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第十二章 全等三角形
第9课时 三角形全等的判定（一）
【A组】
1. 如图KH12-9-1，AB=FD，AC=FE，BD=CE，则△ABC和△FDE ( )
A. 一定全等
B. 一定不全等
C. 可能全等
D. 上述三种情况都有可能
A
2. 如图KH12-9-2，在△ABC中，AB＝AC，EB＝EC，则直接由“SSS”可以判定 ( )
A. △ABD≌△ACD
B. △ABE≌△ACE
C. △BDE≌△CDE
D. 以上答案都不对
B
3. 如图KH12-9-3，AB=AD，CB=CD，∠B=30°，∠BAD=46°，则∠ACD的度数是 ( )
A. 120°
B. 125°
C. 127°
D. 104°
C
4. 我国的纸伞工艺十分巧妙. 如图KH12-9-4，伞不论张开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动. 为了证明这个结论，我们的依据是 ( )
A. SSS
B. SAS
C. AAS
D. ASA
A
【B组】
5. 如图KH12-9-5，已知AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE.求证：∠3＝∠1＋∠2.
证明：在△ABD和△ACE中,
∴△ABD≌△ACE(SSS).
∴∠ABD＝∠2，∠BAD＝∠1.
∵∠3＝∠BAD+∠ABD,
∴∠3＝∠1+∠2.
6. 如图KH12-9-6，四边形ABCD中，AB=CD，点E，F在对角线上，BE=DF，连接AF，CE，且AF=CE. 求证：AF∥CE.
证明：∵DF=BE，
∴DF+BD=BE+BD，
即BF=DE.
∵AB=CD，AF=CE，
∴△ABF≌△CDE（SSS）.
∴∠F=∠E.
∴AF∥CE.
【C组】
7. 如图KH12-9-7，有一块三角形的厚铁板，根据实际生产需要，工人师傅要把∠MAN平分开. 现在他手边只有一把尺子（没有刻度）和一根细绳，你能帮工人师傅想个办法吗？并说明你的依据.
解：用绳子的一定长度以A为圆心画弧，分别交AM，AN于B，C两点，再以B，C两点为圆心，大于 BC长为半径画弧，两弧交于D点，作射线AD，则AD平分∠MAN.依据如下.
如答图KH12-9-1.
AB=AC，BD=CD，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD（SSS）.
∴∠BAD=∠CAD.
∴AD为∠MAN的平分线.
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第十二章 全等三角形
第10课时 三角形全等的判定（二）
【A组】
1. 如图KH12-10-1，AB=AC，添加下列条件，能用SAS判断△ABE≌△ACD的是 ( )
A. ∠B=∠C
B. ∠AEB=∠ADC
C. AE=AD
D. BE=CD
C
2. 如图KH12-10-2，OA＝OB，OC＝OD，∠O＝50°，∠D＝35°，则∠AEC的度数为 ( )
A. 60°
B. 50°
C. 45°
D. 30°
A
3. 如图KH12-10-3，为了测量出A，B两点之间的距离，在地面上找到一点C，连接BC，AC，使∠ACB=90°，然后在BC的延长线上确定D，使CD=BC，那么只要测量出AD的长度也就得到了A，B两点之间的距离，这样测量的依据是( )
A. AAS
B. SAS
C. ASA
D. SSS
B
4. 如图KH12-10-4，已知AB⊥BD，垂足为点B，ED⊥BD，垂足为点D，AB=CD，BC=DE，则∠ACE的度数为______.
90°
【B组】
5. 如图KH12-10-5，AE=CF，DF∥BE，DF=BE，△AFD与△CEB全等吗？为什么？
解：全等.理由如下.
∵AE=CF，
∴AF=CE.
∵DF∥BE，
∴∠DFE=∠BEF.
∴∠AFD=∠CEB.
在△AFD和△CEB中,
∴△AFD≌△CEB（SAS）.
6. 如图KH12-10-6，B，F，E，D在一条直线上，AB=CD，∠B=∠D，BF=DE. 求证：
（1）△BEA≌△DFC；
（2）△AFE≌△CEF.
证明：（1）∵BF=DE，
∴BF+EF=DE+EF，即BE=DF.
在△BEA和△DFC中，
∴△BEA≌△DFC（SAS）.
（2）∵△BEA≌△DFC，
∴AE=CF，∠AEB=∠CFD.
在△AFE与△CEF中，
∴△AFE≌△CEF（SAS）.
【C组】
7. 如图KH12-10-7，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在山的另一面同时施工，工人师傅在AC上取一点B，在小山外取一点D，连接BD并延长，使DF=BD，过点F作AB的平行线MF，连接MD并延长，在延长线上取一点E，使DE=DM，在E点开工就能使A，C，E成一条直线，你知道其中的道理吗？
解：∵在△BDE和△FDM中，
∴△BDE≌△FDM（SAS）.
∴∠BEM=∠FME.
∴BE∥MF.
∵AB∥MF，
∴A，C，E三点在一条直线上.
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第十二章 全等三角形
第12课时 三角形全等的判定（四）
【A组】
1. 在△ABC和△A′B′C′中，已知AB=A′B′，∠A=∠A′，∠C=∠C′，直接判定△ABC≌△A′B′C′的根据是 ( )
A. SSS
B. ASA
C. AAS
D. SAS
C
2. 下列条件中，不能说明△ABC≌△A′B′C的是 ( )
A. ∠A=∠A′，∠C=∠C′，AC=A′C′
B. ∠B=∠B′，∠C=∠C′，AB=A′B′
C. ∠A=∠A′，AB=A′B′，BC=B′C′
D. AB=A′B′，BC=B′C，AC=A′C′
C
3. 如图KH12-12-1，已知∠1=∠2，∠A=∠D，AB=DB，则△ABC≌△DBE的依据是 ( )
A. AAS
B. ASA
C. SAS
D. SSS
B
4. 如图KH12-12-2，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，BE，CD相交于点O，且AO平分∠BAC，那么图中全等三角形共有( )
A. 2对
B. 3对
C. 4对
D. 5对
C
5. 如图KH12-12-3，已知∠1=∠2，AB⊥AC，BD⊥DC，AC，BD相交于点E，则图中的全等三角形有______对.
2
【B组】
6. 如图KH12-12-4，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，结论：①EM=FN；②CD=DN；③∠FAN=∠EAM；④△ACN≌△ABM，其中正确的有 ( )
A． 1个
B． 2个
C． 3个
D． 4个
C
7. 如图KH12-12-5，已知∠D=∠E，AG=GD=CF=FE，A，B，C三点共线.求证：AB=CB.
证明：在△EBF和△DBG中，
∴△EBF≌△DBG（AAS）.
∴EB=DB.
∵AG=GD=CF=FE，∴AD=CE.
在△DAB和△ECB中，
∴△DAB≌△ECB（SAS）.∴AB=CB.
【C组】
8. 在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过B，C向过点A的直线作垂线，垂足分别为E，F.
（1）如图KH12-12-6①，过点A的直线与斜边BC不相交时，求证：EF=BE+CF；
（2）如图KH12-12-6②，过点A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，若BE=10，CF=3，求FE的长.
（1）证明：∵BE⊥EA，CF⊥AF，
∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°.
∴∠EAB+∠CAF=90°，∠EBA+∠EAB=90°.
∴∠CAF=∠ABE.
在△ABE和△CAF中，
∴△ABE≌△CAF(AAS).
∴EA=FC，BE=AF. ∴EF=BE+CF.
（2）解：∵BE⊥EA，CF⊥AF，
∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°.
∴∠EAB+∠CAF=90°，∠ABE+∠EAB=90°.
∴∠CAF=∠ABE.
在△BEA和△AFC中，
∴△BEA≌△AFC(AAS).
∴AE=CF=3，BE=AF=10.
∴EF=AF-AE=10-3=7.
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第十二章 全等三角形
第15课时 角的平分线的性质（二）
【A组】
1. 如图KH12-15-1，直线a，b，c表示交叉的公路，现要建一货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的站址有 ( )
A． 一处
B． 两处
C． 三处
D． 四处
D
2. 如图KH12-15-2，若DE⊥AB，DF⊥AC，则对于∠1和∠2的大小关系，下列说法正确的是 ( )
A. 一定相等
B. 一定不相等
C. 当BD=CD时，两者相等
D. 当DE=DF时，两者相等
D
3. 如图KH12-15-3，AB∥CD，点P到AB，BC，CD的距离相等，则点P是________的平分线与________的平分线的交点.
4. 如图KH12-15-4，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE＝DF，若∠DBC＝50°，则∠ABC＝_______.
∠ABC
∠BCD
100°
【B组】
5. 如图KH12-15-5，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BE＝CF. 求证：AD是△ABC的角平分线.
证明：∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠BED=∠CFD=90°.
∵D是BC的中点，
∴BD=CD.
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).
∴DE=DF.
∴AD是△ABC的角平分线.
6. 如图KH12-15-6，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点P，PD⊥AC于点D，PH⊥BA于点H.
（1）若PH=8 cm，求点P到直线BC的距离；
（2）求证：点P在∠HAC的平分线上.
（1）解：作PQ⊥BE于点Q，如答图KH12-15-1.
∵BP平分∠ABC，PH⊥BA,
∴PH=PQ=8，即点P到直线BC的距离为8 cm.
（2）证明：∵PC平分∠ACE，
∴PD=PQ.
∵PH=PQ，∴PD=PH.
又∵PD⊥AC,PH⊥BA,
∴点P在∠HAC的平分线上.
【C组】
7. 如图KH12-15-7，在四边形ABDC中，∠D＝∠B＝90°，O为BD的中点，且AO平分∠BAC. 求证：
(1)CO平分∠ACD；
(2)OA⊥OC；
(3)AB＋CD＝AC.
证明：(1)如答图KH12-15-2，过点O作OE⊥AC于点E.
∵∠B＝90°，AO平分∠BAC，∴OB＝OE.
∵点O为BD的中点，
∴OB＝OD.∴OE＝OD.
又∵∠D＝90°，∠OEC＝90°，
∴CO平分∠ACD.
(2)在Rt△ABO和Rt△AEO中，
∴Rt△ABO≌Rt△AEO(HL).
∴∠AOB＝∠AOE.同理∠COD＝∠COE.
∴∠AOC＝∠AOE＋∠COE＝ ×180°＝90°.
∴OA⊥OC.
(3)∵Rt△ABO≌Rt△AEO，∴AB＝AE.
同理可得CD＝CE.
∵AC＝AE＋CE，∴AB＋CD＝AC.
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第十二章 全等三角形
第14课时 角的平分线的性质（一）
【A组】
1. 如图KH12-14-1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，BC=7，BD=4，则点D到AB的距离是 ( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 7
A
2. 如图KH12-14-2，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，若CD=4，AC=12，AB=15，则△ABC的面积为
( )
A. 24
B. 48
C. 54
D. 108
C
3. 如图KH12-14-3，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是点C，D，下列结论错误的是 ( )
A. PC＝PD
B. OC＝OD
C. ∠CPO＝∠DPO
D. OC＝PC
D
4. 如图KH12-14-4，已知点O为△ABC的两条角平分线的交点，过点O作OD⊥BC于点D，且OD=4. 若△ABC的周长是17，则△ABC的面积为 ( )
A. 34
B. 17
C. 8.5
D. 4
A
【B组】
5. 如图KH12-14-5，在直线MN上求作一点P，使点P到射线OA和OB的距离相等. （要求用尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明过程）
解：如答图KH12-14-1，点P即为所作.
6. 如图KH12-14-6，已知BD为∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD于点M，PN⊥CD于点N.求证：PM=PN.
证明：∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD.
在△ABD和△CBD中，
∴△ABD≌△CBD（SAS）.
∴∠ADB=∠CDB.
∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM=PN.
【C组】
7. 如图KH12-14-7，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.
（1）说明BE=CF的理由；
（2）如果AB=5，AC=3，
求AE，BE的长.
解:（1）如答图KH12-14-2，连接BD，CD.
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°.
∵DG⊥BC且平分BC，易证得BD=CD.
在Rt△BED与Rt△CFD中，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）.∴BE=CF.
（2）在△AED和△AFD中，
∴△AED≌△AFD（AAS）.∴AE=AF.
设BE=x，则CF=x，
∵AB=5，AC=3，AE=AB-BE，AF=AC+CF，
∴5-x=3+x，解得x=1.
∴BE=1，AE=AB-BE=5-1=4.
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第十二章 全等三角形
第11课时 三角形全等的判定（三）
【A组】
1. 如图KH12-11-1，一块三角形的玻璃打碎成了三块，某同学要到玻璃店配一块与此玻璃形状、大小完全一样的玻璃，最省事的办法是带哪一块去 （ ）
A. ①
B. ②
C. ③
D. 不能确定
C
2. 如图KH12-11-2，∠1=∠2，∠3=∠4，则判定△ABD和△ACD全等的依据是 （ ）
A. SSS
B. ASA
C. SAS
D. AAS
B
3. 如图KH12-11-3，AE=AC，若要判断△ABC≌△ADE，则不能添加的条件为 ( )
A. DC=BE
B. AD=AB
C. DE=BC
D. ∠C=∠E
C
4. 如图KH12-11-4，在△ABC和△ADE中，∠CAB=∠EAD，AC=AE.
（1）若添加条件__________，则可得△ABC≌△ADE（SAS）；
（2）若添加条件___________，则可得△ABC≌△ADE（ASA）.
AB＝AD
∠C＝∠E
【B组】
5. 如图KH12-11-5，AC=AE，∠C=∠E，∠1=∠2.求证：△ABC≌△ADE.
证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC.
∴∠BAC=∠DAE.
在△ABC和△ADE中,
∴△ABC≌△ADE（ASA）.
6. 如图KH12-11-6，点D在△ABC外部，点C在DE边上，BC与AD交于点O，若∠1=∠2=∠3，AC=AE. 求证：
（1）△ABC≌△ADE.
（2）∠B=∠D；
证明：（1）∵∠1=∠3，
∴∠1+∠DAC=∠3+∠DAC，
即∠BAC=∠DAE.
∵∠E=180°-∠3-∠ACE，
∠ACB=180°-∠2-∠ACE，
∠2=∠3，
∴∠ACB=∠E.
在△ABC与△ADE中，
∴△ABC≌△ADE（ASA）.
（2）∵△ABC≌△ADE，
∴∠B=∠D.
【C组】
7. 如图KH12-11-7，一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合，过E点作EF⊥AE交∠DCE的角平分线于点F，试探究线段AE与EF的数量关系，并说明理由.
解：AE＝EF.理由如下.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC.
又∵BH=BE,
∴AH=EC.
∵△HBE为等腰直角三角形,
∴∠H=45°.
∵CF平分∠DCE,∴∠FCE=∠H=45°.
∵AD∥BE,∴∠DAE=∠CEA.
∵AE⊥EF, ∠HAD=90°,
∴∠HAD+∠DAE=∠AEF+∠CEA,即∠HAE=∠CEF.
在△HAE和△CEF中，
∴△HAE≌△CEF(ASA).
∴AE＝EF.
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第十二章 全等三角形
第8课时 全等三角形
【A组】
1. 下列说法正确的是 ( )
A. 两个面积相等的图形一定是全等形
B. 两个长方形是全等形
C. 两个全等图形的形状一定相同
D. 两个正方形一定是全等形
C
2. 如图KH12-8-1，若△ABC≌△DEF，且BE=5，CF=2，则BF的长为 ( )
A. 2
B. 3
C. 1.5
D. 5
C
3. 如图KH12-8-2，已知△ABC≌△CDE，其中AB=CD，那么下列结论中，不正确的是 ( )
A. AC=CE
B. ∠BAC=∠ECD
C. ∠ACB=∠ECD
D. ∠B=∠D
C
4. 如图KH12-8-3，Rt△ABC≌Rt△DEF，∠E=55°，则∠A的度数为 ( )
A. 25°
B. 35°
C. 45°
D. 55°
B
5. 若△ABC≌△DEF，且△ABC的周长是100 cm，AB=30 cm，DF=25 cm，则BC的长是 ( )
A. 45 cm
B. 55 cm
C. 30 cm
D. 25 cm
A
【B组】
6. 如图KH12-8-4，在△ABC中，D，E分别是边AC，BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数为 ( )
A. 15°
B. 20°
C. 25°
D. 30°
D
7. 如图KH12-8-5，△ABC≌△ADE，线段BC的延长线过点E，与线段AD交于点F，∠ACB=∠AED=105°，∠CAD=5°，∠B=50°，则∠DEF的度数为_______.
30°
8. 如图KH12-8-6，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，AC与BD交于点F，AB=6，BC=3，∠C=55°，∠D=25°.
（1）求AE的长度；
（2）求∠AED的度数.
解：（1）∵△ABC≌△DEB，
∴BE=BC=3.
∴AE=AB-BE=6-3=3.
（2）∵△ABC≌△DEB，
∴∠A=∠D=25°，∠DBE=∠C=55°.
∴∠AED=∠DBE+∠D=55°+25°=80°.
【C组】
9. 如图KH12-8-7，已知△ABC≌△DBE，点D在AC上，BC与DE交于点P，AD＝DC＝2.4，BC＝4.1.
(1)若∠ABE＝162°，∠DBC＝30°，求∠CBE的度数；
(2)求△DCP与△BPE的周长和.
解：(1)∵∠ABE＝162°，∠DBC＝30°，
∴∠ABD＋∠CBE＝132°.
∵△ABC≌△DBE,
∴∠ABC＝∠DBE.
∴∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC.
∴∠CBE=∠ABD＝132°÷2＝66°.
(2)∵△ABC≌△DBE，∴AC＝DE.
∴DE＝AD＋DC＝4.8，BE＝BC＝4.1.
∴△DCP与△BPE的周长和为
DC＋DP＋CP＋BP＋PE＋BE＝DC＋DE＋BC＋BE＝2.4＋4.8＋4.1+4.1＝15.4.
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第十二章 全等三角形
第13课时 三角形全等的判定（五）
【A组】
1. 下列条件中，不一定能判定两个直角三角形全等的是( )
A. 斜边和一直角边对应相等
B. 两条直角边对应相等
C. 一对锐角和斜边对应相等
D. 一对锐角相等，一组边相等
D
2. 如图KH12-13-1，∠C=∠D=90°,添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等.以下给出的条件合适的是 ( )
A. AC=AD
B. AB=AB
C. ∠ABC=∠ABD
D. ∠BAC=∠BAD
A
3. 如图KH12-13-2，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别是点E，F，若BE=CF，则图中全等三角形有 ( )
A. 1对
B. 2对
C. 3对
D. 4对
C
4. 如图KH12-13-3，AC=BC，AE=CD，AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，AE=7，BD=2，则DE的长是 ( )
A. 7
B. 5
C. 3
D. 2
B
【B组】
5. 如图KH12-13-4，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且BD=CD. 求证：BE=CF.
证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠EAD=∠FAD，∠AED=∠AFD=90°.
又∵AD=AD，
∴△AED≌△AFD（AAS）.
∴DE=DF.
在Rt△BED和Rt△CFD中，
∴△BED≌△CFD（HL）.
∴BE=CF.
6. 如图KH12-13-5，已知BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE，CF相交于点D，BF=CE. 求证：
（1）AD平分∠BAC；
（2）AE=AF.
证明：（1）∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠BFD=∠CED=90°.
在△BFD和△CED中，
∴△BFD≌△CED（AAS）.∴DF=DE.
∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠DFA=∠DEA=90°.
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）.
∴∠DAE=∠DAF.∴AD平分∠BAC.
(2)由（1）知Rt△ADE≌Rt△ADF,∴AE=AF.
【C组】
7. 如图KH12-13-6，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=20，BC=10，PQ=AB，P，Q两点分别在线段AC和过点A且垂直于AC的射线AM上运动，且点P不与点A，C重合，
那么当点P运动到什么位置时，才能
使△ABC与△QPA全等？
解：当P运动到AP=CB时，能使△ABC与△QPA全等.
∵∠C=∠QAP=90°，
在Rt△ABC与Rt△QPA中，
∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）.
∴AP=BC=10.
∴当点P运动到距离点A的距离为10时，△ABC与△QPA全等.
谢 谢
