：1- .
【分析】设方程的另一个根为a，由根与系数的关系可得(1+)+a＝2，求解即可.
9．（2021九上·浦口月考）已知一元二次方程x2﹣6x﹣5=0的两根为m，n，则m2﹣mn+n2= .
【答案】51
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2-6x-5=0的两个根，
∴m+n=6，mn=-5，
则m2-mn+n2=（m+n）2-3mn=36+15=51.
故答案为：51.
【分析】设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，利用一元二次方程根与系数x1+x2=，x1×x2=可得m+n=6，mn=-5，然后根据完全平方公式将原式变形，再代值计算即可.
10．（2021九上·泰兴期中）如果 是一元二次方程 的两个根，则 的值是 .
【答案】2018
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵α，β是一元二次方程x2+3x-2=0的两个根，
∴α2+3α-2=0，即α2+3α=2，α+β=-3
∵α2+4α+β+2019=（α2+3α）+（α+β）+2019=2+（-3）+2019
∴α2+4α+β+2019=2018
故答案为：2018.
【分析】根据方程解的概念可得α2+3α=2，由根与系数的关系可得α+β=-3，然后将待求式变形为(α2+3α)+(α+β)+2019，接下来代入计算即可.
11．（2021九上·沭阳月考）已知方程 的两个实数根分别为 、 ，则 .
【答案】-5
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵方程 的两个实数根分别为 、 ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为：-5.
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系求出两根之和与两根之积的值，然后将原式变形代值计算即可.
12．（2021九上·宿迁月考）设m、n是方程 的两个实数根，则 的值为 .
【答案】2021
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意，
∵m、n是方程 的两个实数根，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：2021.
【分析】m、n是方程 的两个实数根，将m代入方程得出，再根据一元二次方程根与系数的关系得出，再将原式变形，代值计算即可.
三、解答题
13．（2020九上·东台月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x＋m2﹣3m﹣5＝0的一个根是﹣1，求m的值及方程的另一个根.
【答案】解：设方程的另一根为x2，
∵关于x的一元二次方程x2﹣6x＋m2﹣3m﹣5＝0的一个根是﹣1，
∴x＝﹣1满足关于x的一元二次方程x2﹣6x＋m2﹣3m﹣5＝0，
∴（﹣1）2﹣6×（﹣1）＋m2﹣3m﹣5＝0，即m2﹣3m＋2＝0，
∴（m﹣1）（m﹣2）＝0，
解得，m＝1或m＝2；
又由韦达定理知﹣1＋x2＝6，
解得，x2＝7.即方程的另一根是7.
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝ 1代入关于x的一元二次方程x2 6x＋m2 3m 5＝0，求得m的值；利用根与系数的关系求得方程的另一根.
14．（2021·无棣模拟）已知 、 是关于 的一元二次方程 的两实根，且 ，求 的值．
【答案】解：由已知定理得： ， ，
∴ ，
即 ，解得： ，
当 时，△= ，
∴ 舍去；
当 时， △= ，
∴ 的值为1．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】由定理得出，即 ，解得： ，当 时，△= ，所以 舍去；当 时， △= ，所以 的值为1．
15．（2021九上·宿迁月考）在等腰 中， 、 、 的对边分别是a、b、c；已知 ，b、c分别是方程 的两个根，试求 的周长.
【答案】解：∵b、c是关于x的方程 的两个实数根，
∴ ， ，
当a=3为其腰时，则b=a或c=a，
此时三角形三边为3，3，9，
∵ ，
∴不能构成三角形；
当a=3为其底时，b=c，原方程有两个相等的实数根，
∴ ，
此时三角形三边为6，6，3，周长为 ，
综上， 的周长为15.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【分析】根据根与系数的关系，把b+c和bc表示出来，然后分两种情况讨论，即当a=3为其腰时，当a=3为其底时， 结合等腰三角形的性质分别求出三边长，再根据三角形三边的关系判断三角形是否存在，最后求周长即可.
16．（2021九上·南京月考）已知关于x的一元二次方程x2+6x﹣m＝0.
（1）若方程有两个实数根，求m的取值范围；
（2）在（1）中，设x1、x2是该方程的两个根，且x1+x2﹣2x1x2＝0，求m的值.
【答案】（1）解：根据题意得：△=36+4m≥0，解得：m≥﹣9，即m的取值范围为：m≥﹣9；
（2）解：根据题意得：x1+x2=﹣6，x1x2=﹣m.
∵x1+x2﹣2x1x2=0，∴﹣6﹣2×（﹣m）=0，解得：m=3（符合题意），即m的值为3.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）利用已知一元二次方程有两个实数根，可知b2-4ac≥0，据此可得到关于m的不等式，然后求出不等式的解集即可；
（2）利用一元二次方程根与系数可知x1+x2=﹣6，x1x2=﹣m，结合已知条件可得到关于m的方程，解方程求出m的值.
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