江苏省苏州市2012-2013学年高二下学期期末调研测试数学（文）试卷

2012～2013学年苏州市高二期末调研测试
数学（文科）
2013．6
注意事项：
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1. 本试卷共4页，包含填空题（第1题 ( 第14题）、解答题（第15题 ( 第20题）．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．
2. 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3. 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．
4. 如需作图，须用铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
已知集合A ( {1，2，3 }，B ( { x | x ? 3 }，则A ∩ B ( ▲ ．
函数的最小正周期为 ▲ ．
命题“，”的否定是 ▲ ．
双曲线的渐近线方程为 ▲ ．
设是虚数单位，若复数满足，则复数的虚部为 ▲ ．
在实数等比数列中，，若，则 ▲ ．
曲线在点P（2，4）处的切线方程为 ▲ ．
设是定义在上周期为2的偶函数，且当x([0，1]时，，则
= ▲ ．
已知l，m是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列命题：
①； ②∥∥；
③∥； ④∥．
在上述命题中，所有真命题的序号为 ▲ ．
已知，则的值为 ▲ ．
已知函数（为常数）在区间（1，(∞）上是增函数，则的取值范围是 ▲ ．
设P是直线上的一个动点，过P作圆的两条切线，若的最大值为60(，则b = ▲ ．
已知函数的图象的对称中心为，函数的图象的对称中心为，函数的图象的对称中心为，……，由此推测，函数的图象的对称中心为 ▲ ．
已知等差数列的首项a1及公差d都是实数，且满足，则的取值范围是 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角的大小；
（2）若b = 3，，求a，c的值．
16．（本小题满分14分）
如图，在四棱锥P ( ABCD中，BC∥AD，(DAB = 90(，AD = 2 BC，PB(平面PAD．
（1）求证：AD (平面PAB；
（2）设点E在棱PA上，PC∥平面EBD，求的值．
17．（本小题满分14分）
已知等差数列{an}的公差d大于0，且满足．数列{bn}满足
．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）设，求取得最大值时的值．
18．（本小题满分16分）
已知椭圆(a > b > 0)的一个焦点为（，0），且椭圆过点A（，1）．
（1）求椭圆的方程；
（2）设M（0，m）（），P是椭圆上的一个动点，求PM 的最大值（用m表示）．
19．（本小题满分16分）
某公司拟制造如图所示的工件（长度单位：米），要求工件的体积为10立方米，其中工件的中间为长方体，上下两端为相同的正四棱锥，其底面边长AB = ，高PO = ．假设工件的制造费用仅与其表面积有关，已知正四棱柱侧面每平方米制造费用为2千元，正四棱锥侧面每平方米建造费用为4千元．设工件的制造费用为千元．
（1）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；
（2）求该工件的制造费用最小时的值．
20．（本小题满分16分）
已知函数．
（1）若函数的图象在点处的切线方程为，求实数，的值；
（2）若，求的单调减区间；
（3）对一切实数a((0,1)，求f(x)的极小值的最大值．
苏州市2012－2013学年高二教学调研测试
数 学（文科）参考答案 2013．6
一、填空题
1．{ 1，2 } 2． 3．， 4． 5． ( 1
6．5 7． 8． 9．① 10．
11． 12． 13． 14．
二、解答题
15．解：（1），
由正弦定理得． ……………… 2分
∵，∴．则． ……………… 4分
∵，∴．则． ……………… 7分
（注：没有指出角A，B的范围，各扣1分）
（2），由正弦定理得． …………… 9分
由余弦定理，
得． ……………… 11分
解得a = ．则c = ． ……………… 14分
16．证明：（1）∵PB (平面PAD，AD平面PAD，∴PB ( AD． ………… 2分
∵AB ( AD，AB ∩ PB = B，∴AD ( 平面PAB． ……………… 5分
（2）连结AC交BD于点F，连结EF． …… 6分
∵PC∥平面EBD，PC 平面PAC，
平面EBD ∩ 平面PAC = EF，
∴PC∥EF． ……………… 9分
∵BC∥AD，∴△ADF ∽ △CBF．
∵AD = 2 BC，∴．…… 12分
则． ……………… 14分
17．解：（1）是一个公差d大于0的等差数列，则．
∴解得 ……………… 2分
则3d = a6 ( a3 = 6，d = 2．a1 = 1．
∴an = 2n ( 1． ……………… 4分
，①
当时，； ……………… 5分
当时，，②
① ( ②，得．
∴． ……………… 8分
由，，得 ……………… 9分
（2）设，即 ． ……………… 10分
，∴．
即（等号不成立）． ……………… 12分
∴c1 ? c2 ? c3 ? c4，c4 ? c5 ? …．
∴时，最大． ……………… 14分
18．解：（1）由题意，c =，则． ………… 2分
可设椭圆方程为．
∵椭圆过点（，1），∴，解得． ……… 4分
（或由椭圆定义，得，则a = 2，同样得2分）
∴椭圆方程为． ……………… 6分
（2）设，则．
∴． …………… 9分
由，得． …………… 11分
∴当时，在y0 = ( m时，得PM的最大值为； …………13分
当时，在y0 = (时，得PM的最大值为． ………… 15分
即 ………… 16分
19．解：（1）AB = ，PO = ，∴斜高为．………… 2分
∴一个正四棱锥的侧面积为．
一个正四棱锥的体积为． …………… 4分
令长方体的高为，则．∴． …………… 6分
由，得． …………… 8分
，定义域为．……… 11分
（2），令，得． …………… 13分
当，，y为a的减函数；
当，，y为a的增函数， …………… 15分
（答）该工件的制造费用最小时，的值为（米）． …………… 16分
20．解：（1）， ………… 1分
由，得a = 5． ………… 2分
∴．则．
则（2，3）在直线上．∴b = (15． ………… 4分
（2）① 若，，
∴的单调减区间为（1，(∞）． ………… 6分
② 若，则
令，得．∴，或x ? 1． ………… 9分
∴的单调减区间为，（1，(∞）． ………… 10分
（3），0 ? a ? 1，
列表：
（(∞，1）
1
（1，）
（，(∞）
+
0
(
0
(
↗
极大值
↘
极小值
↗

………… 12分
∴f(x) 的极小值为
． ………… 14分
当时，函数f(x) 的极小值f()取得最大值为． ………… 16分