江苏省盐城市2012-2013学年高二下学期期末调研数学(文)试卷

盐城市2012—2013学年度高二调研测试
数学试题（文科） 2013.6
注意事项：
　　1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷．
　　2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．
　　3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．
4．第19、20题，请四星高中学生选做（A）,三星高中与普通高中学生选做（B），否则不给分.
参考公式：
样本数据，，，的方差（为样本平均数）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1．，的否定是 ▲ ．
2．已知复数满足（其中i为虚数单位），则= ▲ ．
3．某校对全校1000名男女学生进行课外阅读情况调查，采用分层抽样法抽取一个容量为200的样本，已知女生抽了80人，则该校的男生数为 ▲ ．
4．集合，，若，则= ▲ ．
5．有4件产品，其中有2件次品，从中任选2件，恰有1件次品的概率为 ▲ ．
6．甲、乙两种水稻试验品种连续4年的单位面积平均产量如下：
品种
第1年
第2年
第3年
第4年
甲
9.8
9.9
10.2
10.1
乙
9.7
10
10
10.3
其中产量比较稳定的水稻品种是 ▲ ．
7．若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于，则该双曲线的离心率为 ▲ ．
8．执行右边的程序框图,若，则输出的 ▲ ．
9．观察下列不等式：
，
由此猜想第个不等式为 ▲ ．
10．若关于的方程有正实根，则实数的取值范围是 ▲ ．
11．在锐角中，角所对的边分别为，已知，，，则的值为 ▲ ．
12．若函数的定义域为，则实数的取值范围是 ▲ ．
13．已知的三个顶点都在抛物线上，且斜边∥轴，则斜边上的高等于 ▲ ．
14．已知曲线：，直线：，在曲线上有一个动点，过点分别作直线和轴的垂线，垂足分别为.再过点作曲线的切线，分别与直线和轴相交于点，是坐标原点.则与的面积之比为 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
记关于的不等式的解集为，不等式的解集为Q．
（１）若，求集合Ｐ；
（２）若，求正数的取值范围．

16．（本小题满分14分）
已知函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）若，且，求的值．
17．（本小题满分14分）
已知函数（其中）．
求证：（1）用反证法证明函数不能为偶函数；
（2）函数为奇函数的充要条件是．
18．（本小题满分16分）
为改善行人过马路难的问题，市政府决定在如图所示的矩形区域（米，米）内修建一座过街天桥，天桥的高与均为米，，的造价均为每米1万元，的造价为每米2万元，设与所成的角为，天桥的总造价（由五段构成，与忽略不计）为万元．
（1）试用表示的长；
（2）求关于的函数关系式；
（3）求的最小值及相应的角．
19．（本小题满分16分）
（A）（四星高中学生做）
已知椭圆E：上任意一点到两焦点距离之和为，离心率为，左、右焦点分别为，点是右准线上任意一点，过作直线的垂线交椭圆于点．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）证明：直线与直线的斜率之积是定值；
（3）点P的纵坐标为，过作动直线与椭圆交于两个
不同点M、N，在线段MN上取点，满足，
试证明点恒在一定直线上．
（B）（三星高中及普通高中学生做）
已知椭圆E：上任意一点到两焦点距离之和为，离心率为，左、右焦点分别为，点是右准线上任意一点，过作直线的垂线交椭圆于点．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）证明：直线与直线的斜率之积是定值；
（3）证明：直线与椭圆E只有一个公共点．
20．（本小题满分16分）
（A）（四星高中学生做）
设函数，．
(1)记，若，求的单调递增区间；
(2)记为的导函数，若不等式在上有解，求实数的取值范围；
(3)若在上存在一点，使得成立，求的取值范围.
（B）（三星高中及普通高中学生做）
设函数，．
(1)记，若，求的单调递增区间；
(2)记为的导函数，若不等式在上有解，求实数的取值范围；
(3)若，对任意的，不等式恒成立．求的值.
2012-2013学年度高二调研测试
数学试题（文）答案
一、填空题：每小题5分，共计70分.
1． 2． 3．600 4． 5． 6．甲
7． 8．5 9． 10． 11． 12．
13． 14．8
二、解答题：本大题共6小题,共计90分.
15．解: （1）当时，，则解集为．……………… 7分
（2）由题意，解集为Q=，所以．……………………………………… 14分
16．解：（1）．
所以函数的最小正周期．…………………………………………………… 6分
（2）由题，得，因为，则，
则，………………………………………………………………………… 9分
所以
．…14分
17解：（1）假设函数为偶函数，则=，
=，即=，化简得：，
，与条件矛盾．函数不能为偶函数．……………………………… 7分
（2）充分性：由，函数=，0，，
又=+=，当时，函数为奇函数．…… 10分
必要性：由函数为奇函数，即=0，
+=+=0，化简得，，，当函数为奇函数时， ．…………………………………… 14分
（注：必要性的证明也可由定义域的对称性得到）
18．解：（1）由题意可知，故有，所以在中……………………………………………………………………………………6分
（2）
．………………………………………………………… 11分
（3）设（其中，
则．
令得，即，得．
列表
+
0
-
单调递增
极大值
单调递减
所以当时有，此时有．
答：排管的最小费用为万元，相应的角．…………………………… 16分
（A）（四星高中学生做）
19．解：（1）由题，，又因为从而得，
所以椭圆E：……………………………………………………………………… 4分
(2)设，，
因为，所以，
所以
又因为且代入化简得……10分
(3)设过P的直线l与椭圆交于两个不同点，点，
则，．
∵，∴设，则，
∴，
整理得，，
∴从而，
∴，
所以点恒在直线上．………………………………………………… 16分
（B）（三星高中及普通高中学生做）
解：（1）（2）同（A）
(3)由(2)知，直线的方程为，即，
由得，化简得:，
解得，所以直线与椭圆只有一个交点．……………………………………… 16分
（A）（四星高中学生做）
20．解：（1）当时，，此时，
由得，
又，则．所以的单调递增区间为．…………………… 4分
（2）不等式即为，
则，由知，因而，设，
由，
且当时，，
从而，．由不等式有解，知……………………… 10分
（3）不等式等价于，
整理为,设，则由题意可知只需在上存在一点，使得．，
因为所以令得．………………………………………… 12分
①若，即时，令，解得．
②若，即时，在处取得最小值，
令，即，所以
考察式子，因为，所以左端大于1，而右端小于1，所以不成立
③当，即时，在上单调递减，只需，得，
又因为，所以，．
综上所述，或．………………………………………………………………… 16分
（B）（三星高中及普通高中学生做）
解：（1）（2）同（A）
（3）当，．由
恒成立知，恒成立，设．
由题意知，故当时函数单调递增，则恒成立，
因此，恒成立，记，由，
知函数在上单调递增，在上单调递减，
则，所以，
又，所以．…………… 16分