数列（解答题）——大数据之五年（2018-2022）高考真题汇编（新高考卷与全国理科）

登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
数列（解答题）——大数据之五年（2018-2022）高考真题汇编（新高考卷与全国理科）
一、解答题
1．（2022·新高考Ⅱ卷）已知 为等差数列， 是公比为2的等比数列，且 ．
（1）证明： ；
（2）求集合 中元素个数．
【答案】（1）证明：设数列 的公差为 ，所以， ，即可解得， ，所以原命题得证．
（2）解：由（1）知 ，
由 知：
即 ，即 ，
因为 ，故 ，解得
故集合 中元素的个数为9个.
【知识点】集合中元素个数的最值；等差数列；等比数列
【解析】【分析】（1）设数列的公差为，根据题意列出方程组即可证出；
（2）根据题意化简可得，即可解出．
2．（2022·全国甲卷）记 为数列 的前n项和．已知 ．
（1）证明： 是等差数列；
（2）若 成等比数列，求 的最小值．
【答案】（1）已知 ，即 ①，
当 时， ②，
①-②得， ，
即 ，
即 ，所以 ， 且 ，
所以 是以1为公差的等差数列．
（2）由（1）中 可得， ， ， ，
又 ， ， 成等比数列，所以 ，
即 ，解得 ，
所以 ，所以 ，
所以，当 或 时 ．
【知识点】等差数列；等差数列的前n项和；等比数列的性质；数列递推式
【解析】【分析】（1）依题意可得 ，根据 ，作差即可得到 ，从而得证；
（2）由（1）及等比中项的性质求出a1，即可得到{an}的通项公式与前n项和，再根据二次函数的性质计算可得．
3．（2022·新高考Ⅰ卷）记 为数列 的前n项和，已知 是公差为 ，的等差数列.
（1）求 的通项公式；
（2）证明：
【答案】（1）因为 是公差为 的等差数列，而 ，
所以 ①
时， ②
①-②有： .
所以 ，
以上式子相乘，得
经检验， 时， ，符合.
所以 .
（2）由（1）知
所以
所以 = =
因为 ，所以 ，
所以 ，
即 ．
【知识点】数列的概念及简单表示法；等差数列的通项公式；数列的求和；数列递推式；数列与不等式的综合
【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式可得 ，由利用Sn与an的关系，得 ，再利用累积法，可得an；
（2）由（1）得 ，利用裂项相消求和求得 ，再解不等式即可.
4．（2021·新高考Ⅱ卷）记 是公差不为0的等差数列 的前n项和，若 ．
（1）求数列 的通项公式 ；
（2）求使 成立的n的最小值．
【答案】（1）由等差数列的性质可得： ，则： ，
设等差数列的公差为 ，从而有： ，
，
从而： ，由于公差不为零，故： ，
数列的通项公式为： .
（2）由数列的通项公式可得： ，则： ，
则不等式 即： ，整理可得： ，
解得： 或 ，又 为正整数，故 的最小值为7.
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【分析】(1)根据等差数列的通项公式及性质直接求解即可；
(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.
5．（2021·全国乙卷）设 是首项为1的等比数列，数列 满足 ，已知 ，3 ，9 成等差数列.
（1）求 和 的通项公式；
（2）记 和 分别为 和 的前n项和.证明： < .
【答案】（1）因为 是首项为1的等比数列且 ， ， 成等差数列，
所以 ，所以 ，
即 ，解得 ，所以 ，
所以 .
（2）证明：由（1）可得 ，
，①
，②
①②得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】由 ， ， 成等差数列，列关系式等比数列 的公比q，进而得到 ，再由bn与an的关系求得bn；
（2）先根据条件求得 ，再由错项相减的方法求得的表达式，最后用求差比较法，证明 < .
6．（2021·全国甲卷）记 为 的前 项和，已知 ，且数列 是等差数列．证明： 是等差数列．
【答案】∵数列 是等差数列，设公差为
∴ ，
∴ ，
∴当 时，
当 时， ，满足 ，
∴ 的通项公式为 ，
∴
∴ 是等差数列.
【知识点】数列的概念及简单表示法；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【分析】由 数列 是等差数列 ，及 ，即可得到 等差数列 的公差 ,从而得到 ， ，进一步根据ａｎ与ｓｎ的关系，以及等差数列的定义，证明
是等差数列.
7．（2021·全国甲卷）已知数列{an｝的各项均为正数，记Sn为{an｝的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.
①数列{an｝是等差数列：②数列{ ｝是等差数列；③a2=3a1
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】选①②作条件证明③：
设 ，则 ，
当 时， ；
当 时， ；
因为 也是等差数列，所以 ，解得 ；
所以 ，所以 .
选①③作条件证明②：
因为 ， 是等差数列，
所以公差 ，
所以 ，即 ，
因为 ，
所以 是等差数列.
选②③作条件证明①：
设 ，则 ，
当 时， ；
当 时， ；
因为 ，所以 ，解得 或 ；
当 时， ，当 时， 满足等差数列的定义，此时 为等差数列；
当 时， ， 不合题意，舍去.
综上可知 为等差数列.
【知识点】数列的概念及简单表示法；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【分析】选(1)(2)做条件时，证明 ③：根据等差数列的定义得出 ，且 也是等差数列 ， 进一步递推出 ③ ；
若选 ①③作条件证明②： 由 ，显然 再写出前n项的和与a1,n的关系式 ，进而证明 是等差数列.；
选②③作条件证明①： 先设 ，进一步形为 ， 再根据 an与sn的关系，分ｎ为１，n>1，推导出 ,显然 为等差数列 。
8．（2021·全国乙卷）记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知 =2.
（1）证明：数列{bn}是等差数列；
（2）求{an}的通项公式.
【答案】（1）由已知 + =2，则 =Sn(n≥2)
+ =2 2bn-1+2=2bn bn-bn-1= (n≥2)，b1=
故｛bn｝是以 为首项， 为公差的等差数列。
（2）由（1）知bn= +（n-1） = ，则 + =2 Sn=
n=1时，a1=S1=
n≥2时，an=Sn-Sn-1= - =
故an=
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列递推式
【解析】【分析】（1）根据等差数列及前n项和的定义，由递推关系，求证。
（2）呈上，先写出bn,再求{bn}前n磺的和 Sn ，再由 an与 Sn 的关系，进一步求得结果。
9．（2021·天津）已知 是公差为2的等差数列，其前8项和为64． 是公比大于0的等比数列， ．
（1）求 和 的通项公式；
（2）记 .
（i）证明 是等比数列；
（ii）证明
【答案】（1）因为 是公差为2的等差数列，其前8项和为64．
所以 ，所以 ，
所以 ；
设等比数列 的公比为 ，
所以 ，解得 （负值舍去），
所以 ；
（2）（i）由题意， ，
所以 ，
所以 ，且 ，
所以数列 是等比数列；
（ii）由题意知， ，
所以 ，
所以 ，
设 ，
则 ，
两式相减得 ，
所以 ，
所以 .
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】（1）根据等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式求解即可；
（2）（ⅰ）运算可得，结合等比数列的定义即可得证；
（ⅱ）利用放缩法得，进而可得，结合错位相减法即可得证.
10．（2021·新高考Ⅰ）已知数列{ }满足 =1，
（1）记 = ，写出 ， ，并求数列 的通项公式；
（2）求 的前20项和
【答案】（1） 为偶数，
则 ， ，
，即 ，且 ，
是以 为首项，3为公差的等差数列，
， ， ．
（2）当 为奇数时， ，
的前 项和为
．
由（1）可知，
．
的前20项和为 ．
【知识点】等差数列；等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）根据等差数列的定义及通项公式即可求解；
（2）运用分组求和法，结合项之间的关系即可求解.
11．（2020·新课标Ⅲ·理）设数列{an}满足a1=3， ．
（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；
（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．
【答案】（1）解：由题意可得 ， ，
由数列 的前三项可猜想数列 是以3为首项，2为公差的等差数列，即 ，
证明如下：
当 时， 成立；
假设 时， 成立.
那么 时， 也成立.
则对任意的 ，都有 成立
（2）解：由（1）可知，
，①
，②
由①②得：
，
即 .
【知识点】数列的求和；数列递推式；数学归纳法
【解析】【分析】（1）利用递推公式得出 ，猜想得出 的通项公式，利用数学归纳法证明即可；（2）由错位相减法求解即可.
12．（2020·新课标Ⅰ·理）设 是公比不为1的等比数列， 为 ， 的等差中项．
（1）求 的公比；
（2）若 ，求数列 的前n项和．
【答案】（1）解：设 的公比为q， 为 的等差中项，
，
；
（2）解：设 的前 项和为 ， ，
，①
，②
①②得，
，
.
【知识点】数列的求和；等差数列的性质
【解析】【分析】（1）由已知结合等差中项关系，建立公比q的方程，求解即可得出结论；（2）由（1）结合条件得出 的通项，根据 的通项公式特征，用错位相减法，即可求出结论.
13．（2020·新高考Ⅱ）已知公比大于 的等比数列 满足 ．
（1）求 的通项公式；
（2）求 .
【答案】（1）解：设等比数列 的公比为q(q>1)，则 ，
整理可得： ，
，
数列的通项公式为： .
（2）解：由于： ，故：
.
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【分析】(1)由题意得到关于首项、公比的方程组，求解方程组得到首项、公比的值即可确定数列的通项公式；(2)首先求得数列 的通项公式，然后结合等比数列前n项和公式求解其前n项和即可.
14．（2020·新高考Ⅰ）已知公比大于1的等比数列 满足 ．
（1）求 的通项公式；
（2）记 为 在区间 中的项的个数，求数列 的前100项和 ．
【答案】（1）解：由于数列 是公比大于 的等比数列，设首项为 ，公比为q，依题意有 ，解得解得 ，或 (舍)，
所以 ，所以数列 的通项公式为 .
（2）解：由于 ，所以
对应的区间为： ，则 ；
对应的区间分别为： ，则 ，即有 个 ；
对应的区间分别为： ，则 ，即有 个 ；
对应的区间分别为： ，则 ，即有 个 ；
对应的区间分别为： ，则 ，即有 个 ；
对应的区间分别为： ，则 ，即有 个 ；
对应的区间分别为： ，则 ，即有 个 .
所以 .
【知识点】等比数列的通项公式；类比推理
【解析】【分析】（1）利用基本元的思想，将已知条件转化为 的形式，求解出 ，由此求得数列 的通项公式.（2）通过分析数列 的规律，由此求得数列 的前100项和 .
15．（2020·天津）已知 为等差数列， 为等比数列， ．
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）记 的前 项和为 ，求证： ；
（Ⅲ）对任意的正整数 ，设 求数列 的前2n项和．
【答案】解：(Ⅰ)设等差数列 的公差为d，等比数列 的公比为q.
由 ， ，可得d=1.
从而 的通项公式为 .
由 ，
又q≠0，可得 ，解得q=2，
从而 的通项公式为 .
(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得 ，
故 ， ，
从而 ，
所以 .
(Ⅲ)当n为奇数时， ，
当n为偶数时， ，
对任意的正整数n，有 ，
和 ①
由①得 ②
由①②得 ，
由于 ，
从而得： .
因此， .
所以，数列 的前2n项和为 .
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】(Ⅰ)由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果；(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论首先求得数列 前n项和，然后利用作差法证明即可；(Ⅲ)分类讨论n为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算 和 的值，据此进一步计算数列 的前2n项和即可.
16．（2019·天津）设 是等差数列， 是等比数列，公比大于0，已知 ， ， .
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 满足 求 .
【答案】解：（Ⅰ）解：设等差数列 的公差为d，等比数列 的公比为q依题意，得 ，解得 ，故 .
所以， 的通项公式为 ， 的通项公式 为 .
（Ⅱ）解：
=
. ①
， ②
②-①得， .
所以，
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】 【分析】（I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出，设 的公差为 ， 的公比为 ，根据等比数列和等差数列的通项公式，联立方程求得 和 ，进而可得 、 的通项公式；
（II）数列 的通项公式由等差和等比数列构成，进而可用错位相减法求得前 项和 ．．
17．（2019·全国Ⅱ卷理）已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0， ， .
（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；
（2）求{an}和{bn}的通项公式.
【答案】（1）解：由题设得 ，即 ． 又因为a1+b1=l，所以 是首项为1，公比为 的等比数列． 由题设得 ， 即 ．
又因为a1–b1=l，所以 是首项为1，公差为2的等差数列．
（2）由（1）知， ， ．
所以 ，
．
【知识点】等差数列与等比数列的综合
【解析】 【分析】（1）整理已知的递推公式即可得出 ，则 是首项为1，公比为 的等比数列，再结合已知条件可推出 ．即可得出 是首项为1，公差为2的等差数列．（2）结合（1）的结论把两个数列 、 的通项公式相减，即可得出两个数列{an}和{bn}的通项公式。
18．（2019·北京）设{an}是等差数列，a1=-10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列.
（I）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值.
【答案】解：（I）根据三者成等比数列，
可知 ，
故 ，
解得d=2，
故 ；
（Ⅱ）由（I）知 ，
该二次函数开口向上，对称轴为n=5.5，
故n=5或6时， 取最小值-30.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【分析】（I）根据等比中项，结合等差数列的通项公式，求出d，即可求出 ；（Ⅱ）由（1），求出 ，结合二次函数的性质，即可求出相应的最小值.
19．（2018·全国Ⅱ卷理）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1=-7，S3=-15.
（1）求{an}的通项公式；
（2）求Sn，并求Sn的最小值。
【答案】（1）设数列的公差为d，由题意有：
a1=-7，S3=3a2=-15
a2=-5，d=2
∴an=a1+（n-1）d=-7+2（n-1）=2n-9
所以{an}的通项公式为：an=2n-9
（2）由（1）知数列{an}的前n项和
Sn=n（n-8）=n2-8n=（n-4）2-16≥-16
当n=4时取等，所以Sn的最小值为-16
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【分析】（1）根据等差数列a1，S3可求得数列的公差，进而可求{an}的通项公式；
（2）由前n项和公式易得Sn，再根据二次函数求最值.
20．（2018·全国Ⅲ卷理）等比数列 中， .
（1）求 的通项公式；
（2）记 为 的前 项和，若Sm=63，求m。
【答案】（1）解：因为 ，a5=4a3
q4=4q2 q=±2
或
（2）解：
又
【知识点】等比数列；等比数列的前n项和
【解析】【分析】由等比数列定义求出q，再由等比数列求和公式得到 再解出m.
21．（2018·北京）设 是等差数列，且 ， +a3=5 .
（Ⅰ）求 的通项公式；
（Ⅱ）求 + +…+ .
【答案】解：（Ⅰ），∵ ， ，
∴ ，则 ，
∴ 。
（Ⅱ） ，
∴ ，
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的前n项和；等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（Ⅰ）由等差数列性质，求出 ，（Ⅱ）由等比数列求和公式求和。
二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 1登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
数列（解答题）——大数据之五年（2018-2022）高考真题汇编（新高考卷与全国理科）
一、解答题
1．（2022·新高考Ⅱ卷）已知 为等差数列， 是公比为2的等比数列，且 ．
（1）证明： ；
（2）求集合 中元素个数．
2．（2022·全国甲卷）记 为数列 的前n项和．已知 ．
（1）证明： 是等差数列；
（2）若 成等比数列，求 的最小值．
3．（2022·新高考Ⅰ卷）记 为数列 的前n项和，已知 是公差为 ，的等差数列.
（1）求 的通项公式；
（2）证明：
4．（2021·新高考Ⅱ卷）记 是公差不为0的等差数列 的前n项和，若 ．
（1）求数列 的通项公式 ；
（2）求使 成立的n的最小值．
5．（2021·全国乙卷）设 是首项为1的等比数列，数列 满足 ，已知 ，3 ，9 成等差数列.
（1）求 和 的通项公式；
（2）记 和 分别为 和 的前n项和.证明： < .
6．（2021·全国甲卷）记 为 的前 项和，已知 ，且数列 是等差数列．证明： 是等差数列．
7．（2021·全国甲卷）已知数列{an｝的各项均为正数，记Sn为{an｝的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.
①数列{an｝是等差数列：②数列{ ｝是等差数列；③a2=3a1
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
8．（2021·全国乙卷）记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知 =2.
（1）证明：数列{bn}是等差数列；
（2）求{an}的通项公式.
9．（2021·天津）已知 是公差为2的等差数列，其前8项和为64． 是公比大于0的等比数列， ．
（1）求 和 的通项公式；
（2）记 .
（i）证明 是等比数列；
（ii）证明
10．（2021·新高考Ⅰ）已知数列{ }满足 =1，
（1）记 = ，写出 ， ，并求数列 的通项公式；
（2）求 的前20项和
11．（2020·新课标Ⅲ·理）设数列{an}满足a1=3， ．
（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；
（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．
12．（2020·新课标Ⅰ·理）设 是公比不为1的等比数列， 为 ， 的等差中项．
（1）求 的公比；
（2）若 ，求数列 的前n项和．
13．（2020·新高考Ⅱ）已知公比大于 的等比数列 满足 ．
（1）求 的通项公式；
（2）求 .
14．（2020·新高考Ⅰ）已知公比大于1的等比数列 满足 ．
（1）求 的通项公式；
（2）记 为 在区间 中的项的个数，求数列 的前100项和 ．
15．（2020·天津）已知 为等差数列， 为等比数列， ．
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）记 的前 项和为 ，求证： ；
（Ⅲ）对任意的正整数 ，设 求数列 的前2n项和．
16．（2019·天津）设 是等差数列， 是等比数列，公比大于0，已知 ， ， .
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 满足 求 .
17．（2019·全国Ⅱ卷理）已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0， ， .
（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；
（2）求{an}和{bn}的通项公式.
18．（2019·北京）设{an}是等差数列，a1=-10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列.
（I）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值.
19．（2018·全国Ⅱ卷理）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1=-7，S3=-15.
（1）求{an}的通项公式；
（2）求Sn，并求Sn的最小值。
20．（2018·全国Ⅲ卷理）等比数列 中， .
（1）求 的通项公式；
（2）记 为 的前 项和，若Sm=63，求m。
21．（2018·北京）设 是等差数列，且 ， +a3=5 .
（Ⅰ）求 的通项公式；
（Ⅱ）求 + +…+ .
答案解析部分
1．【答案】（1）证明：设数列 的公差为 ，所以， ，即可解得， ，所以原命题得证．
（2）解：由（1）知 ，
由 知：
即 ，即 ，
因为 ，故 ，解得
故集合 中元素的个数为9个.
【知识点】集合中元素个数的最值；等差数列；等比数列
【解析】【分析】（1）设数列的公差为，根据题意列出方程组即可证出；
（2）根据题意化简可得，即可解出．
2．【答案】（1）已知 ，即 ①，
当 时， ②，
①-②得， ，
即 ，
即 ，所以 ， 且 ，
所以 是以1为公差的等差数列．
（2）由（1）中 可得， ， ， ，
又 ， ， 成等比数列，所以 ，
即 ，解得 ，
所以 ，所以 ，
所以，当 或 时 ．
【知识点】等差数列；等差数列的前n项和；等比数列的性质；数列递推式
【解析】【分析】（1）依题意可得 ，根据 ，作差即可得到 ，从而得证；
（2）由（1）及等比中项的性质求出a1，即可得到{an}的通项公式与前n项和，再根据二次函数的性质计算可得．
3．【答案】（1）因为 是公差为 的等差数列，而 ，
所以 ①
时， ②
①-②有： .
所以 ，
以上式子相乘，得
经检验， 时， ，符合.
所以 .
（2）由（1）知
所以
所以 = =
因为 ，所以 ，
所以 ，
即 ．
【知识点】数列的概念及简单表示法；等差数列的通项公式；数列的求和；数列递推式；数列与不等式的综合
【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式可得 ，由利用Sn与an的关系，得 ，再利用累积法，可得an；
（2）由（1）得 ，利用裂项相消求和求得 ，再解不等式即可.
4．【答案】（1）由等差数列的性质可得： ，则： ，
设等差数列的公差为 ，从而有： ，
，
从而： ，由于公差不为零，故： ，
数列的通项公式为： .
（2）由数列的通项公式可得： ，则： ，
则不等式 即： ，整理可得： ，
解得： 或 ，又 为正整数，故 的最小值为7.
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【分析】(1)根据等差数列的通项公式及性质直接求解即可；
(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.
5．【答案】（1）因为 是首项为1的等比数列且 ， ， 成等差数列，
所以 ，所以 ，
即 ，解得 ，所以 ，
所以 .
（2）证明：由（1）可得 ，
，①
，②
①②得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】由 ， ， 成等差数列，列关系式等比数列 的公比q，进而得到 ，再由bn与an的关系求得bn；
（2）先根据条件求得 ，再由错项相减的方法求得的表达式，最后用求差比较法，证明 < .
6．【答案】∵数列 是等差数列，设公差为
∴ ，
∴ ，
∴当 时，
当 时， ，满足 ，
∴ 的通项公式为 ，
∴
∴ 是等差数列.
【知识点】数列的概念及简单表示法；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【分析】由 数列 是等差数列 ，及 ，即可得到 等差数列 的公差 ,从而得到 ， ，进一步根据ａｎ与ｓｎ的关系，以及等差数列的定义，证明
是等差数列.
7．【答案】选①②作条件证明③：
设 ，则 ，
当 时， ；
当 时， ；
因为 也是等差数列，所以 ，解得 ；
所以 ，所以 .
选①③作条件证明②：
因为 ， 是等差数列，
所以公差 ，
所以 ，即 ，
因为 ，
所以 是等差数列.
选②③作条件证明①：
设 ，则 ，
当 时， ；
当 时， ；
因为 ，所以 ，解得 或 ；
当 时， ，当 时， 满足等差数列的定义，此时 为等差数列；
当 时， ， 不合题意，舍去.
综上可知 为等差数列.
【知识点】数列的概念及简单表示法；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【分析】选(1)(2)做条件时，证明 ③：根据等差数列的定义得出 ，且 也是等差数列 ， 进一步递推出 ③ ；
若选 ①③作条件证明②： 由 ，显然 再写出前n项的和与a1,n的关系式 ，进而证明 是等差数列.；
选②③作条件证明①： 先设 ，进一步形为 ， 再根据 an与sn的关系，分ｎ为１，n>1，推导出 ,显然 为等差数列 。
8．【答案】（1）由已知 + =2，则 =Sn(n≥2)
+ =2 2bn-1+2=2bn bn-bn-1= (n≥2)，b1=
故｛bn｝是以 为首项， 为公差的等差数列。
（2）由（1）知bn= +（n-1） = ，则 + =2 Sn=
n=1时，a1=S1=
n≥2时，an=Sn-Sn-1= - =
故an=
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列递推式
【解析】【分析】（1）根据等差数列及前n项和的定义，由递推关系，求证。
（2）呈上，先写出bn,再求{bn}前n磺的和 Sn ，再由 an与 Sn 的关系，进一步求得结果。
9．【答案】（1）因为 是公差为2的等差数列，其前8项和为64．
所以 ，所以 ，
所以 ；
设等比数列 的公比为 ，
所以 ，解得 （负值舍去），
所以 ；
（2）（i）由题意， ，
所以 ，
所以 ，且 ，
所以数列 是等比数列；
（ii）由题意知， ，
所以 ，
所以 ，
设 ，
则 ，
两式相减得 ，
所以 ，
所以 .
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】（1）根据等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式求解即可；
（2）（ⅰ）运算可得，结合等比数列的定义即可得证；
（ⅱ）利用放缩法得，进而可得，结合错位相减法即可得证.
10．【答案】（1） 为偶数，
则 ， ，
，即 ，且 ，
是以 为首项，3为公差的等差数列，
， ， ．
（2）当 为奇数时， ，
的前 项和为
．
由（1）可知，
．
的前20项和为 ．
【知识点】等差数列；等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）根据等差数列的定义及通项公式即可求解；
（2）运用分组求和法，结合项之间的关系即可求解.
11．【答案】（1）解：由题意可得 ， ，
由数列 的前三项可猜想数列 是以3为首项，2为公差的等差数列，即 ，
证明如下：
当 时， 成立；
假设 时， 成立.
那么 时， 也成立.
则对任意的 ，都有 成立
（2）解：由（1）可知，
，①
，②
由①②得：
，
即 .
【知识点】数列的求和；数列递推式；数学归纳法
【解析】【分析】（1）利用递推公式得出 ，猜想得出 的通项公式，利用数学归纳法证明即可；（2）由错位相减法求解即可.
12．【答案】（1）解：设 的公比为q， 为 的等差中项，
，
；
（2）解：设 的前 项和为 ， ，
，①
，②
①②得，
，
.
【知识点】数列的求和；等差数列的性质
【解析】【分析】（1）由已知结合等差中项关系，建立公比q的方程，求解即可得出结论；（2）由（1）结合条件得出 的通项，根据 的通项公式特征，用错位相减法，即可求出结论.
13．【答案】（1）解：设等比数列 的公比为q(q>1)，则 ，
整理可得： ，
，
数列的通项公式为： .
（2）解：由于： ，故：
.
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【分析】(1)由题意得到关于首项、公比的方程组，求解方程组得到首项、公比的值即可确定数列的通项公式；(2)首先求得数列 的通项公式，然后结合等比数列前n项和公式求解其前n项和即可.
14．【答案】（1）解：由于数列 是公比大于 的等比数列，设首项为 ，公比为q，依题意有 ，解得解得 ，或 (舍)，
所以 ，所以数列 的通项公式为 .
（2）解：由于 ，所以
对应的区间为： ，则 ；
对应的区间分别为： ，则 ，即有 个 ；
对应的区间分别为： ，则 ，即有 个 ；
对应的区间分别为： ，则 ，即有 个 ；
对应的区间分别为： ，则 ，即有 个 ；
对应的区间分别为： ，则 ，即有 个 ；
对应的区间分别为： ，则 ，即有 个 .
所以 .
【知识点】等比数列的通项公式；类比推理
【解析】【分析】（1）利用基本元的思想，将已知条件转化为 的形式，求解出 ，由此求得数列 的通项公式.（2）通过分析数列 的规律，由此求得数列 的前100项和 .
15．【答案】解：(Ⅰ)设等差数列 的公差为d，等比数列 的公比为q.
由 ， ，可得d=1.
从而 的通项公式为 .
由 ，
又q≠0，可得 ，解得q=2，
从而 的通项公式为 .
(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得 ，
故 ， ，
从而 ，
所以 .
(Ⅲ)当n为奇数时， ，
当n为偶数时， ，
对任意的正整数n，有 ，
和 ①
由①得 ②
由①②得 ，
由于 ，
从而得： .
因此， .
所以，数列 的前2n项和为 .
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】(Ⅰ)由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果；(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论首先求得数列 前n项和，然后利用作差法证明即可；(Ⅲ)分类讨论n为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算 和 的值，据此进一步计算数列 的前2n项和即可.
16．【答案】解：（Ⅰ）解：设等差数列 的公差为d，等比数列 的公比为q依题意，得 ，解得 ，故 .
所以， 的通项公式为 ， 的通项公式 为 .
（Ⅱ）解：
=
. ①
， ②
②-①得， .
所以，
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】 【分析】（I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出，设 的公差为 ， 的公比为 ，根据等比数列和等差数列的通项公式，联立方程求得 和 ，进而可得 、 的通项公式；
（II）数列 的通项公式由等差和等比数列构成，进而可用错位相减法求得前 项和 ．．
17．【答案】（1）解：由题设得 ，即 ． 又因为a1+b1=l，所以 是首项为1，公比为 的等比数列． 由题设得 ， 即 ．
又因为a1–b1=l，所以 是首项为1，公差为2的等差数列．
（2）由（1）知， ， ．
所以 ，
．
【知识点】等差数列与等比数列的综合
【解析】 【分析】（1）整理已知的递推公式即可得出 ，则 是首项为1，公比为 的等比数列，再结合已知条件可推出 ．即可得出 是首项为1，公差为2的等差数列．（2）结合（1）的结论把两个数列 、 的通项公式相减，即可得出两个数列{an}和{bn}的通项公式。
18．【答案】解：（I）根据三者成等比数列，
可知 ，
故 ，
解得d=2，
故 ；
（Ⅱ）由（I）知 ，
该二次函数开口向上，对称轴为n=5.5，
故n=5或6时， 取最小值-30.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【分析】（I）根据等比中项，结合等差数列的通项公式，求出d，即可求出 ；（Ⅱ）由（1），求出 ，结合二次函数的性质，即可求出相应的最小值.
19．【答案】（1）设数列的公差为d，由题意有：
a1=-7，S3=3a2=-15
a2=-5，d=2
∴an=a1+（n-1）d=-7+2（n-1）=2n-9
所以{an}的通项公式为：an=2n-9
（2）由（1）知数列{an}的前n项和
Sn=n（n-8）=n2-8n=（n-4）2-16≥-16
当n=4时取等，所以Sn的最小值为-16
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【分析】（1）根据等差数列a1，S3可求得数列的公差，进而可求{an}的通项公式；
（2）由前n项和公式易得Sn，再根据二次函数求最值.
20．【答案】（1）解：因为 ，a5=4a3
q4=4q2 q=±2
或
（2）解：
又
【知识点】等比数列；等比数列的前n项和
【解析】【分析】由等比数列定义求出q，再由等比数列求和公式得到 再解出m.
21．【答案】解：（Ⅰ），∵ ， ，
∴ ，则 ，
∴ 。
（Ⅱ） ，
∴ ，
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的前n项和；等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（Ⅰ）由等差数列性质，求出 ，（Ⅱ）由等比数列求和公式求和。
二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 1