2.4 分式方程同步练习题（含答案）
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第二章 分式与分式方程
4 分式方程
基础过关
知识点1 分式方程的概念
1.下列方程不是分式方程的是( )
知识点2 分式方程的解法
2.对于分式方程 有以下说法：①将原方程转化为整式方程为,解得;②原方程的解为;③原方程无解.其中，说法正确的个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.0
3.方程 的解为( )
4.定义一种“”运算:例如： 则方程2
的解是( )
5.若关于x的分式方程 有增根，则的值是( )
6.若关于x的分式方程 的解为正数，则m的取值范围是( )
7.若分式方程 无解，则m的值是( )
或
8.当__________时,代数式 的值比代数式 的值大1.
9.式子被称为二阶行列式，它的运算法则为若，则_______________.
10.解方程：
知识点3 分式方程的应用
11.为迎接建党一百周年，某校举行歌唱比赛.901班啦啦队买了两种价格的加油棒，其中缤纷棒共花费30元，荧光棒共花费40元，缤纷棒比荧光棒少20根，缤纷棒单价是荧光棒的1.5倍.若设荧光棒的单价为x元，根据题意可列方程为( )
12.为了践行“绿色生活”的理念，甲、乙两人每天骑自行车出行，甲匀速骑行40千米的时间与乙匀速骑行35千米的时间相同，已知甲每小时比乙多骑行2千米，设甲每小时骑行x千米，则下面列出的方程正确的是( )
13.甲、乙两人分别从距离目的地和的两地同时出发，甲、乙的速度比是2：3，结果甲比乙提前到达目的地.设甲的速度为，则下面所列方程正确的是( )
14.张丽在某直播间第一次购买了500元的冷冻大虾，“双十一”这天，这个直播间进行促销活动，每千克冷冻大虾降价4元，张丽第二次购买了450元的冷冻大虾，这两次购买的质量是相等的.若设第一次购买大虾的价格为元/千克,则所列方程为____________.
15.列方程解应用题：某市为了缓解交通拥堵现象，决定修建一条轻轨铁路的延长线，为使该延长线工程比原计划提前1个月完成，在保证质量的前提下，必须把工作效率提高10%.问原计划完成这项工程需要多少个月
能力提升
16.已知方程：①.这四个方程中，分式方程的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
17.定义,则方程的解为( )
18.某工厂生产A、B两种型号的扫地机器人.B型机器人比A型机器人每小时的清扫面积多50%；A型机器人清扫100 m 所用的时间比B型机器人多40分钟.两种型号的扫地机器人每小时分别清扫多少面积 若设A型扫地机器人每小时清扫 m ，根据题意可列方程为( )
19.甲、乙两人同时出发，沿着总长度为10 km的“健身步道”健步走，甲的速度是乙的1.2倍，甲比乙提前12分钟走完全程.设乙的速度为x km/h，则下列方程中正确的是( )
20.所有若关于x的分式方程 有增根,则___________.
21.若,且 ,则____________.
22.代数式与代数式的值相等,则.
23.某地积极响应“把绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念，开展荒山绿化，打造美好家园，促进旅游发展.某工程队承接了90万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了任务.设原计划每天绿化的面积为x万平方米，则所列方程为_______________.
24.解方程:
25.六一儿童节来临之际，某商店用3000元购进一批玩具，很快售完，第二次购进时，每件的进价提高了20%，同样用3000元购进的数量比第一次少了10件.
(1)第一次每件的进价为多少元
(2)若两次购进的玩具售价均为70元，且全部售完，则两次的总利润为多少元
26.[数学运算]观察下面的变形规律：
……
请尝试回答下面的问题：
若 则x的值为( )
A.1000 B.998 C.1 D.2
27.[数学运算]某市为了做好“全国文明城市”验收工作，计划对市区s米长的道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队进行施工.
(1)已知甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同.若甲工程队每天比乙工程队多改造30米，求甲、乙两工程队每天改造道路的长度各是多少米.
(2)若甲工程队每天可以改造a米道路，乙工程队每天可以改造b米道路(其中a≠b).
现在有两种改造方案：
方案一：前 米的道路由甲工程队改造，米的道路由乙工程队改造；
方案二：完成整个道路改造，前一半时间由甲工程队改造，后一半时间由乙工程队改造.
根据上述描述，请你判断哪种改造方案所用的时间少，并说明理由.
参考答案
基础过关
1.B A、C、D项，分母中都含有未知数，故都是分式方程；B项，分母中不含未知数，故是整式方程，故选B.
2.A 分式方程去分母，得 ,去括号,得解得 经检验， 是原方程的增根，所以原方程无解.故①②错误，③正确，故选A.
3.B 方程两边都乘 得 解得 检验：当 时, 所以是原方程的解，即原方程的解是 故选B.
4.B 根据题中的新定义，得 整理得
去分母得 解得
检验：把 代入最简公分母，得
∴分式方程的解为 故选B.
5.C 方程两边同乘得,解得
∵分式方程有增根,,∴,故选C.
6.D 方程 两边同乘x-1得m+1=2(x-1),解得
∵方程的解为正数，
∴且,故选D.
7.D 方程去分母得,解得,由分式方程无解,得或,解得或.把代入整式方程,得,故;把代入整式方程,得,故.故的值是或.故选D.
8.答案 0
解析 根据题意可得
方程两边同时乘,得 解得,
检验:当时,.所以原分式方程的解为.
9.答案 4
解析∵ 方程两边都乘,得,解得,检验:当时,，故是分式方程的解.
10.解析 (1)去分母得,
去括号得,
移项、合并同类项得，
检验:当时,,
∴原分式方程的解为.
(2)将原方程整理为
方程两边同乘得 ,
整理得,解得,
检验:当时,,
∴是原方程的增根，∴原方程无解.
11.B 荧光棒的单价为x元，则缤纷棒的单价是1.5x元，根据等量关系“缤纷棒比荧光棒少20根”列方程为 故选B.
12.A 甲每小时骑行x千米，则乙每小时骑行 千米，根据等量关系“甲匀速骑行40千米的时间=乙匀速骑行35千米的时间”列方程，得 故选A.
13.B 甲的速度为2xkm/h,则乙的速度为3x km/h.根据等量关系：乙走10km用的时间=甲走6km用的时间+20min,可得 故选B.
14.答案
解析 第一次购买大虾的价格为x元/千克，则第二次购买大虾的价格为(x-4)元/千克，根据两次购买的质量相等，可列方程为
15.解析 设原计划完成这项工程需要x个月，则实际完成这项工程需要(x-1)个月.
由题意，得 解得
经检验，x=11是所列方程的解，且符合实际意义.
答：原计划完成这项工程需要11个月.
能力提升
16.C 由分式方程的定义可知①②③是分式方程，④不是分式方程.故选C.
17.B 根据题中的新定义得
解得
经检验， 是分式方程的根.故选B.
18.D A型扫地机器人每小时清扫 则B型扫地机器人每小时清扫 根据“A型机器人清扫100m 所用的时间比B型机器人多40分钟”，得 故选D.
19.D 12分钟
乙的速度为x km/h,则甲的速度为1.2x km/h,
根据题意，得 故选D.
20.答案 3
解析 去分母得 整理得
∵关于x的分式方程 有增根，
把代入中,得,解得.
21.答案 1
解析
∵,∴方程化简为
整理得 方程两边都乘,得,解得,
经检验，是原方程的解，
∴原方程的解为.
22.答案 7
解析 根据题意得
去分母得,解得
经检验，是分式方程的根.∴方程的解为
23.答案
解析 原计划每天绿化的面积为x万平方米，则实际每天绿化的面积为(1+25%)x万平方米，依题意得
24.解析 方程两边同乘,得( ,
整理得解得检验:当时,
所以是原方程的增根.∴原方程无解.
25.解析 (1)设第一次每件的进价为x元，则第二次每件的进价为(1+20%)x元,
根据题意得 解得x=50,
经检验，x=50是方程的解，且符合题意.
答：第一次每件的进价为50元.
(元).
答：两次的总利润为1700元.
26.B 由原式得
化简得 即
去分母得解得,
经检验，是分式方程的解.∴方程的解为.故选B.
27.解析 (1)设乙工程队每天改造道路的长度为x米，则甲工程队每天改造道路的长度为(x+30)米，
根据题意，得 解得x=150,
经检验，x=150是原方程的解，且符合题意，∴x+30=180.
答：甲工程队每天改造道路的长度为180米，乙工程队每天改造道路的长度为150米.
(2)方案二所用的时间少，理由如下：
方案一所用时间为天,
设方案二所用时间为t天，
根据题意，得
∵a≠b,且
∴方案二所用的时间少.
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第二章 分式与分式方程
4 分式方程
基础过关
知识点1 分式方程的概念
1.下列方程不是分式方程的是( )
知识点2 分式方程的解法
2.对于分式方程 有以下说法：①将原方程转化为整式方程为,解得;②原方程的解为;③原方程无解.其中，说法正确的个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.0
3.方程 的解为( )
4.定义一种“”运算:例如： 则方程2
的解是( )
5.若关于x的分式方程 有增根，则的值是( )
6.若关于x的分式方程 的解为正数，则m的取值范围是( )
7.若分式方程 无解，则m的值是( )
或
8.当__________时,代数式 的值比代数式 的值大1.
9.式子被称为二阶行列式，它的运算法则为若，则_______________.
10.解方程：
知识点3 分式方程的应用
11.为迎接建党一百周年，某校举行歌唱比赛.901班啦啦队买了两种价格的加油棒，其中缤纷棒共花费30元，荧光棒共花费40元，缤纷棒比荧光棒少20根，缤纷棒单价是荧光棒的1.5倍.若设荧光棒的单价为x元，根据题意可列方程为( )
12.为了践行“绿色生活”的理念，甲、乙两人每天骑自行车出行，甲匀速骑行40千米的时间与乙匀速骑行35千米的时间相同，已知甲每小时比乙多骑行2千米，设甲每小时骑行x千米，则下面列出的方程正确的是( )
13.甲、乙两人分别从距离目的地和的两地同时出发，甲、乙的速度比是2：3，结果甲比乙提前到达目的地.设甲的速度为，则下面所列方程正确的是( )
14.张丽在某直播间第一次购买了500元的冷冻大虾，“双十一”这天，这个直播间进行促销活动，每千克冷冻大虾降价4元，张丽第二次购买了450元的冷冻大虾，这两次购买的质量是相等的.若设第一次购买大虾的价格为元/千克,则所列方程为____________.
15.列方程解应用题：某市为了缓解交通拥堵现象，决定修建一条轻轨铁路的延长线，为使该延长线工程比原计划提前1个月完成，在保证质量的前提下，必须把工作效率提高10%.问原计划完成这项工程需要多少个月
能力提升
16.已知方程：①.这四个方程中，分式方程的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
17.定义,则方程的解为( )
18.某工厂生产A、B两种型号的扫地机器人.B型机器人比A型机器人每小时的清扫面积多50%；A型机器人清扫100 m 所用的时间比B型机器人多40分钟.两种型号的扫地机器人每小时分别清扫多少面积 若设A型扫地机器人每小时清扫 m ，根据题意可列方程为( )
19.甲、乙两人同时出发，沿着总长度为10 km的“健身步道”健步走，甲的速度是乙的1.2倍，甲比乙提前12分钟走完全程.设乙的速度为x km/h，则下列方程中正确的是( )
20.所有若关于x的分式方程 有增根,则___________.
21.若,且 ,则____________.
22.代数式与代数式的值相等,则.
23.某地积极响应“把绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念，开展荒山绿化，打造美好家园，促进旅游发展.某工程队承接了90万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了任务.设原计划每天绿化的面积为x万平方米，则所列方程为_______________.
24.解方程:
25.六一儿童节来临之际，某商店用3000元购进一批玩具，很快售完，第二次购进时，每件的进价提高了20%，同样用3000元购进的数量比第一次少了10件.
(1)第一次每件的进价为多少元
(2)若两次购进的玩具售价均为70元，且全部售完，则两次的总利润为多少元
26.[数学运算]观察下面的变形规律：
……
请尝试回答下面的问题：
若 则x的值为( )
A.1000 B.998 C.1 D.2
27.[数学运算]某市为了做好“全国文明城市”验收工作，计划对市区s米长的道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队进行施工.
(1)已知甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同.若甲工程队每天比乙工程队多改造30米，求甲、乙两工程队每天改造道路的长度各是多少米.
(2)若甲工程队每天可以改造a米道路，乙工程队每天可以改造b米道路(其中a≠b).
现在有两种改造方案：
方案一：前 米的道路由甲工程队改造，米的道路由乙工程队改造；
方案二：完成整个道路改造，前一半时间由甲工程队改造，后一半时间由乙工程队改造.
根据上述描述，请你判断哪种改造方案所用的时间少，并说明理由.
参考答案
基础过关
1.B A、C、D项，分母中都含有未知数，故都是分式方程；B项，分母中不含未知数，故是整式方程，故选B.
2.A 分式方程去分母，得 ,去括号,得解得 经检验， 是原方程的增根，所以原方程无解.故①②错误，③正确，故选A.
3.B 方程两边都乘 得 解得 检验：当 时, 所以是原方程的解，即原方程的解是 故选B.
4.B 根据题中的新定义，得 整理得
去分母得 解得
检验：把 代入最简公分母，得
∴分式方程的解为 故选B.
5.C 方程两边同乘得,解得
∵分式方程有增根,,∴,故选C.
6.D 方程 两边同乘x-1得m+1=2(x-1),解得
∵方程的解为正数，
∴且,故选D.
7.D 方程去分母得,解得,由分式方程无解,得或,解得或.把代入整式方程,得,故;把代入整式方程,得,故.故的值是或.故选D.
8.答案 0
解析 根据题意可得
方程两边同时乘,得 解得,
检验:当时,.所以原分式方程的解为.
9.答案 4
解析∵ 方程两边都乘,得,解得,检验:当时,，故是分式方程的解.
10.解析 (1)去分母得,
去括号得,
移项、合并同类项得，
检验:当时,,
∴原分式方程的解为.
(2)将原方程整理为
方程两边同乘得 ,
整理得,解得,
检验:当时,,
∴是原方程的增根，∴原方程无解.
11.B 荧光棒的单价为x元，则缤纷棒的单价是1.5x元，根据等量关系“缤纷棒比荧光棒少20根”列方程为 故选B.
12.A 甲每小时骑行x千米，则乙每小时骑行 千米，根据等量关系“甲匀速骑行40千米的时间=乙匀速骑行35千米的时间”列方程，得 故选A.
13.B 甲的速度为2xkm/h,则乙的速度为3x km/h.根据等量关系：乙走10km用的时间=甲走6km用的时间+20min,可得 故选B.
14.答案
解析 第一次购买大虾的价格为x元/千克，则第二次购买大虾的价格为(x-4)元/千克，根据两次购买的质量相等，可列方程为
15.解析 设原计划完成这项工程需要x个月，则实际完成这项工程需要(x-1)个月.
由题意，得 解得
经检验，x=11是所列方程的解，且符合实际意义.
答：原计划完成这项工程需要11个月.
能力提升
16.C 由分式方程的定义可知①②③是分式方程，④不是分式方程.故选C.
17.B 根据题中的新定义得
解得
经检验， 是分式方程的根.故选B.
18.D A型扫地机器人每小时清扫 则B型扫地机器人每小时清扫 根据“A型机器人清扫100m 所用的时间比B型机器人多40分钟”，得 故选D.
19.D 12分钟
乙的速度为x km/h,则甲的速度为1.2x km/h,
根据题意，得 故选D.
20.答案 3
解析 去分母得 整理得
∵关于x的分式方程 有增根，
把代入中,得,解得.
21.答案 1
解析
∵,∴方程化简为
整理得 方程两边都乘,得,解得,
经检验，是原方程的解，
∴原方程的解为.
22.答案 7
解析 根据题意得
去分母得,解得
经检验，是分式方程的根.∴方程的解为
23.答案
解析 原计划每天绿化的面积为x万平方米，则实际每天绿化的面积为(1+25%)x万平方米，依题意得
24.解析 方程两边同乘,得( ,
整理得解得检验:当时,
所以是原方程的增根.∴原方程无解.
25.解析 (1)设第一次每件的进价为x元，则第二次每件的进价为(1+20%)x元,
根据题意得 解得x=50,
经检验，x=50是方程的解，且符合题意.
答：第一次每件的进价为50元.
(元).
答：两次的总利润为1700元.
26.B 由原式得
化简得 即
去分母得解得,
经检验，是分式方程的解.∴方程的解为.故选B.
27.解析 (1)设乙工程队每天改造道路的长度为x米，则甲工程队每天改造道路的长度为(x+30)米，
根据题意，得 解得x=150,
经检验，x=150是原方程的解，且符合题意，∴x+30=180.
答：甲工程队每天改造道路的长度为180米，乙工程队每天改造道路的长度为150米.
(2)方案二所用的时间少，理由如下：
方案一所用时间为天,
设方案二所用时间为t天，
根据题意，得
∵a≠b,且
∴方案二所用的时间少.
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