(共11张PPT)
第十一章 三 角 形
第3课时 三角形的稳定性
目录
01
本课目标
02
课堂演练
通过观察和实地操作得到三角形具有稳定性和四边形没有稳定性的结论，知道稳定性与不稳定性在生产、生活中都有广泛应用.
三角形三条边确定后,三角形的形状和大小就确定不变了,这个性质叫做_____________________.在生活中，我们经常会看见桥梁拉杆、电视塔底座都是三角形结构，这是利用了三角形的__________性.
知识重点
知识点一 三角形的稳定性
三角形的稳定性
稳定
1． 如图11-3-1，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有__________性．
对点范例
稳定
四边形的四条边长确定后,不能确定它的形状,它的各个角的大小也可以改变,这个性质叫做__________________________.在日常生活中，如活动衣架、伸缩尺，拉闸门等都是利用了四边形的__________性.
知识重点
知识点二 四边形的不稳定性
四边形具有不稳定性
不稳定
2. 伸拉铁门能自由伸拉主要是应用了四边形的____________．
对点范例
不稳定性
典例精析
【例1】如图11-3-2，其中具有稳定性的是__________.（填序号）
思路点拨：三角形具有稳定性.
①④⑥
举一反三
1. 下列图形中，具有稳定性的是（ ）
A
【例2】如图11-3-3①,扭动三角形木架，它的形状__________改变;如图11-3-3②,扭动四边形木架，它的形状__________改变；如图11-3-3③,斜钉一根木条的四边形木架的形状________改变.（填“会”或“不会”）
思路点拨：三角形具有稳定性,四边形具有不稳定性.
典例精析
会
不会
不会
2. 如图11-3-4，工人师傅砌门时，为使长方形门框ABCD不变形，常用木条EF将其固定，这种做法的依据是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．长方形具有对称性
C．四边形具有不稳定性
D．三角形具有稳定性
举一反三
D(共18张PPT)
第十一章 三 角 形
第2课时 三角形的高、中线与角平分线
目录
01
本课目标
02
课堂演练
1. 了解三角形的高、中线与角平分线的概念, 会用工具准确画出三角形的高、 中线与角平分线.
2. 了解三角形的三条高所在的直线、 三条中线与三条角平分线分别交于一点.
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的__________.
锐角三角形三条高的交点在三角形的__________部，直角三角形三条高的交点是_______________，钝角三角形三条高__________交点.
知识重点
知识点一 三角形的高
高
内
直角顶点
没有
1. 如图11-2-1，△ABC的边AC上的高是（ ）
A．线段AE
B．线段BA
C．线段BD
D．线段DA
对点范例
C
在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的__________.
三角形的三条中线都在三角形的__________部，并相交于一点，这个交点叫做三角形的__________.
知识重点
知识点二 三角形的中线
中线
内
重心
2. 如图11-2-2，CD是△ABC的中线，若AB=8，则AD的长为__________．
对点范例
4
三角形一个内角的平分线与它的对边相交, 顶点与交点之间的线段叫做三角形的______________.
三角形的三条角平分线都在三角形的__________部，并相交于一点.
知识重点
知识点三 三角形的角平分线
角平分线
内
3. 如图11-2-3，AD为△ABC的角平分线，若∠BAC=100°，则∠DAC的度数为__________.
对点范例
50°
典例精析
【例1】如图11-2-4，在△ACB中,若∠ACB=90°，
CD⊥AB于点D，则AC边上的高是__________，
CD是__________边上的高.
思路点拨：根据定义可知三角形某一边的高，
指的是从这一边所对的顶点向这条边所在的
直线作垂线，顶点和垂足之间的线段就是这
一边的高.
BC
AB
举一反三
1. 如图11-2-5：
（1）在△ABC中，BC边上的高是
__________；
（2）在△AEC中，AE边上的高是
__________；
（3）在△FEC中，EC边上的高是
__________．
AB
CD
FE
【例2】如图11-2-6，已知AD是△ABC的中
线，且△ABD的周长比△ACD的周长多4 cm.
若AB=16 cm，则AC=__________cm.
思路点拨：三角形的中线把三角形分成两
个三角形，这两个三角形的周长差就可以
转换成AB与AC的差.
典例精析
12
2.如图11-2-7，已知AD是△ABC的边BC上的中线. 若△ABC的面积为10，则△ADC的面积为__________.
举一反三
5
【例3】如图11-2-8，AD是△ABC的角平分线，则（ ）
A．∠1= ∠BAC
B．∠1= ∠ABC
C．∠1=∠BAC
D．∠1=∠ABC
思路点拨：根据角平分线的定义即可判断．
典例精析
A
3. 如图11-2-9，在△ABC中，若∠BAD=∠DAE=∠EAF=∠FAC，则_____是△ABC的角平分线( )
A. AD
B. AE
C. AF
D. AC
举一反三
B
【例4】如图11-2-10，在△ABC中，∠1=
∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于点E，
F为AB上一点，CF⊥AD于点H.下列判断正
确的有（ ）
①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD的
边AD上的中线；③CH是△ACD的边AD上的
高；④AH是△ACF的角平分线和高．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
思路点拨：透彻理解三角形的高、中线、角平分线的定义是解题关键，同时要注意三角形的高、中线、角平分线都是线段，且都是顶点和三角形的某条边相交的交点之间的线段．
典例精析
B
4. 下列说法错误的是（ ）
A．锐角三角形的三条高、三条中线、三条角平分线分别交于一点
B．钝角三角形有两条高线三角形外部
C．直角三角形只有一条高
D．任意三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线
举一反三
C
谢 谢(共17张PPT)
第十一章 三 角 形
第6课时 多 边 形
目录
01
本课目标
02
课堂演练
1. 理解多边形的有关概念，认识多边形的边、内角、外角、顶点、对角线.
2. 能区分凹多边形与凸多边形.
3. 认识正多边形，知道正多边形的每条边都相等，每个内角都相等.
在同一平面内,由一些线段_____________相接组成的封闭图形叫做多边形.所连接的线段叫做多边形的__________.多边形相邻的两边所组成的角叫做多边形的__________.多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的__________.
知识重点
知识点一 多边形的有关概念
首尾顺次
边
内角
外角
1. 下列四个图形中，是多边形的为( )
对点范例
C
画出多边形的任何一条边所在的直线,整个多边形都在这条直线的_____________,这样的多边形叫做凸多边形.
知识重点
知识点二 凹多边形的概念
同一侧
2. 下列图形中，不是凸多边形的是( )
对点范例
A
各条边都__________,各个角都__________的多边形叫做正多边形.
知识重点
知识点三 正多边形的概念
相等
相等
3. 下列图形为正多边形的是( )
对点范例
D
典例精析
【例1】如图11-6-1，下列图形是多边形的有__________.（填序号）
思路点拨：利用多边形的概念来解答.
③④
举一反三
1. 下列说法正确的有（ ）
①三角形是边数最少的多边形；②多边形分为凹多边形和凸多边形；③由n条线段连接起来组成的图形叫做多边形；④n边形有n条边、n个顶点、n个内角和n个外角.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
B
【例2】填空：
（1）从四边形的一个顶点出发，可以引__________条对角线，将四边形分成__________个三角形；
（2）从五边形的一个顶点出发，可以引__________条对角线，将五边形分成__________个三角形；
（3）从六边形的一个顶点出发，可以引__________条对角线，将六边形分成__________个三角形；
（4）从n边形的一个顶点出发，可以引__________条对角线，将n边形分成__________个三角形.
思路点拨：抓住规律——从n边形的一个顶点出发，可以引（n-3）条对角线，因为有n个顶点，所以共有n（n-3）条对角线，其中每条对角线都重复一次，所以还要除以2.
1
2
2
3
3
4
（n-3）
（n-2）
2. 我们知道，三角形没有对角线，四边形有2条对角线，五边形共有5条对角线.请问：
（1）六边形共有多少条对角线？七边形呢？
（2）你能通过上面的规律，说出n边形共有多少条对角线吗？
举一反三
解：（1）六边形有9条对角线，七边形有14条对角线.
（2）n边形共有 条对角线．
【例3】下列图形中，是正多边形的为( )
A. 等腰三角形
B. 长方形
C. 正方形
D. 五边都相等的五边形
思路点拨：根据正多边形的概念来解答.
C
3. 下列是正多边形的是（ ）
A.三条边都相等的三角形
B.四个角都是直角的四边形
C.四条边都相等的四边形
D.六条边都相等的六边形
举一反三
A
【例4】举例说明各边相等的多边形不一定是正多边形，请画出图形．
解：菱形各边相等，但不是正多边形．
如答图11-6-1，菱形ABCD的四个角不相等，不是正多边形.
思路点拨：各边相等且各角相等的多边形是正多边形，只有各边相等或只有各角相等的多边形不是正多边形.
4.举例说明各角相等的多边形不一定是正多边形，请画出图形．
举一反三
解：矩形各个角相等，但四边不一定相等，不是正多边形，如答图11-6-2.(共19张PPT)
第十一章 三 角 形
第4课时 三角形的内角
目录
01
本课目标
02
课堂演练
1. 掌握三角形内角和定理，并能运用平行线的性质与平角的定义推出这一定理.
2. 能应用三角形内角和定理解决一些简单的实际问题.
3. 掌握直角三角形的性质与判定.
三角形三个内角的和等于__________.
知识重点
知识点一 三角形内角和定理
180°
1. 如图11-4-1，在△ABC中，若∠A=70°，∠B=50°，则∠C的度数为（ ）
A．60°
B．70°
C．50°
D．80°
对点范例
A
直角三角形的两个锐角__________.
知识重点
知识点二 直角三角形的性质
互余
2. 如图11-4-2，在△ABC中，∠C=90°，则∠B为( )
A. 15°
B.30°
C. 50°
D. 60°
对点范例
D
有两个角互余的三角形是_________________.
知识重点
知识点三 直角三角形的判定
直角三角形
3. 在△ABC中，∠A=40°，∠B=50°，则△ABC是（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
对点范例
B
典例精析
【例1】如图11-4-3，在△ABC中，∠ABC=
∠C=2∠A，BD是∠ABC的平分线，求∠A与
∠ADB的度数．
思路点拨：掌握三角形内角和定理是解题关键.
解：∵在△ABC中，∠ABC=∠C=2∠A，
∴令∠A=x，则∠ABC=∠C=2x.
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴x+2x+2x=180°.解得x=36°.∴∠A=36°，∠ABC=72°．
∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD= ∠ABC=36°.
∴∠ADB=180°-∠A-∠ABD=180°-36°-36°=108°．
举一反三
1. △ABC中，∠B=∠A+10°，∠C=∠B+10°，求△ABC的各内角的度数．
解：∵∠B=∠A+10°，∠C=∠B+10°，
∴∠C=∠A+10°+10°=∠A+20°.
由三角形内角和定理，得∠A+∠B+∠C=180°.
∴∠A+∠A+10°+∠A+20°=180°.
解得∠A=50°.
∴∠B=50°+10°=60°，∠C=50°+20°=70°．
【例2】如图11-4-4，按规定，一块模板中AB，CD的延长线应相交成85°角. 因交点不在板上，不便测量，工人师傅连接AC，测得∠BAC=32°，∠DCA=65°，此时AB，CD的延长线相交所成的角是否符合规定？为什么？
思路点拨：延长AB，CD交于点O，再根据三角形内角和定理求出∠AOC的度数即可.
解：不符合规定.
理由：如答图11-4-1，延长AB，CD交于点O.
∵在△AOC中，∠BAC=32°，∠DCA=65°，
∴∠AOC=180°-∠BAC-∠DCA=180°-32°-
65°=83°.
∵83°≠85°，
∴模板不符合规定.
思路点拨：延长AB，CD交于点O，再根据三角形内角和定理求出∠AOC的度数即可.
2. 如图11-4-5所示是A，B，C三个村庄的平面图，已知B村在A村的南偏西65°15′方向，C村在A村的南偏东15°方向，C村在B村的北偏东85°方向，求从C村观测A，B两村的视角∠ACB的度数．
举一反三
解：由题意，得∠BAC=65°15′+15°=80°15′，∠ABC=85°-65°15′=19°45′．
在△ABC中，
∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°-80°15′-19°45′=80°．
【例3】已知在△ABC中，∠A=∠B-∠C，则△ABC为( )
A. 锐角三角形
B. 钝角三角形
C. 直角三角形
D. 以上都有可能
思路点拨：根据有两个角互余的三角形是直角三角形即可判断.
C
3. 在下列条件中：①∠A+∠B=∠C；②∠A=∠B=2∠C；③∠A=∠B=∠C；④∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，能确定△ABC为直角三角形的条件有( )
A． 1个 B． 2个
C． 3个 D． 4个
举一反三
B
【例4】如图11-4-6，在△ABC中，BE是AC边上的高，DE∥BC，∠ADE=48°，∠C=62°，求∠ABE的度数．
解：∵DE∥BC，∠ADE=48°，
∴∠ABC=∠ADE=48°.
∵BE是AC边上的高，
∴∠BEC=90°.
∵∠C=62°，
∴∠EBC=90-∠C=28°.
∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=48°-28°=20°．
思路点拨：利用平行线的性质和直角三角形的性质即可求得.
4. 如图11-4-7，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是△ABC的一条高线.若∠B=28°,求∠ACD的度数.
举一反三
解：∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°.
∵CD是△ABC的一条高线，
∴∠B+∠BCD=90°.
∴∠ACD=∠B=28°.(共8张PPT)
单元复习课
本章知识梳理
目录
01
课标要求
02
知识导航
1. 理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性．
2. 了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余.
3. 探索并证明三角形内角和定理，掌握该定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．证明三角形的任意两边之和大于第三边．
4. 了解多边形的定义，多边形的顶点、边、内角、外角、对角线等概念；探索并掌握多边形内角和与外角和公式．
课 标 要 求
三 角 形 概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形
三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边 a+b>c;b+c>a；a+c>b; a-b
分类 按角分：直角三角形、锐角三角形、钝角三角形
按边分：三边都不相等的三角形、等腰三角形（底和腰不相等的三角形、等边三角形）
三 角 形 有关 的 线段 高：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高
中线：中线是从三角形中某边的中点连向对角的顶点的线段.三角形的中线分得的两个三角形面积相等.三角形三条中线相交于一点，其交点叫做三角形的重心
角平分线：三角形的一个角的平分线与这个内角的对边相交,连接这个角的顶点和交点的线段叫做三角形的角平分线(也叫三角形的内角平分线).三角形三条角平分线相交于一点
三角形的 稳定性 三角形具有稳定性，四边形没有稳定性
三 角 形 与三角形 有关的角 内角 内角和定理：三角形三个内角的和等于180°
外角 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
直角三角形 性质：直角三角形的两个锐角互余
判定：有两个角互余的三角形是直角三角形
多 边 形 内角 多边形的内角和等于（n-2）×180°
外角 多边形的外角和等于360°
对角线
对角线条数：
正n边形
各个角、各条边都相等.内角： ·180°;外角：
多边形的不稳定性
谢 谢(共17张PPT)
第十一章 三 角 形
第7课时 多边形的内角和
目录
01
本课目标
02
课堂演练
1. 探索并掌握多边形的内角和定理与外角和定理.
2. 能够运用多边形的内角和公式与外角和定理进行相关计算.
n边形内角和等于____________________.
知识重点
知识点一 多边形的内角和定理
(n-2)×180°
1. 如图11-7-1，足球图片中的一块黑色皮块的内角和是
（ ）
A.720°
B.540°
C.360°
D.180°
对点范例
B
任意多边形的外角和都等于__________.
知识重点
知识点二 多边形的外角和定理
360°
2. 正十边形的外角和为( )
A. 180°
B. 360°
C. 720°
D. 1 440°
对点范例
B
典例精析
【例1】已知一个多边形的内角和是1 080°，则这个多边形是( )
A. 五边形 B. 六边形
C. 七边形 D. 八边形
思路点拨：利用多边形内角和定理来解答.
D
举一反三
1. 已知正多边形的一个内角为150°，则该正多边形的边数为（ ）
A.12
B.10
C.8
D.6
A
【例2】如图11-7-2，将六边形纸片ABCDEF沿虚线BGD剪去一个角后，得到∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=460°．
（1）求六边形ABCDEF的内角和；
（2）求∠BGD的度数．
解：（1）六边形ABCDEF的内角和为180°×（6-2）=720°.
（2）∵六边形ABCDEF的内角和为720°，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=460°，
∴∠GBC+∠C+∠CDG=720°-460°=260°.
∴∠BGD=360°-（∠GBC+∠C+∠CDG）= 100°，
即∠BGD的度数是100°．
思路点拨：解题的关键是根据多边形的内角和计算公式求出多边形的内角和．
2. 求如图11-7-3中x的值.
举一反三
解：根据五边形的内角和是
（5-2）×180°=540°，得2x+120+150+x+90=540.
解得x=60.
【例3】已知正多边形的一个外角等于40°，那么这个正多边形的边数为( )
A. 9 B. 8 C. 7 D. 6
思路点拨：根据多边形外角和定理，利用正多边形每个外角都相等解答.
A
3. 如图11-7-4，六角螺母的横截面是正六边形，则∠1的度数为（ ）
A.60°
B.120°
C.45°
D.75°
举一反三
A
【例4】如图11-7-5，某人从点A出发，前进8 m后向右转60°，再前进8 m后又向右转60°，按照这样的方式一直走下去，当他第一次回到出发点A时，共走了( )
A. 24 m
B. 32 m
C. 40 m
D. 48 m
思路点拨：利用多边形的外角和，正多边形的判定与性质. 根据每一个外角的度数相等判断多边形的边数.
D
4. 如图11-7-6①是我国古
代建筑中的一种窗格，其
中冰裂纹图案象征着坚冰
出现裂纹并开始消融，形
状无一定规则，代表一种
自然和谐美. 如图11-7-6②
是从图①冰裂纹窗格图案中
提取的由五条线段组成的图
形，则∠1+∠2+∠3+∠4+
∠5=__________.
举一反三
360°
【例5】一个多边形的每一个内角都相等，并且每个外角都等于和它相邻的内角的一半．
（1）求这个多边形是几边形；
（2）求这个多边形的内角和．
思路点拨：掌握正多边形的定义，熟练利用多边形的内角和与外角和定理进行计算是解题关键.
解：（1）设多边形的每一个内角为x，则每一个外角为 x.
由题意，得x+ x=180°.
解得x=120°， x=60°.
这个多边形的边数为 .∴这个多边形是六边形.
（2）由（1）知该多边形是六边形，
∴内角和为（6-2）×180°=720°.
∴这个多边形的内角和为720°．
5. 回答下列问题：
（1）已知一个正多边形的每个内角比它的每个外角的4倍多30°，求这个多边形的边数；
（2）一个多边形的外角和是内角和的 ，求这个多边形的边数．
举一反三
解：（1）设这个多边形的每个外角是x°，则每个内角是（4x+30）°.
∵x°+（4x+30）°=180°，∴x=30.
∵任何多边形的外角和是360°，
∴多边形的外角个数是360÷30=12，∴这个多边形的边数是12.
（2）设这个多边形的边数为n.
依题意，得 （n-2）×180°=360°.
解得n=9.∴这个多边形的边数为9．(共12张PPT)
专题3 多边形的内角和与外角和
单元复习课
一、多边形的内角和
1. 正九边形的一个内角的度数是( )
A. 108° B. 120°
C. 135° D. 140°
2. 若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是( )
A. 6 B. 12
C. 16 D. 18
D
B
3. （2020眉山）一副三角板如图D11-3-1所示摆放，则∠α与∠β的数量关系为（ ）
A.∠α+∠β=180°
B.∠α+∠β=225°
C.∠α+∠β=270°
D.∠α=∠β
B
4. 如图D11-3-2，分别以四边形ABCD的四个顶点为圆心，R为半径作四个互不相交的圆，则图中阴影部分的面积之和是__________.
πR2
二、多边形的外角和
5. 正十边形的外角和为( )
A. 180°
B. 360°
C. 720°
D. 1 440°
B
6. 如图D11-3-3，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=__________.
180°
三、多边形的内角和与外角和综合
7. 一个多边形的每个内角都相等，且它的每一个外角与相邻内角之比为3∶6，求该多边形的边数．
解：由已知可得，多边形的一个外角为
180°× ＝60°.
∴该多边形的边数为360°÷60°=6.
8. 在一个多边形中，一个内角相邻的外角与其他各内角的和为600°. 如果这个多边形是五边形，请求出这个外角的度数.
解：设这个外角的度数是x°，则
(5－2)×180－(180－x)＋x＝600.
解得x＝120.
故这个外角的度数是120°.
9. 如图D11-3-4，在四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°.
(1)如图D11-3-4①，若∠ABC的平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，试求出∠C的度数；
(2)如图D11-3-4②，若∠ABC和∠BCD的平分线交于点E，试求出∠BEC的度数.
解： (1)∵BE∥AD，
∴∠A＋∠ABE＝180°，即140°＋∠ABE＝180°.
∴∠ABE＝40°.
∴∠ABC＝80°.
∵∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＝360°，
∴∠C＝360°－140°－80°－80°＝60°.
(2)∵∠EBC＝ ∠ABC，∠ECB＝ ∠BCD，
由∠A＋∠ABC＋∠BCD＋∠D＝360°,
得140°＋2∠EBC＋2∠ECB＋80°＝360°.
∴∠EBC＋∠ECB＝70°.
∴∠BEC＝180°-70°=110°.
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第十一章 三 角 形
第1课时 三角形的边
目录
01
本课目标
02
课堂演练
1. 认识三角形，了解三角形的意义，认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形.
2. 掌握三角形按边分与按角分的分类方法.
3. 理解三角形的三边关系，并会利用这个不等关系判断已知的三条线段能否构成三角形和解决有关问题.
由不在____________上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.组成三角形的线段叫做三角形的________，相邻两边所组成的角叫做三角形的__________，简称三角形的_________.
知识重点
知识点一 三角形的有关概念
同一直线
边
内角
角
1. 如图11-1-1，在△ABC中，它的三个内角
分别是_________，_________，_________，
三条边分别是__________，__________，
__________.
对点范例
∠A
∠B
∠C
AB
AC
BC
三角形按三个内角的大小，可分为__________三角形、__________三角形和__________三角形；按边的相等关系分类可分为三边都不相等的三角形和__________三角形，其中__________三角形中相等的两边都叫做腰，另一边叫做__________，两腰的夹角叫做__________，腰和底边的夹角叫做__________，底边和腰都相等的等腰三角形叫做__________三角形.
知识重点
知识点二 三角形的分类
锐角
直角
钝角
等腰
等腰
底边
顶角
底角
等边
2. 下列说法正确的是（ ）
①等腰三角形是等边三角形；②三角形按边分可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；③等腰三角形至少有两边相等；④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．
A．①② B．①③④ C．③④ D．①②④
对点范例
C
三角形两边之和__________第三边；两边之差_________第三边.
知识重点
知识点三 三角形的三边关系
大于
小于
3. 若三角形有两边长分别为2和5，第三边长为整数，则第三边长最长为__________，最短为__________.
对点范例
6
4
典例精析
【例1】如图11-1-2.
（1）图中有__________个三角形;
（2）△CDE的边是______________，
角是__________________；
（3）AD是_____________________的边，
∠C是_________________________的角.
思路点拨：熟练掌握三角形的有关概念是解题关键.数三角形的个数时，要注意不重不漏.
5
CD，CE，DE
∠C，∠CDE，∠DEC
△ADB，△ADE，△ADC
△ABC，△ADC，△DEC
举一反三
1. 如图11-1-3，以BC为边的三角形有
________________________；含∠A的
三角形有______________________；
在△BDC中，CD的对角是__________，
∠DCB的对边是__________.
△BDC,△ABC,△BEC
△ABC,△ABE
∠CBD
BD
【例2】三角形按边分类可以用集合来表示，如图11-1-4，小椭圆里的A表示( )
A. 直角三角形
B. 锐角三角形
C. 钝角三角形
D. 等边三角形
思路点拨：注意等腰三角形包含等边三角形.
典例精析
D
2. 下列关于三角形的分类，不正确的是（整个大方框表示全体三角形）（ ）
举一反三
C
【例3】下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．1，2.5，3.5 B．4，6，10
C．20，11，8 D．5，8，12
思路点拨：根据三角形的两边之和大于第三边，看较短的两边之和是否大于第三边从而判断能否构成三角形.
典例精析
D
3. 下列长度的四根木棒，能与长度分别为1 cm和5 cm的木棒构成三角形的是（ ）
A．3 cm B．5 cm
C．6 cm D．10 cm
举一反三
B
【例4】等腰三角形一边长是6 cm，一边长是8 cm，求这个等腰三角形的周长.
典例精析
解：若6 cm为等腰三角形的腰长，则8 cm为底边的长，符合三角形三边关系，此时等腰三角形的周长为6+6+8=20(cm)；若8 cm为等腰三角形的腰长，则6 cm为底边的长，也符合三角形三边关系，此时等腰三角形的周长为8+6+8=22（cm）,则等腰三角形的周长为20 cm或22 cm.
思路点拨：分类讨论的数学思想. 分两种情况得到的三角形三边，需利用三角形的两边之和大于第三边判定是否能构成三角形.
4. 已知△ABC的三边长为4，9，x．
（1）求△ABC的周长的取值范围；
（2）当△ABC的周长为偶数时，求x的值．
举一反三
解：（1）∵三角形的三边长分别为4，9，x，
∴9-4＜x＜9+4，即5＜x＜13.
∴9+4+5＜△ABC的周长＜9+4+13,
即18＜△ABC的周长＜26.
（2）∵△ABC的周长是偶数，由（1）中结果得△ABC的周长可以是20，22或24，
∴x的值为7，9或11．
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第十一章 三 角 形
第5课时 三角形的外角
目录
01
本课目标
02
课堂演练
1. 理解三角形外角的概念，掌握三角形外角的性质.
2. 能够运用三角形内角和定理及外角的性质解决相关问题.
三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的__________.
知识重点
知识点一 三角形外角的定义
外角
1. 如图11-5-1，∠1，∠2，∠3中是△ABC外角的是( )
A. ∠1，∠2
B. ∠2，∠3
C. ∠1，∠3
D. ∠1，∠2，∠3
对点范例
C
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的________.三角形的一个外角__________任何一个与它不相邻的内角.
知识重点
知识点二 三角形外角的性质
和
大于
2. 如图11-5-2，在△ABC中，∠B=60°，∠A=80°. 延长BC至点D，则∠ACD的大小为( )
A. 140°
B. 150°
C. 160°
D. 170°
对点范例
A
典例精析
如图11-5-3，在△ABC中，∠B=32°，
∠C=48°，AD平分∠BAC，则∠ADC的
度数是（ ）
A．80°
B．82°
C．98°
D．100°
思路点拨：根据三角形的内角和定理和三角形外角的性质即可得到结论．
B
举一反三
1. 如图11-5-4，AB∥CD，∠A=50°，∠C=30°，则∠1的大小为( )
A. 20°
B. 30°
C. 50°
D. 80°
D
【例2】如图11-5-5，请将∠A，∠1，∠2用“＞”排列：____________________.
思路点拨：利用三角形的一个外角大于任
何一个与它不相邻的内角来解答.
∠2＞∠1＞∠A
2. 如图11-5-6，下列说法不正确的是（ ）
A．∠B+∠ACB＜180°
B．∠B+∠ACB=180°-∠A
C．∠B＞∠ACD
D．∠HEC＞∠B
举一反三
C
【例3】如图11-5-7，点D是△ABC的边BC上一点，∠B=∠1，∠ADC=70°，∠C=70°.
（1）求∠B的度数；
（2）求∠BAC的度数.
解：（1）∵∠ADC=∠1+∠B，∠B=∠1，
∴∠B= ∠ADC= ×70°=35°.
（2）∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴∠BAC=180°-35°-70°=75°.
思路点拨：根据三角形内角和定理及三角形外角的性质即可解答.
3. 如图11-5-8，∠BCD=92°,∠A=27°，∠BED=44°. 求：
（1）∠B的度数；
（2）∠BFD的度数.
举一反三
解：（1）∵在△ABC中，
∠BCD=∠A+∠B，∠BCD=92°，∠A=27°，
∴∠B=∠BCD-∠A=92°-27°=65°.
（2）在△BEF中，∠BFD=∠B+∠BED，
∠BED=44°，∠B=65°，
∴∠BFD=44°+65°=109°.
【例4】如图11-5-9，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．
（1）若∠B=30°，∠ACB=40°，求∠E的度数；
（2）求证：∠BAC=∠B+2∠E．
（1）解：∵∠ACB=40°，
∴∠ACD=180°-40=140°.
∵∠B=30°，∴∠EAC=∠B+∠ACB=70°.
∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∴∠ACE=70°.∴∠E=180°-70°-70°=40°.
（2）证明：∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠DCE.
∵∠DCE=∠B+∠E，∴∠ACE=∠B+∠E.
∵∠BAC=∠ACE+∠E，∴∠BAC=∠B+∠E+∠E=∠B+2∠E．
思路点拨：灵活运用三角形外角的性质和三角形内角和定理等理论知识是解题关键.
4. 如图11-5-10，已知在△ABC中，CE是外角∠ACD的平分线，BE是∠ABC的平分线．
（1）求证：∠A=2∠E；
（2）若∠A=∠ABC，求证：AB∥CE．
举一反三
证明：（1）∵∠ACD是△ABC的一个外角，∠2是△BCE的一个外角，
∴∠ACD=∠ABC+∠A，∠2=∠1+∠E.
∴∠A=∠ACD-∠ABC，∠E=∠2-∠1.
∵CE是外角∠ACD的平分线，BE是∠ABC的平分线，
∴∠ACD=2∠2，∠ABC=2∠1.
∴∠A=2∠2-2∠1=2（∠2-∠1）=2∠E.
（2）由（1）可知∠A=2∠E.
∵∠A=∠ABC，∠ABC=2∠4，
∴2∠E=2∠4，即∠E=∠4.
∴AB∥CE．(共22张PPT)
专题2 三角形的内角与外角
单元复习课
一、三角形的内角和定理
1. （2020大连）如图D11-2-1，△ABC中，∠A=60°，∠B=40°，DE∥BC，则∠AED的度数是（ ）
A.50°
B.60°
C.70°
D.80°
D
2. 已知直线l1∥l2，将一块直角三角板ABC（其中∠A是30°，∠C是60°）按如图D11-2-2所示方式放置，若∠1=84°，则∠2等于（ ）
A.56°
B.64°
C.66°
D.76°
C
3. 下列条件中,能判断△ABC为直角三角形的是( )
A. ∠A+∠B=∠C
B. ∠A=∠B=∠C
C. ∠A-∠B=90°
D. ∠A=2∠B=3∠C
4. 如果等腰三角形的一个角是80°，那么顶角是_________________.
A
80°或20°
二、三角形外角的性质
5. （2020湖北）将一副三角尺按如图D11-2-3所示方式摆放，点E在AC上，点D在BC的延长线上，EF∥BC，∠B=∠EDF=90°，∠A=45°，∠F=60°，则∠CED的度数是（ ）
A.15°
B.20°
C.25°
D.30°
A
6. 如图D11-2-4，D，B，C，E四点共线，若∠ABD+∠ACE=230°，则∠A的度数为（ ）
A.50°
B.60°
C.70°
D.80°
A
7. （2020泰州）如图D11-2-5，将分别含有30°，45°角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为65°，则图中角α的度数为__________．
140°
8. 将两张三角形纸片如图D11-2-6所示摆放，量得∠1+∠2+∠3+∠4=220°，则∠5=__________.
40°
三、三角形内角与外角综合
9. 如图D11-2-7，若∠A=27°，∠B=45°，∠C=38°，求∠DFE的度数.
解:∵∠A=27°，∠C=38°，
∴∠AEB=65°.
∵∠B=45°，
∴∠DFE=∠AEB+∠B=110°.
10. 如图D11-2-8，在△ABC中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，求∠AEC的度数.
解：∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，
∴∠EAC= ∠DAC，∠ECA= ∠ACF.
又∵∠B=47°，∠B+∠1+∠2=180°，
∴∠EAC+∠ECA= ∠DAC+ ∠ACF= (∠B+∠2)+ (∠B+∠1)
= (∠B+∠B+∠1+∠2)=113.5°.
∴∠AEC=180°-(∠EAC+∠ECA)=66.5°.
11. 如图D11-2-9，AE为△ABC的角平分线，CD为△ABC的高，∠B=30°，∠ACB=70°．
（1）求∠CAF的度数；
（2）求∠AFC的度数．
解：（1）∵∠B=30°，∠ACB=70°，
∴∠BAC=180°-30°-70°=80°.
又∵AE平分∠BAC，
∴∠CAF= ∠CAB= ×80°=40°.
（2）∵CD为△ABC的高，∠CAD=80°，
∴在Rt△ACD中，∠ACF=90°-80°=10°.
∴∠AFC=180°-∠ACF-∠CAF=180°-10°-40°=130°．
12. （1）探究：如图D11-2-10①，求证：∠BOC=∠A+∠B+∠C.
（2）应用：如图D11-2-10②，∠ABC=100°，∠DEF=130°，求∠A+∠C+∠D+∠F的度数．
（1）证明：连接OA，如答图D11-2-1.
∵∠3是△ABO的外角，
∴∠1+∠B=∠3.①
∵∠4是△AOC的外角，
∴∠2+∠C=∠4.②
①+②，得∠1+∠B+∠2+∠C=∠3+∠4，
即∠BOC=∠A+∠B+∠C.
（2）解：连接AD，如答图D11-2-2.
同（1）可得∠F+∠2+∠3=∠DEF,③
∠1+∠4+∠C=∠ABC.④
③+④，得∠F+∠2+∠3+∠1+∠4+∠C=
∠DEF+∠ABC=130°+100°=230°，
即∠A+∠C+∠D+∠F=230°．
13. 小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究：
【习题回顾】已知：如图D11-2-11①，在△ABC中，∠ACB=90°，AE是角平分线，CD是高，AE，CD相交于点F．求证：∠CFE=∠CEF；
【变式思考】如图D11-2-11②，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，若△ABC的外角∠BAG的平分线交CD的延长线于点F，其反向延长线与BC边的延长线交于点E，则∠CFE与∠CEF还相等吗？说明理由；
【探究延伸】如图D11-2-11③，在△ABC中，在AB上存在一点D，使得∠ACD=∠B，角平分线AE交CD于点F．△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M．试判断∠M与∠CFE的数量关系，并说明理由．
【习题回顾】 证明：∵∠ACB=90°，CD是高，
∴∠B+∠CAB=90°，∠ACD+∠CAB=90°.
∴∠B=∠ACD.
∵AE是角平分线，
∴∠CAF=∠DAF.
∵∠CFE=∠CAF+∠ACD，∠CEF=∠DAF+∠B，
∴∠CFE=∠CEF.
【变式思考】解：∠CFE=∠CEF.
理由：∵AF为∠BAG的平分线，
∴∠GAF=∠DAF.
∵CD为AB边上的高，∠ACB=90°，
∴∠ADF=∠ACE=90°.
又∵∠GAF=∠CAE，
∴∠CFE=∠CEF.
【探究延伸】解：∠M+∠CFE=90°.
理由：∵C，A，G三点共线，AE，AN为角平分线，
∴∠EAB=∠EAC= ∠CAB,∠NAB=∠MAG= ∠BAG.
∴∠EAN=∠EAB+∠NAB= ∠CAB+ ∠BAG=90°.
又∵M,A,N三点共线，
∴∠MAE=90°.∴∠M+∠CEF=90°.
∵∠CEF=∠EAB+∠B，∠CFE=∠EAC+∠ACD，∠ACD=∠B，
∴∠CEF=∠CFE.∴∠M+∠CFE=90°．
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专题1 三角形的三边关系、高、中线与角平分线
单元复习课
一、三角形的三边关系
1. 已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为( )
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
2. 已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a+b-c|-|c-a-b|的结果为（ ）
A.2a+2b-2c B.2a+2b
C.2c D.0
C
D
3. 已知a，b，c分别为△ABC的三边，且满足a+b=3c-2，a-b=2c-6．
（1）求c的取值范围；
（2）若△ABC的周长为12，求c的值．
解：（1）∵a，b，c分别为△ABC的三边，a+b=3c-2，a-b=2c-6，
∴ 解得2＜c＜6．
故c的取值范围为2＜c＜6.
（2）∵△ABC的周长为12，a+b=3c-2，∴a+b+c=4c-2=12.
解得c=3.5．
故c的值是3.5．
二、三角形的高、中线与角平分线
4. 如图D11-1-1，∠1=∠2，∠3=∠4，
则下列结论正确的有( )
①AD平分∠BAF；②AF平分∠BAC；
③AE平分∠DAF；④AF平分∠DAC；⑤AE平分∠BAC.
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
B
5. 如图D11-1-2，△ABC的BC边上的高是（ ）
A.BE
B.AF
C.CD
D.CF
B
6. 如图D11-1-3，在△ABC中有四条线段DE，BE，GE，FG，其中有一条线段是△ABC的中线，则该线段是
（ ）
A. 线段DE
B. 线段BE
C. 线段GE
D. 线段FG
B
7. 如图D11-1-4，点D在∠AOB的平分线OC上，点E在OA上，ED∥OB，∠1=25°，则∠AED的度数为__________.
50°
8. 如图D11-1-5，在△ABC中，CF，BE分别是AB，AC边上的中线.若AE＝2，AF＝3，且△ABC的周长为15，求BC的长.
解：∵CF，BE分别是AB，AC边上的中线，
AE=2，AF=3，
∴AB=2AF=2×3=6，AC=2AE=2×2=4.
∵△ABC的周长为15，
∴BC=15-6-4=5.
9. 如图D11-1-6，在△ABC中，AB=10 cm，AC=6 cm，D是BC的中点，点E在边AB上，△BDE与四边形ACDE的周长相等．
（1）求线段AE的长;
解：（1）∵△BDE与四边形ACDE的周长相等，
∴BD+DE+BE=AC+AE+CD+DE.
∵D是BC的中点，∴BD=DC.
∴BE=AE+AC.
设AE=x cm，则BE=（10-x）cm.
由题意，得10-x=x+6．
解得x=2.
∴AE=2 cm.
（2）图中共有8条线段，
它们的和为AE+EB+AB+AC+DE+BD+CD+BC=2AB+AC+2BC+DE.
由题意，得2AB+AC+2BC+DE=54.
∴2BC+DE=54-（2AB+AC）=54-（2×10+6）=28.
∴BC+ DE=14（cm）．
（2）若图中所有线段长度的和是54 cm，求BC+ DE的值．
谢 谢