初中数学苏科版八年级下册9.4 正方形的性质和判定 同步训练

初中数学苏科版八年级下册9.4 正方形的性质和判定 同步训练
一、单选题
1．（2020八下·余干期末）以下命题中正确的是（　　）
A．对角线相等的平行四边形是正方形
B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
C．对角线相等且互相平分的四边形是正方形
D．对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形
【答案】D
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】A、对角线相等的平行四边形是矩形，故不符合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故不符合题意；
C、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故不符合题意；
D、对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，符合题意，
故答案为：D．
【分析】利用正方形的判定方法判断后即可确定正确的选项．
2．（2020八下·福州期中）如图，正方形ABCD的面积为8，菱形AECF的面积为4，则EF的长是（　　）
A．4 B． C．2 D．1
【答案】C
【知识点】菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：连接AC，如下图所示：
∵正方形ABCD的面积为8
∴AD=
∴在Rt△ACD中，由勾股定理知：
，
∵菱形AECF的面积为4，
∴ ×EF×AC=4，代入AC=4，
故求得EF=2.
故答案选：C．
【分析】连接AC，由正方形ABCD的面积求出AC的长，再由菱形的面积等于对角线乘积的一半求出EF的长即可.
3．（2020八上·武汉月考）边长分别为2和4的两个正方形按如图的样式摆放并连线，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．12
【答案】B
【知识点】正方形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，
∵BC=4，CE=2，
∴BE=2，
∴BE= BC，
∵边长分别为2和4的两个正方形按如图的样式摆放并连线，
∴ER//CQ，
∴ER为△BCQ的中位线，
∴ER= CQ=1，
∴S阴影=S△ABQ-S△BER= AB·BC- BE·ER= ×4×4- ×2×1=7，
故答案为：B.
【分析】如图，根据两个正方形的边长及正方形的性质可得ER为△BCQ的中位线，即可得出ER的长，根据S阴影=S△ABQ-S△BER计算即可得答案.
4．（2020八上·长安月考）如图，正方形 的边长为 ， ， ，连接 ，则线段 的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；勾股定理的逆定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，延长 交 于点 ，
， ， ，
，
和 是直角三角形，
在 和 中，
，
，
， ，
， ，
又 ， ，
， ，
在 和 中，
，
，
， ， ，
，
同理可得 ，
在 中， ，
故答案为：B.
【分析】延长BG交CH于点E，根据正方形的性质证明△ABG≌△CDH≌△BCE，可得GE=BE-BG=2、HE=CH-CE=2、∠HEG=90°，由勾股定理可得GH的长.
5．（2019八下·马鞍山期末）如图，在正方形ABCD中，BD=2，∠DCE是正方形ABCD的外角，P是∠DCE的角平分线CF上任意一点，则△PBD的面积等于（　　）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
【答案】A
【知识点】三角形的面积；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：过C点作CG⊥BD于G，
∵CF是∠DCE的平分线，
∴∠FCE=45°，
∵∠DBC=45°，
∴CF∥BD，
∴CG等于△PBD的高，
∵BD=2，
∴CG=1，
△PBD的面积等于=1．
故答案为：A．
【分析】由于BD∥CF，以BD为底边，以BD边对应的高为边长计算三角形的面积即可．
6．（2020八下·景县期中）正方形ABCD的边AB上有一动点E，以EC为边作矩形ECFG，且边FC过点D，在点E从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积（　　）
A．先变大后变小 B．先变小后变大
C．一直变大 D．保持不变
【答案】D
【知识点】矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】连接DE，
∵S△CDE=S四边形CEGF，S△CDE=S正方形ABCD，
∴S四边形CEGF=S正方形ABCD，
故答案为：D.
【分析】根据正方形及矩形的性质可得S△CDE=S四边形CEGF，S△CDE=S正方形ABCD，从而可得S四边形CEGF=S正方形ABCD，据此判断即可.
7．（2020八下·铜仁期末）如图，正方形 和正方形 中，点D在 上， ， ，H是 的中点，那么 的长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AC、CF，
在正方形ABCD和正方形CEFG中，AC＝ BC＝2 ，CF＝ CE＝6 ，
∠ACD＝∠GCF＝45°，
所以，∠ACF＝45°+45°＝90°，
所以，△ACF是直角三角形，
由勾股定理得，AF＝ ＝4 ，
∵H是AF的中点，
∴CH＝ AF＝ ×4 ＝2 .
故答案为：B.
【分析】连接AC、CF，根据正方形的性质求出AC、CF，并判断出△ACF是直角三角形，再利用勾股定理列式求出AF，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求解.
8．（2020八下·南召期末）如图，在平面直角坐标系中有一边长为 的正方形 ，边 ， 分别在 轴、 轴上，如果以对角线 为边作第二个正方形 ，再以对角线 为边作第三个正方形 ，照此规律作下去，则点 的坐标为（　　）
　
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；正方形的性质；探索图形规律
【解析】【解答】解： ∵正方形OABC边长为1，
∴OB=，
∴OB1=2，
∴B1点坐标为（0，2），
同理可知B2点坐标为（-2，2），B3点坐标为（-4，0），
B4点坐标为（-4，-4），B5点坐标为（0，-8），
B6点坐标为（8，-8），B7点坐标为（16，0）
B8点坐标为（16，16），B9点坐标为（0，32），
由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，
∵2020÷8=252…4，
∴B2020的纵横坐标符号与点B4的相同，纵横坐标都是负值，
∴B2012的坐标为（-21010，-21010）．
故答案为：D.
【分析】分别求出B1，B2，B3，B4，B5，B6，B7，B8点坐标，由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，可得B2020的纵横坐标符号与点B4的相同，纵横坐标都是负值，即可求解.
9．（2021八上·曾都期末）在正方形ABCD中，点E为BC边的中点，点 与点B关于AE对称， 与AE交于点F，连接 ， ， 下列结论： ； 为等腰直角三角形； ； 其中正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定；正方形的性质；反证法；轴对称的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解： 点 与点B关于AE对称，
与 关于AE对称，
，
，
故 正确； 如图，连接 .
则 ，
，
.
则 ，
即 为直角三角形.
为 的中位线，
，
∽ ，
，
即 ，
故FB .
.
为等腰直角三角形.
故 正确. 设 度，
度，
则在四边形 中， ，
即 度.
又 ，
.
故 正确. 假设 成立，
则 ，
，
为等边三角形，
故B ，与 矛盾，
故 错误.
故答案为：B.
【分析】 根据轴对称图形的性质，可知 与 关于AE对称，即得 ； 连接 ，根据E为BC的中点和线段垂直平分线的性质，求出 为直角三角形； 假设 成立，则可计算出 ，推知 为等边三角形， ，与 矛盾； 根据 ， ，结合周角定义，求出 的度数.
10．（2019八下·东至期末）如图，在正方形ABCD中，AC、BD相交于点O，E、F分别为BC、CD上的两点，BE＝CF，AE、BF分别交BD、AC于M、N两点，连OE、OF．下列结论：①AE＝BF；②AE⊥BF；③CE+CF＝BD；④S四边形OECF＝ S正方形ABCD，其中正确的是（ ）
A．①② B．①④ C．①②④ D．①②③④
【答案】C
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，
在△ABE和△BCF中，
∵ ，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴AE=BF，
故①符合题意；
②由①知：△ABE≌△BCF，
∴∠FBC=∠BAE，
∴∠FBC+∠ABF=∠BAE+∠ABF=90°，
∴AE⊥BF，
故②符合题意；
③∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠BCD=90°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BD= BC，
∴CE+CF=CE+BE= = BC，
故③不符合题意；
④∵四边形ABCD是正方形，
∴OB=OC，∠OBE=∠OCF=45°，
在△OBE和△OCF中，
∵ ，
∴△OBE≌△OCF（SAS），
∴S△OBE=S△OCF，
∴S四边形OECF=S△COE+S△OCF=S△COE+S△OBE=S△OBC= S正方形ABCD，
故④符合题意；
故答案为：C．
【分析】①易证得△ABE≌△BCF（ASA），则可证得结论①符合题意；②由△ABE≌△BCF，可得∠FBC=∠BAE，证得AE⊥BF，选项②符合题意；③证明△BCD是等腰直角三角形，求得选项③不符合题意；④证明△OBE≌△OCF，根据正方形被对角线将面积四等分，即可得出选项④符合题意．
二、填空题
11．（2020八下·曲阜期末）如图，正方形 的边长是2，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在边AD、AB上，且 ，则四边形 的面积为　 　．
【答案】1
【知识点】正方形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：∵四边形ABD是正方形，
∴OA＝OB，∠OAE＝∠OBF＝45°，AC⊥BD，
∴∠AOB＝90°，
∵OE⊥OF，∴∠EOF＝90°，
∴∠AOE＝∠BOF，
∴△AOE≌△BOF（ASA），
∴△AOE的面积＝△BOF的面积，
∴四边形AFOE的面积＝ 正方形ABCD的面积＝ ×22＝1；
故答案为：1．
【分析】根据正方形的性质可得OA＝OB，∠OAE＝∠OBF＝45°，AC⊥BD，再利用ASA证明△AOE≌△BOF，从而可得△AOE的面积＝△BOF的面积，进而可得四边形AFOE的面积＝ 正方形ABCD的面积，问题即得解决．
12．（2020八上·临颍期末）如图，两个正方形的边长分别为 、 ，若 ， ，则四边形 （阴影部分）的面积为　 　
【答案】20
【知识点】正方形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图，
由题意得：
S四边形ABCD(阴影部分)=a2+b2-S△ADE-S△ABF
=a2+b2- a2-
=
=
=
=20，
故答案为：20.
【分析】如图，观察图形可知S四边形ABCD(阴影部分)=a2+b2-S△ADE-S△ABF，由此将已知数据代入进行计算即可.
13．（2020八下·南昌期末）如图，在正方形 中，直线 分别过 三点且 ,若 与 的距离为 ， 与 的距离为 ，则正方形 的边长是　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】过点B作 于E， 于F
∵ABCD为正方形
∴AB=BC，
∴
∴
∵
∴
∴AE=BF=5
∵BE=3
∴
故答案为： ．
【分析】过点B作 于E， 于F，证明 ，得到AE=BF，使用勾股定理计算AB即可．
14．（2020八上·渝北月考）如图，正方形ABCD的边长为10cm，E是AB上一点，BE=4cm，P是对角线AC上一动点，则PB+PE的最小值是　 　cm.
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：这是一个”将军饮马“类型的两条线段之和的最小值问题，可作点E关于AC的对称点F，连接BF，则BF的长就是PE+PF的最小值.
如图，在AD取一点F，使AF=AE，连接BF，则BF的长就是PE+PF的最小值，
在Rt△ABF中，AB=10，AF=AE=10-4=6，由勾股定理得：
.
故答案为 .
【分析】这是一个”将军饮马“类型的两条线段之和的最小值问题，可作点E关于AC的对称点F，连接BF，则BF的长就是PE+PF的最小值.然后由正方形的性质和勾股定理可求解.
15．（2019八下·余姚期末）如图，在正方形ABCD中，P为对角线BD上一点，过P作PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，若PE=1，PF=3，则AP=　 　 。
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，延长FP、EP交AB、AD于M、N，∵四边形ABCD为正方形，∴∠PBE=∠PDF=45°，∴BE=PE=PM=1，PN=FD=FP=3，则 .
【分析】因为AP所在的位置和正方形ABCD，很容易联想到构造直角三角形求AP得长，于是作如图所示的辅助线。根据正方形对角线平分对角的性质，得PE=BE，FD=PF，再经等量转化和在Rt△APN中，运用勾股定理即可求得AP的长。
16．（2019八下·方城期末）如图，矩形纸片 中，已知 ， ，点 在 边上，沿 折叠纸片，使点 落在点 处，连结 ，当 为直角三角形时， 的长为　 　.
【答案】3或
【知识点】矩形的性质；正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：分两种情况：①当∠EFC=90°，如图1，
∵∠AFE=∠B=90°，∠EFC=90°，
∴点A、F、C共线，
∵矩形ABCD的边AD=4，
∴BC=AD=4，
在Rt△ABC中，AC=
设BE=x，则CE=BC-BE=4-x，
由翻折的性质得AF=AB=3,EF=BE=x，∴CF=AC-AF=5-3=2
在Rt△CEF中，EF2+CF2=CE2，
即x2+22=(4-x)2，
解得x= ；
②当∠CEF=90°，如图2
由翻折的性质可知∠AEB=∠AEF=45°，
∴四边形ABEF是正方形，
∴BE=AB=3，
故BE的长为3或 .
故答案为：3或 .
【分析】分两种情况：①当∠EFC=90°，先判断出点F在对角线AC上，利用勾股定理求出AC，设BE=x,表示出CE，根据翻折变换的性质得到AF=AB,EF=BE，再根据Rt△CEF利用勾股定理列式求解；②当∠CEF=90°，判断四边形ABEF是正方形，根据正方形的性质即可求解.
17．（2020八上·沈阳期中）四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为2的小正方形EFGH.已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM＝4 EF，则正方形ABCD的面积为　 　
【答案】98
【知识点】勾股定理的应用；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，
设AM=2a.BM=b.则正方形ABCD的面积=4a2+b2
由题意可知EF=（2a-b）-2（a-b）=2a-b-2a+2b=b，
∵AM= EF，
∴2a= b，
∴a= b，
∵正方形EFGH的面积为2，
∴b2=2，
∴正方形ABCD的面积=4a2+b2=49b2=98.
故答案为：98.
【分析】设AM=2a，BM=b，则根据勾股定理及正方形的面积计算方法可知：正方形ABCD的面积为=4a2+b2，题意可知EF=（2a-b）-2（a-b）=2a-b-2a+2b=b，由此即可解决问题.
18．（2019八下·深圳期末）如图，边长为2的正方形ABCD中，AE平分∠DAC，AE交CD于点F，CE⊥AE，垂足为点E，EG⊥CD，垂足为点G，点H在边BC上，BH＝DF，连接AH、FH，FH与AC交于点M，以下结论：①FH＝2BH；②AC⊥FH；③S△ACF＝1；④CE＝ AF；⑤EG2＝FG DG，其中正确结论的有　 　（只填序号）．
【答案】①②④⑤
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】①②∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠B=∠D=90°，∠BAD=90°，∵AE平分∠DAC，∴∠FAD=∠CAF=22.5°，∵BH=DF，∴△ABH≌△ADF，∴AH=AF，∠BAH= FAD=22.5°，∴∠HAC=∠FAC，∴HM=FM，AC⊥FH，∵AE平分∠DAC，∴DF=FM，∴FH=2DF=2BH，
①②正确；
③在Rt△FMC中，∠FCM=45°，∴△FMC是等腰直角三角形，∵正方形的边长为2，∴AC= ，MC=DF= ﹣2，∴FC=2﹣DF=2﹣（ ﹣2）=4﹣ ，S△AFC= CF AD≠1，所以选项③错误；
④AF= = = ，∵△ADF∽△CEF，∴ ，∴ ，∴CE= ，∴CE= AF，
④正确；
⑤在Rt△FEC中，EG⊥FC，∴ =FG CG，cos∠FCE= ，∴CG= = =1，∴DG=CG，∴ =FG DG，
⑤正确；
本题正确的结论有4个，
故答案为：①②④⑤.
【分析】根据正方形的性质以及角平分线的性质，在直角三角形中，根据勾股定理即可计算得到答案。
三、解答题
19．（2021九上·富平期末）如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在对角线AC上，点F在边CD上（点F与点C、D不重合）， ，且 .求证：四边形ABCD是正方形.
【答案】证明：如图，作 于点M，
∵四边形 是矩形，∴ ，∴ ，
∴ ， ，∠ABC=90°
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴
∴矩形 是正方形.
【知识点】矩形的性质；正方形的判定
【解析】【分析】 作 于点M， 先由矩形的性质得到 ，由 得到 ， 进而得到 ，由等角对等边得到 ，即可证明.
20．（2020八上·松山期中）正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为b和a将它们如图所示放置，求图中阴影部分的面积．
【答案】解：由题意得：
【知识点】三角形的面积；正方形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】根据正方形的面积和三角形的面积求阴影部分的面积即可。
21．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.E，G分别是OB，OC上的点，CE与DG的延长线相交于点F.若DF⊥CE，求证：OG＝OE.
【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OC=OD，
∴∠DOG=∠EOC=90°，∠OCE+∠CED=90°
∵DF⊥CE，
∴∠EDF+∠CED=90°
∴∠EDF=∠OEC
∴△DOG≌△COE（ASA）
∴OE=OG
【知识点】正方形的性质
【解析】【分析】由四边形ABCD是正方形，对角线互相垂直且互相平分，可知角DOG等于角EOC，DO等于CO，再由已知条件给出的DF与CE垂直，可知角EDF与角DEF互余，这样根据同角的余角相等，可以得到角ODG与角OCE相等，即可证得△DOG与△EOC全等，由全等三角形的对应边相等，可证OG=OE。
22．（2021八上·义乌月考）如图，边长为2的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（点P不与A、C重合），连结BP，过点B作 且使得 ，连结QP交BC于点E，延长QP与直线AD交于点F.
（1） 面积的最小值为　 　；
（2）连结CQ，求证： ；
（3）猜想PF与EQ的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）1
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠ABP+∠PBC=90°，
∵BP⊥BQ，
∴∠CBQ+∠PBC=90°，
∴∠ABP=∠CBQ，又BP=BQ，
∴△ABP≌△CBQ（SAS），
∴CQ=AP
（3）解：PF=EQ，理由为：
作PM⊥AB，PN⊥AD，GQ⊥BC，垂足分别为M、N、G，则∠PNF=∠QGE=90°，
在正方形ABCD中，AC平分∠DAB，AD∥BC，
∴PN=PM，∠NFP=∠GEQ，
∵△ABP≌△CBQ，
∴PM=QG，
∴PN=QG，
在△NFP和△GEQ中，
，
∴△NFP≌△GEQ（AAS），
∴PF=EQ.
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（1）连接BD交AC于O，
∵ ， ，
∴△BPQ为等腰直角三角形，
∴当BP最短即BP⊥AC，△BPQ的面积最小，此时P为AC的中点O，
∵四边形ABCD是边长为2的正方形，
∴BD= AB=2 ，
∴BO= ，即BP= ，
∴△BPQ的最小面积为 =1，
故答案为：1；
【分析】（1）连接BD交AC于O，利用已知易证△BPQ是等腰直角三角形，当BP最短时，面积最小，即BP⊥AC，此时P为AC的中点，根据正方形的性质可求得BP的长，然后利用三角形的面积公式可求得面积的最小值.
（2）利用正方形的性质可证得AB=BC，∠ABC=90°，再利用余角的性质证明∠ABP=∠CBQ，然后利用SAS证明△ABP≌△CBQ，利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.
（3）作PM⊥AB，PN⊥AD，GQ⊥BC，根据角平分线的性质和正方形的性质去证明PN=PM，∠NFP=∠GEQ，再利用全等三角形的判定和性质可证明PN=PM=GQ；然后利用AAS证明△NFP≌△GEQ，利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.
23．（2020八下·西山期末）如图（1），正方形 的对角线 相交于点 是 上一点，连接 过点A作 垂足为 与 相交于点F.
（1）直接写出 与 的数量关系；
（2）如图（2）若点E在 的延长线上， 于点 交 的延长线于点F,其他条件不变.试探究 与 的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）
（2）解：OE=OF；证明如下：
∵四边形 为正方形，对角线AC、BD相交于点
， ，
∴
∴
于点
，
，
在 和 中
∴OE=OF.
【知识点】三角形全等的判定；正方形的性质
【解析】【解答】解：（1） ；
∵正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴OA=OD，OA⊥OD，
∵AM⊥DE，
∴∠EAM+∠AEM=∠EDO+∠AEM=90°，
∴∠EAM=∠EDO，
在△FAO和△EDO中， ，
∴△FAO≌△EDO，
∴OE=OF.
【分析】（1）根据正方形的性质对角线垂直且平分，得到OA=OD，OA⊥OD，根据AM⊥DE，利用直角三角形两锐角互余的关系可得∠EAM=∠EDO，利用ASA可证明△FAO≌△EDO，可得OE=OF；（2）根据正方形的性质可得 ， ，根据直角三角形两锐角互余的关系可得 ，利用ASA可证明 ，根据全等三角形的性质即可得出OE=OF.
24．（2020八下·上蔡期末）如图①， 的顶点P在正方形 两条对角线的交点处， ，将 绕点P旋转，旋转过程中 的两边分别与正方形 的边 和 交于点E和点F（点F与点C、D不重合）.
（1）如图①，当 时， 、 、 之间满足的数量关系是　 　；
（2）如图②，将图①中的正方形 改为 的菱形，其他条件不变，当 时，（1）中的结论变为 ，并给出证明过程；
（3）在（2）的条件下，若旋转过程中 的边 与边 的延长线交于点E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中， 、 、 之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明.
【答案】（1）
（2）解：如图②，取AD的中点M，连接PM，
∵四边形ABCD为∠ADC＝120°的菱形，
∴BD＝AD，∠DAP＝30°，∠ADP＝∠CDP＝60°，
∴△MDP是等边三角形，
∴PM＝PD，∠PME＝∠PDF＝60°，
∵∠PAM＝30°，
∴∠MPD＝60°，
∵∠QPN＝60°，
∴∠MPE＝∠FPD，
在△MPE和△DPF中 ，
∴△MPE≌△DPF（ASA）
∴ME＝DF，
∴DE＋DF＝ AD；
（3）解：如图③，
当点E落在AD的延长线上时，取AD的中点M，连接PM，
∵四边形ABCD为菱形，∠ADC＝120°，
∴AD＝CD，∠DAP＝30°，AC⊥BD，
∴∠ADP＝∠CDP＝60°，
∵AM＝MD，
∴PM＝MD，
∴△MDP是等边三角形，
∴∠PME＝∠MPD＝60°，PM＝PD，
∵∠QPN＝60°，
∴∠MPE＝∠FPD，
在△MPE和△DPF中 ，
∴△MPE≌△DPF（ASA），
∴ME＝DF，
∴DF DE＝ME DE＝DM＝ AD.
【知识点】三角形全等的判定；菱形的性质；正方形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：（1）正方形ABCD的对角线AC，BD交于点P，
∴PA＝PD，∠PAE＝∠PDF＝45°，
∵∠APE＋∠EPD＝∠DPF＋∠EPD＝90°，
∴∠APE＝∠DPF，
在△APE和△DPF中 ，
∴△APE≌△DPF（ASA），
∴AE＝DF，
∴DE＋DF＝AD；
【分析】（1）利用正方形的性质得出角与线段的关系，易证得△APE≌△DPF，可得出AE＝DF，即可得出结论DE＋DF＝AD；（2）取AD的中点M，连接PM，利用菱形的性质，可得出△MDP是等边三角形，易证△MPE≌△DPF，得出ME＝DF，由DE＋ME＝ AD，即可得出DE＋DF＝ AD；（3）当点E落在AD的延长线上时，取AD的中点M，连接PM，先证明△MDP是等边三角形，然后证明△MPE≌△DPF，即可得ME＝DF，即可得出结论.
25．（2020八上·文登期末）如图1，点E是正方形ABCD边AB上任意一点，以BE为边作正方形BEFG，连接DF，点M，N分别是线段AE、DF中点，连接MN．
（1）请猜想MN与AE的关系，并证明你的结论；
（2）把图1中的正方形BEFG绕点B顺时针旋转 ，此时点E、G恰好分别落在线段BC、AB上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？请说明理由．
【答案】（1）解：MN与AE的关系：MN⊥AE，MN= AE．
证明：连接EN，并延长交AD于H．
∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，
∴EF//BG，AD//BC，EF=BE，AD=AB，
∴AD//EF，
∴∠HDN=∠EFN．
∵N是DF的中点，
∴DN=NF，
在△DHN和△FEN中，
，
∴△DHN≌△FEN，
∴HD=EF，
∴HD=BE，
∴AH=AE，
∵M是AE的中点，N是DF的中点，
∴MN是△AHE的中位线，
∴MN//AD，MN= AD，
∵AD⊥AB，
∴MN⊥AB，
∴MN⊥AE，MN= AE
（2）解：成立．
证明：如图，连接AN，BF，NE，GN，取AG中点H，连接NH．
∵H是AG中点，N是DF中点，
∴NH//AD．
∵AD⊥AB，
∴NH⊥AG，
在△ANH和△GNH中，
，
∴△ANH≌△GNH，
∴AN=GN， ∠ANH=GNH．
∵∠GBF=45°， ∠GBD=45°，
∴B，F，D共线，
∵∠BFG=∠BFE=45°，
∴∠GFN=∠EFN=135°，
在△GNF和△ENF中，
，
∴△GNF≌△ENF，
∴EN=GN， ∠GNF=∠ENF，
∵∠GHN=∠HGF=90°， ∠GFN=135°，
∴∠HNF=360°-90°-90°-135°=45°，
∴∠ANE=90°，
∵EN=GN， AN=GN，
∴AN=EN，
∴△ANE是等腰直角三角形，
∵M是AE中点，
∴MN⊥AE，MN= AE
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；四边形的综合
【解析】【分析】（1） 连接EN，并延长交AD于H． 证明 △DHN≌△FEN， 进而可证 AH=AE， 再根据三角形中位线的判定与性质证明即可；
（2）证明 △ANH≌△GNH， 可得 AN=GN， ∠ANH=GNH；证明△GNF≌△ENF， 可得 EN=GN， ∠GNF=∠ENF， 根据四边形内角和可求出 ∠HNF=45°，再证明△ANE是等腰直角三角形即可证明结论。
1 / 1初中数学苏科版八年级下册9.4 正方形的性质和判定 同步训练
一、单选题
1．（2020八下·余干期末）以下命题中正确的是（　　）
A．对角线相等的平行四边形是正方形
B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
C．对角线相等且互相平分的四边形是正方形
D．对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形
2．（2020八下·福州期中）如图，正方形ABCD的面积为8，菱形AECF的面积为4，则EF的长是（　　）
A．4 B． C．2 D．1
3．（2020八上·武汉月考）边长分别为2和4的两个正方形按如图的样式摆放并连线，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．12
4．（2020八上·长安月考）如图，正方形 的边长为 ， ， ，连接 ，则线段 的长为（　　）
A． B． C． D．
5．（2019八下·马鞍山期末）如图，在正方形ABCD中，BD=2，∠DCE是正方形ABCD的外角，P是∠DCE的角平分线CF上任意一点，则△PBD的面积等于（　　）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
6．（2020八下·景县期中）正方形ABCD的边AB上有一动点E，以EC为边作矩形ECFG，且边FC过点D，在点E从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积（　　）
A．先变大后变小 B．先变小后变大
C．一直变大 D．保持不变
7．（2020八下·铜仁期末）如图，正方形 和正方形 中，点D在 上， ， ，H是 的中点，那么 的长是（　　）
A． B． C． D．
8．（2020八下·南召期末）如图，在平面直角坐标系中有一边长为 的正方形 ，边 ， 分别在 轴、 轴上，如果以对角线 为边作第二个正方形 ，再以对角线 为边作第三个正方形 ，照此规律作下去，则点 的坐标为（　　）
　
A． B．
C． D．
9．（2021八上·曾都期末）在正方形ABCD中，点E为BC边的中点，点 与点B关于AE对称， 与AE交于点F，连接 ， ， 下列结论： ； 为等腰直角三角形； ； 其中正确的是（　　）
A． B． C． D．
10．（2019八下·东至期末）如图，在正方形ABCD中，AC、BD相交于点O，E、F分别为BC、CD上的两点，BE＝CF，AE、BF分别交BD、AC于M、N两点，连OE、OF．下列结论：①AE＝BF；②AE⊥BF；③CE+CF＝BD；④S四边形OECF＝ S正方形ABCD，其中正确的是（ ）
A．①② B．①④ C．①②④ D．①②③④
二、填空题
11．（2020八下·曲阜期末）如图，正方形 的边长是2，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在边AD、AB上，且 ，则四边形 的面积为　 　．
12．（2020八上·临颍期末）如图，两个正方形的边长分别为 、 ，若 ， ，则四边形 （阴影部分）的面积为　 　
13．（2020八下·南昌期末）如图，在正方形 中，直线 分别过 三点且 ,若 与 的距离为 ， 与 的距离为 ，则正方形 的边长是　 　．
14．（2020八上·渝北月考）如图，正方形ABCD的边长为10cm，E是AB上一点，BE=4cm，P是对角线AC上一动点，则PB+PE的最小值是　 　cm.
15．（2019八下·余姚期末）如图，在正方形ABCD中，P为对角线BD上一点，过P作PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，若PE=1，PF=3，则AP=　 　 。
16．（2019八下·方城期末）如图，矩形纸片 中，已知 ， ，点 在 边上，沿 折叠纸片，使点 落在点 处，连结 ，当 为直角三角形时， 的长为　 　.
17．（2020八上·沈阳期中）四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为2的小正方形EFGH.已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM＝4 EF，则正方形ABCD的面积为　 　
18．（2019八下·深圳期末）如图，边长为2的正方形ABCD中，AE平分∠DAC，AE交CD于点F，CE⊥AE，垂足为点E，EG⊥CD，垂足为点G，点H在边BC上，BH＝DF，连接AH、FH，FH与AC交于点M，以下结论：①FH＝2BH；②AC⊥FH；③S△ACF＝1；④CE＝ AF；⑤EG2＝FG DG，其中正确结论的有　 　（只填序号）．
三、解答题
19．（2021九上·富平期末）如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在对角线AC上，点F在边CD上（点F与点C、D不重合）， ，且 .求证：四边形ABCD是正方形.
20．（2020八上·松山期中）正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为b和a将它们如图所示放置，求图中阴影部分的面积．
21．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.E，G分别是OB，OC上的点，CE与DG的延长线相交于点F.若DF⊥CE，求证：OG＝OE.
22．（2021八上·义乌月考）如图，边长为2的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（点P不与A、C重合），连结BP，过点B作 且使得 ，连结QP交BC于点E，延长QP与直线AD交于点F.
（1） 面积的最小值为　 　；
（2）连结CQ，求证： ；
（3）猜想PF与EQ的数量关系，并说明理由.
23．（2020八下·西山期末）如图（1），正方形 的对角线 相交于点 是 上一点，连接 过点A作 垂足为 与 相交于点F.
（1）直接写出 与 的数量关系；
（2）如图（2）若点E在 的延长线上， 于点 交 的延长线于点F,其他条件不变.试探究 与 的数量关系，并说明理由.
24．（2020八下·上蔡期末）如图①， 的顶点P在正方形 两条对角线的交点处， ，将 绕点P旋转，旋转过程中 的两边分别与正方形 的边 和 交于点E和点F（点F与点C、D不重合）.
（1）如图①，当 时， 、 、 之间满足的数量关系是　 　；
（2）如图②，将图①中的正方形 改为 的菱形，其他条件不变，当 时，（1）中的结论变为 ，并给出证明过程；
（3）在（2）的条件下，若旋转过程中 的边 与边 的延长线交于点E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中， 、 、 之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明.
25．（2020八上·文登期末）如图1，点E是正方形ABCD边AB上任意一点，以BE为边作正方形BEFG，连接DF，点M，N分别是线段AE、DF中点，连接MN．
（1）请猜想MN与AE的关系，并证明你的结论；
（2）把图1中的正方形BEFG绕点B顺时针旋转 ，此时点E、G恰好分别落在线段BC、AB上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】A、对角线相等的平行四边形是矩形，故不符合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故不符合题意；
C、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故不符合题意；
D、对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，符合题意，
故答案为：D．
【分析】利用正方形的判定方法判断后即可确定正确的选项．
2．【答案】C
【知识点】菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：连接AC，如下图所示：
∵正方形ABCD的面积为8
∴AD=
∴在Rt△ACD中，由勾股定理知：
，
∵菱形AECF的面积为4，
∴ ×EF×AC=4，代入AC=4，
故求得EF=2.
故答案选：C．
【分析】连接AC，由正方形ABCD的面积求出AC的长，再由菱形的面积等于对角线乘积的一半求出EF的长即可.
3．【答案】B
【知识点】正方形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，
∵BC=4，CE=2，
∴BE=2，
∴BE= BC，
∵边长分别为2和4的两个正方形按如图的样式摆放并连线，
∴ER//CQ，
∴ER为△BCQ的中位线，
∴ER= CQ=1，
∴S阴影=S△ABQ-S△BER= AB·BC- BE·ER= ×4×4- ×2×1=7，
故答案为：B.
【分析】如图，根据两个正方形的边长及正方形的性质可得ER为△BCQ的中位线，即可得出ER的长，根据S阴影=S△ABQ-S△BER计算即可得答案.
4．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；勾股定理的逆定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，延长 交 于点 ，
， ， ，
，
和 是直角三角形，
在 和 中，
，
，
， ，
， ，
又 ， ，
， ，
在 和 中，
，
，
， ， ，
，
同理可得 ，
在 中， ，
故答案为：B.
【分析】延长BG交CH于点E，根据正方形的性质证明△ABG≌△CDH≌△BCE，可得GE=BE-BG=2、HE=CH-CE=2、∠HEG=90°，由勾股定理可得GH的长.
5．【答案】A
【知识点】三角形的面积；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：过C点作CG⊥BD于G，
∵CF是∠DCE的平分线，
∴∠FCE=45°，
∵∠DBC=45°，
∴CF∥BD，
∴CG等于△PBD的高，
∵BD=2，
∴CG=1，
△PBD的面积等于=1．
故答案为：A．
【分析】由于BD∥CF，以BD为底边，以BD边对应的高为边长计算三角形的面积即可．
6．【答案】D
【知识点】矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】连接DE，
∵S△CDE=S四边形CEGF，S△CDE=S正方形ABCD，
∴S四边形CEGF=S正方形ABCD，
故答案为：D.
【分析】根据正方形及矩形的性质可得S△CDE=S四边形CEGF，S△CDE=S正方形ABCD，从而可得S四边形CEGF=S正方形ABCD，据此判断即可.
7．【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AC、CF，
在正方形ABCD和正方形CEFG中，AC＝ BC＝2 ，CF＝ CE＝6 ，
∠ACD＝∠GCF＝45°，
所以，∠ACF＝45°+45°＝90°，
所以，△ACF是直角三角形，
由勾股定理得，AF＝ ＝4 ，
∵H是AF的中点，
∴CH＝ AF＝ ×4 ＝2 .
故答案为：B.
【分析】连接AC、CF，根据正方形的性质求出AC、CF，并判断出△ACF是直角三角形，再利用勾股定理列式求出AF，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求解.
8．【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；正方形的性质；探索图形规律
【解析】【解答】解： ∵正方形OABC边长为1，
∴OB=，
∴OB1=2，
∴B1点坐标为（0，2），
同理可知B2点坐标为（-2，2），B3点坐标为（-4，0），
B4点坐标为（-4，-4），B5点坐标为（0，-8），
B6点坐标为（8，-8），B7点坐标为（16，0）
B8点坐标为（16，16），B9点坐标为（0，32），
由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，
∵2020÷8=252…4，
∴B2020的纵横坐标符号与点B4的相同，纵横坐标都是负值，
∴B2012的坐标为（-21010，-21010）．
故答案为：D.
【分析】分别求出B1，B2，B3，B4，B5，B6，B7，B8点坐标，由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，可得B2020的纵横坐标符号与点B4的相同，纵横坐标都是负值，即可求解.
9．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定；正方形的性质；反证法；轴对称的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解： 点 与点B关于AE对称，
与 关于AE对称，
，
，
故 正确； 如图，连接 .
则 ，
，
.
则 ，
即 为直角三角形.
为 的中位线，
，
∽ ，
，
即 ，
故FB .
.
为等腰直角三角形.
故 正确. 设 度，
度，
则在四边形 中， ，
即 度.
又 ，
.
故 正确. 假设 成立，
则 ，
，
为等边三角形，
故B ，与 矛盾，
故 错误.
故答案为：B.
【分析】 根据轴对称图形的性质，可知 与 关于AE对称，即得 ； 连接 ，根据E为BC的中点和线段垂直平分线的性质，求出 为直角三角形； 假设 成立，则可计算出 ，推知 为等边三角形， ，与 矛盾； 根据 ， ，结合周角定义，求出 的度数.
10．【答案】C
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，
在△ABE和△BCF中，
∵ ，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴AE=BF，
故①符合题意；
②由①知：△ABE≌△BCF，
∴∠FBC=∠BAE，
∴∠FBC+∠ABF=∠BAE+∠ABF=90°，
∴AE⊥BF，
故②符合题意；
③∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠BCD=90°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BD= BC，
∴CE+CF=CE+BE= = BC，
故③不符合题意；
④∵四边形ABCD是正方形，
∴OB=OC，∠OBE=∠OCF=45°，
在△OBE和△OCF中，
∵ ，
∴△OBE≌△OCF（SAS），
∴S△OBE=S△OCF，
∴S四边形OECF=S△COE+S△OCF=S△COE+S△OBE=S△OBC= S正方形ABCD，
故④符合题意；
故答案为：C．
【分析】①易证得△ABE≌△BCF（ASA），则可证得结论①符合题意；②由△ABE≌△BCF，可得∠FBC=∠BAE，证得AE⊥BF，选项②符合题意；③证明△BCD是等腰直角三角形，求得选项③不符合题意；④证明△OBE≌△OCF，根据正方形被对角线将面积四等分，即可得出选项④符合题意．
11．【答案】1
【知识点】正方形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：∵四边形ABD是正方形，
∴OA＝OB，∠OAE＝∠OBF＝45°，AC⊥BD，
∴∠AOB＝90°，
∵OE⊥OF，∴∠EOF＝90°，
∴∠AOE＝∠BOF，
∴△AOE≌△BOF（ASA），
∴△AOE的面积＝△BOF的面积，
∴四边形AFOE的面积＝ 正方形ABCD的面积＝ ×22＝1；
故答案为：1．
【分析】根据正方形的性质可得OA＝OB，∠OAE＝∠OBF＝45°，AC⊥BD，再利用ASA证明△AOE≌△BOF，从而可得△AOE的面积＝△BOF的面积，进而可得四边形AFOE的面积＝ 正方形ABCD的面积，问题即得解决．
12．【答案】20
【知识点】正方形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图，
由题意得：
S四边形ABCD(阴影部分)=a2+b2-S△ADE-S△ABF
=a2+b2- a2-
=
=
=
=20，
故答案为：20.
【分析】如图，观察图形可知S四边形ABCD(阴影部分)=a2+b2-S△ADE-S△ABF，由此将已知数据代入进行计算即可.
13．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】过点B作 于E， 于F
∵ABCD为正方形
∴AB=BC，
∴
∴
∵
∴
∴AE=BF=5
∵BE=3
∴
故答案为： ．
【分析】过点B作 于E， 于F，证明 ，得到AE=BF，使用勾股定理计算AB即可．
14．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：这是一个”将军饮马“类型的两条线段之和的最小值问题，可作点E关于AC的对称点F，连接BF，则BF的长就是PE+PF的最小值.
如图，在AD取一点F，使AF=AE，连接BF，则BF的长就是PE+PF的最小值，
在Rt△ABF中，AB=10，AF=AE=10-4=6，由勾股定理得：
.
故答案为 .
【分析】这是一个”将军饮马“类型的两条线段之和的最小值问题，可作点E关于AC的对称点F，连接BF，则BF的长就是PE+PF的最小值.然后由正方形的性质和勾股定理可求解.
15．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，延长FP、EP交AB、AD于M、N，∵四边形ABCD为正方形，∴∠PBE=∠PDF=45°，∴BE=PE=PM=1，PN=FD=FP=3，则 .
【分析】因为AP所在的位置和正方形ABCD，很容易联想到构造直角三角形求AP得长，于是作如图所示的辅助线。根据正方形对角线平分对角的性质，得PE=BE，FD=PF，再经等量转化和在Rt△APN中，运用勾股定理即可求得AP的长。
16．【答案】3或
【知识点】矩形的性质；正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：分两种情况：①当∠EFC=90°，如图1，
∵∠AFE=∠B=90°，∠EFC=90°，
∴点A、F、C共线，
∵矩形ABCD的边AD=4，
∴BC=AD=4，
在Rt△ABC中，AC=
设BE=x，则CE=BC-BE=4-x，
由翻折的性质得AF=AB=3,EF=BE=x，∴CF=AC-AF=5-3=2
在Rt△CEF中，EF2+CF2=CE2，
即x2+22=(4-x)2，
解得x= ；
②当∠CEF=90°，如图2
由翻折的性质可知∠AEB=∠AEF=45°，
∴四边形ABEF是正方形，
∴BE=AB=3，
故BE的长为3或 .
故答案为：3或 .
【分析】分两种情况：①当∠EFC=90°，先判断出点F在对角线AC上，利用勾股定理求出AC，设BE=x,表示出CE，根据翻折变换的性质得到AF=AB,EF=BE，再根据Rt△CEF利用勾股定理列式求解；②当∠CEF=90°，判断四边形ABEF是正方形，根据正方形的性质即可求解.
17．【答案】98
【知识点】勾股定理的应用；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，
设AM=2a.BM=b.则正方形ABCD的面积=4a2+b2
由题意可知EF=（2a-b）-2（a-b）=2a-b-2a+2b=b，
∵AM= EF，
∴2a= b，
∴a= b，
∵正方形EFGH的面积为2，
∴b2=2，
∴正方形ABCD的面积=4a2+b2=49b2=98.
故答案为：98.
【分析】设AM=2a，BM=b，则根据勾股定理及正方形的面积计算方法可知：正方形ABCD的面积为=4a2+b2，题意可知EF=（2a-b）-2（a-b）=2a-b-2a+2b=b，由此即可解决问题.
18．【答案】①②④⑤
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】①②∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠B=∠D=90°，∠BAD=90°，∵AE平分∠DAC，∴∠FAD=∠CAF=22.5°，∵BH=DF，∴△ABH≌△ADF，∴AH=AF，∠BAH= FAD=22.5°，∴∠HAC=∠FAC，∴HM=FM，AC⊥FH，∵AE平分∠DAC，∴DF=FM，∴FH=2DF=2BH，
①②正确；
③在Rt△FMC中，∠FCM=45°，∴△FMC是等腰直角三角形，∵正方形的边长为2，∴AC= ，MC=DF= ﹣2，∴FC=2﹣DF=2﹣（ ﹣2）=4﹣ ，S△AFC= CF AD≠1，所以选项③错误；
④AF= = = ，∵△ADF∽△CEF，∴ ，∴ ，∴CE= ，∴CE= AF，
④正确；
⑤在Rt△FEC中，EG⊥FC，∴ =FG CG，cos∠FCE= ，∴CG= = =1，∴DG=CG，∴ =FG DG，
⑤正确；
本题正确的结论有4个，
故答案为：①②④⑤.
【分析】根据正方形的性质以及角平分线的性质，在直角三角形中，根据勾股定理即可计算得到答案。
19．【答案】证明：如图，作 于点M，
∵四边形 是矩形，∴ ，∴ ，
∴ ， ，∠ABC=90°
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴
∴矩形 是正方形.
【知识点】矩形的性质；正方形的判定
【解析】【分析】 作 于点M， 先由矩形的性质得到 ，由 得到 ， 进而得到 ，由等角对等边得到 ，即可证明.
20．【答案】解：由题意得：
【知识点】三角形的面积；正方形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】根据正方形的面积和三角形的面积求阴影部分的面积即可。
21．【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OC=OD，
∴∠DOG=∠EOC=90°，∠OCE+∠CED=90°
∵DF⊥CE，
∴∠EDF+∠CED=90°
∴∠EDF=∠OEC
∴△DOG≌△COE（ASA）
∴OE=OG
【知识点】正方形的性质
【解析】【分析】由四边形ABCD是正方形，对角线互相垂直且互相平分，可知角DOG等于角EOC，DO等于CO，再由已知条件给出的DF与CE垂直，可知角EDF与角DEF互余，这样根据同角的余角相等，可以得到角ODG与角OCE相等，即可证得△DOG与△EOC全等，由全等三角形的对应边相等，可证OG=OE。
22．【答案】（1）1
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠ABP+∠PBC=90°，
∵BP⊥BQ，
∴∠CBQ+∠PBC=90°，
∴∠ABP=∠CBQ，又BP=BQ，
∴△ABP≌△CBQ（SAS），
∴CQ=AP
（3）解：PF=EQ，理由为：
作PM⊥AB，PN⊥AD，GQ⊥BC，垂足分别为M、N、G，则∠PNF=∠QGE=90°，
在正方形ABCD中，AC平分∠DAB，AD∥BC，
∴PN=PM，∠NFP=∠GEQ，
∵△ABP≌△CBQ，
∴PM=QG，
∴PN=QG，
在△NFP和△GEQ中，
，
∴△NFP≌△GEQ（AAS），
∴PF=EQ.
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（1）连接BD交AC于O，
∵ ， ，
∴△BPQ为等腰直角三角形，
∴当BP最短即BP⊥AC，△BPQ的面积最小，此时P为AC的中点O，
∵四边形ABCD是边长为2的正方形，
∴BD= AB=2 ，
∴BO= ，即BP= ，
∴△BPQ的最小面积为 =1，
故答案为：1；
【分析】（1）连接BD交AC于O，利用已知易证△BPQ是等腰直角三角形，当BP最短时，面积最小，即BP⊥AC，此时P为AC的中点，根据正方形的性质可求得BP的长，然后利用三角形的面积公式可求得面积的最小值.
（2）利用正方形的性质可证得AB=BC，∠ABC=90°，再利用余角的性质证明∠ABP=∠CBQ，然后利用SAS证明△ABP≌△CBQ，利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.
（3）作PM⊥AB，PN⊥AD，GQ⊥BC，根据角平分线的性质和正方形的性质去证明PN=PM，∠NFP=∠GEQ，再利用全等三角形的判定和性质可证明PN=PM=GQ；然后利用AAS证明△NFP≌△GEQ，利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.
23．【答案】（1）
（2）解：OE=OF；证明如下：
∵四边形 为正方形，对角线AC、BD相交于点
， ，
∴
∴
于点
，
，
在 和 中
∴OE=OF.
【知识点】三角形全等的判定；正方形的性质
【解析】【解答】解：（1） ；
∵正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴OA=OD，OA⊥OD，
∵AM⊥DE，
∴∠EAM+∠AEM=∠EDO+∠AEM=90°，
∴∠EAM=∠EDO，
在△FAO和△EDO中， ，
∴△FAO≌△EDO，
∴OE=OF.
【分析】（1）根据正方形的性质对角线垂直且平分，得到OA=OD，OA⊥OD，根据AM⊥DE，利用直角三角形两锐角互余的关系可得∠EAM=∠EDO，利用ASA可证明△FAO≌△EDO，可得OE=OF；（2）根据正方形的性质可得 ， ，根据直角三角形两锐角互余的关系可得 ，利用ASA可证明 ，根据全等三角形的性质即可得出OE=OF.
24．【答案】（1）
（2）解：如图②，取AD的中点M，连接PM，
∵四边形ABCD为∠ADC＝120°的菱形，
∴BD＝AD，∠DAP＝30°，∠ADP＝∠CDP＝60°，
∴△MDP是等边三角形，
∴PM＝PD，∠PME＝∠PDF＝60°，
∵∠PAM＝30°，
∴∠MPD＝60°，
∵∠QPN＝60°，
∴∠MPE＝∠FPD，
在△MPE和△DPF中 ，
∴△MPE≌△DPF（ASA）
∴ME＝DF，
∴DE＋DF＝ AD；
（3）解：如图③，
当点E落在AD的延长线上时，取AD的中点M，连接PM，
∵四边形ABCD为菱形，∠ADC＝120°，
∴AD＝CD，∠DAP＝30°，AC⊥BD，
∴∠ADP＝∠CDP＝60°，
∵AM＝MD，
∴PM＝MD，
∴△MDP是等边三角形，
∴∠PME＝∠MPD＝60°，PM＝PD，
∵∠QPN＝60°，
∴∠MPE＝∠FPD，
在△MPE和△DPF中 ，
∴△MPE≌△DPF（ASA），
∴ME＝DF，
∴DF DE＝ME DE＝DM＝ AD.
【知识点】三角形全等的判定；菱形的性质；正方形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：（1）正方形ABCD的对角线AC，BD交于点P，
∴PA＝PD，∠PAE＝∠PDF＝45°，
∵∠APE＋∠EPD＝∠DPF＋∠EPD＝90°，
∴∠APE＝∠DPF，
在△APE和△DPF中 ，
∴△APE≌△DPF（ASA），
∴AE＝DF，
∴DE＋DF＝AD；
【分析】（1）利用正方形的性质得出角与线段的关系，易证得△APE≌△DPF，可得出AE＝DF，即可得出结论DE＋DF＝AD；（2）取AD的中点M，连接PM，利用菱形的性质，可得出△MDP是等边三角形，易证△MPE≌△DPF，得出ME＝DF，由DE＋ME＝ AD，即可得出DE＋DF＝ AD；（3）当点E落在AD的延长线上时，取AD的中点M，连接PM，先证明△MDP是等边三角形，然后证明△MPE≌△DPF，即可得ME＝DF，即可得出结论.
25．【答案】（1）解：MN与AE的关系：MN⊥AE，MN= AE．
证明：连接EN，并延长交AD于H．
∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，
∴EF//BG，AD//BC，EF=BE，AD=AB，
∴AD//EF，
∴∠HDN=∠EFN．
∵N是DF的中点，
∴DN=NF，
在△DHN和△FEN中，
，
∴△DHN≌△FEN，
∴HD=EF，
∴HD=BE，
∴AH=AE，
∵M是AE的中点，N是DF的中点，
∴MN是△AHE的中位线，
∴MN//AD，MN= AD，
∵AD⊥AB，
∴MN⊥AB，
∴MN⊥AE，MN= AE
（2）解：成立．
证明：如图，连接AN，BF，NE，GN，取AG中点H，连接NH．
∵H是AG中点，N是DF中点，
∴NH//AD．
∵AD⊥AB，
∴NH⊥AG，
在△ANH和△GNH中，
，
∴△ANH≌△GNH，
∴AN=GN， ∠ANH=GNH．
∵∠GBF=45°， ∠GBD=45°，
∴B，F，D共线，
∵∠BFG=∠BFE=45°，
∴∠GFN=∠EFN=135°，
在△GNF和△ENF中，
，
∴△GNF≌△ENF，
∴EN=GN， ∠GNF=∠ENF，
∵∠GHN=∠HGF=90°， ∠GFN=135°，
∴∠HNF=360°-90°-90°-135°=45°，
∴∠ANE=90°，
∵EN=GN， AN=GN，
∴AN=EN，
∴△ANE是等腰直角三角形，
∵M是AE中点，
∴MN⊥AE，MN= AE
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；四边形的综合
【解析】【分析】（1） 连接EN，并延长交AD于H． 证明 △DHN≌△FEN， 进而可证 AH=AE， 再根据三角形中位线的判定与性质证明即可；
（2）证明 △ANH≌△GNH， 可得 AN=GN， ∠ANH=GNH；证明△GNF≌△ENF， 可得 EN=GN， ∠GNF=∠ENF， 根据四边形内角和可求出 ∠HNF=45°，再证明△ANE是等腰直角三角形即可证明结论。
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