初中数学北师大版八年级上学期 第七章 7.2定义与命题
一、单选题
1．（2020·雅安）下列四个选项中不是命题的是（ ）
A．对顶角相等
B．过直线外一点作直线的平行线
C．三角形任意两边之和大于第三边
D．如果 ，那么
【答案】B
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】解：由题意可知，
A、对顶角相等，是命题；
B、过直线外一点作直线的平行线，是一个动作，不是命题；
C、三角形任意两边之和大于第三边，是命题；
D、如果 ，那么 ，是命题；
故答案为：B．
【分析】判断一件事情的语句，叫做命题．根据定义判断即可．
2．（2020·昆明）下列判断正确的是（ ）
A．北斗系统第五十五颗导航卫星发射前的零件检查，应选择抽样调查
B．一组数据6，5，8，7，9的中位数是8
C．甲、乙两组学生身高的方差分别为S甲2＝2.3，S乙2＝1.8.则甲组学生的身高较整齐
D．命题“既是矩形又是菱形的四边形是正方形”是真命题
【答案】D
【知识点】正方形的判定；全面调查与抽样调查；中位数；方差；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A.北斗系统第五十五颗导航卫星发射前的零件检查，应选择全面调查，所以A选项错误；
B.一组数据6，5，8，7，9的中位数是7，所以B选项错误；
C.甲、乙两组学生身高的方差分别为S甲2＝2.3，S乙2＝1.8.则乙组学生的身高较整齐，所以C选项错误；
D.命题“既是矩形又是菱形的四边形是正方形”是真命题，所以D选项正确.
故答案为：D.
【分析】抽样调查适合对调查的过程具有破坏性及危害性，调查的过程工作量不太大，对调查的结果要求不那么精准的调查，反之适合全面调查；将一组数据按从小到大排列后，排最中间位置的一个数或两个数的平均数就是这组数据的中位数；方差越大数据的波动越大，成绩越不稳定；根据正方形的判断方法可知：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，从而即可一一判断得出答案.
3．（2020七下·江都期末）下列关于命题“若 ，则 ”的说法，正确的是（ ）
A．是真命题
B．是假命题，反例是“ ”
C．是假命题，反例是“ ”
D．是假命题，反例是“ ”
【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】A.当 时，满足 ，但-1﹤0，所以为假命题，此选项错题；
B.当 ， ，不满足 ，此选项错误；
C. 当 时，满足 ，但-2﹤1，假命题，此选项正确；
D. 当 时， ，不满足 ，此选项错误，
故答案为：C.
【分析】根据真假命题的定义判断，分清条件和结论，若为假命题，举反例时要满足：条件 成立，但结论 不成立.
4．（2020七下·秦淮期末）下列命题：①同旁内角互补，两直线平行；②两个锐角互余的三角形是直角三角形；③如果一个角的两边与另一个角的两边互相平行，那么这两个角相等，其中真命题的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的判定；平行线的性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：①同旁内角互补，两直线平行，正确，是真命题；
②两个锐角互余的三角形是直角三角形，正确，是真命题；
③如果一个角的两边与另一个角的两边互相平行，那么这两个角相等，错误，应为相等或互补，是假命题；
真命题的序号是①②.
故答案为：A.
【分析】根据平行线的性质、直角三角形的判定等知识进行判断后即可确定正确的选项.
5．（2020七下·肇庆月考）下列语句中，是命题的是（ ）
①若∠1＝60°，∠2＝60°，则∠1＝∠2；②同位角相等吗？③画线段AB＝CD；④如果a>b，b>c，那么a>c；⑤直角都相等．
A．①④⑤ B．①②④ C．①②⑤ D．②③④⑤
【答案】A
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】解：①若∠1＝60°，∠2＝60°，则∠1＝∠2，是命题，故①符合题意；
②对顶角相等吗？不是命题，故②不符合题意；
③画线段AB＝CD，不是命题，故③不符合题意；
④如果a＞b，b＞c，那么a＞c，是命题，故④符合题意；
⑤直角都相等，是命题，故⑤符合题意．
故答案为：A．
【分析】 可以判断真假的陈述句叫做命题，判断命题主要有两点：①能判断真假；②是陈述句.
6．（2020九下·重庆月考）下列命题正确的是（ ）
A． 有意义的 取值范围是 .
B．一组数据的方差越大，这组数据波动性越大.
C．若 ，则 的补角为 .
D．布袋中有除颜色以外完全相同的 个黄球和 个白球，从布袋中随机摸出一个球是白球的概率为
【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件；余角、补角及其性质；方差；概率的简单应用；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A. 有意义的 取值范围是 ，A命题错误；
B.一组数据的方差越大，这组数据波动性越大，命题正确；
C.若 ，则 的补角为 ，C命题错误；
D.布袋中有除颜色以外完全相同的 个黄球和 个白球，从布袋中随机摸出一个球是白球的概率为 ，D命题错误；
故答案为B.
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件“被开方式非负”可得关于x的不等式，解这个不等式即可求解；
（2）根据方差越大波动越大即可求解；
（3）根据和为180°的两个角互补可求解；
（4）根据概率公式可求解.
二、填空题
7．（2020七下·武汉期中）有下列命题：①无理数是无限不循环小数；②平方根与立方根相等的数有1和0；③若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；④邻补角是互补的角；⑤无理数包括正无理数、零、负无理数.其中正确的有 个.
【答案】2
【知识点】立方根及开立方；无理数的概念；邻补角；定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】解：①无理数是无限不循环小数，本说法正确；
②平方根与立方根相等的数是0，本说法错误；
③若a⊥b，b⊥c，则 ，本说法错误；
④邻补角是互补的角，本说法正确；
⑤无理数包括正无理数、负无理数，本说法错误；
故答案为：2.
【分析】根据无理数、平方根和立方根的概念、两直线的位置关系、邻补角的概念分别判断后即可得到答案.
8．（2019八上·萧山期中）命题“对应角相等的三角形是全等三角形”是 命题（填“真”或者“假”）.
【答案】假
【知识点】三角形全等的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】对应角相等的三角形是相似三角形，不一定全等，故答案为：假.
【分析】判断这句话正确还是错误即可得出答案.
三、综合题
9．（2020七下·高新期末）如图，①AB CD，②BE平分∠ABD，③∠1+∠2=90°，④DE平分∠BDC.
（1）请以其中三个为条件，第四个为结论，写出一个命题；
（2）判断这个命题是否为真命题，并说明理由.
【答案】（1）解：由题意可得：条件②③④，结论：①；条件①③④，结论：②；条件①②④，结论：③；条件①②③，结论：④.
（2）解：当选取条件②③④，结论：①时
∵BE平分∠ABD，DE平分∠BDC
∴∠ABE=∠1，∠CDE=∠2
又∵∠1+∠2=90°
∴∠ABE+∠CDE+∠1+∠2=180°
∴AB CD
当选取条件①③④，结论：②时
∵AB CD
∴∠ABE+∠CDE+∠1+∠2=180°
∵∠1+∠2=90°
∴∠ABE+∠CDE=90°
又∵DE平分∠BDC
∴∠CDE=∠2
∴∠ABE+∠2=90°
∴∠ABE=∠1
∴BE平分∠ABD
当选取条件①②④，结论：③时
∵BE平分∠ABD，DE平分∠BDC
∴∠ABE=∠1，∠CDE=∠2
∵AB CD
∴∠ABE+∠CDE+∠1+∠2=180°
∴2∠1+2∠2=180°
∴∠1+∠2=90°
当选取条件①②③，结论：④时
∵AB CD
∴∠ABE+∠CDE+∠1+∠2=180°
∵∠1+∠2=90°
∴∠ABE+∠CDE=90°
又∵BE平分∠ABD
∴∠ABE=∠1
∴∠1+∠CDE=90°
∴∠CDE=∠2
∴DE平分∠BDC
【知识点】平行线的判定与性质；定义、命题、定理、推论的概念；真命题与假命题
【解析】【分析】（1）根据题意可得出有四种情况，分别为：条件②③④，结论：①；条件①③④，结论：②；条件①②④，结论：③；条件①②③，结论：④.（2）条件为②③④时，可通过内错角互补证出结论①成立，故为真命题；条件为①③④，①②④和①②③时，可通过两条直线平行，内错角互补等量代换证出相应结论成立，故都为真命题.
10．（2020八下·无棣期末）定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
（1）写出这个定理的逆命题；
（2）判断逆命题的真假并说明你的理由．
【答案】（1）解：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的逆命题为：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形
（2）真命题.证明如下：
已知：如图，在△ABC中，点D是AB的中点，连接CD，且CD＝ AB．
求证：△ABC是直角三角形．
证明：∵点D是AB的中点∴AD＝BD
∵CD＝ AB，
∴AD＝BD＝CD，
∴∠DAC＝∠ACD，∠DCB＝∠DBC
∵∠DAC+∠ACD+∠DCB+∠DBC＝180°
∴∠ACD+∠DCB＝90°，即∠ACB＝90°
∴△ABC是直角三角形．
【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线；逆命题
【解析】【分析】（1）写出逆命题即可；（2）根据直角三角形的判定解答即可．
1 / 1初中数学北师大版八年级上学期 第七章 7.2定义与命题
一、单选题
1．（2020·雅安）下列四个选项中不是命题的是（ ）
A．对顶角相等
B．过直线外一点作直线的平行线
C．三角形任意两边之和大于第三边
D．如果 ，那么
2．（2020·昆明）下列判断正确的是（ ）
A．北斗系统第五十五颗导航卫星发射前的零件检查，应选择抽样调查
B．一组数据6，5，8，7，9的中位数是8
C．甲、乙两组学生身高的方差分别为S甲2＝2.3，S乙2＝1.8.则甲组学生的身高较整齐
D．命题“既是矩形又是菱形的四边形是正方形”是真命题
3．（2020七下·江都期末）下列关于命题“若 ，则 ”的说法，正确的是（ ）
A．是真命题
B．是假命题，反例是“ ”
C．是假命题，反例是“ ”
D．是假命题，反例是“ ”
4．（2020七下·秦淮期末）下列命题：①同旁内角互补，两直线平行；②两个锐角互余的三角形是直角三角形；③如果一个角的两边与另一个角的两边互相平行，那么这两个角相等，其中真命题的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
5．（2020七下·肇庆月考）下列语句中，是命题的是（ ）
①若∠1＝60°，∠2＝60°，则∠1＝∠2；②同位角相等吗？③画线段AB＝CD；④如果a>b，b>c，那么a>c；⑤直角都相等．
A．①④⑤ B．①②④ C．①②⑤ D．②③④⑤
6．（2020九下·重庆月考）下列命题正确的是（ ）
A． 有意义的 取值范围是 .
B．一组数据的方差越大，这组数据波动性越大.
C．若 ，则 的补角为 .
D．布袋中有除颜色以外完全相同的 个黄球和 个白球，从布袋中随机摸出一个球是白球的概率为
二、填空题
7．（2020七下·武汉期中）有下列命题：①无理数是无限不循环小数；②平方根与立方根相等的数有1和0；③若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；④邻补角是互补的角；⑤无理数包括正无理数、零、负无理数.其中正确的有 个.
8．（2019八上·萧山期中）命题“对应角相等的三角形是全等三角形”是 命题（填“真”或者“假”）.
三、综合题
9．（2020七下·高新期末）如图，①AB CD，②BE平分∠ABD，③∠1+∠2=90°，④DE平分∠BDC.
（1）请以其中三个为条件，第四个为结论，写出一个命题；
（2）判断这个命题是否为真命题，并说明理由.
10．（2020八下·无棣期末）定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
（1）写出这个定理的逆命题；
（2）判断逆命题的真假并说明你的理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】解：由题意可知，
A、对顶角相等，是命题；
B、过直线外一点作直线的平行线，是一个动作，不是命题；
C、三角形任意两边之和大于第三边，是命题；
D、如果 ，那么 ，是命题；
故答案为：B．
【分析】判断一件事情的语句，叫做命题．根据定义判断即可．
2．【答案】D
【知识点】正方形的判定；全面调查与抽样调查；中位数；方差；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A.北斗系统第五十五颗导航卫星发射前的零件检查，应选择全面调查，所以A选项错误；
B.一组数据6，5，8，7，9的中位数是7，所以B选项错误；
C.甲、乙两组学生身高的方差分别为S甲2＝2.3，S乙2＝1.8.则乙组学生的身高较整齐，所以C选项错误；
D.命题“既是矩形又是菱形的四边形是正方形”是真命题，所以D选项正确.
故答案为：D.
【分析】抽样调查适合对调查的过程具有破坏性及危害性，调查的过程工作量不太大，对调查的结果要求不那么精准的调查，反之适合全面调查；将一组数据按从小到大排列后，排最中间位置的一个数或两个数的平均数就是这组数据的中位数；方差越大数据的波动越大，成绩越不稳定；根据正方形的判断方法可知：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，从而即可一一判断得出答案.
3．【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】A.当 时，满足 ，但-1﹤0，所以为假命题，此选项错题；
B.当 ， ，不满足 ，此选项错误；
C. 当 时，满足 ，但-2﹤1，假命题，此选项正确；
D. 当 时， ，不满足 ，此选项错误，
故答案为：C.
【分析】根据真假命题的定义判断，分清条件和结论，若为假命题，举反例时要满足：条件 成立，但结论 不成立.
4．【答案】A
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的判定；平行线的性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：①同旁内角互补，两直线平行，正确，是真命题；
②两个锐角互余的三角形是直角三角形，正确，是真命题；
③如果一个角的两边与另一个角的两边互相平行，那么这两个角相等，错误，应为相等或互补，是假命题；
真命题的序号是①②.
故答案为：A.
【分析】根据平行线的性质、直角三角形的判定等知识进行判断后即可确定正确的选项.
5．【答案】A
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】解：①若∠1＝60°，∠2＝60°，则∠1＝∠2，是命题，故①符合题意；
②对顶角相等吗？不是命题，故②不符合题意；
③画线段AB＝CD，不是命题，故③不符合题意；
④如果a＞b，b＞c，那么a＞c，是命题，故④符合题意；
⑤直角都相等，是命题，故⑤符合题意．
故答案为：A．
【分析】 可以判断真假的陈述句叫做命题，判断命题主要有两点：①能判断真假；②是陈述句.
6．【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件；余角、补角及其性质；方差；概率的简单应用；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A. 有意义的 取值范围是 ，A命题错误；
B.一组数据的方差越大，这组数据波动性越大，命题正确；
C.若 ，则 的补角为 ，C命题错误；
D.布袋中有除颜色以外完全相同的 个黄球和 个白球，从布袋中随机摸出一个球是白球的概率为 ，D命题错误；
故答案为B.
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件“被开方式非负”可得关于x的不等式，解这个不等式即可求解；
（2）根据方差越大波动越大即可求解；
（3）根据和为180°的两个角互补可求解；
（4）根据概率公式可求解.
7．【答案】2
【知识点】立方根及开立方；无理数的概念；邻补角；定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】解：①无理数是无限不循环小数，本说法正确；
②平方根与立方根相等的数是0，本说法错误；
③若a⊥b，b⊥c，则 ，本说法错误；
④邻补角是互补的角，本说法正确；
⑤无理数包括正无理数、负无理数，本说法错误；
故答案为：2.
【分析】根据无理数、平方根和立方根的概念、两直线的位置关系、邻补角的概念分别判断后即可得到答案.
8．【答案】假
【知识点】三角形全等的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】对应角相等的三角形是相似三角形，不一定全等，故答案为：假.
【分析】判断这句话正确还是错误即可得出答案.
9．【答案】（1）解：由题意可得：条件②③④，结论：①；条件①③④，结论：②；条件①②④，结论：③；条件①②③，结论：④.
（2）解：当选取条件②③④，结论：①时
∵BE平分∠ABD，DE平分∠BDC
∴∠ABE=∠1，∠CDE=∠2
又∵∠1+∠2=90°
∴∠ABE+∠CDE+∠1+∠2=180°
∴AB CD
当选取条件①③④，结论：②时
∵AB CD
∴∠ABE+∠CDE+∠1+∠2=180°
∵∠1+∠2=90°
∴∠ABE+∠CDE=90°
又∵DE平分∠BDC
∴∠CDE=∠2
∴∠ABE+∠2=90°
∴∠ABE=∠1
∴BE平分∠ABD
当选取条件①②④，结论：③时
∵BE平分∠ABD，DE平分∠BDC
∴∠ABE=∠1，∠CDE=∠2
∵AB CD
∴∠ABE+∠CDE+∠1+∠2=180°
∴2∠1+2∠2=180°
∴∠1+∠2=90°
当选取条件①②③，结论：④时
∵AB CD
∴∠ABE+∠CDE+∠1+∠2=180°
∵∠1+∠2=90°
∴∠ABE+∠CDE=90°
又∵BE平分∠ABD
∴∠ABE=∠1
∴∠1+∠CDE=90°
∴∠CDE=∠2
∴DE平分∠BDC
【知识点】平行线的判定与性质；定义、命题、定理、推论的概念；真命题与假命题
【解析】【分析】（1）根据题意可得出有四种情况，分别为：条件②③④，结论：①；条件①③④，结论：②；条件①②④，结论：③；条件①②③，结论：④.（2）条件为②③④时，可通过内错角互补证出结论①成立，故为真命题；条件为①③④，①②④和①②③时，可通过两条直线平行，内错角互补等量代换证出相应结论成立，故都为真命题.
10．【答案】（1）解：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的逆命题为：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形
（2）真命题.证明如下：
已知：如图，在△ABC中，点D是AB的中点，连接CD，且CD＝ AB．
求证：△ABC是直角三角形．
证明：∵点D是AB的中点∴AD＝BD
∵CD＝ AB，
∴AD＝BD＝CD，
∴∠DAC＝∠ACD，∠DCB＝∠DBC
∵∠DAC+∠ACD+∠DCB+∠DBC＝180°
∴∠ACD+∠DCB＝90°，即∠ACB＝90°
∴△ABC是直角三角形．
【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线；逆命题
【解析】【分析】（1）写出逆命题即可；（2）根据直角三角形的判定解答即可．
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