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二项式定理——大数据之五年（2018-2022）高考真题汇编（新高考卷与全国理科）
一、单选题
1．（2022·北京）若 ，则 （ ）
A．40 B．41 C．-40 D．-41
2．（2020·新课标Ⅰ·理） 的展开式中x3y3的系数为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
3．（2020·北京）在 的展开式中， 的系数为（ ）．
A．-5 B．5 C．-10 D．10
4．（2019·全国Ⅲ卷理）(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
二、多选题
5．（2021·新高考Ⅱ卷）设正整数 ，其中 ，记 ．则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
6．（2022·浙江）已知多项式 ，则 ， ．
7．（2022·新高考Ⅰ卷） 的展开式中 的系数为 (用数字作答).
8．（2022·上海）在 的展开式中，含 项的系数为
9．（2021·北京） 展开式中常数项为 ．
10．（2021·浙江）已知多项式 ，则 ， .
11．（2021·天津）在 的展开式中， 的系数是 ．
12．（2020·新课标Ⅲ·理） 的展开式中常数项是 （用数字作答）．
13．（2020·天津）在 的展开式中， 的系数是 ．
14．（2020·浙江）设 （1+2x）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a4＝ ；a1+a2+a3＝ ．
15．（2019·上海）在 的展开式中，常数项等于 ．
16．（2019·浙江）在二项式（ +x）9的展开式中，常数项是 ，系数为有理数的项的个数是
17．（2019·天津） 是展开式中的常数项为 .
18．（2018·浙江）二项式 的展开式的常数项是 ．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】当 时， ，当 时， ，两式相加得 .
故答案为：B
【分析】令 和 ，所得两式相加即可求解.
2．【答案】C
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】 展开式的通项公式为 （ 且 ）
所以 与 展开式的乘积可表示为：
或
在 中，令 ，可得： ，该项中 的系数为10，
在 中，令 ，可得： ，该项中 的系数为
所以 的系数为
故答案为：C
【分析】求得 展开式的通项公式为 （ 且 ），即可求得 与 展开式的乘积为 或 形式，对r分别赋值为3，1即可求得 的系数，问题得解.
3．【答案】C
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】 展开式的通项公式为： ，
令 可得： ，则 的系数为： .
故答案为：C.
【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定 的系数即可.
4．【答案】A
【知识点】二项式定理的应用
【解析】 【解答】解：∵ 的通项公式为 ，
∴展开式中x3的系数为 ，
故答案为：A.
【分析】由已知利用 的通项公式为 ，结合 即可求出展开式中x3的系数.
5．【答案】A,C,D
【知识点】二项式定理；二项式定理的应用
【解析】【解答】解：对于A， ， ，
则，故A正确；
对于B，取n=2，2×2+3=7=1·20+1·21+1·22，则ω(7)=3，
而2=0·20+1·21，则ω(2)=1，即ω(7)≠2ω(2)+1，故B错误；
对于C，8n+5=a0·23+a1·24+……+ak·2k+3+5=1·20+1·22+a0·23+a1· 24+……+ak· 2k+3
所以ω(8n+5)=2+a0+a1+……+ak，
4n+3=a0·22+a1· 23+……+ak· 2k+2+3=1·20+1·21+a0·22+a1· 23+……+ak· 2k+2，
所以ω(4n+3)=2+a0+a1+……+ak，
所以ω(8n+5)=ω(4n+3)，故C正确；
对于D，2n-1=20+21+……+2n-1，
所以ω(2n-1)=n，故D正确.
故答案为：ACD
【分析】利用ω(n)的定义可判断ACD选项的正误，利用特殊值法可判断B选项的正误.
6．【答案】8；-2
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】，
∴；
令x＝0，则，
令x＝1，则
∴．
故答案为：8，﹣2．
【分析】a2相当于是用（x+2）中的一次项系数乘以展开式中的一次项系数加上（x+2）中的常数项乘以展开式中的二次项系数之和；分别给x辅助令x＝0，x＝1，即可求得的值．
7．【答案】-28
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：(x+y)8的通项公式为，
①当8-r=2，即r=6时， 展开式中 项为，
②当8-r=3，即r=5时， 展开式中 项为，
则展开式中 项为，
故答案为：-28
【分析】由二项式定理，分类讨论求解即可.
8．【答案】66
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：由题意得 的通项公式为(0≤r≤12，r∈N)
令36-4r=-4，得r=10，
则，
则 项的系数为66.
故答案为：66
【分析】根据二项式定理直接求解即可.
9．【答案】-4
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【解答】解：由题意得二项展开式的通项公式为
令12-4k=0，得k=3
故常数项为
故答案为：-4
【分析】根据二项展开式的通项公式直接求解即可.
10．【答案】5；10
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】根据二项式定理的通项公式:故a1=5;
同理故a2=3;
故a=7,
所以 10.
故答案为：5，10.
【分析】因为指数不高，直接展开。
11．【答案】160
【知识点】二项式定理；二项式定理的应用
【解析】【解答】解： 的展开式的通项公式是
令18-4r=6，得r=3
所以 的系数是
【分析】根据二项式的展开式通项公式求解即可.
12．【答案】240
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】
其二项式展开通项：
当 ，解得
的展开式中常数项是： .
故答案为： .
【分析】写出 二项式展开通项，即可求得常数项.
13．【答案】10
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】因为 的展开式的通项公式为 ，令 ，解得 ．
所以 的系数为 ．
故答案为：10．
【分析】写出二项展开式的通项公式，整理后令 的指数为2，即可求出．
14．【答案】80；130
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：（1+2x）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a4＝ ＝80．
a1+a2+a3＝ ＝130．
故答案为：80；130．
【分析】直接利用二项式定理的通项公式，求解即可．
15．【答案】15
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解： 展开式的通项为
令 得 ，
∴展开式的常数项为第3项；
∴ 常数项等于 ．
故答案为：15．
【分析】利用二项定理求出展开式中的通项公式，再利用展开式中的通项公式求出常数项。
16．【答案】；5
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：（ +x）9展开式的通项 ，
当r=0时，得展开式的常数项为 ；
当9-r为偶数时，系数为有理数，此时r=1，2，3，7，9，总共5项.
【分析】写出展开式的通项，令x的次数为0，即可求出常数项，令r为偶数，则展开式的系数为有理数.
17．【答案】28
【知识点】二项式定理的应用
【解析】 【解答】展开式的通项公式为
令 可得
故展开式中的常数项为
故答案为：28
【分析】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数。
18．【答案】7
【知识点】二项式定理；二项式定理的应用
【解析】【解答】详解：二项式 的展开式的通项公式为 ，
令 得 ，故所求的常数项为
【分析】利用二项式定理写出二项展开式的通项并整理，由x的指数为0求得r值，则答案可求．
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二项式定理——大数据之五年（2018-2022）高考真题汇编（新高考卷与全国理科）
一、单选题
1．（2022·北京）若 ，则 （ ）
A．40 B．41 C．-40 D．-41
【答案】B
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】当 时， ，当 时， ，两式相加得 .
故答案为：B
【分析】令 和 ，所得两式相加即可求解.
2．（2020·新课标Ⅰ·理） 的展开式中x3y3的系数为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】C
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】 展开式的通项公式为 （ 且 ）
所以 与 展开式的乘积可表示为：
或
在 中，令 ，可得： ，该项中 的系数为10，
在 中，令 ，可得： ，该项中 的系数为
所以 的系数为
故答案为：C
【分析】求得 展开式的通项公式为 （ 且 ），即可求得 与 展开式的乘积为 或 形式，对r分别赋值为3，1即可求得 的系数，问题得解.
3．（2020·北京）在 的展开式中， 的系数为（ ）．
A．-5 B．5 C．-10 D．10
【答案】C
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】 展开式的通项公式为： ，
令 可得： ，则 的系数为： .
故答案为：C.
【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定 的系数即可.
4．（2019·全国Ⅲ卷理）(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
【答案】A
【知识点】二项式定理的应用
【解析】 【解答】解：∵ 的通项公式为 ，
∴展开式中x3的系数为 ，
故答案为：A.
【分析】由已知利用 的通项公式为 ，结合 即可求出展开式中x3的系数.
二、多选题
5．（2021·新高考Ⅱ卷）设正整数 ，其中 ，记 ．则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】二项式定理；二项式定理的应用
【解析】【解答】解：对于A， ， ，
则，故A正确；
对于B，取n=2，2×2+3=7=1·20+1·21+1·22，则ω(7)=3，
而2=0·20+1·21，则ω(2)=1，即ω(7)≠2ω(2)+1，故B错误；
对于C，8n+5=a0·23+a1·24+……+ak·2k+3+5=1·20+1·22+a0·23+a1· 24+……+ak· 2k+3
所以ω(8n+5)=2+a0+a1+……+ak，
4n+3=a0·22+a1· 23+……+ak· 2k+2+3=1·20+1·21+a0·22+a1· 23+……+ak· 2k+2，
所以ω(4n+3)=2+a0+a1+……+ak，
所以ω(8n+5)=ω(4n+3)，故C正确；
对于D，2n-1=20+21+……+2n-1，
所以ω(2n-1)=n，故D正确.
故答案为：ACD
【分析】利用ω(n)的定义可判断ACD选项的正误，利用特殊值法可判断B选项的正误.
三、填空题
6．（2022·浙江）已知多项式 ，则 ， ．
【答案】8；-2
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】，
∴；
令x＝0，则，
令x＝1，则
∴．
故答案为：8，﹣2．
【分析】a2相当于是用（x+2）中的一次项系数乘以展开式中的一次项系数加上（x+2）中的常数项乘以展开式中的二次项系数之和；分别给x辅助令x＝0，x＝1，即可求得的值．
7．（2022·新高考Ⅰ卷） 的展开式中 的系数为 (用数字作答).
【答案】-28
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：(x+y)8的通项公式为，
①当8-r=2，即r=6时， 展开式中 项为，
②当8-r=3，即r=5时， 展开式中 项为，
则展开式中 项为，
故答案为：-28
【分析】由二项式定理，分类讨论求解即可.
8．（2022·上海）在 的展开式中，含 项的系数为
【答案】66
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：由题意得 的通项公式为(0≤r≤12，r∈N)
令36-4r=-4，得r=10，
则，
则 项的系数为66.
故答案为：66
【分析】根据二项式定理直接求解即可.
9．（2021·北京） 展开式中常数项为 ．
【答案】-4
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【解答】解：由题意得二项展开式的通项公式为
令12-4k=0，得k=3
故常数项为
故答案为：-4
【分析】根据二项展开式的通项公式直接求解即可.
10．（2021·浙江）已知多项式 ，则 ， .
【答案】5；10
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】根据二项式定理的通项公式:故a1=5;
同理故a2=3;
故a=7,
所以 10.
故答案为：5，10.
【分析】因为指数不高，直接展开。
11．（2021·天津）在 的展开式中， 的系数是 ．
【答案】160
【知识点】二项式定理；二项式定理的应用
【解析】【解答】解： 的展开式的通项公式是
令18-4r=6，得r=3
所以 的系数是
【分析】根据二项式的展开式通项公式求解即可.
12．（2020·新课标Ⅲ·理） 的展开式中常数项是 （用数字作答）．
【答案】240
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】
其二项式展开通项：
当 ，解得
的展开式中常数项是： .
故答案为： .
【分析】写出 二项式展开通项，即可求得常数项.
13．（2020·天津）在 的展开式中， 的系数是 ．
【答案】10
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】因为 的展开式的通项公式为 ，令 ，解得 ．
所以 的系数为 ．
故答案为：10．
【分析】写出二项展开式的通项公式，整理后令 的指数为2，即可求出．
14．（2020·浙江）设 （1+2x）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a4＝ ；a1+a2+a3＝ ．
【答案】80；130
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：（1+2x）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a4＝ ＝80．
a1+a2+a3＝ ＝130．
故答案为：80；130．
【分析】直接利用二项式定理的通项公式，求解即可．
15．（2019·上海）在 的展开式中，常数项等于 ．
【答案】15
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解： 展开式的通项为
令 得 ，
∴展开式的常数项为第3项；
∴ 常数项等于 ．
故答案为：15．
【分析】利用二项定理求出展开式中的通项公式，再利用展开式中的通项公式求出常数项。
16．（2019·浙江）在二项式（ +x）9的展开式中，常数项是 ，系数为有理数的项的个数是
【答案】；5
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：（ +x）9展开式的通项 ，
当r=0时，得展开式的常数项为 ；
当9-r为偶数时，系数为有理数，此时r=1，2，3，7，9，总共5项.
【分析】写出展开式的通项，令x的次数为0，即可求出常数项，令r为偶数，则展开式的系数为有理数.
17．（2019·天津） 是展开式中的常数项为 .
【答案】28
【知识点】二项式定理的应用
【解析】 【解答】展开式的通项公式为
令 可得
故展开式中的常数项为
故答案为：28
【分析】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数。
18．（2018·浙江）二项式 的展开式的常数项是 ．
【答案】7
【知识点】二项式定理；二项式定理的应用
【解析】【解答】详解：二项式 的展开式的通项公式为 ，
令 得 ，故所求的常数项为
【分析】利用二项式定理写出二项展开式的通项并整理，由x的指数为0求得r值，则答案可求．
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