2018-2019学年初中数学华师大版七年级下册9.2 多边形的内角和与外角和 同步练习
一、选择题
1．把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个18边形，则原多边形纸片的边数不可能是（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
2．过某个多边形一点顶点的所有对角线，将这个多边形分成了5个三角形，则这个多边形是（ ）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
3．（2017八下·港南期中）一个多边形的每一个内角都等于140°，那么从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是（ ）
A．6条 B．7条 C．8条 D．9条
4．如图，已知△ABC中，∠A=75°，则∠1+∠2=（ ）
A．335° B．255° C．155° D．150°
5．如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P=（ ）
A．90°﹣ α B． α
C．90°+ α D．360°﹣α
6．（2018八上·北京期末）一个多边形每个外角都等于36°，则这个多边形是几边形（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
7．（2018·铜仁模拟）正十二边形的每一个内角的度数为（ ）
A．120° B．135° C．150° D．108°
8．下列说法中，①三角形的内角中最多有一个钝角；②三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；③从n边形的一个顶点可以引（n﹣3）条对角线，把n边形分成（n﹣2）个三角形，因此，n边形的内角和是（n﹣2） 180°；④六边形的对角线有7条，正确的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
9．一个多边形的外角和等于它的内角和的 ，那么它的边数是（ ）
A．10 B．12 C．13 D．14
10．若四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C=1：2：4，且∠D=108°，则∠A+∠C的度数等于（ ）
A．108° B．180° C．144° D．216°
二、填空题
11．（2017八上·孝义期末）五边形的内角和为 ．
12．一个n边形的内角和是720°，则n= ．
13．两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠AOB等于 度．
14．（2017·新吴模拟）如图，已知正五边形ABCDE，AF∥CD，交DB的延长线于点F，则∠DFA= 度．
15．如图，四边形ABCD中，∠A=100°，∠C=70°．将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠B= 度．
16．如图，用若干个全等的正五边形可以拼成一个环状，如图是前3个正五边形的拼接情况，要完全拼成一个圆环还需要的正五边形个数是 ．
三、解答题
17．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数．
18．（1）填表：
n（凸多边形的边数） 3 4 5 …
m（凸多边形中角度等于135°的内角个数的最大值）
（2）猜想给定一个正整数n，凸n边形最多有m个内角等于135°，则m与n之间有怎样的关系？
（3）取n=7验证你的猜想是否成立？如果不成立，请给出凸n边形中最多有多少个内角等于135°？并说明理由．
19．如图，六边形ABCDEF的内角都相等，CF∥AB．
（1）求∠FCD的度数；
（2）求证：AF∥CD．
20．（1）如图是一个多边形，你能否用一直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足下列条件：（画出图形，把截去的部分打上阴影）
①新多边形内角和比原多边形的内角和增加了180°．
②新多边形的内角和与原多边形的内角和相等．
③新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了180°．
（2）将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为2520°，求原多边形的边数．
21．（1）分别画出下列各多边形的对角线
（2）并观察图形完成下列问题：
①试写出用n边形的边数n表示对角线总条数S的式子： ．
②从十五边形的一个顶点可以引出 条对角线，十五边形共有 条对角线：
③如果一个多边形对角线的条数与它的边数相等，求这个多边形的边数．
22．定义：把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形．如图1，四边形ABCD为凹四边形．
（1）性质探究：请完成凹四边形一个性质的证明．
已知：如图2，四边形ABCD是凹四边形
求证：∠BCD=∠B+∠A+∠D
（2）性质应用：
①如图3，在凹四边形ABCD中，∠BAD与∠BCD两角的角平分线交于点E，
若∠ADC=140°，∠AEC=100°，求∠B的度数．
②如图4，已知∠BOC=58°，x=∠A+∠B，y=∠C+∠D+∠E+∠F，求（x+y）的度数．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】当剪去一个角后，剩下的部分是一个18边形，则这张纸片原来的形状可能是18边形或17边形或19边形，不可能是16边形．
【分析】此题主要考查了多边形，剪去一个角的方法可能有三种：经过两个相邻顶点，则少了一条边；经过一个顶点和一边，边数不变；经过两条邻边，边数增加一条．
2．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵n﹣2=5，∴n=7．
故答案为：C．
【分析】根据n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线，可组成n﹣2个三角形。
3．【答案】A
【知识点】多边形的对角线；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵多边形的每一个内角都等于140°，
∴每个外角是180°﹣140°=40°，
∴这个多边形的边数是360°÷40°=9，
∴从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是6条．
故选：A．
【分析】先求出多边形的边数，再求从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数即可．
4．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角
【解析】【解答】解： ∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=75°，
∴∠B+∠C=180°﹣∠A=105°．
∵∠1+∠2+∠B+∠C=360°，
∴∠1+∠2=360°﹣105°=255°．
故答案为：B．
【分析】根据三角形的内角和得出∠B+∠C的度数，再根据四边形的内角和即可算出 ∠1+∠2 的度数。
5．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD=360°﹣（∠A+∠D）=360°﹣α，
∵PB和PC分别为∠ABC、∠BCD的平分线，
∴∠PBC+∠PCB= （∠ABC+∠BCD）= （360°﹣α）=180°﹣ α，
则∠P=180°﹣（∠PBC+∠PCB）=180°﹣（180°﹣ α）= α．
故答案为：B．
【分析】根据四边形的内角和得出∠ABC+∠BCD=360°﹣α，根据角平分线的定义得出∠PBC+∠PCB= （∠ABC+∠BCD）= （360°﹣α）=180°﹣ α，最后根据三角形的内角和，由∠P=180°﹣（∠PBC+∠PCB）即可算出答案。
6．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：这个多边形的边数是： =10．故答案是D．
【分析】任何一个多边形的外角和都是360 ，又一个多边形每个外角都等于36°，故用36036即可得出多边形的边数。
7．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】详解： 正十二边形的每个外角的度数是：
＝30°，
则每一个内角的度数是：180° 30°＝150°.
故答案为：C．
【分析】因为正多边形的每个外角的度数都相等，所以根据任意多边形的外角和都等于可求解。
8．【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；多边形的对角线
【解析】【解答】解： ①假设一个三角形有两个钝角，那么这两个钝角的和大于180°，与三角形的内角和为180°相矛盾．故三角形的内角中最多有一个钝角，正确；
②三角形的中线把三角形分成的两个三角形的底边相等，高相同，所以面积相等，正确；
③因为连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．n边形的一个顶点不能与它本身及左右两个邻点相连成对角线，故从n边形的一个顶点可以引（n﹣3）条对角线，把n边形分成（n﹣2）个三角形，每一个三角形的内角和是180°，因此，n边形的内角和是（n﹣2） 180°，正确；
④n边形共有 条对角线，所以六边形的对角线有6×3÷2=9条，错误．
故答案为：B．
【分析】①，钝角就是大于0°且小于180°的角，根据三角形的内角和，即可判断出 三角形的内角中最多只能有一个钝角，故①正确； ②根据同高等底的两个三角形面积相等即可得出三角形的中线把三角形分成的两个三角形的面积相等，故②正确；③因为连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．n边形的一个顶点不能与它本身及左右两个邻点相连成对角线，故从n边形的一个顶点可以引（n﹣3）条对角线，把n边形分成（n﹣2）个三角形，每一个三角形的内角和是180°，这些三角形彼此之间即不重合也无缝隙，因此这些三角形的内角和就是该多边形的内角和故，n边形的内角和是（n﹣2） 180°，③正确；④因为连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．n边形的一个顶点不能与它本身及左右两个邻点相连成对角线，故从n边形的一个顶点可以引（n﹣3）条对角线，但每两个顶点之间只能一条对角线，故n边形共有 条对角线，将n=6代入即可判断出④是错误的。
9．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解： ∵多边形的外角和是360度，
又∵多边形的外角和等于它的内角和的 ，
∴（n﹣2）×180°=6×360°，
解得：n=14
故答案为：D．
【分析】设该多边形的边数是n，故其内角和为（n﹣2）×180°，又任何多边形的外角和都是360°，根据多边形的外角和等于它的内角和的 即可列出方程，求解即可。
10．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解： ∵∠A：∠B：∠C=1：2：4，
∴设∠A=x°，则∠B=2x°，∠C=4x°
在四边形ABCD中，根据内角和定理得到：x+2x+4x+108=360
解得：x=36
∴∠A=36°，∠C=144°，
∴∠A+∠C=36+144=180°．
故答案为：B．
【分析】由∠A：∠B：∠C=1：2：4，设∠A=x°，则∠B=2x°，∠C=4x°根据四边形的内角和为360°，列出方程，求解得出x，进而算出∠A，∠C的度数，从而算出答案。
11．【答案】540°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：（5﹣2） 180°=540°．
故答案为：540°．
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2） 180°计算即可．
12．【答案】6
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：依题意有：
（n﹣2） 180°=720°，
解得n=6．
故答案为：6．
【分析】由多边形的内角和公式得出该多边形的内角和为（n﹣2） 180°，又该多边形的内角和是720°，根据用两个不同的式子表示同一个量，则这两个式子相等，从而列出方程，求解即可。
13．【答案】108
【知识点】多边形内角与外角；邻补角
【解析】【解答】解：如图
，
由正五边形的内角和，得∠1=∠2=∠3=∠4=108°，
∠5=∠6=180°﹣108°=72°，
∠7=180°﹣72°﹣72°=36°．
∠AOB=360°﹣108°﹣108°﹣36°=108°，
故答案为：108
【分析】根据正多边形的性质得出∠1=∠2=∠3=∠4=108°，根据邻补角的定义即可得出∠5、∠6的度数，再根据三角形的内角和即可算出∠7的度数，最后根据周角的定义即可算出答案。
14．【答案】36
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】∵正五边形的外角：为360°÷5=72°，
∴∠C=180°﹣72°=108°，
∵CD=CB，
∴∠CDB=36°，
∵AF∥CD，
∴∠DFA=∠CDB=36°，
故答案为：36．
【分析】根据正多边形的外角和公式即可得出正五边形的每个外角度数，再根据邻补角得∠C=108°，由等腰三角形性质和三角形内角和得∠CDB=36°，再由平行线性质得∠DFA=∠CDB=36°.
15．【答案】95
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解： ∵MF∥AD，FN∥DC，
∴∠BMF=∠A=100°，∠BNF=∠C=70°，
∵△BMN沿MN翻折得△FMN，
∴∠BMN= ∠BMF= ×100°=50°，
∠BNM= ∠BNF= ×70°=35°，
在△BMN中，∠B=180°﹣（∠BMN+∠BNM）=180°﹣（50°+35°）=180°﹣85°=95°．
故答案为：95．
【分析】根据二直线平行同位角相等得出∠BMF=∠A=100°，∠BNF=∠C=70°，根据翻折的性质得出∠BMN= ∠BMF= ×100°=50°，∠BNM= ∠BNF= ×70°=35°，根据三角形的内角和即可算出∠B的度数。
16．【答案】7
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设要完全拼成一个圆环需要的正五边形为n个，
所以（n﹣2） 180°=（360°﹣2×108°）n，解得n=10，
所以要完全拼成一个圆环还需要的正五边形的个数为7．
故答案为7．
【分析】设要完全拼成一个圆环需要的正五边形为n个，则围成的多边形为正n边形，利用正五边形的内角计算出正n边形的每一个内角的度数，然后滚局正n边形的内角和为（n﹣2） 180°或（360°﹣2×108°）n，根据用两个不同的式子表示同一个量，则这两个式子相等，列出方程，求解得出n的值，进而得出答案。
17．【答案】解：设这个多边形的边数是n，
依题意得（n﹣2）×180°=3×360°﹣180°，
n﹣2=6﹣1，
n=7．
∴这个多边形的边数是7
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】多边形的外角和是360度，根据多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，即可得到多边形的内角和的度数．根据多边形的内角和定理即可求得多边形的边数．
18．【答案】（1）1；2；3
（2）解：由（1）得：凸n边形中角度等于135°的内角个数的最大值为：n﹣2．
即m=n﹣2
（3）解：取n=7时，m=6，验证猜想不成立；
设凸n边形最多有m个内角等于135°，则每个135°内角的外角都等于45°，
∵凸n边形的n个外角和为360°，
∴k≤ =8，只有当n=8时，m才有最大值8，
讨论n≠8时的情况：
①当时n＞8，显然，m的值是7；
②当n=3，4，5时，m的值分别为1，2，3；
③当n=6，7时，m的值分别为5，6；
综上所述，当3≤n≤5时，凸n边形最多有n﹣2个内角等于135°；当6≤n≤7时，凸n边形最多有n﹣1个内角等于135°；当n=8时，凸n边形最多有8个内角等于135°；当n＞8时，凸n边形最多有7个内角等于135°．
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】（ 1）解：∵三角形中只有一个钝角，
∴三边形中角度等于135°的内角个数的最大值为1；
∵四边形的内角和为360°，
∴四边形中角度等于135°的内角个数的最大值为2；
∵五边形的内角和为540°，
∴五边形中角度等于135°的内角个数的最大值为3；
故答案为：1，2，3；
【分析】（1）根据各个多边形的内角和定理即可得出：三边形中角度等于135°的内角个数的最大值为1；四边形中角度等于135°的内角个数的最大值为2；五边形中角度等于135°的内角个数的最大值为3；
（2）通过（1）所得的结果即可发现： 凸n边形中角度等于135°的内角个数的最大值 总是比n小2，从而得出m与n的关系；
（3） 设凸n边形最多有m个内角等于135°，则每个135°内角的外角都等于45°， 由 凸n边形的n个外角和为360°， 可得 k≤ =8，只有当n=8时，m才有最大值8， 从而得出 当3≤n≤5时，凸n边形最多有n﹣2个内角等于135°；当6≤n≤7时，凸n边形最多有n﹣1个内角等于135°；当n=8时，凸n边形最多有8个内角等于135°；当n＞8时，凸n边形最多有7个内角等于135°．
19．【答案】（1）解：∵六边形ABCDEF的内角相等，
∴∠B=∠A=∠BCD=120°，
∵CF∥AB，
∴∠B+∠BCF=180°，
∴∠BCF=60°，
∴∠FCD=60°
（2）解：∵∠AFC=360°﹣120°﹣120°﹣60°=60°，
∴∠AFC=∠FCD，
∴AF∥CD
【知识点】平行线的判定与性质；多边形内角与外角
【解析】【分析】（1）由六边形的每一个内角都相等得出 ∠B=∠A=∠BCD=120°， 根据二直线平行同旁内角互补得出 ∠B+∠BCF=180°， 从而算出∠BCF的度数，进而根据角的和差算出 ∠FCD的度数；
（2）根据四边形的内角和得出 ∠AFC 的度数，从而得出 ∠AFC=∠FCD=60°， 根据内错角相等，二直线平行得出结论： AF∥CD 。
20．【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：设新多边形的边数为n，
则（n﹣2） 180°=2520°，
解得n=16，
①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为15，
②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为16，
③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为17，
故原多边形的边数可以为15，16或17．
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】（1）多边形的内角和与多边形的边数有关，边数每增加一边，其内角和就增加180°； ①截线 过多边形两边进行剪截， 新多边形的边数就会比原多边形增加一条，故内角和比原多边形的内角和增加了180° ； ②截线过多边形一边与一个顶点进行剪截， 新多边形的边数就不会增加，故新多边形的内角和与原多边形的内角和相等； ③截线过多边形两个顶点进行剪截， 新多边形的边数就会比原多边形减少一边，增故新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了180°；
（2） 设新多边形的边数为n， 新多边形的内角和为 （n﹣2） 180° ，又新多边形的内角和为2520° ，从而列出方程，求解得出n的值，再根据（1）所得的结论即可求出原多边形的边数。
21．【答案】（1）如图所示，
（2）S= n（n﹣3）；12；90；解：设多边形有n条边， 则 n（n﹣3）=n， 解得n=5或n=0（应舍去）． 故这个多边形的边数是5
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：（2）①用n边形的边数n表示对角线总条数S的式子：S= n（n﹣3）；
②十五边形从一个顶点可引出对角线：15﹣3=12（条），共有对角线： ×15×（15﹣3）=90（条）；
故答案为：S= n（n﹣3）；12，90．
【分析】（1）因为连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．n边形的一个顶点不能与它本身及左右两个邻点相连成对角线，根据定义分别画出每一个图形的对角线即可；
（2）①因为连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．n边形的一个顶点不能与它本身及左右两个邻点相连成对角线，故从n边形的一个顶点可以引（n﹣3）条对角线，该多边形有n个顶点，故需要引对角线n（n﹣3）条，但由于每不相邻的两个顶点之间只有一条对角线，故可得出S= n（n﹣3）；②将n=15代入①所得的公式即可算出答案；③根据 一个多边形对角线的条数与它的边数相等 列出方程，求解并检验即可得出答案。
22．【答案】（1）解：延长BC交AD于点M
∵∠BCD是△CDM的外角，
∴∠BCD=∠CMD+∠D，
同理∠CMD是△ABM的外角，
∴∠CMD=∠A+∠B，
∴∠BCD=∠A+∠B+∠D
（2）解：①如图3，
由凹四边形的性质，得∠CDA=∠E+∠EAD+∠ECD，
∵∠ADC=140°，∠AEC=100°，
∴∠EAD+∠ECD=40°．
∵∠BAD与∠BCD两角的角平分线交于点E，
∴∠BCA+∠BAC=80°，
由凹四边形的性质，得∠CDA=∠B+∠BCA+∠BAC，
∴∠B=140°﹣80°=60°．
②如图4，∵∠BOC=58°，
∴∠COE=∠BOF=122°，
由凹四边形的性质，得∠A+∠C+∠E=∠COE=122°，
∠B+∠D+∠F=∠BOF=122°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=122°+122°=244°．
故答案为：244°．
【知识点】三角形的外角性质；多边形内角与外角
【解析】【分析】（1） 延长BC交AD于点M ，根据三角形外角定理得出 ∠BCD=∠CMD+∠D①， ∠CMD=∠A+∠B②， 将②代入①即可得出结论： ∠BCD=∠B+∠A+∠D ；
（2） ①如图3， 由凹四边形的性质，得∠CDA=∠E+∠EAD+∠ECD， 从而得出 ∠EAD+∠ECD=40°，根据角平分线的定义得出 ∠BCA+∠BAC=2（∠EAD+∠ECD）=80°①； 由凹四边形的性质，得∠CDA=∠B+∠BCA+∠BAC②， 将①代入②即可算出 ∠B 的度数； ②如图4 ，根据邻补角的定义得出 ∠COE=∠BOF=122°， 由凹四边形的性质，得∠A+∠C+∠E=∠COE=122°①， ∠B+∠D+∠F=∠BOF=122°②， 将①+②即可得出答案。
1 / 12018-2019学年初中数学华师大版七年级下册9.2 多边形的内角和与外角和 同步练习
一、选择题
1．把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个18边形，则原多边形纸片的边数不可能是（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
【答案】A
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】当剪去一个角后，剩下的部分是一个18边形，则这张纸片原来的形状可能是18边形或17边形或19边形，不可能是16边形．
【分析】此题主要考查了多边形，剪去一个角的方法可能有三种：经过两个相邻顶点，则少了一条边；经过一个顶点和一边，边数不变；经过两条邻边，边数增加一条．
2．过某个多边形一点顶点的所有对角线，将这个多边形分成了5个三角形，则这个多边形是（ ）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵n﹣2=5，∴n=7．
故答案为：C．
【分析】根据n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线，可组成n﹣2个三角形。
3．（2017八下·港南期中）一个多边形的每一个内角都等于140°，那么从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是（ ）
A．6条 B．7条 C．8条 D．9条
【答案】A
【知识点】多边形的对角线；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵多边形的每一个内角都等于140°，
∴每个外角是180°﹣140°=40°，
∴这个多边形的边数是360°÷40°=9，
∴从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是6条．
故选：A．
【分析】先求出多边形的边数，再求从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数即可．
4．如图，已知△ABC中，∠A=75°，则∠1+∠2=（ ）
A．335° B．255° C．155° D．150°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角
【解析】【解答】解： ∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=75°，
∴∠B+∠C=180°﹣∠A=105°．
∵∠1+∠2+∠B+∠C=360°，
∴∠1+∠2=360°﹣105°=255°．
故答案为：B．
【分析】根据三角形的内角和得出∠B+∠C的度数，再根据四边形的内角和即可算出 ∠1+∠2 的度数。
5．如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P=（ ）
A．90°﹣ α B． α
C．90°+ α D．360°﹣α
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD=360°﹣（∠A+∠D）=360°﹣α，
∵PB和PC分别为∠ABC、∠BCD的平分线，
∴∠PBC+∠PCB= （∠ABC+∠BCD）= （360°﹣α）=180°﹣ α，
则∠P=180°﹣（∠PBC+∠PCB）=180°﹣（180°﹣ α）= α．
故答案为：B．
【分析】根据四边形的内角和得出∠ABC+∠BCD=360°﹣α，根据角平分线的定义得出∠PBC+∠PCB= （∠ABC+∠BCD）= （360°﹣α）=180°﹣ α，最后根据三角形的内角和，由∠P=180°﹣（∠PBC+∠PCB）即可算出答案。
6．（2018八上·北京期末）一个多边形每个外角都等于36°，则这个多边形是几边形（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：这个多边形的边数是： =10．故答案是D．
【分析】任何一个多边形的外角和都是360 ，又一个多边形每个外角都等于36°，故用36036即可得出多边形的边数。
7．（2018·铜仁模拟）正十二边形的每一个内角的度数为（ ）
A．120° B．135° C．150° D．108°
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】详解： 正十二边形的每个外角的度数是：
＝30°，
则每一个内角的度数是：180° 30°＝150°.
故答案为：C．
【分析】因为正多边形的每个外角的度数都相等，所以根据任意多边形的外角和都等于可求解。
8．下列说法中，①三角形的内角中最多有一个钝角；②三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；③从n边形的一个顶点可以引（n﹣3）条对角线，把n边形分成（n﹣2）个三角形，因此，n边形的内角和是（n﹣2） 180°；④六边形的对角线有7条，正确的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；多边形的对角线
【解析】【解答】解： ①假设一个三角形有两个钝角，那么这两个钝角的和大于180°，与三角形的内角和为180°相矛盾．故三角形的内角中最多有一个钝角，正确；
②三角形的中线把三角形分成的两个三角形的底边相等，高相同，所以面积相等，正确；
③因为连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．n边形的一个顶点不能与它本身及左右两个邻点相连成对角线，故从n边形的一个顶点可以引（n﹣3）条对角线，把n边形分成（n﹣2）个三角形，每一个三角形的内角和是180°，因此，n边形的内角和是（n﹣2） 180°，正确；
④n边形共有 条对角线，所以六边形的对角线有6×3÷2=9条，错误．
故答案为：B．
【分析】①，钝角就是大于0°且小于180°的角，根据三角形的内角和，即可判断出 三角形的内角中最多只能有一个钝角，故①正确； ②根据同高等底的两个三角形面积相等即可得出三角形的中线把三角形分成的两个三角形的面积相等，故②正确；③因为连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．n边形的一个顶点不能与它本身及左右两个邻点相连成对角线，故从n边形的一个顶点可以引（n﹣3）条对角线，把n边形分成（n﹣2）个三角形，每一个三角形的内角和是180°，这些三角形彼此之间即不重合也无缝隙，因此这些三角形的内角和就是该多边形的内角和故，n边形的内角和是（n﹣2） 180°，③正确；④因为连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．n边形的一个顶点不能与它本身及左右两个邻点相连成对角线，故从n边形的一个顶点可以引（n﹣3）条对角线，但每两个顶点之间只能一条对角线，故n边形共有 条对角线，将n=6代入即可判断出④是错误的。
9．一个多边形的外角和等于它的内角和的 ，那么它的边数是（ ）
A．10 B．12 C．13 D．14
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解： ∵多边形的外角和是360度，
又∵多边形的外角和等于它的内角和的 ，
∴（n﹣2）×180°=6×360°，
解得：n=14
故答案为：D．
【分析】设该多边形的边数是n，故其内角和为（n﹣2）×180°，又任何多边形的外角和都是360°，根据多边形的外角和等于它的内角和的 即可列出方程，求解即可。
10．若四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C=1：2：4，且∠D=108°，则∠A+∠C的度数等于（ ）
A．108° B．180° C．144° D．216°
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解： ∵∠A：∠B：∠C=1：2：4，
∴设∠A=x°，则∠B=2x°，∠C=4x°
在四边形ABCD中，根据内角和定理得到：x+2x+4x+108=360
解得：x=36
∴∠A=36°，∠C=144°，
∴∠A+∠C=36+144=180°．
故答案为：B．
【分析】由∠A：∠B：∠C=1：2：4，设∠A=x°，则∠B=2x°，∠C=4x°根据四边形的内角和为360°，列出方程，求解得出x，进而算出∠A，∠C的度数，从而算出答案。
二、填空题
11．（2017八上·孝义期末）五边形的内角和为 ．
【答案】540°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：（5﹣2） 180°=540°．
故答案为：540°．
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2） 180°计算即可．
12．一个n边形的内角和是720°，则n= ．
【答案】6
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：依题意有：
（n﹣2） 180°=720°，
解得n=6．
故答案为：6．
【分析】由多边形的内角和公式得出该多边形的内角和为（n﹣2） 180°，又该多边形的内角和是720°，根据用两个不同的式子表示同一个量，则这两个式子相等，从而列出方程，求解即可。
13．两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠AOB等于 度．
【答案】108
【知识点】多边形内角与外角；邻补角
【解析】【解答】解：如图
，
由正五边形的内角和，得∠1=∠2=∠3=∠4=108°，
∠5=∠6=180°﹣108°=72°，
∠7=180°﹣72°﹣72°=36°．
∠AOB=360°﹣108°﹣108°﹣36°=108°，
故答案为：108
【分析】根据正多边形的性质得出∠1=∠2=∠3=∠4=108°，根据邻补角的定义即可得出∠5、∠6的度数，再根据三角形的内角和即可算出∠7的度数，最后根据周角的定义即可算出答案。
14．（2017·新吴模拟）如图，已知正五边形ABCDE，AF∥CD，交DB的延长线于点F，则∠DFA= 度．
【答案】36
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】∵正五边形的外角：为360°÷5=72°，
∴∠C=180°﹣72°=108°，
∵CD=CB，
∴∠CDB=36°，
∵AF∥CD，
∴∠DFA=∠CDB=36°，
故答案为：36．
【分析】根据正多边形的外角和公式即可得出正五边形的每个外角度数，再根据邻补角得∠C=108°，由等腰三角形性质和三角形内角和得∠CDB=36°，再由平行线性质得∠DFA=∠CDB=36°.
15．如图，四边形ABCD中，∠A=100°，∠C=70°．将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠B= 度．
【答案】95
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解： ∵MF∥AD，FN∥DC，
∴∠BMF=∠A=100°，∠BNF=∠C=70°，
∵△BMN沿MN翻折得△FMN，
∴∠BMN= ∠BMF= ×100°=50°，
∠BNM= ∠BNF= ×70°=35°，
在△BMN中，∠B=180°﹣（∠BMN+∠BNM）=180°﹣（50°+35°）=180°﹣85°=95°．
故答案为：95．
【分析】根据二直线平行同位角相等得出∠BMF=∠A=100°，∠BNF=∠C=70°，根据翻折的性质得出∠BMN= ∠BMF= ×100°=50°，∠BNM= ∠BNF= ×70°=35°，根据三角形的内角和即可算出∠B的度数。
16．如图，用若干个全等的正五边形可以拼成一个环状，如图是前3个正五边形的拼接情况，要完全拼成一个圆环还需要的正五边形个数是 ．
【答案】7
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设要完全拼成一个圆环需要的正五边形为n个，
所以（n﹣2） 180°=（360°﹣2×108°）n，解得n=10，
所以要完全拼成一个圆环还需要的正五边形的个数为7．
故答案为7．
【分析】设要完全拼成一个圆环需要的正五边形为n个，则围成的多边形为正n边形，利用正五边形的内角计算出正n边形的每一个内角的度数，然后滚局正n边形的内角和为（n﹣2） 180°或（360°﹣2×108°）n，根据用两个不同的式子表示同一个量，则这两个式子相等，列出方程，求解得出n的值，进而得出答案。
三、解答题
17．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数．
【答案】解：设这个多边形的边数是n，
依题意得（n﹣2）×180°=3×360°﹣180°，
n﹣2=6﹣1，
n=7．
∴这个多边形的边数是7
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】多边形的外角和是360度，根据多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，即可得到多边形的内角和的度数．根据多边形的内角和定理即可求得多边形的边数．
18．（1）填表：
n（凸多边形的边数） 3 4 5 …
m（凸多边形中角度等于135°的内角个数的最大值）
（2）猜想给定一个正整数n，凸n边形最多有m个内角等于135°，则m与n之间有怎样的关系？
（3）取n=7验证你的猜想是否成立？如果不成立，请给出凸n边形中最多有多少个内角等于135°？并说明理由．
【答案】（1）1；2；3
（2）解：由（1）得：凸n边形中角度等于135°的内角个数的最大值为：n﹣2．
即m=n﹣2
（3）解：取n=7时，m=6，验证猜想不成立；
设凸n边形最多有m个内角等于135°，则每个135°内角的外角都等于45°，
∵凸n边形的n个外角和为360°，
∴k≤ =8，只有当n=8时，m才有最大值8，
讨论n≠8时的情况：
①当时n＞8，显然，m的值是7；
②当n=3，4，5时，m的值分别为1，2，3；
③当n=6，7时，m的值分别为5，6；
综上所述，当3≤n≤5时，凸n边形最多有n﹣2个内角等于135°；当6≤n≤7时，凸n边形最多有n﹣1个内角等于135°；当n=8时，凸n边形最多有8个内角等于135°；当n＞8时，凸n边形最多有7个内角等于135°．
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】（ 1）解：∵三角形中只有一个钝角，
∴三边形中角度等于135°的内角个数的最大值为1；
∵四边形的内角和为360°，
∴四边形中角度等于135°的内角个数的最大值为2；
∵五边形的内角和为540°，
∴五边形中角度等于135°的内角个数的最大值为3；
故答案为：1，2，3；
【分析】（1）根据各个多边形的内角和定理即可得出：三边形中角度等于135°的内角个数的最大值为1；四边形中角度等于135°的内角个数的最大值为2；五边形中角度等于135°的内角个数的最大值为3；
（2）通过（1）所得的结果即可发现： 凸n边形中角度等于135°的内角个数的最大值 总是比n小2，从而得出m与n的关系；
（3） 设凸n边形最多有m个内角等于135°，则每个135°内角的外角都等于45°， 由 凸n边形的n个外角和为360°， 可得 k≤ =8，只有当n=8时，m才有最大值8， 从而得出 当3≤n≤5时，凸n边形最多有n﹣2个内角等于135°；当6≤n≤7时，凸n边形最多有n﹣1个内角等于135°；当n=8时，凸n边形最多有8个内角等于135°；当n＞8时，凸n边形最多有7个内角等于135°．
19．如图，六边形ABCDEF的内角都相等，CF∥AB．
（1）求∠FCD的度数；
（2）求证：AF∥CD．
【答案】（1）解：∵六边形ABCDEF的内角相等，
∴∠B=∠A=∠BCD=120°，
∵CF∥AB，
∴∠B+∠BCF=180°，
∴∠BCF=60°，
∴∠FCD=60°
（2）解：∵∠AFC=360°﹣120°﹣120°﹣60°=60°，
∴∠AFC=∠FCD，
∴AF∥CD
【知识点】平行线的判定与性质；多边形内角与外角
【解析】【分析】（1）由六边形的每一个内角都相等得出 ∠B=∠A=∠BCD=120°， 根据二直线平行同旁内角互补得出 ∠B+∠BCF=180°， 从而算出∠BCF的度数，进而根据角的和差算出 ∠FCD的度数；
（2）根据四边形的内角和得出 ∠AFC 的度数，从而得出 ∠AFC=∠FCD=60°， 根据内错角相等，二直线平行得出结论： AF∥CD 。
20．（1）如图是一个多边形，你能否用一直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足下列条件：（画出图形，把截去的部分打上阴影）
①新多边形内角和比原多边形的内角和增加了180°．
②新多边形的内角和与原多边形的内角和相等．
③新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了180°．
（2）将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为2520°，求原多边形的边数．
【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：设新多边形的边数为n，
则（n﹣2） 180°=2520°，
解得n=16，
①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为15，
②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为16，
③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为17，
故原多边形的边数可以为15，16或17．
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】（1）多边形的内角和与多边形的边数有关，边数每增加一边，其内角和就增加180°； ①截线 过多边形两边进行剪截， 新多边形的边数就会比原多边形增加一条，故内角和比原多边形的内角和增加了180° ； ②截线过多边形一边与一个顶点进行剪截， 新多边形的边数就不会增加，故新多边形的内角和与原多边形的内角和相等； ③截线过多边形两个顶点进行剪截， 新多边形的边数就会比原多边形减少一边，增故新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了180°；
（2） 设新多边形的边数为n， 新多边形的内角和为 （n﹣2） 180° ，又新多边形的内角和为2520° ，从而列出方程，求解得出n的值，再根据（1）所得的结论即可求出原多边形的边数。
21．（1）分别画出下列各多边形的对角线
（2）并观察图形完成下列问题：
①试写出用n边形的边数n表示对角线总条数S的式子： ．
②从十五边形的一个顶点可以引出 条对角线，十五边形共有 条对角线：
③如果一个多边形对角线的条数与它的边数相等，求这个多边形的边数．
【答案】（1）如图所示，
（2）S= n（n﹣3）；12；90；解：设多边形有n条边， 则 n（n﹣3）=n， 解得n=5或n=0（应舍去）． 故这个多边形的边数是5
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：（2）①用n边形的边数n表示对角线总条数S的式子：S= n（n﹣3）；
②十五边形从一个顶点可引出对角线：15﹣3=12（条），共有对角线： ×15×（15﹣3）=90（条）；
故答案为：S= n（n﹣3）；12，90．
【分析】（1）因为连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．n边形的一个顶点不能与它本身及左右两个邻点相连成对角线，根据定义分别画出每一个图形的对角线即可；
（2）①因为连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．n边形的一个顶点不能与它本身及左右两个邻点相连成对角线，故从n边形的一个顶点可以引（n﹣3）条对角线，该多边形有n个顶点，故需要引对角线n（n﹣3）条，但由于每不相邻的两个顶点之间只有一条对角线，故可得出S= n（n﹣3）；②将n=15代入①所得的公式即可算出答案；③根据 一个多边形对角线的条数与它的边数相等 列出方程，求解并检验即可得出答案。
22．定义：把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形．如图1，四边形ABCD为凹四边形．
（1）性质探究：请完成凹四边形一个性质的证明．
已知：如图2，四边形ABCD是凹四边形
求证：∠BCD=∠B+∠A+∠D
（2）性质应用：
①如图3，在凹四边形ABCD中，∠BAD与∠BCD两角的角平分线交于点E，
若∠ADC=140°，∠AEC=100°，求∠B的度数．
②如图4，已知∠BOC=58°，x=∠A+∠B，y=∠C+∠D+∠E+∠F，求（x+y）的度数．
【答案】（1）解：延长BC交AD于点M
∵∠BCD是△CDM的外角，
∴∠BCD=∠CMD+∠D，
同理∠CMD是△ABM的外角，
∴∠CMD=∠A+∠B，
∴∠BCD=∠A+∠B+∠D
（2）解：①如图3，
由凹四边形的性质，得∠CDA=∠E+∠EAD+∠ECD，
∵∠ADC=140°，∠AEC=100°，
∴∠EAD+∠ECD=40°．
∵∠BAD与∠BCD两角的角平分线交于点E，
∴∠BCA+∠BAC=80°，
由凹四边形的性质，得∠CDA=∠B+∠BCA+∠BAC，
∴∠B=140°﹣80°=60°．
②如图4，∵∠BOC=58°，
∴∠COE=∠BOF=122°，
由凹四边形的性质，得∠A+∠C+∠E=∠COE=122°，
∠B+∠D+∠F=∠BOF=122°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=122°+122°=244°．
故答案为：244°．
【知识点】三角形的外角性质；多边形内角与外角
【解析】【分析】（1） 延长BC交AD于点M ，根据三角形外角定理得出 ∠BCD=∠CMD+∠D①， ∠CMD=∠A+∠B②， 将②代入①即可得出结论： ∠BCD=∠B+∠A+∠D ；
（2） ①如图3， 由凹四边形的性质，得∠CDA=∠E+∠EAD+∠ECD， 从而得出 ∠EAD+∠ECD=40°，根据角平分线的定义得出 ∠BCA+∠BAC=2（∠EAD+∠ECD）=80°①； 由凹四边形的性质，得∠CDA=∠B+∠BCA+∠BAC②， 将①代入②即可算出 ∠B 的度数； ②如图4 ，根据邻补角的定义得出 ∠COE=∠BOF=122°， 由凹四边形的性质，得∠A+∠C+∠E=∠COE=122°①， ∠B+∠D+∠F=∠BOF=122°②， 将①+②即可得出答案。
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