基本不等式——大数据之五年（2018-2022）高考真题汇编（新高考卷与全国理科）

基本不等式——大数据之五年（2018-2022）高考真题汇编（新高考卷与全国理科）
一、单选题
1．（2021·全国乙卷）下列函数中最小值为4的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2021·新高考Ⅰ）已知F1,F2是椭圆C： 的两个焦点，点M在C 上，则|MF1|·|MF2|的最大值为（　　）
A．13 B．12 C．9 D．6
3．（2020·新课标Ⅲ·文）已知函数f(x)=sinx+ ，则（　　）
A．f(x)的最小值为2
B．f(x)的图像关于y轴对称
C．f(x)的图像关于直线 对称
D．f(x)的图像关于直线 对称
二、多选题
4．（2022·新高考Ⅱ卷）对任意x，y， ，则（　　）
A． B． C． D．
5．（2020·新高考Ⅰ）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（　　）
A． B．
C． D．
6．（2020·新高考Ⅰ）信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为 ，且 ，定义X的信息熵 .（　　）
A．若n=1，则H(X)=0
B．若n=2，则H(X)随着 的增大而增大
C．若 ，则H(X)随着n的增大而增大
D．若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为 ，且 ，则H(X)≤H(Y)
三、填空题
7．（2022·全国甲卷）已知 中，点D在边BC上， ．当 取得最小值时， 　 　．
8．（2021·天津）若 ，则 的最小值为　 　．
9．（2020·天津）已知 ，且 ，则 的最小值为　 　．
10．（2020·江苏）已知 ，则 的最小值是　 　．
11．（2019·上海）如图，已知正方形 ，其中 ，函数 交 于点 ，函数 交 于点 ，当 最小时，则 的值为　 　．
12．（2019·天津）设 ，则 的最小值为　 　.
13．（2019·天津）设 ，则 的最小值为　 　.
14．（2018·上海）在平面直角坐标系中，已知点A（-1，0），B（2，0），E，F是y轴上的两个动点，且| |=2，则 · 的最小值为　 　
15．（2018·上海）已知实数x 、x 、y 、y 满足： ， ， ，则 + 的最大值为　 　
四、解答题
16．（2022·全国乙卷）已知a，b，c都是正数，且 ，证明：
（1） ；
（2） ．
17．（2022·新高考Ⅰ卷）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
（1）若 求B；
（2）求 的最小值.
18．（2022·上海）如图，矩形ABCD区域内，D处有一棵古树，为保护古树，以D为圆心，DA为半径划定圆D作为保护区域，已知 m， m，点E为AB上的动点，点F为CD上的动点，满足EF与圆D相切.
（1）若∠ADE ，求EF的长；
（2）当点E在AB的什么位置时，梯形FEBC的面积有最大值，最大面积为多少？
（长度精确到0.1m，面积精确到0.01m ）
19．（2020·新课标Ⅲ·理）设a，b，c R，a+b+c=0，abc=1．
（1）证明：ab+bc+ca<0；
（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥ ．
20．（2020·新课标Ⅱ·理） 中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．
（1）求A；
（2）若BC=3，求 周长的最大值.
21．（2020·浙江）如图，已知椭圆C1： +y2＝1，抛物线C2：y2＝2px（p＞0），点A是椭圆C1与抛物线C2的交点，过点A的直线l交椭圆C1于点B，交抛物线C2于M（B，M不同于A）．
（Ⅰ）若p＝ ，求抛物线C2的焦点坐标；
（Ⅱ）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】函数的最大（小）值；指数函数的概念与表示；对数函数的图象与性质；基本不等式
【解析】【解答】对于A：因为y=(x+1)2+3,则ymin=3; 故A不符合题意；
对于B：因为，设t=|sinx|( ),则y=g(t)=由双沟函数知，
函数y＝g(t)=是减函数，所以ymin=g(1)=5，所以B选项不符合；
对于C：因为 当且仅当时“＝”成立，
即ymin=4，故C选项正确；
对于D：当时，<0，故D选项不符合，
故答案为：C.
【分析】A,用配方法求出干净函数的最小值，判断不符合；B.换元利用双沟函数的单调性，求出最小值，判断不适合；C.变形后用基本不等式计算出最小值，判断符合；D 举反列说明其不符合。
2．【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；椭圆的定义
【解析】【解答】解：由椭圆的定义可知a2=9,b2=4,|MF1|+|MF2|=2a=6，
则由基本不等式可得|MF1||MF2|≤，
当且仅当|MF1|=|MF2|=3时，等号成立.
故答案为：C
【分析】根据椭圆的定义，结合基本不等式求解即可.
3．【答案】D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；正弦函数的图象；正弦函数的性质
【解析】【解答】 可以为负，所以A不符合题意；
关于原点对称；
B不符合题意；
关于直线 对称，C不符合题意，D对
故答案为：D
【分析】根据基本不等式使用条件可判断A;根据奇偶性可判断B;根据对称性判断C,D.
4．【答案】B,C
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】根据 （ R）， 可变形为， ，解得 ，当且仅当 时， ，当且仅当 时， ，所以A不符合题意，B符合题意；
可变形为 ，解得 ，当且仅当 时取等号，所以C符合题意；
因为 变形可得 ，设 ，所以 ，因此
，所以当 时满足等式，但是 不成立，所以D不符合题意．
故答案为：BC
【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项．
5．【答案】A,B,D
【知识点】对数的性质与运算法则；基本不等式
【解析】【解答】对于A， ，
当且仅当 时，等号成立，A符合题意；
对于B， ，所以 ，B符合题意；
对于C， ，
当且仅当 时，等号成立，C不正确；
对于D，因为 ，
所以 ，当且仅当 时，等号成立，D符合题意；
故答案为：ABD
【分析】根据 ，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.
6．【答案】A,C
【知识点】对数函数的图象与性质；基本不等式
【解析】【解答】对于A选项，若 ，则 ，所以 ，所以A选项正确.
对于B选项，若 ，则 ， ，
所以 ，
当 时， ，
当 时， ，
两者相等，所以B选项错误.
对于C选项，若 ，则
，
则 随着 的增大而增大，所以C选项正确.
对于D选项，若 ，随机变量 的所有可能的取值为 ，且 （ ）.
.
由于 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，所以D选项错误.
故答案为：AC
【分析】对于A选项，求得 ，由此判断出A选项的正确性；对于B选项，利用特殊值法进行排除；对于C选项，计算出 ，利用对数函数的性质可判断出C选项的正确性；对于D选项，计算出 ，利用基本不等式和对数函数的性质判断出D选项的正确性.
7．【答案】 或
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：设CD=2BD=2m>0，
则在△ABD中，AB2=BD2+AD2-2BD·ADcos∠ADB=m2+4+2m ，
在△ACD中，AC2=CD2+AD2-2CD·ADcos∠ADC=4m2+4-4m ，
所以 ，
当且仅当即时，等号成立，
所以当取最小值时，，即BD= .
故答案为： .
【分析】设CD=2BD=2m>0，利用余弦定理表示出后，结合基本不等式即可得解.
8．【答案】
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：∵a>0，b>0
∴
当且仅当且，即时等号成立
所以的最小值是.
【分析】利用基本不等式求解即可.
9．【答案】4
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】 ， ,
，当且仅当 =4时取等号，
结合 ,解得 ，或 时，等号成立.
故答案为：4
【分析】根据已知条件，将所求的式子化为 ，利用基本不等式即可求解.
10．【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】∵
∴ 且
∴ ，当且仅当 ，即 时取等号.
∴ 的最小值为 .
故答案为： .
【分析】根据题设条件可得 ，可得 ，利用基本不等式即可求解.
11．【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：由题意得： 点坐标为 ， 点坐标为 ，
，
当且仅当 时，取最小值，
故答案为： ．
【分析】利用正方形的结构特征结合均值不等式求最值的方法求出的最小值，从而求出对应的 的值 。
12．【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】 【解答】∵
∴
即 ，
∴
当且仅当 时，即当 时，等号成立。
∴ 的最小值为 。
故答案为：
【分析】本题考查基本不等式的应用，注意基本不等式的使用条件，并注意检验等号成立的条件。
13．【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】 【解答】∵
∴
当且仅当 ，即当 或 时，等号成立。
故答案为：
【分析】本题考查基本不等式的应用，注意基本不等式的使用条件，并注意检验等号成立的条件。
14．【答案】-3
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量坐标表示的应用
【解析】【解答】设E(0，y1)，F(0，y2)，又A（-1，0），B（2，0），
所以 =(1，y1)， =(-2，y2)
=y1 y2-2 ①
又| |=2，
故（y1-y2）2=4
又 ≥ ，当 时等号不成立。
故假设 代入①， · =
【分析】本题主要考查向量坐标运算，基本不等式的运用，点与向量坐标互化。
15．【答案】
【知识点】基本不等式；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
故有x2+y2=1，使A，B在圆上，
又x1x2+y1y2= ，得出 ，
故 ，
构造直线x+y-1=0，故 变为A、B两点到直线x+y-1=0距离和最大值。特殊位置取最值，当AB平行l直线时取最值，又三角形ABO为等边三角形，故 ，
又 ，
故 最大值为 。
【分析】运用构造法，极端假设法解答即可。
16．【答案】（1）证明：因为 ， ， ，则 ， ， ，
所以 ，
即 ，所以 ，当且仅当 ，即 时取等号．
（2）证明：因为 ， ， ，
所以 ， ， ，
所以 ， ，
当且仅当 时取等号．
【知识点】基本不等式；不等式的证明
【解析】【分析】（1）利用三元均值不等式即可证明；
（2）利用基本不等式及不等式的性质证明即可．
17．【答案】（1）因为 ，
所以 ，
所以 ，
又因为 ，
，所以 ，故 .
（2）因为
所以
所以
由余弦定理
所以
当且仅当 ，即 时取得等号，
综上， 的最小值为 .
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；运用诱导公式化简求值；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）先由二倍角公式与两角和的余弦公式，化简得 ，再由诱导公式，结合三角形的内角和性质，得 ，可得B；
（2）由诱导公式求得 ， ，再结合余弦定理与三角恒等变换，化简得 ，并利用基本不等式求最值即可.
18．【答案】（1）如图，作DH⊥EF，
则EF=EH+HF=15tan20°+15tan50°≈23.3m；
（2）设∠ADE=θ，AE=15tanθ，FH=15tan(90°-2θ)，
则
当且仅当，即时，等号成立，
即当时，最大面积为
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；任意角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据正切函数的定义，运用数形结合思想求解即可；
（2）根据面积公式，结合基本不等式求最值求解即可.
19．【答案】（1）解： ，
.
均不为 ，则 ，
（2）解：不妨设 ，
由 可知， ，
， .
当且仅当 时，取等号，
，即
【知识点】基本不等式；分析法和综合法；不等式的基本性质
【解析】【分析】（1）由 结合不等式的性质，即可得出证明；（2）不妨设 ，由题意得出 ，由 ，结合基本不等式，即可得出证明.
20．【答案】（1）解：由正弦定理可得： ，
，
， .
（2）解：由余弦定理得： ，
即 .
（当且仅当 时取等号），
，
解得： （当且仅当 时取等号），
周长 ， 周长的最大值为 .
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出 的形式，进而求得A；（2）利用余弦定理可得到 ，利用基本不等式可求得 的最大值，进而得到结果.
21．【答案】解：（Ⅰ）p＝ ，则 ＝ ，则抛物线C2的焦点坐标（ ，0），
（Ⅱ）直线l与x轴垂直时，此时点M与点A或点B重合，不满足题意，
设直线l的方程为y＝kx+t，A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），
由 ，消y可得（2k2+1）x2+4kty+2t2﹣2＝0，
∴△＝16k2t2﹣4（2k2+1）（2t2﹣2）≥0，即t2＜1+2k2，
∴x1+x2＝﹣ ，∴x0＝ （x1+x2）＝﹣ ，
∴y0＝kx0+t＝ ，∴M（﹣ ， ），
∵点M在抛物线C2上，∴y2＝2px，
∴p＝ ＝ ＝ ，
联立 ，解得x1＝ ，y1＝ ，
代入椭圆方程可得 + ＝1，解得t2＝
∴p2＝ ＝
＝ ≤ ＝ ，
∴p≤ ，当且仅当1＝2k2，即k2＝ ，t2＝ 时等号成立，
故p的最大值为 ．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；抛物线的定义；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（Ⅰ）直接由抛物线的定义求出焦点坐标即可；（Ⅱ）设直线方程y＝kx+t，A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），由 ，根据韦达定理定理求出M（﹣ ， ），可得p，再由 ，求出点A的坐标，代入椭圆方程可得t2＝ ，化简整理得p2＝ ，利用基本不等式即可求出p的最大值．
1 / 1基本不等式——大数据之五年（2018-2022）高考真题汇编（新高考卷与全国理科）
一、单选题
1．（2021·全国乙卷）下列函数中最小值为4的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的最大（小）值；指数函数的概念与表示；对数函数的图象与性质；基本不等式
【解析】【解答】对于A：因为y=(x+1)2+3,则ymin=3; 故A不符合题意；
对于B：因为，设t=|sinx|( ),则y=g(t)=由双沟函数知，
函数y＝g(t)=是减函数，所以ymin=g(1)=5，所以B选项不符合；
对于C：因为 当且仅当时“＝”成立，
即ymin=4，故C选项正确；
对于D：当时，<0，故D选项不符合，
故答案为：C.
【分析】A,用配方法求出干净函数的最小值，判断不符合；B.换元利用双沟函数的单调性，求出最小值，判断不适合；C.变形后用基本不等式计算出最小值，判断符合；D 举反列说明其不符合。
2．（2021·新高考Ⅰ）已知F1,F2是椭圆C： 的两个焦点，点M在C 上，则|MF1|·|MF2|的最大值为（　　）
A．13 B．12 C．9 D．6
【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；椭圆的定义
【解析】【解答】解：由椭圆的定义可知a2=9,b2=4,|MF1|+|MF2|=2a=6，
则由基本不等式可得|MF1||MF2|≤，
当且仅当|MF1|=|MF2|=3时，等号成立.
故答案为：C
【分析】根据椭圆的定义，结合基本不等式求解即可.
3．（2020·新课标Ⅲ·文）已知函数f(x)=sinx+ ，则（　　）
A．f(x)的最小值为2
B．f(x)的图像关于y轴对称
C．f(x)的图像关于直线 对称
D．f(x)的图像关于直线 对称
【答案】D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；正弦函数的图象；正弦函数的性质
【解析】【解答】 可以为负，所以A不符合题意；
关于原点对称；
B不符合题意；
关于直线 对称，C不符合题意，D对
故答案为：D
【分析】根据基本不等式使用条件可判断A;根据奇偶性可判断B;根据对称性判断C,D.
二、多选题
4．（2022·新高考Ⅱ卷）对任意x，y， ，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B,C
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】根据 （ R）， 可变形为， ，解得 ，当且仅当 时， ，当且仅当 时， ，所以A不符合题意，B符合题意；
可变形为 ，解得 ，当且仅当 时取等号，所以C符合题意；
因为 变形可得 ，设 ，所以 ，因此
，所以当 时满足等式，但是 不成立，所以D不符合题意．
故答案为：BC
【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项．
5．（2020·新高考Ⅰ）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】对数的性质与运算法则；基本不等式
【解析】【解答】对于A， ，
当且仅当 时，等号成立，A符合题意；
对于B， ，所以 ，B符合题意；
对于C， ，
当且仅当 时，等号成立，C不正确；
对于D，因为 ，
所以 ，当且仅当 时，等号成立，D符合题意；
故答案为：ABD
【分析】根据 ，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.
6．（2020·新高考Ⅰ）信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为 ，且 ，定义X的信息熵 .（　　）
A．若n=1，则H(X)=0
B．若n=2，则H(X)随着 的增大而增大
C．若 ，则H(X)随着n的增大而增大
D．若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为 ，且 ，则H(X)≤H(Y)
【答案】A,C
【知识点】对数函数的图象与性质；基本不等式
【解析】【解答】对于A选项，若 ，则 ，所以 ，所以A选项正确.
对于B选项，若 ，则 ， ，
所以 ，
当 时， ，
当 时， ，
两者相等，所以B选项错误.
对于C选项，若 ，则
，
则 随着 的增大而增大，所以C选项正确.
对于D选项，若 ，随机变量 的所有可能的取值为 ，且 （ ）.
.
由于 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，所以D选项错误.
故答案为：AC
【分析】对于A选项，求得 ，由此判断出A选项的正确性；对于B选项，利用特殊值法进行排除；对于C选项，计算出 ，利用对数函数的性质可判断出C选项的正确性；对于D选项，计算出 ，利用基本不等式和对数函数的性质判断出D选项的正确性.
三、填空题
7．（2022·全国甲卷）已知 中，点D在边BC上， ．当 取得最小值时， 　 　．
【答案】 或
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：设CD=2BD=2m>0，
则在△ABD中，AB2=BD2+AD2-2BD·ADcos∠ADB=m2+4+2m ，
在△ACD中，AC2=CD2+AD2-2CD·ADcos∠ADC=4m2+4-4m ，
所以 ，
当且仅当即时，等号成立，
所以当取最小值时，，即BD= .
故答案为： .
【分析】设CD=2BD=2m>0，利用余弦定理表示出后，结合基本不等式即可得解.
8．（2021·天津）若 ，则 的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：∵a>0，b>0
∴
当且仅当且，即时等号成立
所以的最小值是.
【分析】利用基本不等式求解即可.
9．（2020·天津）已知 ，且 ，则 的最小值为　 　．
【答案】4
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】 ， ,
，当且仅当 =4时取等号，
结合 ,解得 ，或 时，等号成立.
故答案为：4
【分析】根据已知条件，将所求的式子化为 ，利用基本不等式即可求解.
10．（2020·江苏）已知 ，则 的最小值是　 　．
【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】∵
∴ 且
∴ ，当且仅当 ，即 时取等号.
∴ 的最小值为 .
故答案为： .
【分析】根据题设条件可得 ，可得 ，利用基本不等式即可求解.
11．（2019·上海）如图，已知正方形 ，其中 ，函数 交 于点 ，函数 交 于点 ，当 最小时，则 的值为　 　．
【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：由题意得： 点坐标为 ， 点坐标为 ，
，
当且仅当 时，取最小值，
故答案为： ．
【分析】利用正方形的结构特征结合均值不等式求最值的方法求出的最小值，从而求出对应的 的值 。
12．（2019·天津）设 ，则 的最小值为　 　.
【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】 【解答】∵
∴
即 ，
∴
当且仅当 时，即当 时，等号成立。
∴ 的最小值为 。
故答案为：
【分析】本题考查基本不等式的应用，注意基本不等式的使用条件，并注意检验等号成立的条件。
13．（2019·天津）设 ，则 的最小值为　 　.
【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】 【解答】∵
∴
当且仅当 ，即当 或 时，等号成立。
故答案为：
【分析】本题考查基本不等式的应用，注意基本不等式的使用条件，并注意检验等号成立的条件。
14．（2018·上海）在平面直角坐标系中，已知点A（-1，0），B（2，0），E，F是y轴上的两个动点，且| |=2，则 · 的最小值为　 　
【答案】-3
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量坐标表示的应用
【解析】【解答】设E(0，y1)，F(0，y2)，又A（-1，0），B（2，0），
所以 =(1，y1)， =(-2，y2)
=y1 y2-2 ①
又| |=2，
故（y1-y2）2=4
又 ≥ ，当 时等号不成立。
故假设 代入①， · =
【分析】本题主要考查向量坐标运算，基本不等式的运用，点与向量坐标互化。
15．（2018·上海）已知实数x 、x 、y 、y 满足： ， ， ，则 + 的最大值为　 　
【答案】
【知识点】基本不等式；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
故有x2+y2=1，使A，B在圆上，
又x1x2+y1y2= ，得出 ，
故 ，
构造直线x+y-1=0，故 变为A、B两点到直线x+y-1=0距离和最大值。特殊位置取最值，当AB平行l直线时取最值，又三角形ABO为等边三角形，故 ，
又 ，
故 最大值为 。
【分析】运用构造法，极端假设法解答即可。
四、解答题
16．（2022·全国乙卷）已知a，b，c都是正数，且 ，证明：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）证明：因为 ， ， ，则 ， ， ，
所以 ，
即 ，所以 ，当且仅当 ，即 时取等号．
（2）证明：因为 ， ， ，
所以 ， ， ，
所以 ， ，
当且仅当 时取等号．
【知识点】基本不等式；不等式的证明
【解析】【分析】（1）利用三元均值不等式即可证明；
（2）利用基本不等式及不等式的性质证明即可．
17．（2022·新高考Ⅰ卷）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
（1）若 求B；
（2）求 的最小值.
【答案】（1）因为 ，
所以 ，
所以 ，
又因为 ，
，所以 ，故 .
（2）因为
所以
所以
由余弦定理
所以
当且仅当 ，即 时取得等号，
综上， 的最小值为 .
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；运用诱导公式化简求值；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）先由二倍角公式与两角和的余弦公式，化简得 ，再由诱导公式，结合三角形的内角和性质，得 ，可得B；
（2）由诱导公式求得 ， ，再结合余弦定理与三角恒等变换，化简得 ，并利用基本不等式求最值即可.
18．（2022·上海）如图，矩形ABCD区域内，D处有一棵古树，为保护古树，以D为圆心，DA为半径划定圆D作为保护区域，已知 m， m，点E为AB上的动点，点F为CD上的动点，满足EF与圆D相切.
（1）若∠ADE ，求EF的长；
（2）当点E在AB的什么位置时，梯形FEBC的面积有最大值，最大面积为多少？
（长度精确到0.1m，面积精确到0.01m ）
【答案】（1）如图，作DH⊥EF，
则EF=EH+HF=15tan20°+15tan50°≈23.3m；
（2）设∠ADE=θ，AE=15tanθ，FH=15tan(90°-2θ)，
则
当且仅当，即时，等号成立，
即当时，最大面积为
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；任意角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据正切函数的定义，运用数形结合思想求解即可；
（2）根据面积公式，结合基本不等式求最值求解即可.
19．（2020·新课标Ⅲ·理）设a，b，c R，a+b+c=0，abc=1．
（1）证明：ab+bc+ca<0；
（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥ ．
【答案】（1）解： ，
.
均不为 ，则 ，
（2）解：不妨设 ，
由 可知， ，
， .
当且仅当 时，取等号，
，即
【知识点】基本不等式；分析法和综合法；不等式的基本性质
【解析】【分析】（1）由 结合不等式的性质，即可得出证明；（2）不妨设 ，由题意得出 ，由 ，结合基本不等式，即可得出证明.
20．（2020·新课标Ⅱ·理） 中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．
（1）求A；
（2）若BC=3，求 周长的最大值.
【答案】（1）解：由正弦定理可得： ，
，
， .
（2）解：由余弦定理得： ，
即 .
（当且仅当 时取等号），
，
解得： （当且仅当 时取等号），
周长 ， 周长的最大值为 .
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出 的形式，进而求得A；（2）利用余弦定理可得到 ，利用基本不等式可求得 的最大值，进而得到结果.
21．（2020·浙江）如图，已知椭圆C1： +y2＝1，抛物线C2：y2＝2px（p＞0），点A是椭圆C1与抛物线C2的交点，过点A的直线l交椭圆C1于点B，交抛物线C2于M（B，M不同于A）．
（Ⅰ）若p＝ ，求抛物线C2的焦点坐标；
（Ⅱ）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．
【答案】解：（Ⅰ）p＝ ，则 ＝ ，则抛物线C2的焦点坐标（ ，0），
（Ⅱ）直线l与x轴垂直时，此时点M与点A或点B重合，不满足题意，
设直线l的方程为y＝kx+t，A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），
由 ，消y可得（2k2+1）x2+4kty+2t2﹣2＝0，
∴△＝16k2t2﹣4（2k2+1）（2t2﹣2）≥0，即t2＜1+2k2，
∴x1+x2＝﹣ ，∴x0＝ （x1+x2）＝﹣ ，
∴y0＝kx0+t＝ ，∴M（﹣ ， ），
∵点M在抛物线C2上，∴y2＝2px，
∴p＝ ＝ ＝ ，
联立 ，解得x1＝ ，y1＝ ，
代入椭圆方程可得 + ＝1，解得t2＝
∴p2＝ ＝
＝ ≤ ＝ ，
∴p≤ ，当且仅当1＝2k2，即k2＝ ，t2＝ 时等号成立，
故p的最大值为 ．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；抛物线的定义；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（Ⅰ）直接由抛物线的定义求出焦点坐标即可；（Ⅱ）设直线方程y＝kx+t，A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），由 ，根据韦达定理定理求出M（﹣ ， ），可得p，再由 ，求出点A的坐标，代入椭圆方程可得t2＝ ，化简整理得p2＝ ，利用基本不等式即可求出p的最大值．
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