平面向量——大数据之五年（2018-2022）高考真题汇编（新高考卷与全国理科）

平面向量——大数据之五年（2018-2022）高考真题汇编（新高考卷与全国理科）
一、单选题
1．（2022·新高考Ⅱ卷）已知 ，若 ，则 （　　）
A．-6 B．-5 C．5 D．6
2．（2022·全国乙卷）已知向量，则 （　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2022·全国甲卷）已知椭圆 的离心率为 ， 分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若 ，则C的方程为（　　）
A． B． C． D．
4．（2022·全国乙卷）已知向量 满足 ，则 （　　）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
5．（2022·北京）在 中， ， ， ． 为 所在平面内的动点，且 ，则 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
6．（2022·新高考Ⅰ卷）在 中，点D在边AB上， 记 则 （　　）
A．3-2 B．-2+3 C．3+2 D．2+3
7．（2020·新课标Ⅲ·文）在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若 ，则点C的轨迹为（　　）
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线
8．（2020·新课标Ⅲ·理）已知向量a，b满足 ， ， ，则 （　　）
A． B． C． D．
9．（2020·新课标Ⅱ·文）已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是（　　）
A．a+2b B．2a+b C．a–2b D．2a–b
10．（2020·新高考Ⅰ）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
11．（2019·全国Ⅱ卷文）已知向量=（2，3），=（3，2），则|-|=（　　）
A． B．2 C．5 D．50
12．（2019·全国Ⅱ卷理）已知 =(2,3)， =(3，t)，| |=1，则 =（　　）
A．-3 B．-2 C．2 D．3
13．（2019·全国Ⅰ卷理）已知非零向量 ， 满足| |=2| |，且 ，则 与 的夹角为（　　）
A． B． C． D．
14．（2018·全国Ⅰ卷理）在 中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则 （　　）
A． B．
C． D．
15．（2018·天津）如图，在平面四边形ABCD中， ， ， ， . 若点E为边CD上的动点，则 的最小值为（　　）
A． B． C． D．
16．（2018·全国Ⅱ卷理）已知向量，满足=1， = 1 ，则·(2-)=（　　）
A．4 B．3 C．2 D．0
二、多选题
17．（2022·新高考Ⅱ卷）已知O为坐标原点，过抛物线 的焦点F的直线与C交于A，B两点，点A在第一象限，点 ，若 ，则（　　）
A．直线 的斜率为 B．
C． D．
18．（2022·新高考Ⅰ卷）已知O为坐标原点，点A(1，1)在抛物线C： 上，过点 的直线交C于P，Q两点，则（　　）
A．C的准线为 B．直线AB与C相切
C． D．
19．（2021·新高考Ⅰ）已知O为坐标原点，点P1(cosα,sinα),P2(cosβ，-sinβ),P3(cos(α+β),sin(α+β))，A(1，0),则（　　）
A．| = B． =
C． = D．
三、填空题
20．（2022·全国甲卷）设向量 ， 的夹角的余弦值为 ，且 ，则 　 　．
21．（2022·全国甲卷）已知向量 ．若 ，则 　 　．
22．（2021·新高考Ⅱ卷）已知向量 ，则　 　．
23．（2021·北京） ， ， ，则 　 　； 　 　．
24．（2021·全国乙卷）已知向量a=(2,5),b=(λ,4)，若 ，则λ=　 　.
25．（2021·全国甲卷）若向量 满足| |＝3，| |＝5， ＝1，则| |＝　 　．
26．（2021·全国甲卷）已知向量a=(3,1)，b=(1,0)， ，若a⊥c，则k=　 　。
27．（2021·全国乙卷）已知向量=（1，3），b=（3，4），若（-λ）⊥，则λ=　 　。
28．（2021·天津）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点， 且交AB于点E． 且交AC于点F，则 的值为　 　； 的最小值为　 　．
29．（2020·新课标Ⅰ·文）设向量 ，若 ，则 　 　.
30．（2020·新课标Ⅱ·理）已知单位向量a，b的夹角为45°，ka–b与a垂直，则k=　 　.
31．（2020·新课标Ⅰ·理）设 为单位向量，且 ，则 　 　.
32．（2020·天津）如图，在四边形 中， ， ，且 ，则实数 的值为　 　，若 是线段 上的动点，且 ，则 的最小值为　 　．
33．（2020·江苏）在△ABC中， D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若 （m为常数），则CD的长度是　 　．
34．（2020·北京）已知正方形 的边长为2，点P满足 ，则 　 　； 　 　．
35．（2019·江苏）如图，在 中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点 .若 ，则 的值是　 　.
36．（2019·上海）在椭圆 上任意一点 ， 与 关于 轴对称，若有 ，则 与 的夹角范围为　 　．
37．（2019·天津）在四边形 中， ，点 在线段 的延长线上，且 ，则 　 　.
38．（2019·全国Ⅲ卷文）已知向量 ，则 　 　.
39．（2019·全国Ⅲ卷理）已知a，b为单位向量，且a-b=0，若c=2a- b，则cos=　 　。
40．（2019·北京）已知向量 =（-4.3）， =（6，m），且 ，则m=　 　.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：由已知条件可得 ， ，
即 ，解得 ，
故答案为：C
【分析】利用向量的坐标运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求解.
2．【答案】D
【知识点】向量的模；平面向量的坐标运算
【解析】【解答】因为 ，所以 .
故选：D
【分析】先求得 的坐标，然后根据求模公式求解 即可.
3．【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算；平面向量数量积坐标表示的应用；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：因为离心率，解得，则b2=a2 ，
记A1，A2分别为C的左右顶点，则A1（-a，0），A2（a，0），
又B为上顶点，所以B（0，b），
所以 ，
因为
所以-a2+b2=-1，将b2=a2代入，解得a2=9，b2=8，
故椭圆的方程为 .
故选：B.
【分析】根据离心率及，解得关于a2，b2的等量关系式，即可得解.
4．【答案】C
【知识点】平面向量数量积的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
又∵
∴9 ，
∴
故选：C
【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.
5．【答案】D
【知识点】平面向量数量积坐标表示的应用
【解析】【解答】以C为坐标原点建立直角坐标系，
由题意易知 ，
设 ，
， .
故答案为：D
【分析】先根据已知条件建立直角坐标系，设点 ，利用坐标法即可解决问题.
6．【答案】B
【知识点】向量加减混合运算；平面向量数乘的运算；平面向量的线性运算
【解析】【解答】解：由题意得， ，
故选：B
【分析】由向量的加法、减法、以及数乘运算求解即可.
7．【答案】A
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量的数量积运算；轨迹方程
【解析】【解答】设 ，以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，
则： ，设 ，可得： ，
从而： ，
结合题意可得： ，
整理可得： ，
即点C的轨迹是以AB中点为圆心， 为半径的圆.
故答案为：A.
【分析】首先建立平面直角坐标系，然后结合数量积的定义求解其轨迹方程即可.
8．【答案】D
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】 ， ， ， .
，
因此， .
故答案为：D.
【分析】计算出 、 的值，利用平面向量数量积可计算出 的值.
9．【答案】D
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量数量积的性质；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】由已知可得： .
A：因为 ，所以本选项不符合题意；
B：因为 ，所以本选项不符合题意；
C：因为 ，所以本选项不符合题意；
D：因为 ，所以本选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可.
10．【答案】A
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平行投影及平行投影作图法
【解析】【解答】 的模为2，根据正六边形的特征，
可以得到 在 方向上的投影的取值范围是 ，
结合向量数量积的定义式，
可知 等于 的模与 在 方向上的投影的乘积，
所以 的取值范围是 ，
故答案为：A.
【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到 在 方向上的投影的取值范围是 ，利用向量数量积的定义式，求得结果.
11．【答案】A
【知识点】向量的模
【解析】【解答】∵ - =(-1,1), ∴ ,
故答案为：A
【分析】首先求出两个向量之差的坐标，进而可求出 - 的模的大小即可。
12．【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】 【解答】 , = ，求出t=3即可得出 , = .
故答案为：C
【分析】首先利用向量的减法求出向量BC的坐标，再利用向量的模的公式求出t的值，结合向量的数量积运算公式代入数值求出结果即可。
13．【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】 【解答】设 与 的夹角为
∵θ为两向量的夹角，
【分析】利用向量垂直数量积为0的等价关系，用数量积公式结合已知条件和两向量间夹角的取值范围求出 与 的夹角。
14．【答案】A
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解： = ，
故答案为：A。
【分析】以向量 和 为基底向量，由点E是AD的中点将向量 表示为 ，再由点D是BC的中点，将其表示为基底向量的线性表示形式.
15．【答案】A
【知识点】平面向量数量积的性质
【解析】【解答】解：以A为原点，AB为x轴建立直角坐标系，则
设 ∴
又
∴
∴
又E在CD上
设
又
又 ，当 时， 有最大值
故答案为：A
【分析】先建系，利用垂直，求出C，再利用数量积，得到二次函数，求出最值.
16．【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】 .
故答案为：B
【分析】由已知代入运算即可。
17．【答案】A,C,D
【知识点】向量在几何中的应用；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】对于A：易得 ，由 可得点 在 的垂直平分线上，则 点横坐标为 ，代入抛物线可得 ，则 ，直线 的斜率为 ，A符合题意；
对于B：由斜率为 可得直线 的方程为 ，联立抛物线方程得 ，设 ，则 ，则 ，代入抛物线得 ，解得 ，则 ，
则 ，B不符合题意；
对于C：由抛物线定义知： ，C符合题意；
对于D： ，则 为钝角，
又 ，则 为钝角，
又 ，则 ，D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】由 及抛物线方程求得 ，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线 的方程，联立抛物线方程求得 ，即可求出 判断B选项；由抛物线的定义求出 即可判断C选项；由 ， 求得 ， 为钝角即可判断D选项.
18．【答案】B,C,D
【知识点】导数的几何意义；平面向量的数量积运算；直线的两点式方程；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：由题意可知：1=2p， 所以抛物线C： x2=y，故C的准线为，故A错误；
由y'=2x得曲线C在点A(1，1)处的切线斜率为2，所以切线方程为y=2x-1，又直线AB为：，即y=2x-1，故直线AB与C相切，故B正确；
过点B(0，-1)的直线设为y=kx-1，交C于P，Q两点的坐标分别设为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
联立直线与C方程可得x2-kx+1=0，
则x1+x2=k，x1x2=1，且，
即k2>4，则y1+y2=k2-2，y1y2=1，
此时
，又|OA|2=2，则 ，故C正确；
，
又|BA|2=5，则 ，故D正确.
故选：BCD
【分析】由抛物线的定义与几何性质可判断A，根据导数的几何意义，结合直线的两点式方程可判断B，根据直线与抛物线的位置，结合弦长公式可判断C，根据向量的数量积运算可判断D.
19．【答案】A,C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算；两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】解：，故A正确；
因为，故B错误；
因为，
，
所以
故C正确；
因为，
，
所以D错误
故答案为：AC.
【分析】根据向量的数量积，及向量的求模直接求解即可.
20．【答案】11
【知识点】平面向量数量积的性质；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由题意得
所以 ．
故答案为：11 ．
【分析】先根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得答案．
21．【答案】 或-0.75
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】由题意知： ，解得 .
故答案为： .
【分析】由向量垂直的坐标表示求解即可.
22．【答案】
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由题意得，即，
则
故答案为：
【分析】根据向量的运算法则直接求解即可.
23．【答案】0；3
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：由题意得，则，
故答案为：0，3
【分析】根据向量的坐标运算，及向量的数量积运算求解即可.
24．【答案】
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】因为=(2,5),=(λ,4)，且 ，则，则 。
【分析】根据向量平行的条件即可得到结果。
25．【答案】
【知识点】向量的模；平面向量的线性运算
【解析】【解答】解：由得
即9-2×1+=25
解得
故答案为：
【分析】根据向量的运算法则求解即可.
26．【答案】
【知识点】平面向量的坐标运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：，
由得，解得
故答案为：
【分析】根据向量的坐标运算，结合向量垂直的判断条件求解即可.
27．【答案】
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】因为，所以，
所以，
故答案为：
【分析】先计算出的坐标式，再根据两向量垂直，列式求解。
28．【答案】1；
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：设BE=x，
∵△ABC为边长为1的等边三角形，DE⊥AB
∴∠BDE=30°，BD=2x，DE=，DC=1-2x
∵DF//AB
∴△DFC为边长为1-2x的等边三角形，DE⊥DF
∴
∴
∵
则当时，取得最小值为
故答案为：1，
【分析】根据向量的数量积及向量的求模公式，再结合二次函数的最值问题求解即可.
29．【答案】5
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】由 可得 ，
又因为 ，
所以 ，
即 ，
故答案为：5.
【分析】根据向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用向量垂直的坐标表示，求得结果.
30．【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】由题意可得： ，
由向量垂直的充分必要条件可得： ，
即： ，解得： .
故答案为： ．
【分析】首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k的值.
31．【答案】
【知识点】向量的模；平面向量数乘的运算
【解析】【解答】因为 为单位向量，所以
所以
解得：
所以
故答案为：
【分析】整理已知可得： ，再利用 为单位向量即可求得 ，对 变形可得： ，问题得解.
32．【答案】；
【知识点】二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值；平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】 ， ， ，
，
解得 ，
以点B为坐标原点， 所在直线为x轴建立如下图所示的平面直角坐标系 ，
,
∵ ，∴ 的坐标为 ,
∵又∵ ,则 ，设 ，则 （其中 ），
， ，
，
所以，当 时， 取得最小值 .
故答案为： ； .
【分析】可得 ，利用平面向量数量积的定义求得 的值，然后以点B为坐标原点， 所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设点 ，则点 （其中 ），得出 关于 的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得 的最小值.
33．【答案】
【知识点】平面向量的线性运算；数量积表示两个向量的夹角；余弦定理
【解析】【解答】∵ 三点共线，
∴可设 ，
∵ ，
∴ ，即 ，
若 且 ，则 三点共线，
∴ ，即 ，
∵ ，∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
设 ， ，则 ， .
∴根据余弦定理可得 ， ，
∵ ，
∴ ，解得 ，
∴ 的长度为 .
当 时， ， 重合，此时 的长度为 ，
当 时， ， 重合，此时 ，不合题意，舍去.
故答案为：0或 .
【分析】根据题设条件可设 ，结合 与 三点共线，可求得 ，再根据勾股定理求出 ，然后根据余弦定理即可求解.
34．【答案】；-1
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积坐标表示的应用
【解析】【解答】以点A为坐标原点， 、 所在直线分别为x、y轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则点 、 、 、 ，
，
则点 ， ， ，
因此， ， .
故答案为： ；-1.
【分析】以点A为坐标原点， 、 所在直线分别为x、y轴建立平面直角坐标系，求得点P的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得 以及 的值.
35．【答案】
【知识点】向量在几何中的应用
【解析】 【解答】 在 上， 与 共线，
设
又D是BC的中点，
,
根据等式左右两边对应相等，从而求出 的值，进而得：
【分析】利用共线定理结合平行四边形法则和已知条件，用平面向量基本定理求出 ，进而求出 的值。
36．【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：设 ，则 点 ，
椭圆 的焦点坐标为 ， ，
，
，
结合
可得：
故 与 的夹角 满足：
，
故
故答案为：
【分析】设 ，利用点与点关于轴对称，则 点坐标为 ，
再利用椭圆的标准方程求出焦点坐标，再利用数量积的坐标表示和数量积的取值范围，用数量积表示向量的夹角，从而求出求出向量 与 的夹角范围 。
37．【答案】-1
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】∵ , ,
，点 在线段 的延长线上，
作
∴ ，
∴在 中， ，
∴
故答案为：-1
【分析】本题考查向量加法的三角形法则，向量内积，需注意向量内积所成的夹角，必须共用一起点所成的角才可以。
38．【答案】
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】 【解答】解：∵ ，∴ ， ， ，
∴ ，
故答案为： .
【分析】由已知可得 ， ， ，代入向量的夹角公式即可得结果.
39．【答案】
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】 【解答】解：∵ ， ，∴ ，展开整理可得 ，
又∵ ，∴ ，
故答案为： .
【分析】由已知 ，展开整理可得 ，再求出 ，代入向量的夹角公式即可.
40．【答案】8
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】根据两向量垂直，则数量积为0，得
解得m=8.
故答案为8.
【分析】根据两向量垂直，数量积为0，结合平面向量的数量积运算即可求解.
1 / 1平面向量——大数据之五年（2018-2022）高考真题汇编（新高考卷与全国理科）
一、单选题
1．（2022·新高考Ⅱ卷）已知 ，若 ，则 （　　）
A．-6 B．-5 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：由已知条件可得 ， ，
即 ，解得 ，
故答案为：C
【分析】利用向量的坐标运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求解.
2．（2022·全国乙卷）已知向量，则 （　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【知识点】向量的模；平面向量的坐标运算
【解析】【解答】因为 ，所以 .
故选：D
【分析】先求得 的坐标，然后根据求模公式求解 即可.
3．（2022·全国甲卷）已知椭圆 的离心率为 ， 分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若 ，则C的方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算；平面向量数量积坐标表示的应用；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：因为离心率，解得，则b2=a2 ，
记A1，A2分别为C的左右顶点，则A1（-a，0），A2（a，0），
又B为上顶点，所以B（0，b），
所以 ，
因为
所以-a2+b2=-1，将b2=a2代入，解得a2=9，b2=8，
故椭圆的方程为 .
故选：B.
【分析】根据离心率及，解得关于a2，b2的等量关系式，即可得解.
4．（2022·全国乙卷）已知向量 满足 ，则 （　　）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】C
【知识点】平面向量数量积的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
又∵
∴9 ，
∴
故选：C
【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.
5．（2022·北京）在 中， ， ， ． 为 所在平面内的动点，且 ，则 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量数量积坐标表示的应用
【解析】【解答】以C为坐标原点建立直角坐标系，
由题意易知 ，
设 ，
， .
故答案为：D
【分析】先根据已知条件建立直角坐标系，设点 ，利用坐标法即可解决问题.
6．（2022·新高考Ⅰ卷）在 中，点D在边AB上， 记 则 （　　）
A．3-2 B．-2+3 C．3+2 D．2+3
【答案】B
【知识点】向量加减混合运算；平面向量数乘的运算；平面向量的线性运算
【解析】【解答】解：由题意得， ，
故选：B
【分析】由向量的加法、减法、以及数乘运算求解即可.
7．（2020·新课标Ⅲ·文）在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若 ，则点C的轨迹为（　　）
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线
【答案】A
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量的数量积运算；轨迹方程
【解析】【解答】设 ，以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，
则： ，设 ，可得： ，
从而： ，
结合题意可得： ，
整理可得： ，
即点C的轨迹是以AB中点为圆心， 为半径的圆.
故答案为：A.
【分析】首先建立平面直角坐标系，然后结合数量积的定义求解其轨迹方程即可.
8．（2020·新课标Ⅲ·理）已知向量a，b满足 ， ， ，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】 ， ， ， .
，
因此， .
故答案为：D.
【分析】计算出 、 的值，利用平面向量数量积可计算出 的值.
9．（2020·新课标Ⅱ·文）已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是（　　）
A．a+2b B．2a+b C．a–2b D．2a–b
【答案】D
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量数量积的性质；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】由已知可得： .
A：因为 ，所以本选项不符合题意；
B：因为 ，所以本选项不符合题意；
C：因为 ，所以本选项不符合题意；
D：因为 ，所以本选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可.
10．（2020·新高考Ⅰ）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平行投影及平行投影作图法
【解析】【解答】 的模为2，根据正六边形的特征，
可以得到 在 方向上的投影的取值范围是 ，
结合向量数量积的定义式，
可知 等于 的模与 在 方向上的投影的乘积，
所以 的取值范围是 ，
故答案为：A.
【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到 在 方向上的投影的取值范围是 ，利用向量数量积的定义式，求得结果.
11．（2019·全国Ⅱ卷文）已知向量=（2，3），=（3，2），则|-|=（　　）
A． B．2 C．5 D．50
【答案】A
【知识点】向量的模
【解析】【解答】∵ - =(-1,1), ∴ ,
故答案为：A
【分析】首先求出两个向量之差的坐标，进而可求出 - 的模的大小即可。
12．（2019·全国Ⅱ卷理）已知 =(2,3)， =(3，t)，| |=1，则 =（　　）
A．-3 B．-2 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】 【解答】 , = ，求出t=3即可得出 , = .
故答案为：C
【分析】首先利用向量的减法求出向量BC的坐标，再利用向量的模的公式求出t的值，结合向量的数量积运算公式代入数值求出结果即可。
13．（2019·全国Ⅰ卷理）已知非零向量 ， 满足| |=2| |，且 ，则 与 的夹角为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】 【解答】设 与 的夹角为
∵θ为两向量的夹角，
【分析】利用向量垂直数量积为0的等价关系，用数量积公式结合已知条件和两向量间夹角的取值范围求出 与 的夹角。
14．（2018·全国Ⅰ卷理）在 中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则 （　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解： = ，
故答案为：A。
【分析】以向量 和 为基底向量，由点E是AD的中点将向量 表示为 ，再由点D是BC的中点，将其表示为基底向量的线性表示形式.
15．（2018·天津）如图，在平面四边形ABCD中， ， ， ， . 若点E为边CD上的动点，则 的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量数量积的性质
【解析】【解答】解：以A为原点，AB为x轴建立直角坐标系，则
设 ∴
又
∴
∴
又E在CD上
设
又
又 ，当 时， 有最大值
故答案为：A
【分析】先建系，利用垂直，求出C，再利用数量积，得到二次函数，求出最值.
16．（2018·全国Ⅱ卷理）已知向量，满足=1， = 1 ，则·(2-)=（　　）
A．4 B．3 C．2 D．0
【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】 .
故答案为：B
【分析】由已知代入运算即可。
二、多选题
17．（2022·新高考Ⅱ卷）已知O为坐标原点，过抛物线 的焦点F的直线与C交于A，B两点，点A在第一象限，点 ，若 ，则（　　）
A．直线 的斜率为 B．
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】向量在几何中的应用；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】对于A：易得 ，由 可得点 在 的垂直平分线上，则 点横坐标为 ，代入抛物线可得 ，则 ，直线 的斜率为 ，A符合题意；
对于B：由斜率为 可得直线 的方程为 ，联立抛物线方程得 ，设 ，则 ，则 ，代入抛物线得 ，解得 ，则 ，
则 ，B不符合题意；
对于C：由抛物线定义知： ，C符合题意；
对于D： ，则 为钝角，
又 ，则 为钝角，
又 ，则 ，D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】由 及抛物线方程求得 ，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线 的方程，联立抛物线方程求得 ，即可求出 判断B选项；由抛物线的定义求出 即可判断C选项；由 ， 求得 ， 为钝角即可判断D选项.
18．（2022·新高考Ⅰ卷）已知O为坐标原点，点A(1，1)在抛物线C： 上，过点 的直线交C于P，Q两点，则（　　）
A．C的准线为 B．直线AB与C相切
C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】导数的几何意义；平面向量的数量积运算；直线的两点式方程；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：由题意可知：1=2p， 所以抛物线C： x2=y，故C的准线为，故A错误；
由y'=2x得曲线C在点A(1，1)处的切线斜率为2，所以切线方程为y=2x-1，又直线AB为：，即y=2x-1，故直线AB与C相切，故B正确；
过点B(0，-1)的直线设为y=kx-1，交C于P，Q两点的坐标分别设为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
联立直线与C方程可得x2-kx+1=0，
则x1+x2=k，x1x2=1，且，
即k2>4，则y1+y2=k2-2，y1y2=1，
此时
，又|OA|2=2，则 ，故C正确；
，
又|BA|2=5，则 ，故D正确.
故选：BCD
【分析】由抛物线的定义与几何性质可判断A，根据导数的几何意义，结合直线的两点式方程可判断B，根据直线与抛物线的位置，结合弦长公式可判断C，根据向量的数量积运算可判断D.
19．（2021·新高考Ⅰ）已知O为坐标原点，点P1(cosα,sinα),P2(cosβ，-sinβ),P3(cos(α+β),sin(α+β))，A(1，0),则（　　）
A．| = B． =
C． = D．
【答案】A,C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算；两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】解：，故A正确；
因为，故B错误；
因为，
，
所以
故C正确；
因为，
，
所以D错误
故答案为：AC.
【分析】根据向量的数量积，及向量的求模直接求解即可.
三、填空题
20．（2022·全国甲卷）设向量 ， 的夹角的余弦值为 ，且 ，则 　 　．
【答案】11
【知识点】平面向量数量积的性质；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由题意得
所以 ．
故答案为：11 ．
【分析】先根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得答案．
21．（2022·全国甲卷）已知向量 ．若 ，则 　 　．
【答案】 或-0.75
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】由题意知： ，解得 .
故答案为： .
【分析】由向量垂直的坐标表示求解即可.
22．（2021·新高考Ⅱ卷）已知向量 ，则　 　．
【答案】
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由题意得，即，
则
故答案为：
【分析】根据向量的运算法则直接求解即可.
23．（2021·北京） ， ， ，则 　 　； 　 　．
【答案】0；3
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：由题意得，则，
故答案为：0，3
【分析】根据向量的坐标运算，及向量的数量积运算求解即可.
24．（2021·全国乙卷）已知向量a=(2,5),b=(λ,4)，若 ，则λ=　 　.
【答案】
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】因为=(2,5),=(λ,4)，且 ，则，则 。
【分析】根据向量平行的条件即可得到结果。
25．（2021·全国甲卷）若向量 满足| |＝3，| |＝5， ＝1，则| |＝　 　．
【答案】
【知识点】向量的模；平面向量的线性运算
【解析】【解答】解：由得
即9-2×1+=25
解得
故答案为：
【分析】根据向量的运算法则求解即可.
26．（2021·全国甲卷）已知向量a=(3,1)，b=(1,0)， ，若a⊥c，则k=　 　。
【答案】
【知识点】平面向量的坐标运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：，
由得，解得
故答案为：
【分析】根据向量的坐标运算，结合向量垂直的判断条件求解即可.
27．（2021·全国乙卷）已知向量=（1，3），b=（3，4），若（-λ）⊥，则λ=　 　。
【答案】
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】因为，所以，
所以，
故答案为：
【分析】先计算出的坐标式，再根据两向量垂直，列式求解。
28．（2021·天津）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点， 且交AB于点E． 且交AC于点F，则 的值为　 　； 的最小值为　 　．
【答案】1；
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：设BE=x，
∵△ABC为边长为1的等边三角形，DE⊥AB
∴∠BDE=30°，BD=2x，DE=，DC=1-2x
∵DF//AB
∴△DFC为边长为1-2x的等边三角形，DE⊥DF
∴
∴
∵
则当时，取得最小值为
故答案为：1，
【分析】根据向量的数量积及向量的求模公式，再结合二次函数的最值问题求解即可.
29．（2020·新课标Ⅰ·文）设向量 ，若 ，则 　 　.
【答案】5
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】由 可得 ，
又因为 ，
所以 ，
即 ，
故答案为：5.
【分析】根据向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用向量垂直的坐标表示，求得结果.
30．（2020·新课标Ⅱ·理）已知单位向量a，b的夹角为45°，ka–b与a垂直，则k=　 　.
【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】由题意可得： ，
由向量垂直的充分必要条件可得： ，
即： ，解得： .
故答案为： ．
【分析】首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k的值.
31．（2020·新课标Ⅰ·理）设 为单位向量，且 ，则 　 　.
【答案】
【知识点】向量的模；平面向量数乘的运算
【解析】【解答】因为 为单位向量，所以
所以
解得：
所以
故答案为：
【分析】整理已知可得： ，再利用 为单位向量即可求得 ，对 变形可得： ，问题得解.
32．（2020·天津）如图，在四边形 中， ， ，且 ，则实数 的值为　 　，若 是线段 上的动点，且 ，则 的最小值为　 　．
【答案】；
【知识点】二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值；平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】 ， ， ，
，
解得 ，
以点B为坐标原点， 所在直线为x轴建立如下图所示的平面直角坐标系 ，
,
∵ ，∴ 的坐标为 ,
∵又∵ ,则 ，设 ，则 （其中 ），
， ，
，
所以，当 时， 取得最小值 .
故答案为： ； .
【分析】可得 ，利用平面向量数量积的定义求得 的值，然后以点B为坐标原点， 所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设点 ，则点 （其中 ），得出 关于 的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得 的最小值.
33．（2020·江苏）在△ABC中， D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若 （m为常数），则CD的长度是　 　．
【答案】
【知识点】平面向量的线性运算；数量积表示两个向量的夹角；余弦定理
【解析】【解答】∵ 三点共线，
∴可设 ，
∵ ，
∴ ，即 ，
若 且 ，则 三点共线，
∴ ，即 ，
∵ ，∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
设 ， ，则 ， .
∴根据余弦定理可得 ， ，
∵ ，
∴ ，解得 ，
∴ 的长度为 .
当 时， ， 重合，此时 的长度为 ，
当 时， ， 重合，此时 ，不合题意，舍去.
故答案为：0或 .
【分析】根据题设条件可设 ，结合 与 三点共线，可求得 ，再根据勾股定理求出 ，然后根据余弦定理即可求解.
34．（2020·北京）已知正方形 的边长为2，点P满足 ，则 　 　； 　 　．
【答案】；-1
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积坐标表示的应用
【解析】【解答】以点A为坐标原点， 、 所在直线分别为x、y轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则点 、 、 、 ，
，
则点 ， ， ，
因此， ， .
故答案为： ；-1.
【分析】以点A为坐标原点， 、 所在直线分别为x、y轴建立平面直角坐标系，求得点P的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得 以及 的值.
35．（2019·江苏）如图，在 中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点 .若 ，则 的值是　 　.
【答案】
【知识点】向量在几何中的应用
【解析】 【解答】 在 上， 与 共线，
设
又D是BC的中点，
,
根据等式左右两边对应相等，从而求出 的值，进而得：
【分析】利用共线定理结合平行四边形法则和已知条件，用平面向量基本定理求出 ，进而求出 的值。
36．（2019·上海）在椭圆 上任意一点 ， 与 关于 轴对称，若有 ，则 与 的夹角范围为　 　．
【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：设 ，则 点 ，
椭圆 的焦点坐标为 ， ，
，
，
结合
可得：
故 与 的夹角 满足：
，
故
故答案为：
【分析】设 ，利用点与点关于轴对称，则 点坐标为 ，
再利用椭圆的标准方程求出焦点坐标，再利用数量积的坐标表示和数量积的取值范围，用数量积表示向量的夹角，从而求出求出向量 与 的夹角范围 。
37．（2019·天津）在四边形 中， ，点 在线段 的延长线上，且 ，则 　 　.
【答案】-1
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】∵ , ,
，点 在线段 的延长线上，
作
∴ ，
∴在 中， ，
∴
故答案为：-1
【分析】本题考查向量加法的三角形法则，向量内积，需注意向量内积所成的夹角，必须共用一起点所成的角才可以。
38．（2019·全国Ⅲ卷文）已知向量 ，则 　 　.
【答案】
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】 【解答】解：∵ ，∴ ， ， ，
∴ ，
故答案为： .
【分析】由已知可得 ， ， ，代入向量的夹角公式即可得结果.
39．（2019·全国Ⅲ卷理）已知a，b为单位向量，且a-b=0，若c=2a- b，则cos=　 　。
【答案】
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】 【解答】解：∵ ， ，∴ ，展开整理可得 ，
又∵ ，∴ ，
故答案为： .
【分析】由已知 ，展开整理可得 ，再求出 ，代入向量的夹角公式即可.
40．（2019·北京）已知向量 =（-4.3）， =（6，m），且 ，则m=　 　.
【答案】8
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】根据两向量垂直，则数量积为0，得
解得m=8.
故答案为8.
【分析】根据两向量垂直，数量积为0，结合平面向量的数量积运算即可求解.
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