2022-2023学年苏科版数学九年级上学期1.4 一元二次方程应用——增长率、面积问题
一、单选题
1．（2021九上·宜兴月考）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式，每两队之间都赛一场，计划安排15场比赛.设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（ ）
A． x（x﹣1）＝15 B． x（x+1）＝15
C．x（x+1）＝15 D．x（x﹣1）＝15
2．（2021九上·灌云期中）某商品连续两次降价，每件零售价由原来的56元降到了31.5元，若设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021九上·沭阳月考）某品牌服装原价173元，连续两次降 后售价是127元，则下面所列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021九上·高港月考）某服装原价为100元，连续两次涨价a %后，售价为144元，则a的值为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
5．如图所示，使用墙的一边，再用13m的竹篱笆围三边，围成一个面积为20m2矩形，设墙的对边长为xm，可得长，宽分别为（ ）
A．5m，4m B．5m，4m或8m，m
C．m，8m D．m，5m
6．如图，某农场有一块长40m，宽32m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为1140m2，求小路的宽．设小路的宽为x，则可列方程为（ ）
A．（40﹣2x）（32﹣x）=1140 B．（40﹣x）（32﹣x）=1140
C．（40﹣x）（32﹣2x）=1140 D．（40﹣2x）（32﹣2x）=1140
二、填空题
7．在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画四周壤上一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积为5400cm．设金色纸片的宽为xcm，那么写出x的方程是 ．
8．（2021九上·泰兴期中）某商品原价200元，连续两次降价a%后售价为148元，可得到方程 .
9．（2021九上·海安月考）某学习小组全体同学都为本组其他人员送了一张新年贺卡，若全组共送贺卡20张，设这个小组的同学共有x人，可列方程： .
10．（2021九上·高邮期末）某超市九月份的营业额为50万元，十一月份的营业额为72万元.则每月营业额的平均增长率为 .
11．（2020九上·淮安期中）北京奥运会的主会场“鸟巢”让人记忆深刻.在鸟巢设计的最后阶段，经过了两次优化，鸟巢的结构用钢量从5.4万吨减少到4.2万吨.若设平均每次用钢量降低的百分率为x，根据题意，可得方程
12．（2020九上·南京月考）一批上衣，每件原价500元，第一次降价后，销售甚慢，于是再次进行大幅降价，第二次降价后的百分率是第一次降价的百分率的2倍，结果这批上衣以每件240元的价格迅速出售，设第一次降价的百分率为x，则可列方程为 .
三、解答题
13．（2021九上·灌云期中）用一根长 的金属丝能否制成面积是 的矩形框子？若能，请求出长和宽；若不能，请说明理由.
14．（2021九上·秦淮期末）工厂2018年共生产4000万件电子产品，该年还生产了A、B、C三种型号的电池，其数量分别为400万块、800万块、1600万块，这些电池只配装了该年生产的部分电子产品（每一件电子产品配一块电池），剩余电子产品所需电池由其他工厂供给，从2019年起，该工厂逐年扩大这三种类型的电池产量.2019年、2020年这两年，A型电池每年产量的增长率相同，B型电池每年产量的增长率比A型电池每年产量的增长率小1，C型电池每年产量的增长率是A型电池每年产量的增长率的一半，已知该工厂2020年生产的三种类型的电池恰好配装了该年生产的所有电子产品，且该年生产的电子产品的数量是2018年生产的电子产品的数量的3.3倍，求A型电池每年产量的增长率.
15．（2020九上·扬州期中）某种商品的标价为200元/件，经过两次降价后的价格为162元/件，并且两次降价的百分率相同.
（1）求该种商品每次降价的百分率；
（2）若该种商品进价为156元/件，若以200元/件售出，平均每天能售出20件，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天盈利1600元，每件应降价多少元？
16．（2020九上·丹徒期中）为贯彻落实党的十九大关于实施健康中国战略的要求，满足职工群众对美好生活的新期待，促进城乡加速融合，我市总工会决定对开展职工春秋(乡村)游活动予以推进.据统计，我市某农庄今年7月接待了1280人参观游玩，后几月每月都有增加，若9月份该农庄接待了2880人参观游玩，且进入该农庄参观游玩人数的月平均增长率相同.
（1）求该农庄游玩人数的月平均增长率；
（2）因条件限制，该农庄每月接待能力不超过5000人，在进入该农庄参观游玩人数的月平均增长率不变的条件下，该农庄能否全部接待10月份的参观游玩人数？并说明理由.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设应邀请x个球队参加比赛，
根据题意得： .
故答案为：A.
【分析】设应邀请x个球队参加比赛，则每个对比赛的场数为(x-1)场，则比赛的总场次为x（x-1）场，由于相互间比赛视为1场，则总场次为场，根据总场数为15，列出关于x的一元二次方程即可.
2．【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，由题意得， .
故答案为：C.
【分析】首先根据百分率分别表示出第一次、第二次降价后的钱数，然后根据降到了31.5元就可列出方程.
3．【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：原价为173元，第一次降价 后，价格为 ，
第二次降价 后，价格为 ，
∴方程为 ，
故答案为：C.
【分析】先根据原价和降价百分率，分别把第一次和第二次降价后的价格表示出来，根据连续两次降价后的售价为127列出方程，即可解答.
4．【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：根据题意得：100（1+a%）2=144，
整理得：（1+a%）2=1.44，
开方得：1+a%=1.2或1+a%=-1.2，
解得：a=20或a=-220（舍去），
则a的值为20，
故答案为：D.
【分析】根据增长后的量=增长前的量×（1+增长率）增长次数可列方程求解.
5．【答案】B
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】设墙的对边长为xm，则宽为m，根据题意得x =20，解之得x=5或8，则宽为4或，故选：B
【分析】设墙的对边长为xm，则宽为m，此已知的等量关系即：矩形的面积=长×宽．据此即可列方程求解．
6．【答案】B
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】设小路的宽为xm，依题意有：（40﹣x）（32﹣x）=1140，故选B．
【分析】设小路的宽为xm，将4块种植地平移为一个长方形，长为（40﹣x）m，宽为（32﹣x）m．根据长方形面积公式即可列出方程．
7．【答案】x2+65x﹣350=0
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：依题意得：（80+2x）（50+2x）=5400，
即4000+260x+4x2=5400，
化简为：4x2+260x﹣1400=0，
即x2+65x﹣350=0．
故答案为：x2+65x﹣350=0．
【分析】本题可设长为（80+2x），宽为（50+2x），再根据面积公式列出方程，化简即可．
8．【答案】200（1﹣a%）2＝148
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：由题意得：200（1﹣a%）2＝148.
故答案为：200（1﹣a%）2＝148.
【分析】利用原价×(1-a%)2=售价就可列出方程.
9．【答案】
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设这个小组的同学共有x人，根据题意得：.
故答案为： .
【分析】根据学生人数×(学生人数-1)=共送的贺卡张数可列出关于x的方程.
10．【答案】20%
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设增长率为x,根据题意得
解得x= 2.2(不合题意舍去)，x=0.2，
所以每月的增长率应为20%，
故答案为：20%.
【分析】设增长率为x，根据九月份的营业额×（1+增长率）2=十一月份的营业额，列出方程，解之并检验即可.
11．【答案】5.4（1-x）2=4.2
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：根据题意有：5.4（1-x）2=4.2.
故答案为：5.4（1-x）2=4.2.
【分析】此题是一道平均降低率的问题，根据公式a(1-x)n=p，其中a是平均降低开始的量，x是降低率，n是降低次数，P是降低结束达到的量，根据公式即可列出方程.
12．【答案】500（1-x）（1-2x）=240
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设第一次降价的百分率为x，则可列方程
500（1-x）（1-2x）=240，
故答案为：500（1-x）（1-2x）=240.
【分析】 先设第次降价的百分率是x，则第一次降价后的价格为500（1 x）元，第二次降价后的价格为500（1 2x），根据两次降价后的价格是240元建立方程．
13．【答案】解：不能，理由如下：
设矩形框子的长为 ，
根据题意： ，
即 ，
，
∴方程无解，
∴不能制成面积是 的矩形框子.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】设矩形框子的长为xcm，根据题意可得x(-x)=800，求解即可.
14．【答案】解：设A型电池每年产量的增长率为x
可得：
∴ ；
经检验， 不符合题意，应舍去
∴
答：A型电池每年产量的增长率为200%.
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】 设A型电池每年产量的增长率为x ，可得B型电池每年产量的增长率为（x-1）,C型电池每年产量的增长率为x，根据该工厂2020年生产的三种类型的电池恰好配装了该年生产的所有电子产品等于2018年生产的电子产品的数量的3.3倍，据此列出方程，求解并检验即可.
15．【答案】（1）解：设该种商品每次降价的百分率为x，
依题意，得：200（1﹣x）2＝162，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）.
答：该种商品每次降价的百分率为10%.
（2）解：设每件商品应降价x元，根据题意，得：
（200﹣156﹣x）（20+5x）＝1600
解方程得 x＝4或x＝36，
∵在降价幅度不超过10元的情况下，
∴x＝36不合题意舍去，
答：每件商品应降价4元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）此题是一道平均降低率的问题，根据公式a(1-x)n=p，其中a是平均降低开始的量，x是降低率，n是降低次数，P是降低结束达到的量，根据公式即可列出方程，利用直接开平方法求解并检验即可；
（2）根据每件商品的盈利×（原来的销售量＋增加的销售量）＝1600列出方程，为了减少库存，计算得到降价多的数量即可.
16．【答案】（1）解：设该农庄游玩人数的月平均增长率为x.
由题意得：1280（1+x）2=2880
解得：x1=0.5，x2= 2.5(不合题意，舍去)
答：该农庄游玩人数的月平均增长率为50%.
（2）解：1280（1+50%）3=4320<5000
答：该农庄能全部接待10月份的参观游玩人数.
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】（1）设农庄游玩人数的月平均增长率为x，根据公式，其中a代表原始数据，b为变化后的数据，增长即为“+”减少即为“-”代入即可，特别地，一元二次方程的实际运用，要检验根是否符合实际问题的解；
(2)根据公式，代入（1）中结果算出十月份需要接待的人数b，然后将b与5000比大小即可.
1 / 12022-2023学年苏科版数学九年级上学期1.4 一元二次方程应用——增长率、面积问题
一、单选题
1．（2021九上·宜兴月考）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式，每两队之间都赛一场，计划安排15场比赛.设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（ ）
A． x（x﹣1）＝15 B． x（x+1）＝15
C．x（x+1）＝15 D．x（x﹣1）＝15
【答案】A
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设应邀请x个球队参加比赛，
根据题意得： .
故答案为：A.
【分析】设应邀请x个球队参加比赛，则每个对比赛的场数为(x-1)场，则比赛的总场次为x（x-1）场，由于相互间比赛视为1场，则总场次为场，根据总场数为15，列出关于x的一元二次方程即可.
2．（2021九上·灌云期中）某商品连续两次降价，每件零售价由原来的56元降到了31.5元，若设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，由题意得， .
故答案为：C.
【分析】首先根据百分率分别表示出第一次、第二次降价后的钱数，然后根据降到了31.5元就可列出方程.
3．（2021九上·沭阳月考）某品牌服装原价173元，连续两次降 后售价是127元，则下面所列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：原价为173元，第一次降价 后，价格为 ，
第二次降价 后，价格为 ，
∴方程为 ，
故答案为：C.
【分析】先根据原价和降价百分率，分别把第一次和第二次降价后的价格表示出来，根据连续两次降价后的售价为127列出方程，即可解答.
4．（2021九上·高港月考）某服装原价为100元，连续两次涨价a %后，售价为144元，则a的值为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：根据题意得：100（1+a%）2=144，
整理得：（1+a%）2=1.44，
开方得：1+a%=1.2或1+a%=-1.2，
解得：a=20或a=-220（舍去），
则a的值为20，
故答案为：D.
【分析】根据增长后的量=增长前的量×（1+增长率）增长次数可列方程求解.
5．如图所示，使用墙的一边，再用13m的竹篱笆围三边，围成一个面积为20m2矩形，设墙的对边长为xm，可得长，宽分别为（ ）
A．5m，4m B．5m，4m或8m，m
C．m，8m D．m，5m
【答案】B
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】设墙的对边长为xm，则宽为m，根据题意得x =20，解之得x=5或8，则宽为4或，故选：B
【分析】设墙的对边长为xm，则宽为m，此已知的等量关系即：矩形的面积=长×宽．据此即可列方程求解．
6．如图，某农场有一块长40m，宽32m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为1140m2，求小路的宽．设小路的宽为x，则可列方程为（ ）
A．（40﹣2x）（32﹣x）=1140 B．（40﹣x）（32﹣x）=1140
C．（40﹣x）（32﹣2x）=1140 D．（40﹣2x）（32﹣2x）=1140
【答案】B
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】设小路的宽为xm，依题意有：（40﹣x）（32﹣x）=1140，故选B．
【分析】设小路的宽为xm，将4块种植地平移为一个长方形，长为（40﹣x）m，宽为（32﹣x）m．根据长方形面积公式即可列出方程．
二、填空题
7．在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画四周壤上一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积为5400cm．设金色纸片的宽为xcm，那么写出x的方程是 ．
【答案】x2+65x﹣350=0
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：依题意得：（80+2x）（50+2x）=5400，
即4000+260x+4x2=5400，
化简为：4x2+260x﹣1400=0，
即x2+65x﹣350=0．
故答案为：x2+65x﹣350=0．
【分析】本题可设长为（80+2x），宽为（50+2x），再根据面积公式列出方程，化简即可．
8．（2021九上·泰兴期中）某商品原价200元，连续两次降价a%后售价为148元，可得到方程 .
【答案】200（1﹣a%）2＝148
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：由题意得：200（1﹣a%）2＝148.
故答案为：200（1﹣a%）2＝148.
【分析】利用原价×(1-a%)2=售价就可列出方程.
9．（2021九上·海安月考）某学习小组全体同学都为本组其他人员送了一张新年贺卡，若全组共送贺卡20张，设这个小组的同学共有x人，可列方程： .
【答案】
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设这个小组的同学共有x人，根据题意得：.
故答案为： .
【分析】根据学生人数×(学生人数-1)=共送的贺卡张数可列出关于x的方程.
10．（2021九上·高邮期末）某超市九月份的营业额为50万元，十一月份的营业额为72万元.则每月营业额的平均增长率为 .
【答案】20%
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设增长率为x,根据题意得
解得x= 2.2(不合题意舍去)，x=0.2，
所以每月的增长率应为20%，
故答案为：20%.
【分析】设增长率为x，根据九月份的营业额×（1+增长率）2=十一月份的营业额，列出方程，解之并检验即可.
11．（2020九上·淮安期中）北京奥运会的主会场“鸟巢”让人记忆深刻.在鸟巢设计的最后阶段，经过了两次优化，鸟巢的结构用钢量从5.4万吨减少到4.2万吨.若设平均每次用钢量降低的百分率为x，根据题意，可得方程
【答案】5.4（1-x）2=4.2
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：根据题意有：5.4（1-x）2=4.2.
故答案为：5.4（1-x）2=4.2.
【分析】此题是一道平均降低率的问题，根据公式a(1-x)n=p，其中a是平均降低开始的量，x是降低率，n是降低次数，P是降低结束达到的量，根据公式即可列出方程.
12．（2020九上·南京月考）一批上衣，每件原价500元，第一次降价后，销售甚慢，于是再次进行大幅降价，第二次降价后的百分率是第一次降价的百分率的2倍，结果这批上衣以每件240元的价格迅速出售，设第一次降价的百分率为x，则可列方程为 .
【答案】500（1-x）（1-2x）=240
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设第一次降价的百分率为x，则可列方程
500（1-x）（1-2x）=240，
故答案为：500（1-x）（1-2x）=240.
【分析】 先设第次降价的百分率是x，则第一次降价后的价格为500（1 x）元，第二次降价后的价格为500（1 2x），根据两次降价后的价格是240元建立方程．
三、解答题
13．（2021九上·灌云期中）用一根长 的金属丝能否制成面积是 的矩形框子？若能，请求出长和宽；若不能，请说明理由.
【答案】解：不能，理由如下：
设矩形框子的长为 ，
根据题意： ，
即 ，
，
∴方程无解，
∴不能制成面积是 的矩形框子.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】设矩形框子的长为xcm，根据题意可得x(-x)=800，求解即可.
14．（2021九上·秦淮期末）工厂2018年共生产4000万件电子产品，该年还生产了A、B、C三种型号的电池，其数量分别为400万块、800万块、1600万块，这些电池只配装了该年生产的部分电子产品（每一件电子产品配一块电池），剩余电子产品所需电池由其他工厂供给，从2019年起，该工厂逐年扩大这三种类型的电池产量.2019年、2020年这两年，A型电池每年产量的增长率相同，B型电池每年产量的增长率比A型电池每年产量的增长率小1，C型电池每年产量的增长率是A型电池每年产量的增长率的一半，已知该工厂2020年生产的三种类型的电池恰好配装了该年生产的所有电子产品，且该年生产的电子产品的数量是2018年生产的电子产品的数量的3.3倍，求A型电池每年产量的增长率.
【答案】解：设A型电池每年产量的增长率为x
可得：
∴ ；
经检验， 不符合题意，应舍去
∴
答：A型电池每年产量的增长率为200%.
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】 设A型电池每年产量的增长率为x ，可得B型电池每年产量的增长率为（x-1）,C型电池每年产量的增长率为x，根据该工厂2020年生产的三种类型的电池恰好配装了该年生产的所有电子产品等于2018年生产的电子产品的数量的3.3倍，据此列出方程，求解并检验即可.
15．（2020九上·扬州期中）某种商品的标价为200元/件，经过两次降价后的价格为162元/件，并且两次降价的百分率相同.
（1）求该种商品每次降价的百分率；
（2）若该种商品进价为156元/件，若以200元/件售出，平均每天能售出20件，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天盈利1600元，每件应降价多少元？
【答案】（1）解：设该种商品每次降价的百分率为x，
依题意，得：200（1﹣x）2＝162，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）.
答：该种商品每次降价的百分率为10%.
（2）解：设每件商品应降价x元，根据题意，得：
（200﹣156﹣x）（20+5x）＝1600
解方程得 x＝4或x＝36，
∵在降价幅度不超过10元的情况下，
∴x＝36不合题意舍去，
答：每件商品应降价4元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）此题是一道平均降低率的问题，根据公式a(1-x)n=p，其中a是平均降低开始的量，x是降低率，n是降低次数，P是降低结束达到的量，根据公式即可列出方程，利用直接开平方法求解并检验即可；
（2）根据每件商品的盈利×（原来的销售量＋增加的销售量）＝1600列出方程，为了减少库存，计算得到降价多的数量即可.
16．（2020九上·丹徒期中）为贯彻落实党的十九大关于实施健康中国战略的要求，满足职工群众对美好生活的新期待，促进城乡加速融合，我市总工会决定对开展职工春秋(乡村)游活动予以推进.据统计，我市某农庄今年7月接待了1280人参观游玩，后几月每月都有增加，若9月份该农庄接待了2880人参观游玩，且进入该农庄参观游玩人数的月平均增长率相同.
（1）求该农庄游玩人数的月平均增长率；
（2）因条件限制，该农庄每月接待能力不超过5000人，在进入该农庄参观游玩人数的月平均增长率不变的条件下，该农庄能否全部接待10月份的参观游玩人数？并说明理由.
【答案】（1）解：设该农庄游玩人数的月平均增长率为x.
由题意得：1280（1+x）2=2880
解得：x1=0.5，x2= 2.5(不合题意，舍去)
答：该农庄游玩人数的月平均增长率为50%.
（2）解：1280（1+50%）3=4320<5000
答：该农庄能全部接待10月份的参观游玩人数.
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】（1）设农庄游玩人数的月平均增长率为x，根据公式，其中a代表原始数据，b为变化后的数据，增长即为“+”减少即为“-”代入即可，特别地，一元二次方程的实际运用，要检验根是否符合实际问题的解；
(2)根据公式，代入（1）中结果算出十月份需要接待的人数b，然后将b与5000比大小即可.
1 / 1
