解析几何（解答题）——大数据之五年（2018-2022）高考真题汇编（新高考卷与全国理科）

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解析几何（解答题）——大数据之五年（2018-2022）高考真题汇编（新高考卷与全国理科）
一、解答题
1．（2022·新高考Ⅱ卷）设双曲线 的右焦点为 ，渐近线方程为 ．
（1）求C的方程；
（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点 在C上，且 ．过P且斜率为 的直线与过Q且斜率为 的直线交于点M，请从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个条件成立：
①M在 上；② ；③ ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
2．（2022·全国甲卷）设抛物线 的焦点为F，点 ，过 的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时， ．
（1）求C的方程：
（2）设直线 与C的另一个交点分别为A，B，记直线 的倾斜角分别为 ．当 取得最大值时，求直线AB的方程．
3．（2022·全国乙卷）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过 两点．
（1）求E的方程；
（2）设过点 的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足 ．证明：直线HN过定点．
4．（2022·北京）已知椭圆 的一个顶点为 ，焦距为 ．
（Ⅰ）求椭圆 的方程：
（Ⅱ）过点 作斜率为 的直线与椭圆 交于不同的两点 ，直线 分别与 轴交于点 ，当 时，求 的值。
5．（2022·新高考Ⅰ卷）已知点A(2，1)在双曲线 C： 上，直线 交C于P，Q两点，直线
AP，AQ的斜率之和为0.
（1）求 的斜率；
（2）若 求 的面积.
6．（2021·新高考Ⅱ卷）已知椭圆C的方程为 ，右焦点为 ，且离心率为 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线 与曲线 相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是 ．
7．（2021·北京）已知椭圆 过点 ，以四个顶点围成的四边形面积为 ．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k，交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB，AC交y=-3于点M、N，直线AC交y=-3于点N，若|PM|+|PN|≤15，求k的取值范围．
8．（2021·浙江）如图，已知F是抛物线 的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且 ，
（1）求抛物线的方程；
（2）设过点F的直线交抛物线与A B两点，斜率为2的直线l与直线 ，x轴依次交于点P，Q，R，N，且 ，求直线l在x轴上截距的范围.
9．（2021·全国乙卷）已知抛物线C： (p>0)的焦点F到准线的距离为2.
（1）求C的方程.
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足 ，求直线OQ斜率的最大值.
10．（2021·全国乙卷）已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，且F与圆M：x2+（y+4）2=1上点的距离的最小值为4.
（1）求p；
（2）若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求 PAB的最大值.
11．（2021·天津）已知椭圆 的右焦点为F，上顶点为B，离心率为 ，且 ．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线l与椭圆有唯一的公共点M，与y轴的正半轴交于点N，过N与BF垂直的直线交x轴于点P．若 ，求直线l的方程．
12．（2021·新高考Ⅰ）在平面直角坐标系xOy中，已知点 (- ，0)， ( ，0)，点M满足|MF1|-|MF2|=2.记M 的轨迹为C.
（1）求C的方程；
（2）设点T在直线 上，过T 的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ| ，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和
13．（2020·新课标Ⅲ·理）已知椭圆 的离心率为 ，A，B分别为C的左、右顶点．
（1）求C的方程；
（2）若点P在C上，点Q在直线 上，且 ， ，求 的面积．
14．（2020·新课标Ⅱ·理）已知椭圆C1： (a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|= |AB|.
（1）求C1的离心率；
（2）设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程.
15．（2020·新课标Ⅰ·理）已知A、B分别为椭圆E： （a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点， ，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点.
16．（2020·新高考Ⅱ）已知椭圆C： 过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为 ，
（1）求C的方程；
（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.
17．（2020·新高考Ⅰ）已知椭圆C： 的离心率为 ，且过点A（2，1）．
（1）求C的方程：
（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．
18．（2020·天津）已知椭圆 的一个顶点为 ，右焦点为F，且 ，其中O为原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知点C满足 ，点B在椭圆上（B异于椭圆的顶点），直线 与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段 的中点．求直线 的方程．
19．（2020·江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线AF1与椭圆E相交于另一点B．
（1）求△AF1F2的周长；
（2）在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求 的最小值；
（3）设点M在椭圆E上，记△OAB与△MAB的面积分别为S1，S2，若S2=3S1，求点M的坐标．
20．（2020·北京）已知椭圆 过点 ，且 ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程：
（Ⅱ）过点 的直线l交椭圆C于点 ,直线 分别交直线 于点 ．求 的值．
21．（2019·江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C: 的焦点为F1（–1、0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2: 交于点A，与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1．已知DF1= ．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求点E的坐标．
22．（2019·浙江）如图，已知点F（1，0）为抛物线y2=2px（p>0）的焦点.过点F的直线交抛物线A，B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F右侧，记△AFG，△CQG的面积分别为S1，S2.
（1）求P的值及抛物线的准线方程.
（2）求 的最小值及此时点G点坐标.
23．（2019·天津）设椭圆 的左焦点为 ，左顶点为 ，顶点为B.已知 （ 为原点）.
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设经过点 且斜率为 的直线 与椭圆在 轴上方的交点为 ，圆 同时与 轴和直线 相切，圆心 在直线 上，且 ，求椭圆的方程.
24．（2019·天津）设椭圆 的左焦点为 ，上顶点为 .已知椭圆的短轴长为4，离心率为 .
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 为直线 与 轴的交点，点 在 轴的负半轴上.若 （ 为原点），且 ，求直线 的斜率.
25．（2019·全国Ⅲ卷理）已知曲线C:
，D为直线y=- 的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.
（1）证明：直线AB过定点；
（2）若以E（0， ）为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.
26．（2019·全国Ⅱ卷理）已知点A( 2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为 .记M的轨迹为曲线C.
（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.
（i）证明： 是直角三角形；
（ii）求 面积的最大值.
27．（2019·北京）已知椭圆C： 的右焦点为（1.0），且经过点A（0，1）.
（I）求椭圆C的方程；
（II）设O为原点，直线l：y=kx+t（t≠±1）与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点.
28．（2019·北京）已知抛物线C：x2=-2py经过点（2，-1）.
（I）求抛物线C的方程及其准线方程；
（II）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=-1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.
29．（2019·全国Ⅰ卷理）已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为 的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P。
（1）若|AF|+|BF|=4,求l的方程：
（2）若 ,求|AB|。
30．（2018·全国Ⅰ卷理）设椭圆 的右焦点为 ，过 得直线 与 交于 两点，点 的坐标为 .
（1）当 与 轴垂直时，求直线 的方程；
（2）设 为坐标原点，证明： .
31．（2018·天津）设椭圆 (a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的离心率为 ，点A的坐标为 ，且 .
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l： 与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q.若 (O为原点)，求k的值.
32．（2018·天津）设椭圆 的右顶点为A，上顶点为B.已知椭圆的离心率为 ， .
（I）求椭圆的方程；
（II）设直线 与椭圆交于 两点， 与直线 交于点M，且点P，M均在第四象限.若 的面积是 面积的2倍，求k的值.
33．（2018·全国Ⅱ卷理）设抛物线
的焦点为F，过F点且斜率
的直线
与
交于
两点，
.
（1）求
的方程。
（2）求过点
且与
的准线相切的圆的方程.
34．（2018·江苏）如图，在平面直角坐标系 中，椭圆C过点 ，焦点 ，圆O的直径为 .
（1）求椭圆C及圆O的方程；
（2）设直线 与圆O相切于第一象限内的点P.
①若直线 与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；
②直线 与椭圆C交于A、B两点.若 的面积为 ，求直线 的方程.
35．（2018·全国Ⅲ卷理）已知斜率为 的直线 与椭圆 交于 两点，线段 的中点为
（1）证明：
（2）设 为 的右焦点， 为 上一点，且 ，证明： 成等差数列，并求该数列的公差。
36．（2018·北京）已知抛物线C： =2px经过点p(1，2)，过点Q(0，1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.
(Ⅰ)求直线l的斜率的取值范围；
(Ⅱ)设O为原点， ， ，求证： + 为定值.
37．（2018·北京）已知椭圆 的离心率为 ，焦距2 .斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）若 ，求 的最大值；
（Ⅲ）设 ，直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D.若C，D和点 共线，求k.
答案解析部分
1．【答案】（1）解：由题意可得 ， 故 . 因此C的方程为 .
（2）解：由已知得直线 的斜率存在且不为零，直线 的斜率不为零，
若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线 的斜率存在且不为零；
若选①③推②，则 为线段 的中点，假若直线 的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知 在 轴上，即为焦点 ，此时由对称性可知 、 关于 轴对称，与从而 ，已知不符；
总之，直线 的斜率存在且不为零.
设直线 的斜率为 ，直线 方程为 ，
则条件① 在 上，等价于 ；
两渐近线的方程合并为 ，
联立消去y并化简整理得：
设 ，线段中点为 ，则 ，
设 ，
则条件③ 等价于 ，
移项并利用平方差公式整理得：
，
，即 ，
即 ；
由题意知直线 的斜率为 ， 直线 的斜率为 ，
∴由 ，
∴ ，
所以直线 的斜率 ，
直线 ，即 ，
代入双曲线的方程 ，即 中，
得： ，
解得 的横坐标： ，
同理： ，
∴
∴ ，
∴条件② 等价于 ，
综上所述：
条件① 在 上，等价于 ；
条件② 等价于 ；
条件③ 等价于 ；
选①②推③：
由①②解得： ，∴③成立；
选①③推②：
由①③解得： ， ，
∴ ，∴②成立；
选②③推①：
由②③解得： ， ，∴ ，
∴ ，∴①成立.
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）利用焦点坐标求得的值，利用渐近线方程求得的关系，进而利用的平方关系求得的值，得到双曲线的方程；
（2）先分析得到直线的斜率存在且不为零，设直线AB的斜率为k， M(x0，y0)，由③|AM|=|BM|等价分析得到；由直线和的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程，两点间距离公式得到直线PQ的斜率，由②等价转化为，由①在上，等价于 ，然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可.
2．【答案】（1）解：抛物线的准线为 ，当 与x轴垂直时，点M的横坐标为p，
此时 ，所以 ，
所以抛物线C的方程为 ；
（2）解：设 ，直线 ，
由 可得 ， ，
由斜率公式可得 ， ，
直线 ，代入抛物线方程可得 ，
，所以 ，同理可得 ，
所以
又因为直线MN、AB的倾斜角分别为 ，
所以 ，
若要使 最大，则 ，
设 ，则 ，
当且仅当 即 时，等号成立，
所以当 最大时， ，设直线 ，
代入抛物线方程可得 ，
，所以 ，
所以直线 .
【知识点】抛物线的定义；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由抛物线的定义可得，即可得解；
（2）设点的坐标及直线MN：x=my+1，由韦达定理及斜率公式可得KMN=2KAB，再由差角的正切公式及基本不等式可得 ，设直线AB：，结合韦达定理可解.
3．【答案】（1）解：设椭圆E的方程为 ，过 ，
则 ，解得 ， ，
所以椭圆E的方程为：
（2）证明： ，所以 ，
①若过点 的直线斜率不存在，直线 .代入 ，
可得 ， ，代入AB方程 ，可得
，由 得到 .求得HN方程：
，过点 .
②若过点 的直线斜率存在，设 .
联立 得 ，
可得 ， ，
且
联立 可得
可求得此时 ，
将 ，代入整理得 ，
将 代入，得
显然成立，
综上，可得直线HN过定点
【知识点】恒过定点的直线；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）设椭圆方程为 ，将所给点的坐标代入方程求解即可；
（2）分直线斜率是否存在进行讨论，直线方程与椭圆C的方程联立，利用韦达定理结合已知条件即可表示直线HN，化简即可得解.
4．【答案】（Ⅰ）由已知
(Ⅱ)设直线 ， ，
联立
由 得
， ， ，
由ABM共线得
由 得
即
即
解得
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）根据已知条件可得， 即，结合求得a，即可得椭圆方程；
（2） 设直线 ，，联立方程组，由韦达定理可得，，由 ABM共线 ，ACN共线可得M、N点坐标，再根据，可求得的值.
5．【答案】（1）因为点A(2，1)在双曲线 上，所以有
解得 ，所以双曲线
设直线 ，
联立 消去y得到
显然 ，否则不可能有两个交点，
而 ，
由韦达定理得 ，
因为直线AP，AQ的斜率之和为0，
所以
所以 所以
即 ，
所以有 ，
将韦达定理代入化简得 ，
而当 ，此时直线 为 ，易知恒过定点 ，故舍去，
所以 ，此时满足 .
（2）又由（1）易知 ，
且
依题可设AP斜率为 ， 斜率为- ，
则由夹角公式知（后面补充证明） ，
由对称性易知，只需考虑 的情况就行，
所以有 ，解得 或 （舍）.
而 ，同理 ，
而 ，
另一方面，联立 ，（1）
同理 ，（2）
将以上两式相加，得 ，
解得 ，
所以
【知识点】斜率的计算公式；两直线的夹角与到角问题；双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）先根据题意列式求得双曲线C的方程 ，再结合直线与双曲线的位置关系，以及直线的斜率公式，列式得 ，再判断2k+m-1=0不成立，易得k=-1；
（2）先设AP斜率为 ， 斜率为- ，由夹角公式求得 ，同时根据两直线的位置可得 ，结合(1)，可得 ，再由韦达定理与三角形面积公式可得 ，代入计算即可.
6．【答案】（1）由题意，椭圆半焦距 且 ，所以 ，
又 ，所以椭圆方程为 ；
（2）由（1）得，曲线为 ，
当直线 的斜率不存在时，直线 ，不合题意；
当直线 的斜率存在时，设 ，
必要性：
若M，N，F三点共线，可设直线 即 ，
由直线 与曲线 相切可得 ，解得 ，
联立 可得 ，所以 ，
所以 ，
所以必要性成立；
充分性：设直线 即 ，
由直线 与曲线 相切可得 ，所以 ，
联立 可得 ，
所以 ，
所以
，
化简得 ，所以 ，
所以 或 ，所以直线 或 ，
所以直线 过点 ，M，N，F三点共线，充分性成立；
所以M，N，F三点共线的充要条件是 ．
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【分析】（1）根据椭圆的几何性质，结合椭圆的标准方程直接求解即可；
（2）必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证；
充分性：设直线MN：y=kx+b(kb<0)，由直线与圆相切得b2=k2+1，联立直线与椭圆方程结合弦长公式即可求解.
7．【答案】（1）因为椭圆过 ，故 ，
因为四个顶点围成的四边形的面积为 ，故 ，即 ，
故椭圆的标准方程为： .
（2）设 ，
因为直线 的斜率存在，故 ，
故直线 ，令 ，则 ，同理 .
直线 ，由 可得 ，
故 ，解得 或 .
又 ，故 ，所以
又
故 即 ，
综上， 或 .
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据椭圆的几何性质求解即可；
（2）根据直线与椭圆的位置关系，利用根与系数的关系，结合弦长公式求解即可.
8．【答案】（1）解：因为 ，故 ，故抛物线的方程为：
（2）解：设 ， ， ，
所以直线 ，由题设可得 且 .
由 可得 ，故 ，
因为 ，故 ，故 .
又 ，由 可得 ，
同理 ，
由 可得 ，
所以 ，
整理得到 ，
故 ，
令 ，则 且 ，
故 ，
故 即 ，
解得 或 或 .
故直线 在 轴上的截距的范围为 或 或
【知识点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义，即可求得P，进而写出方程；
（2） 设 ， 并设 ， ，写 出直线 ，代入抛物线，由韦达定理写出关系式，再由 ，结合直线方程 ，推出关系式，进而利用基本不等式以及解相关不等式，得出直线l在x轴上截距的范围。
9．【答案】（1）抛物线 的焦点 ，准线方程为 ，
由题意，该抛物线焦点到准线的距离为 ，
所以该抛物线的方程为 ；
（2）设 ，则 ，
所以 ，
由 在抛物线上可得 ，即 ，
所以直线 的斜率 ，
当 时， ；
当 时， ，
当 时，因为 ，
此时 ，当且仅当 ，即 时，等号成立；
当 时， ；
综上，直线 的斜率的最大值为 .
【知识点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）根据抛物线的几何性质，可求得P的值，就可以写出抛物线的方程；
（2）先设出Q的坐标M(x0,y0),在代入已知等式 ，用(x0,yO)表示出 ，再 代入抛物线方程，推导出x0，y0的关系，再表示出OQ的斜率。再利用基本不等式，求出斜率最大值即可。
10．【答案】（1）解：焦点 到 的最短距离为 ，所以p=2.
（2）抛物线 ，设A(x1，y1），B(x2，y2)，P(x0，y0)，则
，
，且 .
， 都过点P(x0，y0），则 故 ，即 .
联立 ，得 ， .
所以 = ， ，所以
= = = .
而 .故当y0=-5时， 达到最大，最大值为 .
【知识点】圆的标准方程；抛物线的标准方程；抛物线的应用
【解析】【分析】（1）因为F点到圆上距离最小的即为F到圆心的距离减去半径1，据此得到结果；
（2）由（1）写出抛物线的标准方程 ，分别设出切点A，B的坐标，及P（在圆M上）的坐标，分别写出两条切线的方程，利用A，B都过P点，建立方程求解。最后通过三角形PAB面积表达式，研究最值。
11．【答案】（1）易知点 、 ，故 ，
因为椭圆的离心率为 ，故 ， ，
因此，椭圆的方程为 ；
（2）设点 为椭圆 上一点，
先证明直线 的方程为 ，
联立 ，消去 并整理得 ， ，
因此，椭圆 在点 处的切线方程为 .
在直线 的方程中，令 ，可得 ，由题意可知 ，即点 ，
直线 的斜率为 ，所以，直线 的方程为 ，
在直线 的方程中，令 ，可得 ，即点 ，
因为 ，则 ，即 ，整理可得 ，
所以， ，因为 ， ，故 ， ，
所以，直线 的方程为 ，即 .
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）先求出a值，结合a，b，c的关系求得b，从而求得椭圆的方程；
（2）设M(x0，y0)，可得直线l的方程，求出点P的坐标，再根据MP//BF得KMP=KBF，求得x0，y0的值，即可得出直线l的方程
12．【答案】（1） ，
轨迹 为双曲线右半支， ， ，
， ，
．
（2）设 ，
设 ： ，
联立 ，
，
，
，
，
，
，
设 ： ，
同理 ，
，
， ，
，即 ，
，
.
【知识点】双曲线的定义；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据双曲线的定义直接求解即可；
（2）利用直线与双曲线的位置关系，结合根与系数的关系，以及弦长公式求解即可.
13．【答案】（1）解：
， ，
根据离心率 ，
解得 或 (舍)，
C的方程为： ，
即
（2）解： 点P在C上，点Q在直线 上，且 ， ，
过点P作x轴垂线，交点为M，设 与x轴交点为N
根据题意画出图形，如图
， ， ，
又 ， ，
，
根据三角形全等条件“ ”，
可得： ，
，
，
，
设 点为 ，
可得 点纵坐标为 ，将其代入 ，
可得： ，
解得： 或 ，
P点为 或 ，
①当 点为 时，
故 ，
，
，
可得：Q点为 ，
画出图象，如图
, ，
可求得直线 的直线方程为： ，
根据点到直线距离公式可得 到直线 的距离为： ，
根据两点间距离公式可得： ，
面积为： ；
②当 点为 时，
故 ，
，
，
可得：Q点为 ，
画出图象，如图
, ，
可求得直线 的直线方程为： ，
根据点到直线距离公式可得 到直线 的距离为： ，
根据两点间距离公式可得： ，
面积为： ，
综上所述， 面积为： .
【知识点】两点间的距离公式；点到直线的距离公式；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【分析】（1）因为 ，可得 ， ，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案；（2）点P在C上，点Q在直线 上，且 ， ，过点P作x轴垂线，交点为M，设 与x轴交点为N，可得 ，可求得P点坐标，求出直线 的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得 的面积.
14．【答案】（1）解： ， 轴且与椭圆 相交于A、B两点，
则直线 的方程为 ，
联立 ，解得 ，则 ，
抛物线 的方程为 ，联立 ，
解得 ， ，
，即 ， ，
即 ，即 ，
，解得 ，因此，椭圆 的离心率为 ；
（2）解：由（1）知 ， ，椭圆 的方程为 ，
联立 ，消去 并整理得 ，
解得 或 （舍去），
由抛物线的定义可得 ，解得 .
因此，曲线 的标准方程为 ，
曲线 的标准方程为 .
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1）求出 、 ，利用 可得出关于a、c的齐次等式，可解得椭圆 的离心率的值；（2）由（1）可得出 的方程为 ，联立曲线 与 的方程，求出点M的坐标，利用抛物线的定义结合 可求得c的值，进而可得出 与 的标准方程.
15．【答案】（1）解：依据题意作出如下图象：
由椭圆方程 可得： ， ，
，
，
椭圆方程为：
（2）证明：设 ，
则直线 的方程为： ，即：
联立直线 的方程与椭圆方程可得： ，整理得：
，解得： 或
将 代入直线 可得：
所以点 的坐标为 .
同理可得：点 的坐标为
直线 的方程为： ，
整理可得：
整理得：
故直线 过定点
【知识点】向量在几何中的应用；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由已知可得： ， ， ，即可求得 ，结合已知即可求得： ，问题得解.（2）设 ，可得直线 的方程为： ，联立直线 的方程与椭圆方程即可求得点 的坐标为 ，同理可得点 的坐标为 ，即可表示出直线 的方程，整理直线 的方程可得： ，命题得证.
16．【答案】（1）解：由题意可知直线AM的方程为： ，即 .
当y=0时，解得 ，所以a=4，
椭圆 过点M(2，3)，可得 ，
解得b2=12.
所以C的方程： .
（2）解：设与直线AM平行的直线方程为： ，
如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值.
联立直线方程 与椭圆方程 ，
可得： ，
化简可得： ，
所以 ，即m2=64，解得m=±8，
与AM距离比较远的直线方程： ，
直线AM方程为： ，
点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，
利用平行线之间的距离公式可得： ，
由两点之间距离公式可得 .
所以△AMN的面积的最大值： .
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)由题意分别求得a,b的值即可确定椭圆方程；(2)首先利用几何关系找到三角形面积最大时点N的位置，然后联立直线方程与椭圆方程，结合判别式确定点N到直线AM的距离即可求得三角形面积的最大值.
17．【答案】（1）解：由题意可得： ，解得： ，故椭圆方程为： .
（2）解：设点 .
因为AM⊥AN，∴ ，即 ,①
当直线MN的斜率存在时，设方程为 ,如图1.
代入椭圆方程消去 并整理得： ,
②,
根据 ,代入①整理可得：
将②代入， ，
整理化简得 ,
∵ 不在直线 上，∴ ，
∴ ，
于是MN的方程为 ，
所以直线过定点直线过定点 .
当直线MN的斜率不存在时，可得 ,如图2.
代入 得 ,
结合 ,解得 ,
此时直线MN过点 ,
由于AE为定值，且△ADE为直角三角形，AE为斜边，
所以AE中点Q满足 为定值（AE长度的一半 ）.
由于 ，故由中点坐标公式可得 .
故存在点 ，使得|DQ|为定值.
【知识点】椭圆的定义；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)由题意得到关于a,b,c的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程.(2)设出点M，N的坐标，在斜率存在时设方程为 , 联立直线方程与椭圆方程，根据已知条件，已得到m,k的关系，进而得直线MN恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点Q的位置.
18．【答案】解：（Ⅰ） 椭圆 的一个顶点为 ，
，
由 ，得 ，
又由 ，得 ，
所以，椭圆的方程为 ；
（Ⅱ） 直线 与以C为圆心的圆相切于点P，所以 ，
根据题意可知，直线 和直线 的斜率均存在，
设直线 的斜率为k，则直线 的方程为 ，即 ，
，消去 ，可得 ，解得 或 .
将 代入 ，得 ，
所以，点 的坐标为 ，
因为P为线段 的中点，点 的坐标为 ，
所以点P的坐标为 ，
由 ，得点 的坐标为 ，
所以，直线 的斜率为 ，
又因为 ，所以 ，
整理得 ，解得 或 .
所以，直线 的方程为 或 .
【知识点】椭圆的定义；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意，并借助 ，即可求出椭圆的方程；（Ⅱ）利用直线与圆相切，得到 ，设出直线 的方程，并与椭圆方程联立，求出B点坐标，进而求出P点坐标，再根据 ，求出直线 的斜率，从而得解.
19．【答案】（1）解：∵椭圆 的方程为
∴ ,
由椭圆定义可得： .
∴ 的周长为
（2）解：设 ，根据题意可得 .
∵点 在椭圆 上，且在第一象限，
∴
∵准线方程为
∴
∴ ，当且仅当 时取等号.
∴ 的最小值为 .
（3）解：设 ，点M到直线 的距离为d.
∵ ，
∴直线 的方程为
∵点O到直线 的距离为 ，
∴
∴
∴①
∵②
∴联立①②解得 ， .
∴ 或 .
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；点到直线的距离公式；椭圆的定义
【解析】【分析】（1）根据椭圆定义可得 ，从而可求出 的周长；（2）设 ，根据点A在椭圆E上，且在第一象限， ，求出 ，根据准线方程得Q点坐标，再根据向量坐标公式，结合二次函数性质即可出最小值；（3）设出设 ，点M到直线 的距离为d，由点O到直线 的距离与 ，可推出 ，根据点到直线的距离公式，以及 满足椭圆方程，解方程组即可求得坐标.
20．【答案】解：(Ⅰ)设椭圆方程为： ，由题意可得：
，解得： ，
故椭圆方程为： .
（Ⅱ）设 ， ，直线 的方程为： ，
与椭圆方程 联立可得： ，
即： ，
则： .
直线MA的方程为： ，
令 可得： ，
同理可得： .
很明显 ，且： ，注意到：
，
而：
，
故 .
从而 .
【知识点】椭圆的定义；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(Ⅰ)由题意得到关于a,b的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程；(Ⅱ)首先联立直线与椭圆的方程，然后由直线MA,NA的方程确定点P,Q的纵坐标，将线段长度的比值转化为纵坐标比值的问题，进一步结合韦达定理可证得 ，从而可得两线段长度的比值.
21．【答案】（1）解：设椭圆C的焦距为2c.
因为F1(－1，0)，F2(1，0)，所以F1F2=2，c=1.
又因为DF1= ，AF2⊥x轴，所以DF2= ，
因此2a=DF1+DF2=4，从而a=2.
由b2=a2-c2，得b2=3.
因此，椭圆C的标准方程为
（2）解：解法一：由（1）知，椭圆C： ，a=2，因为AF2⊥x轴，所以点A的横坐标为1.
将x=1代入圆F2的方程(x-1) 2+y2=16，解得y=±4.
因为点A在x轴上方，所以A(1，4).
又F1(-1，0)，所以直线AF1：y=2x+2.
由 ，得 ，解得 或 .将 代入 ，得 ，
因此 .又F2(1，0)，所以直线BF2： .
由 ，得 ，解得 或 .
又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以 .
将 代入 ，得 .因此 .解法二：
由（1）知，椭圆C： .如图，连结EF1.
因为BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以EF1=EB，
从而∠BF1E=∠B.
因为F2A=F2B，所以∠A=∠B，
所以∠A=∠BF1E，从而EF1∥F2A.
因为AF2⊥x轴，所以EF1⊥x轴.
因为F1(-1，0)，由 ，得 .
又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以 .
因此 .
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 （1） 利用焦距求出c的值，再利用DF1= ，AF2⊥x轴，结合勾股定理和椭圆的定义得出a的值，再利用椭圆中a,b,c三者的关系式求出b的值，从而求出椭圆的标准方程。（2）利用两种方法求出点E的坐标，利用椭圆的标准方程求出 的值和焦点 坐标，再利用 的值求出圆F2: 的标准方程，再利用过F2作x轴的垂线l，求出直线l的方程，再利用直线l与圆F2: 交于点A，联立二者方程求出交点A的坐标，再利用直线l与椭圆C交于点D，联立二者方程求出交点D的坐标，连结AF1并延长交圆F2于点B，从而求出交点B的坐标，连结BF2交椭圆C于点E，再利用两点距离公式或角之间的关系式，从而求出交点E的坐标。
22．【答案】（1）由题意得 ，即p=2.
所以，抛物线的准线方程为x= 1.
（2）设 ，重心 .令 ，则 . 由于直线AB过F，故直线AB方程为 ，代入 ，得 ， 故 ，即 ，所以 . 又由于 及重心G在x轴上，故 ，得 . 所以，直线AC方程为 ，得 .
由于Q在焦点F的右侧，故 .从而
. 令 ，则m>0， .
当 时， 取得最小值 ，此时G（2，0）.
【知识点】抛物线的应用；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据焦点坐标求出p，即可得到抛物线的准线方程；
（2）设出相应点的坐标及直线方程，将直线方程与抛物线方程联立，根据韦达定理，结合换元法，即可求出相应的最小值.
23．【答案】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为 ，由已知有 ，又由 ，消去 得 ，解得 .
所以，椭圆的离心率为 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ， ，故椭圆方程为 .由题意， ，则直线 的方程为 .点P的坐标满足 ，消去 并化简，得到 ，解得 ，代入到 的方程，解得 .因为点 在 轴上方，所以 .由圆心 在直线 上，可设 .因为 ，且由（Ⅰ）知 ，故 ，解得 .因为圆 与 轴相切，所以圆的半径为2，又由圆 与 相切，得 ，可得 .
所以，椭圆的方程为
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】 【分析】（Ⅰ）由 |得， ，又 ，即可求椭圆的离心率；
（Ⅱ）点斜式设出直线 的方程，由离心率的值设出椭圆的方程，将这两个方程联立方程组，应用根与系数的关系，用 表示出点P,再由圆心 在直线 上，设 ，由 ，列出关于等式 ，求出 ，再由圆 与 轴相切求出 ，即可求出椭圆的方程．
24．【答案】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为 ，依题意， ，又 ，可得 ， .
所以，椭圆的方程为 .
（Ⅱ）由题意，设 .设直线 的斜率为 ，又 ，则直线 的方程为 ，与椭圆方程联立 整理得 ，可得 ，代入 得 ，进而直线 的斜率 .在 中，令 ，得 .由题意得 ，所以直线 的斜率为 .由 ，得 ，化简得 ，从而 .
所以，直线 的斜率为 或
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】 【分析】本题主要考查直线与圆锥曲线方程和圆锥曲线的性质。
（Ⅰ）由椭圆的短轴长，离心率，即可求 ，进而求得椭圆的方程；
（Ⅱ）由已知条件写出直线 的点斜式，把直线 的方程跟椭圆的方程联立，用 表示出P点的坐标，进而求出 ,在通过已知条件求出 ，由 ，得出 求出 的值，进而得出直线 的斜率。
25．【答案】（1）解：设 ，则 . 由于 ，所以切线DA的斜率为 ，故 . 整理得 设 ，同理可得 . 故直线AB的方程为 .
所以直线AB过定点 .
（2）由（1）得直线AB的方程为 . 由 ，可得 . 于是 ， .
设 分别为点D，E到直线AB的距离，则 .
因此，四边形ADBE的面积 .
设M为线段AB的中点，则 .
由于 ，而 ， 与向量 平行，所以 .解得t=0或 . 当 =0时，S=3；当 时， .
因此，四边形ADBE的面积为3或 .
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】 【分析】（1）先求导，分别得到切线DA和DB的方程，可得直线AB的方程，即可证明直线AB过定点；（2）由（1）中直线AB的方程与抛物线方程联立，利用弦长公式和点到直线的距离公式，分别得到|AB|与点D，E到直线AB的距离，由 与向量 平行列式，即可求出四边形ADBE的面积.
26．【答案】（1）解：由题设得 ，化简得 ，所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点．
（2）（i）设直线PQ的斜率为k，则其方程为 ．由 得 ．记 ，则 ．于是直线 的斜率为 ，方程为 ．由 得 ．①设 ，则 和 是方程①的解，故 ，由此得 ．从而直线 的斜率为 ．所以 ，即 是直角三角形．（ii）由（i）得 ， ，所以△PQG的面积 ．
设t=k+ ，则由k>0得t≥2，当且仅当k=1时取等号．
因为 在[2，+∞）单调递减，所以当t=2，即k=1时，S取得最大值，最大值为 ．
因此，△PQG面积的最大值为 ．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】 【分析】（1）根据AM，BM斜率之积为 ，列出等式，即可得到曲线C为焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点．（2）（i）设出PQ解析式，联立PQ解析式与曲线C，得到P、Q两点坐标，即可得到E点坐标，根据Q、E两点坐标得到QE的解析式，联立QE与曲线C，可得G点坐标，再根据G、P点坐标，得到PG斜率。化简可得 ，得证 为直角三角形。
（ii）由（i）知， ，所以， ，由（i）分别求出， ， 化简S可得关于K的函数表达式，考虑K的取值范围，即可得出S的最大值。
27．【答案】解：（I）根据焦点为（1,0），可知c=1，
根据椭圆经过（0,1）可知b=1，故 ，
所以椭圆的方程为 ；
（II）设 ，
则直线 ，直线 ，
解得 ,
故 ，
将直线y=kx+t与椭圆方程联立，
得 ，
故 ，所以 ，
故 ，
解得t=0，故直线方程为y=kx，一定经过原点（0,0）.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（I）根据焦点坐标和A点坐标，求出a和b，即可得到椭圆的标准方程；
（II）设出P和Q的坐标，表示出M和N的坐标，将直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理，表示OM与ON，根据 ，解得t=0，即可确定直线恒过定点（0,0）.
28．【答案】 解：（I）将（2，-1）代入抛物线方程，
得 ，解得p=2，故抛物线方程为 ，其准线方程为y=1；
（II）过焦点（0，-1）作直线l，由于直线与抛物线有两个交点，故直线l的斜率存在，
设l：y=kx-1， ，
将直线方程与抛物线方程联立，得 ，
由韦达定理 ，
则 ，
令y=-1，则 ，
设以AB为直径的圆上点P（a，b），则 ，
，
整理得 ，
令a=0，则 ，所以b=1或b=-3，
即以AB为直径的圆经过y轴的两个定点（0,1）和（0，-3）.
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】 【分析】（I）将点的坐标代入，即可求出抛物线的方程和准线；
（II）将直线方程与抛物线方程联立，表示点的坐标，结合圆的特点，求出圆的方程，即可求出相应定点坐标.
29．【答案】（1） 解：设直线 的方程为：
的方程为：
（2） 解： ，
由 得： 联立上式得
【知识点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）由抛物线求出焦点坐标，再利用斜截式设出斜率为 的直线l的方程，再利用直线l与抛物线的交点为A，B，联立二者方程求出交点坐标，再利用抛物线的定义求出b的值，再利用斜率和b的值求出直线 的方程。（2）利用斜截式设出斜率为 的直线l的方程，再利用直线l与x轴的交点为P，联立二者方程求出交点P的坐标，再由共线定理的坐标表示求出b的值和交点A,B的纵坐标，再利用直线的斜率结合韦达定理与交点坐标的关系式，用弦长公式求出弦长AB的值。
30．【答案】（1）解：由已知得 ，l的方程为x=1.
由已知可得，点A的坐标为 或 .
所以AM的方程为 或 .
（2）解：当l与x轴重合时， .
当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以 .
当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为 ， ，
则 ，直线MA，MB的斜率之和为 .由 得 .将 代入 得 .所以， .则 .
从而 ，故MA，MB的倾斜角互补，所以 .
综上， .
【知识点】椭圆的应用
【解析】【分析】(1)由椭圆方程得F的坐标，得到直线l的方程，代入椭圆方程中求出点A，B的坐标，再求出直线AM的方程；(2) 等价于直线MA，MB的斜率互为相反数，设出直线l的方程代入到椭圆的方程中，消去x得到关于y的二次方程，由韦达定理计算直线MA，MB的斜率的和为0，得证.
31．【答案】解：解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c，则 ，
又 。
由 ，从而ab=6.
∴a=3.b=2.
即椭圆方程为： 。
（Ⅱ）设 ，由已知 。
故 ，
又
从而
∴
又 ，
又 。 ，
又 ，
∴ 。
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（Ⅰ）由椭圆几何性质，得到a，b。
（Ⅱ）由已知条件得到P，Q纵坐标关系，联立方程组，将P，Q纵坐标分别用k表示。
32．【答案】解：（I）设椭圆的焦距为2c，由已知得 ，
又 ，
∴
由 ， .
∴椭圆的方程为 .
（II）设P ， M ，则 ，
点 的坐标为 的面积是 面积的2倍，可得 ，
从而 ，即 .
易知直线 的方程为 ，由方程组 消去y，可得 .由方程组 消去 ，可得 .由 ，可得 ，两边平方，整理得 ，解得 ，或 .
当 时， ，不合题意，舍去；当 时， ， ，符合题意.
∴ 的值为
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的应用
【解析】【分析】（1）由椭圆定义求出a，b；（2）联立方程组求解。
33．【答案】（1）设直线l 的方程：y=k(x-1)将其代入抛物线C：y2=4x得到：
K2x2-（2k2+4）x+k2=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），△=（2k2+4）-4k2=16k2+16＞0
X1+x2=2+
而 ，且k＞0
解得：k=1
所以直线l的方程：y=x-1
（2）由（1）得A，B的中点坐标为：（3，2），所以AB的垂直平分线方程为y-2=-（x-3），即y=-x+5
设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则
解得： 或
因此所求圆的方程为：（x-3）2+（y-2）2=16或（x-11）2+（y+6）2=144
【知识点】抛物线的应用
【解析】【分析】（1）由弦长公式，直线与抛物线相交知识易得l的方程；（2）找圆心，求半径。
34．【答案】（1）解：∵∴圆O： ，点 在椭圆上，
又 ∴a=2，b=1，即 ：
（2）解：①直线l概率 ，设l：y=kx+m（ ，m＞0）
，
，
∴
又 ，又
∴
②设 ，由①知
又l与椭圆C相交，由②得过程知
∴
又
O到l距离d
∵
=
又 ∴
∴直线l方程：
【知识点】点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）由椭圆方程，待定系数法求出椭圆；（2）①联立直线，围与直线椭圆相切， ，求出k，m；②联立直线与椭圆方程，由弦长公式，点到直线距离公式求出面积。
35．【答案】（1）解：设
设A（x1，y1）B（x2，y2）
所以
又
所以 所以
（2）解：F（1，0） 所以P（1，-2m）在抛物线上
所以3+16m2=12 16m2=9
即
又
同理
所以
所以
所以 为等差数列
2d=
=
=
=
=±
d=
【知识点】等差数列的性质；椭圆的标准方程；椭圆的应用
【解析】【分析】（1）联立方程解，利用M在椭圆内部得到m范围，再由k，m关系，得到k范围；
（2）由向量运算，将P坐标用m表示，在椭圆上求出m，再由两点间距离公式，得到|FA|、|FB|用韦达定理表示，得到d.
36．【答案】（Ⅰ） ，所以抛物线方程
因为直线过(0， 1 )由题意可得直线与抛物线有两个交点可得，直线I的斜率存在且不为0 ，设直线1的方程为：y=kx+1，
由题意可得直线l不过P ，而kPQ==1，
若直线与抛物线的一个交点为(1 ，-2)，则该点与P所在的直线与y轴没有交点，与题意矛盾这时k==-3，
所以直线的斜率k≠-3 ，
直线与抛物线联立可得： ，整理得：
综上可得：直线l的斜率的取值范围k∈（-∞，1），且k≠-3，且k≠-0
（Ⅱ） ，
∴
令x=0，
∴
（定值）
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】待定系数法求出P，联立方程组 求出k范围；（2）设而不求，先化简 得到M，N两点间系数关系，再转化为 ， ， ， 关系，代入韦达定理，即可求出值.
37．【答案】解：（Ⅰ） ；
∴椭圆方程
（Ⅱ）l：y=x+m，
当m=0时，
（Ⅲ）设
∴
代入上式得
则
即
同理
因为C、D和 共线，所以
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法，求ab.（2）联立方程组，弦长公式可求；（3）联立方程组，均用 表示， 表示，得到关系，则得到k.
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解析几何（解答题）——大数据之五年（2018-2022）高考真题汇编（新高考卷与全国理科）
一、解答题
1．（2022·新高考Ⅱ卷）设双曲线 的右焦点为 ，渐近线方程为 ．
（1）求C的方程；
（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点 在C上，且 ．过P且斜率为 的直线与过Q且斜率为 的直线交于点M，请从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个条件成立：
①M在 上；② ；③ ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】（1）解：由题意可得 ， 故 . 因此C的方程为 .
（2）解：由已知得直线 的斜率存在且不为零，直线 的斜率不为零，
若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线 的斜率存在且不为零；
若选①③推②，则 为线段 的中点，假若直线 的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知 在 轴上，即为焦点 ，此时由对称性可知 、 关于 轴对称，与从而 ，已知不符；
总之，直线 的斜率存在且不为零.
设直线 的斜率为 ，直线 方程为 ，
则条件① 在 上，等价于 ；
两渐近线的方程合并为 ，
联立消去y并化简整理得：
设 ，线段中点为 ，则 ，
设 ，
则条件③ 等价于 ，
移项并利用平方差公式整理得：
，
，即 ，
即 ；
由题意知直线 的斜率为 ， 直线 的斜率为 ，
∴由 ，
∴ ，
所以直线 的斜率 ，
直线 ，即 ，
代入双曲线的方程 ，即 中，
得： ，
解得 的横坐标： ，
同理： ，
∴
∴ ，
∴条件② 等价于 ，
综上所述：
条件① 在 上，等价于 ；
条件② 等价于 ；
条件③ 等价于 ；
选①②推③：
由①②解得： ，∴③成立；
选①③推②：
由①③解得： ， ，
∴ ，∴②成立；
选②③推①：
由②③解得： ， ，∴ ，
∴ ，∴①成立.
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）利用焦点坐标求得的值，利用渐近线方程求得的关系，进而利用的平方关系求得的值，得到双曲线的方程；
（2）先分析得到直线的斜率存在且不为零，设直线AB的斜率为k， M(x0，y0)，由③|AM|=|BM|等价分析得到；由直线和的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程，两点间距离公式得到直线PQ的斜率，由②等价转化为，由①在上，等价于 ，然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可.
2．（2022·全国甲卷）设抛物线 的焦点为F，点 ，过 的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时， ．
（1）求C的方程：
（2）设直线 与C的另一个交点分别为A，B，记直线 的倾斜角分别为 ．当 取得最大值时，求直线AB的方程．
【答案】（1）解：抛物线的准线为 ，当 与x轴垂直时，点M的横坐标为p，
此时 ，所以 ，
所以抛物线C的方程为 ；
（2）解：设 ，直线 ，
由 可得 ， ，
由斜率公式可得 ， ，
直线 ，代入抛物线方程可得 ，
，所以 ，同理可得 ，
所以
又因为直线MN、AB的倾斜角分别为 ，
所以 ，
若要使 最大，则 ，
设 ，则 ，
当且仅当 即 时，等号成立，
所以当 最大时， ，设直线 ，
代入抛物线方程可得 ，
，所以 ，
所以直线 .
【知识点】抛物线的定义；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由抛物线的定义可得，即可得解；
（2）设点的坐标及直线MN：x=my+1，由韦达定理及斜率公式可得KMN=2KAB，再由差角的正切公式及基本不等式可得 ，设直线AB：，结合韦达定理可解.
3．（2022·全国乙卷）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过 两点．
（1）求E的方程；
（2）设过点 的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足 ．证明：直线HN过定点．
【答案】（1）解：设椭圆E的方程为 ，过 ，
则 ，解得 ， ，
所以椭圆E的方程为：
（2）证明： ，所以 ，
①若过点 的直线斜率不存在，直线 .代入 ，
可得 ， ，代入AB方程 ，可得
，由 得到 .求得HN方程：
，过点 .
②若过点 的直线斜率存在，设 .
联立 得 ，
可得 ， ，
且
联立 可得
可求得此时 ，
将 ，代入整理得 ，
将 代入，得
显然成立，
综上，可得直线HN过定点
【知识点】恒过定点的直线；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）设椭圆方程为 ，将所给点的坐标代入方程求解即可；
（2）分直线斜率是否存在进行讨论，直线方程与椭圆C的方程联立，利用韦达定理结合已知条件即可表示直线HN，化简即可得解.
4．（2022·北京）已知椭圆 的一个顶点为 ，焦距为 ．
（Ⅰ）求椭圆 的方程：
（Ⅱ）过点 作斜率为 的直线与椭圆 交于不同的两点 ，直线 分别与 轴交于点 ，当 时，求 的值。
【答案】（Ⅰ）由已知
(Ⅱ)设直线 ， ，
联立
由 得
， ， ，
由ABM共线得
由 得
即
即
解得
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）根据已知条件可得， 即，结合求得a，即可得椭圆方程；
（2） 设直线 ，，联立方程组，由韦达定理可得，，由 ABM共线 ，ACN共线可得M、N点坐标，再根据，可求得的值.
5．（2022·新高考Ⅰ卷）已知点A(2，1)在双曲线 C： 上，直线 交C于P，Q两点，直线
AP，AQ的斜率之和为0.
（1）求 的斜率；
（2）若 求 的面积.
【答案】（1）因为点A(2，1)在双曲线 上，所以有
解得 ，所以双曲线
设直线 ，
联立 消去y得到
显然 ，否则不可能有两个交点，
而 ，
由韦达定理得 ，
因为直线AP，AQ的斜率之和为0，
所以
所以 所以
即 ，
所以有 ，
将韦达定理代入化简得 ，
而当 ，此时直线 为 ，易知恒过定点 ，故舍去，
所以 ，此时满足 .
（2）又由（1）易知 ，
且
依题可设AP斜率为 ， 斜率为- ，
则由夹角公式知（后面补充证明） ，
由对称性易知，只需考虑 的情况就行，
所以有 ，解得 或 （舍）.
而 ，同理 ，
而 ，
另一方面，联立 ，（1）
同理 ，（2）
将以上两式相加，得 ，
解得 ，
所以
【知识点】斜率的计算公式；两直线的夹角与到角问题；双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）先根据题意列式求得双曲线C的方程 ，再结合直线与双曲线的位置关系，以及直线的斜率公式，列式得 ，再判断2k+m-1=0不成立，易得k=-1；
（2）先设AP斜率为 ， 斜率为- ，由夹角公式求得 ，同时根据两直线的位置可得 ，结合(1)，可得 ，再由韦达定理与三角形面积公式可得 ，代入计算即可.
6．（2021·新高考Ⅱ卷）已知椭圆C的方程为 ，右焦点为 ，且离心率为 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线 与曲线 相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是 ．
【答案】（1）由题意，椭圆半焦距 且 ，所以 ，
又 ，所以椭圆方程为 ；
（2）由（1）得，曲线为 ，
当直线 的斜率不存在时，直线 ，不合题意；
当直线 的斜率存在时，设 ，
必要性：
若M，N，F三点共线，可设直线 即 ，
由直线 与曲线 相切可得 ，解得 ，
联立 可得 ，所以 ，
所以 ，
所以必要性成立；
充分性：设直线 即 ，
由直线 与曲线 相切可得 ，所以 ，
联立 可得 ，
所以 ，
所以
，
化简得 ，所以 ，
所以 或 ，所以直线 或 ，
所以直线 过点 ，M，N，F三点共线，充分性成立；
所以M，N，F三点共线的充要条件是 ．
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【分析】（1）根据椭圆的几何性质，结合椭圆的标准方程直接求解即可；
（2）必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证；
充分性：设直线MN：y=kx+b(kb<0)，由直线与圆相切得b2=k2+1，联立直线与椭圆方程结合弦长公式即可求解.
7．（2021·北京）已知椭圆 过点 ，以四个顶点围成的四边形面积为 ．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k，交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB，AC交y=-3于点M、N，直线AC交y=-3于点N，若|PM|+|PN|≤15，求k的取值范围．
【答案】（1）因为椭圆过 ，故 ，
因为四个顶点围成的四边形的面积为 ，故 ，即 ，
故椭圆的标准方程为： .
（2）设 ，
因为直线 的斜率存在，故 ，
故直线 ，令 ，则 ，同理 .
直线 ，由 可得 ，
故 ，解得 或 .
又 ，故 ，所以
又
故 即 ，
综上， 或 .
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据椭圆的几何性质求解即可；
（2）根据直线与椭圆的位置关系，利用根与系数的关系，结合弦长公式求解即可.
8．（2021·浙江）如图，已知F是抛物线 的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且 ，
（1）求抛物线的方程；
（2）设过点F的直线交抛物线与A B两点，斜率为2的直线l与直线 ，x轴依次交于点P，Q，R，N，且 ，求直线l在x轴上截距的范围.
【答案】（1）解：因为 ，故 ，故抛物线的方程为：
（2）解：设 ， ， ，
所以直线 ，由题设可得 且 .
由 可得 ，故 ，
因为 ，故 ，故 .
又 ，由 可得 ，
同理 ，
由 可得 ，
所以 ，
整理得到 ，
故 ，
令 ，则 且 ，
故 ，
故 即 ，
解得 或 或 .
故直线 在 轴上的截距的范围为 或 或
【知识点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义，即可求得P，进而写出方程；
（2） 设 ， 并设 ， ，写 出直线 ，代入抛物线，由韦达定理写出关系式，再由 ，结合直线方程 ，推出关系式，进而利用基本不等式以及解相关不等式，得出直线l在x轴上截距的范围。
9．（2021·全国乙卷）已知抛物线C： (p>0)的焦点F到准线的距离为2.
（1）求C的方程.
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足 ，求直线OQ斜率的最大值.
【答案】（1）抛物线 的焦点 ，准线方程为 ，
由题意，该抛物线焦点到准线的距离为 ，
所以该抛物线的方程为 ；
（2）设 ，则 ，
所以 ，
由 在抛物线上可得 ，即 ，
所以直线 的斜率 ，
当 时， ；
当 时， ，
当 时，因为 ，
此时 ，当且仅当 ，即 时，等号成立；
当 时， ；
综上，直线 的斜率的最大值为 .
【知识点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）根据抛物线的几何性质，可求得P的值，就可以写出抛物线的方程；
（2）先设出Q的坐标M(x0,y0),在代入已知等式 ，用(x0,yO)表示出 ，再 代入抛物线方程，推导出x0，y0的关系，再表示出OQ的斜率。再利用基本不等式，求出斜率最大值即可。
10．（2021·全国乙卷）已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，且F与圆M：x2+（y+4）2=1上点的距离的最小值为4.
（1）求p；
（2）若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求 PAB的最大值.
【答案】（1）解：焦点 到 的最短距离为 ，所以p=2.
（2）抛物线 ，设A(x1，y1），B(x2，y2)，P(x0，y0)，则
，
，且 .
， 都过点P(x0，y0），则 故 ，即 .
联立 ，得 ， .
所以 = ， ，所以
= = = .
而 .故当y0=-5时， 达到最大，最大值为 .
【知识点】圆的标准方程；抛物线的标准方程；抛物线的应用
【解析】【分析】（1）因为F点到圆上距离最小的即为F到圆心的距离减去半径1，据此得到结果；
（2）由（1）写出抛物线的标准方程 ，分别设出切点A，B的坐标，及P（在圆M上）的坐标，分别写出两条切线的方程，利用A，B都过P点，建立方程求解。最后通过三角形PAB面积表达式，研究最值。
11．（2021·天津）已知椭圆 的右焦点为F，上顶点为B，离心率为 ，且 ．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线l与椭圆有唯一的公共点M，与y轴的正半轴交于点N，过N与BF垂直的直线交x轴于点P．若 ，求直线l的方程．
【答案】（1）易知点 、 ，故 ，
因为椭圆的离心率为 ，故 ， ，
因此，椭圆的方程为 ；
（2）设点 为椭圆 上一点，
先证明直线 的方程为 ，
联立 ，消去 并整理得 ， ，
因此，椭圆 在点 处的切线方程为 .
在直线 的方程中，令 ，可得 ，由题意可知 ，即点 ，
直线 的斜率为 ，所以，直线 的方程为 ，
在直线 的方程中，令 ，可得 ，即点 ，
因为 ，则 ，即 ，整理可得 ，
所以， ，因为 ， ，故 ， ，
所以，直线 的方程为 ，即 .
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）先求出a值，结合a，b，c的关系求得b，从而求得椭圆的方程；
（2）设M(x0，y0)，可得直线l的方程，求出点P的坐标，再根据MP//BF得KMP=KBF，求得x0，y0的值，即可得出直线l的方程
12．（2021·新高考Ⅰ）在平面直角坐标系xOy中，已知点 (- ，0)， ( ，0)，点M满足|MF1|-|MF2|=2.记M 的轨迹为C.
（1）求C的方程；
（2）设点T在直线 上，过T 的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ| ，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和
【答案】（1） ，
轨迹 为双曲线右半支， ， ，
， ，
．
（2）设 ，
设 ： ，
联立 ，
，
，
，
，
，
，
设 ： ，
同理 ，
，
， ，
，即 ，
，
.
【知识点】双曲线的定义；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据双曲线的定义直接求解即可；
（2）利用直线与双曲线的位置关系，结合根与系数的关系，以及弦长公式求解即可.
13．（2020·新课标Ⅲ·理）已知椭圆 的离心率为 ，A，B分别为C的左、右顶点．
（1）求C的方程；
（2）若点P在C上，点Q在直线 上，且 ， ，求 的面积．
【答案】（1）解：
， ，
根据离心率 ，
解得 或 (舍)，
C的方程为： ，
即
（2）解： 点P在C上，点Q在直线 上，且 ， ，
过点P作x轴垂线，交点为M，设 与x轴交点为N
根据题意画出图形，如图
， ， ，
又 ， ，
，
根据三角形全等条件“ ”，
可得： ，
，
，
，
设 点为 ，
可得 点纵坐标为 ，将其代入 ，
可得： ，
解得： 或 ，
P点为 或 ，
①当 点为 时，
故 ，
，
，
可得：Q点为 ，
画出图象，如图
, ，
可求得直线 的直线方程为： ，
根据点到直线距离公式可得 到直线 的距离为： ，
根据两点间距离公式可得： ，
面积为： ；
②当 点为 时，
故 ，
，
，
可得：Q点为 ，
画出图象，如图
, ，
可求得直线 的直线方程为： ，
根据点到直线距离公式可得 到直线 的距离为： ，
根据两点间距离公式可得： ，
面积为： ，
综上所述， 面积为： .
【知识点】两点间的距离公式；点到直线的距离公式；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【分析】（1）因为 ，可得 ， ，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案；（2）点P在C上，点Q在直线 上，且 ， ，过点P作x轴垂线，交点为M，设 与x轴交点为N，可得 ，可求得P点坐标，求出直线 的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得 的面积.
14．（2020·新课标Ⅱ·理）已知椭圆C1： (a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|= |AB|.
（1）求C1的离心率；
（2）设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程.
【答案】（1）解： ， 轴且与椭圆 相交于A、B两点，
则直线 的方程为 ，
联立 ，解得 ，则 ，
抛物线 的方程为 ，联立 ，
解得 ， ，
，即 ， ，
即 ，即 ，
，解得 ，因此，椭圆 的离心率为 ；
（2）解：由（1）知 ， ，椭圆 的方程为 ，
联立 ，消去 并整理得 ，
解得 或 （舍去），
由抛物线的定义可得 ，解得 .
因此，曲线 的标准方程为 ，
曲线 的标准方程为 .
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1）求出 、 ，利用 可得出关于a、c的齐次等式，可解得椭圆 的离心率的值；（2）由（1）可得出 的方程为 ，联立曲线 与 的方程，求出点M的坐标，利用抛物线的定义结合 可求得c的值，进而可得出 与 的标准方程.
15．（2020·新课标Ⅰ·理）已知A、B分别为椭圆E： （a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点， ，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点.
【答案】（1）解：依据题意作出如下图象：
由椭圆方程 可得： ， ，
，
，
椭圆方程为：
（2）证明：设 ，
则直线 的方程为： ，即：
联立直线 的方程与椭圆方程可得： ，整理得：
，解得： 或
将 代入直线 可得：
所以点 的坐标为 .
同理可得：点 的坐标为
直线 的方程为： ，
整理可得：
整理得：
故直线 过定点
【知识点】向量在几何中的应用；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由已知可得： ， ， ，即可求得 ，结合已知即可求得： ，问题得解.（2）设 ，可得直线 的方程为： ，联立直线 的方程与椭圆方程即可求得点 的坐标为 ，同理可得点 的坐标为 ，即可表示出直线 的方程，整理直线 的方程可得： ，命题得证.
16．（2020·新高考Ⅱ）已知椭圆C： 过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为 ，
（1）求C的方程；
（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.
【答案】（1）解：由题意可知直线AM的方程为： ，即 .
当y=0时，解得 ，所以a=4，
椭圆 过点M(2，3)，可得 ，
解得b2=12.
所以C的方程： .
（2）解：设与直线AM平行的直线方程为： ，
如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值.
联立直线方程 与椭圆方程 ，
可得： ，
化简可得： ，
所以 ，即m2=64，解得m=±8，
与AM距离比较远的直线方程： ，
直线AM方程为： ，
点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，
利用平行线之间的距离公式可得： ，
由两点之间距离公式可得 .
所以△AMN的面积的最大值： .
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)由题意分别求得a,b的值即可确定椭圆方程；(2)首先利用几何关系找到三角形面积最大时点N的位置，然后联立直线方程与椭圆方程，结合判别式确定点N到直线AM的距离即可求得三角形面积的最大值.
17．（2020·新高考Ⅰ）已知椭圆C： 的离心率为 ，且过点A（2，1）．
（1）求C的方程：
（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．
【答案】（1）解：由题意可得： ，解得： ，故椭圆方程为： .
（2）解：设点 .
因为AM⊥AN，∴ ，即 ,①
当直线MN的斜率存在时，设方程为 ,如图1.
代入椭圆方程消去 并整理得： ,
②,
根据 ,代入①整理可得：
将②代入， ，
整理化简得 ,
∵ 不在直线 上，∴ ，
∴ ，
于是MN的方程为 ，
所以直线过定点直线过定点 .
当直线MN的斜率不存在时，可得 ,如图2.
代入 得 ,
结合 ,解得 ,
此时直线MN过点 ,
由于AE为定值，且△ADE为直角三角形，AE为斜边，
所以AE中点Q满足 为定值（AE长度的一半 ）.
由于 ，故由中点坐标公式可得 .
故存在点 ，使得|DQ|为定值.
【知识点】椭圆的定义；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)由题意得到关于a,b,c的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程.(2)设出点M，N的坐标，在斜率存在时设方程为 , 联立直线方程与椭圆方程，根据已知条件，已得到m,k的关系，进而得直线MN恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点Q的位置.
18．（2020·天津）已知椭圆 的一个顶点为 ，右焦点为F，且 ，其中O为原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知点C满足 ，点B在椭圆上（B异于椭圆的顶点），直线 与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段 的中点．求直线 的方程．
【答案】解：（Ⅰ） 椭圆 的一个顶点为 ，
，
由 ，得 ，
又由 ，得 ，
所以，椭圆的方程为 ；
（Ⅱ） 直线 与以C为圆心的圆相切于点P，所以 ，
根据题意可知，直线 和直线 的斜率均存在，
设直线 的斜率为k，则直线 的方程为 ，即 ，
，消去 ，可得 ，解得 或 .
将 代入 ，得 ，
所以，点 的坐标为 ，
因为P为线段 的中点，点 的坐标为 ，
所以点P的坐标为 ，
由 ，得点 的坐标为 ，
所以，直线 的斜率为 ，
又因为 ，所以 ，
整理得 ，解得 或 .
所以，直线 的方程为 或 .
【知识点】椭圆的定义；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意，并借助 ，即可求出椭圆的方程；（Ⅱ）利用直线与圆相切，得到 ，设出直线 的方程，并与椭圆方程联立，求出B点坐标，进而求出P点坐标，再根据 ，求出直线 的斜率，从而得解.
19．（2020·江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线AF1与椭圆E相交于另一点B．
（1）求△AF1F2的周长；
（2）在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求 的最小值；
（3）设点M在椭圆E上，记△OAB与△MAB的面积分别为S1，S2，若S2=3S1，求点M的坐标．
【答案】（1）解：∵椭圆 的方程为
∴ ,
由椭圆定义可得： .
∴ 的周长为
（2）解：设 ，根据题意可得 .
∵点 在椭圆 上，且在第一象限，
∴
∵准线方程为
∴
∴ ，当且仅当 时取等号.
∴ 的最小值为 .
（3）解：设 ，点M到直线 的距离为d.
∵ ，
∴直线 的方程为
∵点O到直线 的距离为 ，
∴
∴
∴①
∵②
∴联立①②解得 ， .
∴ 或 .
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；点到直线的距离公式；椭圆的定义
【解析】【分析】（1）根据椭圆定义可得 ，从而可求出 的周长；（2）设 ，根据点A在椭圆E上，且在第一象限， ，求出 ，根据准线方程得Q点坐标，再根据向量坐标公式，结合二次函数性质即可出最小值；（3）设出设 ，点M到直线 的距离为d，由点O到直线 的距离与 ，可推出 ，根据点到直线的距离公式，以及 满足椭圆方程，解方程组即可求得坐标.
20．（2020·北京）已知椭圆 过点 ，且 ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程：
（Ⅱ）过点 的直线l交椭圆C于点 ,直线 分别交直线 于点 ．求 的值．
【答案】解：(Ⅰ)设椭圆方程为： ，由题意可得：
，解得： ，
故椭圆方程为： .
（Ⅱ）设 ， ，直线 的方程为： ，
与椭圆方程 联立可得： ，
即： ，
则： .
直线MA的方程为： ，
令 可得： ，
同理可得： .
很明显 ，且： ，注意到：
，
而：
，
故 .
从而 .
【知识点】椭圆的定义；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(Ⅰ)由题意得到关于a,b的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程；(Ⅱ)首先联立直线与椭圆的方程，然后由直线MA,NA的方程确定点P,Q的纵坐标，将线段长度的比值转化为纵坐标比值的问题，进一步结合韦达定理可证得 ，从而可得两线段长度的比值.
21．（2019·江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C: 的焦点为F1（–1、0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2: 交于点A，与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1．已知DF1= ．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求点E的坐标．
【答案】（1）解：设椭圆C的焦距为2c.
因为F1(－1，0)，F2(1，0)，所以F1F2=2，c=1.
又因为DF1= ，AF2⊥x轴，所以DF2= ，
因此2a=DF1+DF2=4，从而a=2.
由b2=a2-c2，得b2=3.
因此，椭圆C的标准方程为
（2）解：解法一：由（1）知，椭圆C： ，a=2，因为AF2⊥x轴，所以点A的横坐标为1.
将x=1代入圆F2的方程(x-1) 2+y2=16，解得y=±4.
因为点A在x轴上方，所以A(1，4).
又F1(-1，0)，所以直线AF1：y=2x+2.
由 ，得 ，解得 或 .将 代入 ，得 ，
因此 .又F2(1，0)，所以直线BF2： .
由 ，得 ，解得 或 .
又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以 .
将 代入 ，得 .因此 .解法二：
由（1）知，椭圆C： .如图，连结EF1.
因为BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以EF1=EB，
从而∠BF1E=∠B.
因为F2A=F2B，所以∠A=∠B，
所以∠A=∠BF1E，从而EF1∥F2A.
因为AF2⊥x轴，所以EF1⊥x轴.
因为F1(-1，0)，由 ，得 .
又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以 .
因此 .
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 （1） 利用焦距求出c的值，再利用DF1= ，AF2⊥x轴，结合勾股定理和椭圆的定义得出a的值，再利用椭圆中a,b,c三者的关系式求出b的值，从而求出椭圆的标准方程。（2）利用两种方法求出点E的坐标，利用椭圆的标准方程求出 的值和焦点 坐标，再利用 的值求出圆F2: 的标准方程，再利用过F2作x轴的垂线l，求出直线l的方程，再利用直线l与圆F2: 交于点A，联立二者方程求出交点A的坐标，再利用直线l与椭圆C交于点D，联立二者方程求出交点D的坐标，连结AF1并延长交圆F2于点B，从而求出交点B的坐标，连结BF2交椭圆C于点E，再利用两点距离公式或角之间的关系式，从而求出交点E的坐标。
22．（2019·浙江）如图，已知点F（1，0）为抛物线y2=2px（p>0）的焦点.过点F的直线交抛物线A，B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F右侧，记△AFG，△CQG的面积分别为S1，S2.
（1）求P的值及抛物线的准线方程.
（2）求 的最小值及此时点G点坐标.
【答案】（1）由题意得 ，即p=2.
所以，抛物线的准线方程为x= 1.
（2）设 ，重心 .令 ，则 . 由于直线AB过F，故直线AB方程为 ，代入 ，得 ， 故 ，即 ，所以 . 又由于 及重心G在x轴上，故 ，得 . 所以，直线AC方程为 ，得 .
由于Q在焦点F的右侧，故 .从而
. 令 ，则m>0， .
当 时， 取得最小值 ，此时G（2，0）.
【知识点】抛物线的应用；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据焦点坐标求出p，即可得到抛物线的准线方程；
（2）设出相应点的坐标及直线方程，将直线方程与抛物线方程联立，根据韦达定理，结合换元法，即可求出相应的最小值.
23．（2019·天津）设椭圆 的左焦点为 ，左顶点为 ，顶点为B.已知 （ 为原点）.
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设经过点 且斜率为 的直线 与椭圆在 轴上方的交点为 ，圆 同时与 轴和直线 相切，圆心 在直线 上，且 ，求椭圆的方程.
【答案】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为 ，由已知有 ，又由 ，消去 得 ，解得 .
所以，椭圆的离心率为 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ， ，故椭圆方程为 .由题意， ，则直线 的方程为 .点P的坐标满足 ，消去 并化简，得到 ，解得 ，代入到 的方程，解得 .因为点 在 轴上方，所以 .由圆心 在直线 上，可设 .因为 ，且由（Ⅰ）知 ，故 ，解得 .因为圆 与 轴相切，所以圆的半径为2，又由圆 与 相切，得 ，可得 .
所以，椭圆的方程为
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】 【分析】（Ⅰ）由 |得， ，又 ，即可求椭圆的离心率；
（Ⅱ）点斜式设出直线 的方程，由离心率的值设出椭圆的方程，将这两个方程联立方程组，应用根与系数的关系，用 表示出点P,再由圆心 在直线 上，设 ，由 ，列出关于等式 ，求出 ，再由圆 与 轴相切求出 ，即可求出椭圆的方程．
24．（2019·天津）设椭圆 的左焦点为 ，上顶点为 .已知椭圆的短轴长为4，离心率为 .
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 为直线 与 轴的交点，点 在 轴的负半轴上.若 （ 为原点），且 ，求直线 的斜率.
【答案】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为 ，依题意， ，又 ，可得 ， .
所以，椭圆的方程为 .
（Ⅱ）由题意，设 .设直线 的斜率为 ，又 ，则直线 的方程为 ，与椭圆方程联立 整理得 ，可得 ，代入 得 ，进而直线 的斜率 .在 中，令 ，得 .由题意得 ，所以直线 的斜率为 .由 ，得 ，化简得 ，从而 .
所以，直线 的斜率为 或
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】 【分析】本题主要考查直线与圆锥曲线方程和圆锥曲线的性质。
（Ⅰ）由椭圆的短轴长，离心率，即可求 ，进而求得椭圆的方程；
（Ⅱ）由已知条件写出直线 的点斜式，把直线 的方程跟椭圆的方程联立，用 表示出P点的坐标，进而求出 ,在通过已知条件求出 ，由 ，得出 求出 的值，进而得出直线 的斜率。
25．（2019·全国Ⅲ卷理）已知曲线C:
，D为直线y=- 的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.
（1）证明：直线AB过定点；
（2）若以E（0， ）为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.
【答案】（1）解：设 ，则 . 由于 ，所以切线DA的斜率为 ，故 . 整理得 设 ，同理可得 . 故直线AB的方程为 .
所以直线AB过定点 .
（2）由（1）得直线AB的方程为 . 由 ，可得 . 于是 ， .
设 分别为点D，E到直线AB的距离，则 .
因此，四边形ADBE的面积 .
设M为线段AB的中点，则 .
由于 ，而 ， 与向量 平行，所以 .解得t=0或 . 当 =0时，S=3；当 时， .
因此，四边形ADBE的面积为3或 .
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】 【分析】（1）先求导，分别得到切线DA和DB的方程，可得直线AB的方程，即可证明直线AB过定点；（2）由（1）中直线AB的方程与抛物线方程联立，利用弦长公式和点到直线的距离公式，分别得到|AB|与点D，E到直线AB的距离，由 与向量 平行列式，即可求出四边形ADBE的面积.
26．（2019·全国Ⅱ卷理）已知点A( 2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为 .记M的轨迹为曲线C.
（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.
（i）证明： 是直角三角形；
（ii）求 面积的最大值.
【答案】（1）解：由题设得 ，化简得 ，所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点．
（2）（i）设直线PQ的斜率为k，则其方程为 ．由 得 ．记 ，则 ．于是直线 的斜率为 ，方程为 ．由 得 ．①设 ，则 和 是方程①的解，故 ，由此得 ．从而直线 的斜率为 ．所以 ，即 是直角三角形．（ii）由（i）得 ， ，所以△PQG的面积 ．
设t=k+ ，则由k>0得t≥2，当且仅当k=1时取等号．
因为 在[2，+∞）单调递减，所以当t=2，即k=1时，S取得最大值，最大值为 ．
因此，△PQG面积的最大值为 ．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】 【分析】（1）根据AM，BM斜率之积为 ，列出等式，即可得到曲线C为焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点．（2）（i）设出PQ解析式，联立PQ解析式与曲线C，得到P、Q两点坐标，即可得到E点坐标，根据Q、E两点坐标得到QE的解析式，联立QE与曲线C，可得G点坐标，再根据G、P点坐标，得到PG斜率。化简可得 ，得证 为直角三角形。
（ii）由（i）知， ，所以， ，由（i）分别求出， ， 化简S可得关于K的函数表达式，考虑K的取值范围，即可得出S的最大值。
27．（2019·北京）已知椭圆C： 的右焦点为（1.0），且经过点A（0，1）.
（I）求椭圆C的方程；
（II）设O为原点，直线l：y=kx+t（t≠±1）与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点.
【答案】解：（I）根据焦点为（1,0），可知c=1，
根据椭圆经过（0,1）可知b=1，故 ，
所以椭圆的方程为 ；
（II）设 ，
则直线 ，直线 ，
解得 ,
故 ，
将直线y=kx+t与椭圆方程联立，
得 ，
故 ，所以 ，
故 ，
解得t=0，故直线方程为y=kx，一定经过原点（0,0）.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（I）根据焦点坐标和A点坐标，求出a和b，即可得到椭圆的标准方程；
（II）设出P和Q的坐标，表示出M和N的坐标，将直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理，表示OM与ON，根据 ，解得t=0，即可确定直线恒过定点（0,0）.
28．（2019·北京）已知抛物线C：x2=-2py经过点（2，-1）.
（I）求抛物线C的方程及其准线方程；
（II）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=-1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.
【答案】 解：（I）将（2，-1）代入抛物线方程，
得 ，解得p=2，故抛物线方程为 ，其准线方程为y=1；
（II）过焦点（0，-1）作直线l，由于直线与抛物线有两个交点，故直线l的斜率存在，
设l：y=kx-1， ，
将直线方程与抛物线方程联立，得 ，
由韦达定理 ，
则 ，
令y=-1，则 ，
设以AB为直径的圆上点P（a，b），则 ，
，
整理得 ，
令a=0，则 ，所以b=1或b=-3，
即以AB为直径的圆经过y轴的两个定点（0,1）和（0，-3）.
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】 【分析】（I）将点的坐标代入，即可求出抛物线的方程和准线；
（II）将直线方程与抛物线方程联立，表示点的坐标，结合圆的特点，求出圆的方程，即可求出相应定点坐标.
29．（2019·全国Ⅰ卷理）已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为 的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P。
（1）若|AF|+|BF|=4,求l的方程：
（2）若 ,求|AB|。
【答案】（1） 解：设直线 的方程为：
的方程为：
（2） 解： ，
由 得： 联立上式得
【知识点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）由抛物线求出焦点坐标，再利用斜截式设出斜率为 的直线l的方程，再利用直线l与抛物线的交点为A，B，联立二者方程求出交点坐标，再利用抛物线的定义求出b的值，再利用斜率和b的值求出直线 的方程。（2）利用斜截式设出斜率为 的直线l的方程，再利用直线l与x轴的交点为P，联立二者方程求出交点P的坐标，再由共线定理的坐标表示求出b的值和交点A,B的纵坐标，再利用直线的斜率结合韦达定理与交点坐标的关系式，用弦长公式求出弦长AB的值。
30．（2018·全国Ⅰ卷理）设椭圆 的右焦点为 ，过 得直线 与 交于 两点，点 的坐标为 .
（1）当 与 轴垂直时，求直线 的方程；
（2）设 为坐标原点，证明： .
【答案】（1）解：由已知得 ，l的方程为x=1.
由已知可得，点A的坐标为 或 .
所以AM的方程为 或 .
（2）解：当l与x轴重合时， .
当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以 .
当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为 ， ，
则 ，直线MA，MB的斜率之和为 .由 得 .将 代入 得 .所以， .则 .
从而 ，故MA，MB的倾斜角互补，所以 .
综上， .
【知识点】椭圆的应用
【解析】【分析】(1)由椭圆方程得F的坐标，得到直线l的方程，代入椭圆方程中求出点A，B的坐标，再求出直线AM的方程；(2) 等价于直线MA，MB的斜率互为相反数，设出直线l的方程代入到椭圆的方程中，消去x得到关于y的二次方程，由韦达定理计算直线MA，MB的斜率的和为0，得证.
31．（2018·天津）设椭圆 (a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的离心率为 ，点A的坐标为 ，且 .
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l： 与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q.若 (O为原点)，求k的值.
【答案】解：解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c，则 ，
又 。
由 ，从而ab=6.
∴a=3.b=2.
即椭圆方程为： 。
（Ⅱ）设 ，由已知 。
故 ，
又
从而
∴
又 ，
又 。 ，
又 ，
∴ 。
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（Ⅰ）由椭圆几何性质，得到a，b。
（Ⅱ）由已知条件得到P，Q纵坐标关系，联立方程组，将P，Q纵坐标分别用k表示。
32．（2018·天津）设椭圆 的右顶点为A，上顶点为B.已知椭圆的离心率为 ， .
（I）求椭圆的方程；
（II）设直线 与椭圆交于 两点， 与直线 交于点M，且点P，M均在第四象限.若 的面积是 面积的2倍，求k的值.
【答案】解：（I）设椭圆的焦距为2c，由已知得 ，
又 ，
∴
由 ， .
∴椭圆的方程为 .
（II）设P ， M ，则 ，
点 的坐标为 的面积是 面积的2倍，可得 ，
从而 ，即 .
易知直线 的方程为 ，由方程组 消去y，可得 .由方程组 消去 ，可得 .由 ，可得 ，两边平方，整理得 ，解得 ，或 .
当 时， ，不合题意，舍去；当 时， ， ，符合题意.
∴ 的值为
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的应用
【解析】【分析】（1）由椭圆定义求出a，b；（2）联立方程组求解。
33．（2018·全国Ⅱ卷理）设抛物线
的焦点为F，过F点且斜率
的直线
与
交于
两点，
.
（1）求
的方程。
（2）求过点
且与
的准线相切的圆的方程.
【答案】（1）设直线l 的方程：y=k(x-1)将其代入抛物线C：y2=4x得到：
K2x2-（2k2+4）x+k2=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），△=（2k2+4）-4k2=16k2+16＞0
X1+x2=2+
而 ，且k＞0
解得：k=1
所以直线l的方程：y=x-1
（2）由（1）得A，B的中点坐标为：（3，2），所以AB的垂直平分线方程为y-2=-（x-3），即y=-x+5
设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则
解得： 或
因此所求圆的方程为：（x-3）2+（y-2）2=16或（x-11）2+（y+6）2=144
【知识点】抛物线的应用
【解析】【分析】（1）由弦长公式，直线与抛物线相交知识易得l的方程；（2）找圆心，求半径。
34．（2018·江苏）如图，在平面直角坐标系 中，椭圆C过点 ，焦点 ，圆O的直径为 .
（1）求椭圆C及圆O的方程；
（2）设直线 与圆O相切于第一象限内的点P.
①若直线 与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；
②直线 与椭圆C交于A、B两点.若 的面积为 ，求直线 的方程.
【答案】（1）解：∵∴圆O： ，点 在椭圆上，
又 ∴a=2，b=1，即 ：
（2）解：①直线l概率 ，设l：y=kx+m（ ，m＞0）
，
，
∴
又 ，又
∴
②设 ，由①知
又l与椭圆C相交，由②得过程知
∴
又
O到l距离d
∵
=
又 ∴
∴直线l方程：
【知识点】点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）由椭圆方程，待定系数法求出椭圆；（2）①联立直线，围与直线椭圆相切， ，求出k，m；②联立直线与椭圆方程，由弦长公式，点到直线距离公式求出面积。
35．（2018·全国Ⅲ卷理）已知斜率为 的直线 与椭圆 交于 两点，线段 的中点为
（1）证明：
（2）设 为 的右焦点， 为 上一点，且 ，证明： 成等差数列，并求该数列的公差。
【答案】（1）解：设
设A（x1，y1）B（x2，y2）
所以
又
所以 所以
（2）解：F（1，0） 所以P（1，-2m）在抛物线上
所以3+16m2=12 16m2=9
即
又
同理
所以
所以
所以 为等差数列
2d=
=
=
=
=±
d=
【知识点】等差数列的性质；椭圆的标准方程；椭圆的应用
【解析】【分析】（1）联立方程解，利用M在椭圆内部得到m范围，再由k，m关系，得到k范围；
（2）由向量运算，将P坐标用m表示，在椭圆上求出m，再由两点间距离公式，得到|FA|、|FB|用韦达定理表示，得到d.
36．（2018·北京）已知抛物线C： =2px经过点p(1，2)，过点Q(0，1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.
(Ⅰ)求直线l的斜率的取值范围；
(Ⅱ)设O为原点， ， ，求证： + 为定值.
【答案】（Ⅰ） ，所以抛物线方程
因为直线过(0， 1 )由题意可得直线与抛物线有两个交点可得，直线I的斜率存在且不为0 ，设直线1的方程为：y=kx+1，
由题意可得直线l不过P ，而kPQ==1，
若直线与抛物线的一个交点为(1 ，-2)，则该点与P所在的直线与y轴没有交点，与题意矛盾这时k==-3，
所以直线的斜率k≠-3 ，
直线与抛物线联立可得： ，整理得：
综上可得：直线l的斜率的取值范围k∈（-∞，1），且k≠-3，且k≠-0
（Ⅱ） ，
∴
令x=0，
∴
（定值）
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】待定系数法求出P，联立方程组 求出k范围；（2）设而不求，先化简 得到M，N两点间系数关系，再转化为 ， ， ， 关系，代入韦达定理，即可求出值.
37．（2018·北京）已知椭圆 的离心率为 ，焦距2 .斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）若 ，求 的最大值；
（Ⅲ）设 ，直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D.若C，D和点 共线，求k.
【答案】解：（Ⅰ） ；
∴椭圆方程
（Ⅱ）l：y=x+m，
当m=0时，
（Ⅲ）设
∴
代入上式得
则
即
同理
因为C、D和 共线，所以
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法，求ab.（2）联立方程组，弦长公式可求；（3）联立方程组，均用 表示， 表示，得到关系，则得到k.
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