人教A版（2019） 必修一 5.5 两角和与差的正切公式
一、单选题
1．（2020·新课标Ⅲ·理）已知2tanθ–tan(θ+ )=7，则tanθ=（ ）
A．–2 B．–1 C．1 D．2
【答案】D
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】 ， ，
令 ，则 ，整理得 ，解得 ，即 .
故答案为：D.
【分析】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案.
2．（2020高三上·天津月考）已知tan(α﹣β)= ，tan(α+ )= ，则tan(β+ )等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】解：由题可得，
，
故答案为：C
【分析】由题可分析得到 ，由差角公式，将值代入求解即可.
3．（2020高二上·毕节月考）如果 ，那么 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】解： ， ，
．
故答案为：C
【分析】将所求式子中的角 变形为 ，利用两角和与差的正切函数公式化简后，将已知的两等式的值代入即可求出值．
4．（2020高一下·莲湖期末）已知 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】 ．
故答案为：D．
【分析】由两角差的正切公式计算．
5．（2020高三上·海口月考）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两角和与差的正切公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】因为 ，所以 ，
则 .
故答案为：A.
【分析】先利用两角和的正切公式求得 值，再根据齐次式化弦为切求 即可.
6．（2020高一下·故城期中）在 中， ，则C等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】解：由 ，
则 ，
因为 位三角形的内角，所以 ，所以 ，
故答案为：C．
【分析】利用两角和的正切公式，求出 的三角函数值，求出 的大小，然后求出C的值即可．
7．（2020高一下·徐州期中）已知：α，β均为锐角，tanα ，tanβ ，则α+β＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】解：由于α，β均为锐角，tanα ，tanβ ，
所以 .
所以 .
所以 .
故答案为：B.
【分析】直接利用三角函数关系式的变换及和角公式的运用求出结果.
8．（2020高一下·杭州月考）若A是 的内角，满足 ，则A的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】由题意： ，
又A是 的内角，所以A=
故答案为：C.
【分析】将已知变形为两角和的正切公式形式，结合特殊角的三角函数值，直接计算.
9．（2020高二上·玉溪月考）已知 ， 是方程 的两根，且 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D． 或
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；两角和与差的正切公式
【解析】【解答】因为 ， 是方程 的两根，
所以 ，
则 ，
又 ， ，所以 ，
因此 .
故答案为：C.
【分析】根据韦达定理，得到 ，再由两角和的正切公式，结合角的范围，即可得出结果.
10．（2020高一下·海丰月考） （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】
.
故答案为：A
【分析】根据两角和的正切公式变形得 ，即可求解.
11．（2019高三上·安徽月考） （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两角和与差的正切公式；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】因为 ，
所以 .
故答案为：B.
【分析】利用诱导公式将 转变为 ，再根据两角差的正切计算 的值.
二、多选题
12．（2020高一下·徐州期中）在 中， ， ，下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C,D
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】 ， ，
， ， A，B不符合题意；
，
①，
又 ②，
联立①②解得 ， ，C，D符合题意：
故答案为：CD.
【分析】根据三角形内角和定理可得 ，可得 ， A，B不符合题意；再根据已知条件和两角和的正切公式可得 ，故选项C，D符合题意.
13．（2020高三上·大东月考）若 ，则 的值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,D
【知识点】两角和与差的正切公式；二倍角的正切公式
【解析】【解答】设 ， ， ，故 .
故答案为：BD.
【分析】设 ，直接利用二倍角的正切公式和两角和的正切公式。即可得到答案。
三、填空题
14．（2020高三上·海淀期中）已知 ，则 .
【答案】-3
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】因为 ，所以 ．
【分析】由两角差的正切公式展开，解关于 的方程．
15．（2020高二上·焦作期中）已知 不是直角三角形， ，则 .
【答案】2
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
则 ，
整理得 ，
所以 ，
，
，
故答案为：2。
【分析】利用角C的值结合三角形内角和公式，从而求出A+B的值，再利用两角和的正切公式，从而变形求出的值。
16．（2020高一上·合肥期末）已知 ， ，则 .
【答案】2
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】由 ， 得 ，解得 .
故答案为：2
【分析】利用两角和的正切公式列方程，解方程求得 的值.
17．（2020高一下·抚顺期末） .
【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】解：因为 ，
所以 ，
所以
.
故答案为： .
【分析】根据 ，得 ，代入要求的式子即可得出答案.
18．（2020高一下·徐州期末）已知 ，则 的值为
【答案】-3
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】由题意 ．
故答案为：-3．
【分析】由两角差的正切公式计算．
19．（2020·南通模拟）在 中， ， ，则 的值为 .
【答案】1
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正切公式
【解析】【解答】因为 ，所以 ，
即有 ， ；
.
故答案为：1.
【分析】先根据 求出 ，结合和角公式可求 .
20．（2020·济宁模拟）已知 ， ，则 的值为 ．
【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】 ，
。
【分析】利用角之间的关系式结合已知条件，再利用两角和与差的正切公式，从而求出 的值。
四、解答题
21．（2020高二上·深圳月考）已知 ．
（1）求 的值；
（2）求 的值．
【答案】（1）解：∵ ，
且 ，∴ ．
（2）解：
．
【知识点】两角和与差的正切公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）根据 利用两角差的正切公式计算可得；（2）利用二倍角公式及弦化切代入计算可得；
22．（2020高一下·徐州期中）已知α，β∈（0，π），且tanα＝2，cosβ .
（1）求tan（α+β）的值；
（2）求2α﹣β的值.
【答案】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ .
∴ .
（2）解：由（1）知 ，∴ .
∴ .
∵tanα＝2，α∈（0，π），
∴ ，∵ ，
∴ ，
∵tan（2α﹣β）＝﹣1
∴ .
【知识点】两角和与差的正切公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）直接利用三角函数关系式的变换的应用和同角三角函数关系式的变换求出结果.（2）利用角的变换的应用及和（差）角公式的应用，求出结果.
23．（2020高一下·海淀期中）已知 ，
（1）求 的值；
（2）求函数 的最大值．
【答案】（1）解：由
得 ，
于是 =
（2）解：因为
所以
的最大值为 .
【知识点】两角和与差的正切公式；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）利用角，的取值范围结合同角三角函数基本关系式，再利用两角和的正切公式，从而求出 的值。
（2）利用已知条件结合同角三角函数基本关系式求出角的正弦值和余弦值，再代入到函数f（x)的解析式中，再利用三角函数最值的求解方法求出函数 的最大值。
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一、单选题
1．（2020·新课标Ⅲ·理）已知2tanθ–tan(θ+ )=7，则tanθ=（ ）
A．–2 B．–1 C．1 D．2
2．（2020高三上·天津月考）已知tan(α﹣β)= ，tan(α+ )= ，则tan(β+ )等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2020高二上·毕节月考）如果 ，那么 的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2020高一下·莲湖期末）已知 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．
5．（2020高三上·海口月考）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．（2020高一下·故城期中）在 中， ，则C等于（ ）
A． B． C． D．
7．（2020高一下·徐州期中）已知：α，β均为锐角，tanα ，tanβ ，则α+β＝（ ）
A． B． C． D．
8．（2020高一下·杭州月考）若A是 的内角，满足 ，则A的大小是（ ）
A． B． C． D．
9．（2020高二上·玉溪月考）已知 ， 是方程 的两根，且 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D． 或
10．（2020高一下·海丰月考） （ ）
A． B． C． D．
11．（2019高三上·安徽月考） （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
12．（2020高一下·徐州期中）在 中， ， ，下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
13．（2020高三上·大东月考）若 ，则 的值可能为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
14．（2020高三上·海淀期中）已知 ，则 .
15．（2020高二上·焦作期中）已知 不是直角三角形， ，则 .
16．（2020高一上·合肥期末）已知 ， ，则 .
17．（2020高一下·抚顺期末） .
18．（2020高一下·徐州期末）已知 ，则 的值为
19．（2020·南通模拟）在 中， ， ，则 的值为 .
20．（2020·济宁模拟）已知 ， ，则 的值为 ．
四、解答题
21．（2020高二上·深圳月考）已知 ．
（1）求 的值；
（2）求 的值．
22．（2020高一下·徐州期中）已知α，β∈（0，π），且tanα＝2，cosβ .
（1）求tan（α+β）的值；
（2）求2α﹣β的值.
23．（2020高一下·海淀期中）已知 ，
（1）求 的值；
（2）求函数 的最大值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】 ， ，
令 ，则 ，整理得 ，解得 ，即 .
故答案为：D.
【分析】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案.
2．【答案】C
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】解：由题可得，
，
故答案为：C
【分析】由题可分析得到 ，由差角公式，将值代入求解即可.
3．【答案】C
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】解： ， ，
．
故答案为：C
【分析】将所求式子中的角 变形为 ，利用两角和与差的正切函数公式化简后，将已知的两等式的值代入即可求出值．
4．【答案】D
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】 ．
故答案为：D．
【分析】由两角差的正切公式计算．
5．【答案】A
【知识点】两角和与差的正切公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】因为 ，所以 ，
则 .
故答案为：A.
【分析】先利用两角和的正切公式求得 值，再根据齐次式化弦为切求 即可.
6．【答案】C
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】解：由 ，
则 ，
因为 位三角形的内角，所以 ，所以 ，
故答案为：C．
【分析】利用两角和的正切公式，求出 的三角函数值，求出 的大小，然后求出C的值即可．
7．【答案】B
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】解：由于α，β均为锐角，tanα ，tanβ ，
所以 .
所以 .
所以 .
故答案为：B.
【分析】直接利用三角函数关系式的变换及和角公式的运用求出结果.
8．【答案】C
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】由题意： ，
又A是 的内角，所以A=
故答案为：C.
【分析】将已知变形为两角和的正切公式形式，结合特殊角的三角函数值，直接计算.
9．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；两角和与差的正切公式
【解析】【解答】因为 ， 是方程 的两根，
所以 ，
则 ，
又 ， ，所以 ，
因此 .
故答案为：C.
【分析】根据韦达定理，得到 ，再由两角和的正切公式，结合角的范围，即可得出结果.
10．【答案】A
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】
.
故答案为：A
【分析】根据两角和的正切公式变形得 ，即可求解.
11．【答案】B
【知识点】两角和与差的正切公式；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】因为 ，
所以 .
故答案为：B.
【分析】利用诱导公式将 转变为 ，再根据两角差的正切计算 的值.
12．【答案】C,D
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】 ， ，
， ， A，B不符合题意；
，
①，
又 ②，
联立①②解得 ， ，C，D符合题意：
故答案为：CD.
【分析】根据三角形内角和定理可得 ，可得 ， A，B不符合题意；再根据已知条件和两角和的正切公式可得 ，故选项C，D符合题意.
13．【答案】B,D
【知识点】两角和与差的正切公式；二倍角的正切公式
【解析】【解答】设 ， ， ，故 .
故答案为：BD.
【分析】设 ，直接利用二倍角的正切公式和两角和的正切公式。即可得到答案。
14．【答案】-3
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】因为 ，所以 ．
【分析】由两角差的正切公式展开，解关于 的方程．
15．【答案】2
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
则 ，
整理得 ，
所以 ，
，
，
故答案为：2。
【分析】利用角C的值结合三角形内角和公式，从而求出A+B的值，再利用两角和的正切公式，从而变形求出的值。
16．【答案】2
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】由 ， 得 ，解得 .
故答案为：2
【分析】利用两角和的正切公式列方程，解方程求得 的值.
17．【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】解：因为 ，
所以 ，
所以
.
故答案为： .
【分析】根据 ，得 ，代入要求的式子即可得出答案.
18．【答案】-3
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】由题意 ．
故答案为：-3．
【分析】由两角差的正切公式计算．
19．【答案】1
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正切公式
【解析】【解答】因为 ，所以 ，
即有 ， ；
.
故答案为：1.
【分析】先根据 求出 ，结合和角公式可求 .
20．【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】 ，
。
【分析】利用角之间的关系式结合已知条件，再利用两角和与差的正切公式，从而求出 的值。
21．【答案】（1）解：∵ ，
且 ，∴ ．
（2）解：
．
【知识点】两角和与差的正切公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）根据 利用两角差的正切公式计算可得；（2）利用二倍角公式及弦化切代入计算可得；
22．【答案】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ .
∴ .
（2）解：由（1）知 ，∴ .
∴ .
∵tanα＝2，α∈（0，π），
∴ ，∵ ，
∴ ，
∵tan（2α﹣β）＝﹣1
∴ .
【知识点】两角和与差的正切公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）直接利用三角函数关系式的变换的应用和同角三角函数关系式的变换求出结果.（2）利用角的变换的应用及和（差）角公式的应用，求出结果.
23．【答案】（1）解：由
得 ，
于是 =
（2）解：因为
所以
的最大值为 .
【知识点】两角和与差的正切公式；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）利用角，的取值范围结合同角三角函数基本关系式，再利用两角和的正切公式，从而求出 的值。
（2）利用已知条件结合同角三角函数基本关系式求出角的正弦值和余弦值，再代入到函数f（x)的解析式中，再利用三角函数最值的求解方法求出函数 的最大值。
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