【精品解析】解三角形（解答题）——大数据之五年（2018-2022）高考真题汇编（新高考卷与全国理科）

解三角形（解答题）——大数据之五年（2018-2022）高考真题汇编（新高考卷与全国理科）
一、解答题
1．（2022·浙江）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．
已知 ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若 ，求 的面积．
2．（2022·新高考Ⅱ卷）记 的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为 ，已知 ．
（1）求 的面积；
（2）若 ，求b．
3．（2022·全国乙卷）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知 ．
（1）若 ，求C；
（2）证明： .
4．（2022·全国乙卷）记 的内角 的对边分别为 ，已知 ．
（1）证明： ；
（2）若 ，求 的周长．
5．（2022·北京）在 中， ．
（I）求 ：
（II）若 ，且 的面积为 ，求 的周长．
6．（2022·新高考Ⅰ卷）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
（1）若 求B；
（2）求 的最小值.
7．（2022·新高考Ⅰ卷）已知点A(2，1)在双曲线 C： 上，直线 交C于P，Q两点，直线
AP，AQ的斜率之和为0.
（1）求 的斜率；
（2）若 求 的面积.
8．（2021·新高考Ⅱ卷）在 中，角A，B，C所对的边长分别为 ．
（1）若 ，求 的面积；
（2）是否存在正整数a，使得 为钝角三角形 若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
9．（2021·北京）已知在 中， ， ．
（1）求 的大小；
（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使 存在且唯一确定，并求出 边上的中线的长度．
① ；②周长为 ；③面积为 ；
10．（2021·天津）在 ，角 所对的边分别为 ，已知 ， ．
（1）求a的值；
（2）求 的值；
（3）求 的值．
11．（2021·新高考Ⅰ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a.，b.，c，已知 =ac，点D在边AC 上，BDsin∠ABC=asinC.
（1）证明：BD = b：
（2）若AD = 2DC
.求cos∠ABC.
12．（2020·新课标Ⅱ·理） 中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．
（1）求A；
（2）若BC=3，求 周长的最大值.
13．（2020·新高考Ⅰ）在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在 ，它的内角 的对边分别为 ，且 ， ， ▲
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
14．（2020·天津）在 中，角 所对的边分别为 ．已知 ．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求 的值；
（Ⅲ）求 的值．
15．（2020·江苏）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
（1）求 的值；
（2）在边BC上取一点D，使得 ，求 的值．
16．（2020·北京）在 中， ，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
（Ⅰ）a的值：
（Ⅱ） 和 的面积．
条件①： ；
条件②： ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
17．（2020·浙江）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bsinA＝ a．
（Ⅰ）求角B；
（Ⅱ）求cosA+cosB+cosC的取值范围．
18．（2019·江苏）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．
（1）若a=3c，b= ，cosB= ，求c的值；
（2）若 ，求 的值．
19．（2019·天津）在 中，内角 所对的边分别为 .已知 ， .
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求 的值.
20．（2019·全国Ⅲ卷理）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知
（1）求B；
（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围.
21．（2019·北京）在△ABC中，a=3，b-c=2，cosB=- .
（I）求b，c的值：
（II）求sin（B+C）的值.
22．（2019·北京）在△ABC中，a=3，b-c=2，cosB=- .
（I）求b，c的值；
（II）求sin（B-C）的值.
23．（2019·全国Ⅰ卷理） ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC。
（1）求A；
（2）若 ,求sinC.
24．（2018·全国Ⅰ卷理）在平面四边形 中，
（1）求 ；
（2）若 求 .
25．（2018·天津）在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 已知 .
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和 的值.
26．（2018·北京）在△ABC中，a=7，b=8，cosB=- ，
（Ⅰ）求∠A：
（Ⅱ）求AC边上的高。
答案解析部分
1．【答案】解：（Ⅰ） 由于 ，则 .
由正弦定理可知 ，则 .
（Ⅱ）因为 ，则 .
故 ，
则 ， 的面积 .
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（Ⅰ）由，易知，再根据同角三角函数基本关系求出sinC，最后由正弦定理可求得sinA；
（Ⅱ）根据A，C的正、余弦值，求出sinB，再由正弦定理求出a，代入面积公式计算即可．
2．【答案】（1）解：∵边长为a的正三角形的面积为 ，
∴ ，即 ，
由 得： ，
∴
故 .
（2）解：由正弦定理得： ，故 .
【知识点】解三角形；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）先表示出，再由求得，结合余弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可；
（2）由正弦定理得，即可求解.
3．【答案】（1）解：∵
且
∴
∵sinB＞0
∴
∴C=C-A（舍）或C+（C-A）=π
即：2C-A=π
又∵A+B+C=π，A=2B
∴C=
（2）证明：由 可得，
，再由正弦定理可得，
，然后根据余弦定理可知，
，化简得：
，故原等式成立．
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）根据题意可得， ，再结合三角形内角和定理即可解出；
（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得 ，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出．
4．【答案】（1）证明：因为 ，
所以 ，
所以 ，
即 ，
所以 ；
（2）解：因为 ，
由（1）得 ，
由余弦定理可得 ，
则 ，
所以 ，
故 ，
所以 ，
所以 的周长为 .
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；
（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出 ，从而可求得 ，即可得解.
5．【答案】（I） ，根据正弦的二倍角公式可得 ，可得 ，所以 ；
（II）∵ ，∴ ， ，由余弦定理 ，得 ，所以 周长为 .
【知识点】解三角形；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）根据正弦的二倍角公式化简求值即可；
（2）根据三角形面积公式求得 ，再由余弦定理求得 ，即可得 周长.
6．【答案】（1）因为 ，
所以 ，
所以 ，
又因为 ，
，所以 ，故 .
（2）因为
所以
所以
由余弦定理
所以
当且仅当 ，即 时取得等号，
综上， 的最小值为 .
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；运用诱导公式化简求值；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）先由二倍角公式与两角和的余弦公式，化简得 ，再由诱导公式，结合三角形的内角和性质，得 ，可得B；
（2）由诱导公式求得 ， ，再结合余弦定理与三角恒等变换，化简得 ，并利用基本不等式求最值即可.
7．【答案】（1）因为点A(2，1)在双曲线 上，所以有
解得 ，所以双曲线
设直线 ，
联立 消去y得到
显然 ，否则不可能有两个交点，
而 ，
由韦达定理得 ，
因为直线AP，AQ的斜率之和为0，
所以
所以 所以
即 ，
所以有 ，
将韦达定理代入化简得 ，
而当 ，此时直线 为 ，易知恒过定点 ，故舍去，
所以 ，此时满足 .
（2）又由（1）易知 ，
且
依题可设AP斜率为 ， 斜率为- ，
则由夹角公式知（后面补充证明） ，
由对称性易知，只需考虑 的情况就行，
所以有 ，解得 或 （舍）.
而 ，同理 ，
而 ，
另一方面，联立 ，（1）
同理 ，（2）
将以上两式相加，得 ，
解得 ，
所以
【知识点】斜率的计算公式；平面内两直线的夹角与到角问题；双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）先根据题意列式求得双曲线C的方程 ，再结合直线与双曲线的位置关系，以及直线的斜率公式，列式得 ，再判断2k+m-1=0不成立，易得k=-1；
（2）先设AP斜率为 ， 斜率为- ，由夹角公式求得 ，同时根据两直线的位置可得 ，结合(1)，可得 ，再由韦达定理与三角形面积公式可得 ，代入计算即可.
8．【答案】（1）因为 ，则 ，则 ，故 ， ，
，所以， 为锐角，则 ，
因此， ；
（2）显然 ，若 为钝角三角形，则 为钝角，
由余弦定理可得 ，
解得 ，则 ，
由三角形三边关系可得 ，可得 ， ，故 .
【知识点】同角三角函数间的基本关系；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由正弦定理可得出2c=3a，结合已知条件求出a的值，进一步可求得b、c的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出sinB，再利用三角形的面积公式可求得结果；
（2）分析可知，角c为钝角，由cosC<0结合三角形三边关系可求得整数a的值.
9．【答案】（1） ，则由正弦定理可得 ，
， ， ， ，
，解得 ；
（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得 ，
与 矛盾，故这样的 不存在；
若选择②：由（1）可得 ，
设 的外接圆半径为 ，
则由正弦定理可得 ，
，
则周长 ，
解得 ，则 ，
由余弦定理可得 边上的中线的长度为：
；
若选择③：由（1）可得 ，即 ，
则 ，解得 ，
则由余弦定理可得 边上的中线的长度为：
.
【知识点】正弦定理；余弦定理；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据正弦定理，结合三角形内角和的性质求解即可；
（2） 选择① ：根据正弦定理，结合（1）进行判断即可；
选择② ：根据正弦定理，及余弦定理求解即可；
选择③ ：根据三角形的面积公式，结合余弦定理求解即可.
10．【答案】（1）因为 ，由正弦定理可得 ，
， ；
（2）由余弦定理可得 ；
（3） ， ，
， ，
所以 .
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；同角三角函数基本关系的运用；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）根据正弦定理直接求解即可；
（2）根据余弦定理直接求解即可；
（3）根据同角三角函数的基本关系，二倍角公式以及两角差的正弦公式求解即可.
11．【答案】（1）在 中，
，
，
，
联立 得 ，即 ，
，
．
（2）若 ，
中， ，
中， ，
，
，
整理得 ，
，
，
，即 或 ，
若 时， ，
则 （舍），
若 ， ，
则 .
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）根据正弦定理求解即可；
（2）根据余弦定理，结合方程思想和分类讨论思想求解即可.
12．【答案】（1）解：由正弦定理可得： ，
，
， .
（2）解：由余弦定理得： ，
即 .
（当且仅当 时取等号），
，
解得： （当且仅当 时取等号），
周长 ， 周长的最大值为 .
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出 的形式，进而求得A；（2）利用余弦定理可得到 ，利用基本不等式可求得 的最大值，进而得到结果.
13．【答案】解：解法一：
由 可得： ，
不妨设 ，
则： ，即 .
选择条件①的解析：
据此可得： ， ，此时 .
选择条件②的解析：
据此可得： ，
则： ，此时： ，则： .
选择条件③的解析：
可得 ， ，
与条件 矛盾，则问题中的三角形不存在.
解法二：∵ ,
∴ ,
，
∴ ,∴ ,∴ ,∴ ,
若选①， ,∵ ,∴ ,∴c=1;
若选②， ,则 , ;
若选③,与条件 矛盾.
【知识点】两角和与差的正弦公式；诱导公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】解法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到a,b的比例关系，根据比例关系，设出长度长度，由余弦定理得到 的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解.解法二：利用诱导公式和两角和的三角函数公式求得 的值，得到角 的值，然后根据选择的条件进行分析判断和求解.
14．【答案】解：（Ⅰ）在 中，由 及余弦定理得
，
又因为 ，所以 ；
（Ⅱ）在 中，由 ， 及正弦定理，可得 ；
（Ⅲ）由 知角A为锐角，由 ，可得 ，
进而 ，
所以 .
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（Ⅰ）直接利用余弦定理运算即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理即可得到答案；（Ⅲ）先计算出 进一步求出 ，再利用两角和的正弦公式计算即可.
15．【答案】（1）解：由余弦定理得 ，所以 .
由正弦定理得 .
（2）解：由于 ， ，所以 .
由于 ，所以 ，所以 .
所以
.
由于 ，所以 .
所以 .
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用余弦定理求得 ，利用正弦定理求得 . （2）根据 的值，求得 的值，由（1）求得 的值，从而求得 的值，进而求得 的值.
16．【答案】解：选择条件①（Ⅰ）
（Ⅱ）
由正弦定理得：
选择条件②（Ⅰ）
由正弦定理得：
（Ⅱ）
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】选择条件①（Ⅰ）根据余弦定理直接求解，（Ⅱ）先根据三角函数同角关系求得 ，再根据正弦定理求 ，最后根据三角形面积公式求结果；选择条件②（Ⅰ）先根据三角函数同角关系求得 ，再根据正弦定理求结果，（Ⅱ）根据两角和正弦公式求 ，再根据三角形面积公式求结果.
17．【答案】解：（Ⅰ）∵2bsinA＝ a，
∴2sinBsinA＝ sinA，
∵sinA≠0，
∴sinB＝ ，
∵ ＜B＜ ，
∴B＝ ，
（Ⅱ）∵△ABC为锐角三角形，B＝ ，
∴C＝ ﹣A，
∴cosA+cosB+cosC＝cosA+cos（ ﹣A）+cos ＝cosA﹣ cosA+ sinA+ ＝ cosA+ sinA+ ＝sin（A+ ）+ ，
△ABC为锐角三角形，0＜A＜ ，0＜C＜ ，
解得 ＜A＜ ，
∴ ＜A+ ＜ ，
∴ ＜sin（A+ ）≤1，
∴ + ＜sin（A+ ）+1≤ ，
∴cosA+cosB+cosC的取值范围为（ ， ]．
【知识点】两角和与差的余弦公式；正弦函数的性质；正弦定理
【解析】【分析】（Ⅰ）根据正弦定理可得sinB＝ ，结合角的范围，即可求出，（Ⅱ）根据两角和差的余弦公式，以及利用正弦函数的性质即可求出．
18．【答案】（1）解：因为 ，
由余弦定理 ，得 ，即 .
所以
（2）解：因为 ，
由正弦定理 ，得 ，所以 .
从而 ，即 ，故 .
因为 ，所以 ，从而 .
因此
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）根据已知条件结合余弦定理求出c的值。
（2）根据已知条件结合正弦定理得出 ，再利用同角三角函数基本关系式和诱导公式求出 的值。
19．【答案】解：在 中，由正弦定理 ，得 ，又由 ，得 ，即 .又因为 ，得到 ， .由余弦定理可得 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 ，从而 ， ，故
【知识点】简单的三角恒等变换；正弦定理；余弦定理
【解析】 【分析】（Ⅰ）利用正余弦定理即可求得
（Ⅱ）利用 ，求得 ，进而根据二倍角公式求出 ， ，再利用两角和的正弦即可求得答案。
本题考查同角三角函数的基本关系式、两角和的公式、倍角公式、正余弦定理等知识。
20．【答案】（1）解：由题设及正弦定理得 ．
因为sinA 0，所以 ．
由 ，可得 ，故 ．
因为 ，故 ，因此B=60°．
（2）由题设及（1）知△ABC的面积 ．
由正弦定理得 ．
由于△ABC为锐角三角形，故0°因此，△ABC面积的取值范围是 ．
【知识点】正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】 【分析】（1）由已知利用正弦定理列式，结合诱导公式化简，即可求出角B的值；（2）利用正弦定理列式，结合△ABC为锐角三角形得到 ，即可求出△ABC面积的取值范围．
21．【答案】解：（I）根据余弦定理 ，
故 ，
解得c=5，b=7；
（II）根据 ，得 ，
根据正弦定理， ，
得 ，解得 ，所以 ，
所以 .
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（I）根据余弦定理，解方程即可求出c和b；
（II）根据同角三角函数的平方关系，求出sinB，结合正弦定理，求出sinC和cosC，即可依据两角和的正弦公式，求出sin（B+C）.
22．【答案】 解：（I）根据余弦定理 ，
故 ，
解得c=5，B=7；
（II）根据 ，得 ，
根据正弦定理， ，
得 ，解得 ，所以 ，
所以 .
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】 【分析】（I）根据余弦定理，解方程即可求出c和b；
（II）根据同角三角函数的平方关系，求出sinB，结合正弦定理，求出sinC和cosC，即可依据两角和的正弦公式，求出sin（B-C）.
23．【答案】（1）解：由正弦定理得： 由余弦定理得： 在三角形中，
（2）解： A=由正弦定理得：
代入A得： +sin（-C）=2sinC解得：sin（C-）=∴C-=，C=+
∴sinC=（+）=sincos+=cossin=×+×=
【知识点】正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用实际问题的已知条件结合正弦定理和余弦定理求出角A的余弦值。（2）利用实际问题的已知条件结合正弦定理和辅助角公式求出 sin（C-），从而求出角C的值，再利用两角和的正弦公式求出角C的正弦值.
24．【答案】（1）解：在 中，由正弦定理得 .
由题设知， ，所以 .
由题设知， ，所以 .
（2）解：由题设及（1）知， .
在 中，由余弦定理得
.
所以 .
【知识点】三角形中的几何计算
【解析】【分析】：(1)在三角形ABD中，由正弦定理求出 ，再由同角关系式求出 ；(2)由 ，求出 ，再在 中由余弦定理求出BC.
25．【答案】解：.解：（Ⅰ） 中，由正弦定理
∴
又
（Ⅱ） 中，∵a=2，c=3， 则
由
∵∴
∴
∴
【知识点】正弦定理
【解析】【分析】（Ⅰ）由正弦定理，得到A.B关系，代入等式，解出 .
（Ⅱ）由余弦定理，得到b，再由正弦定理得到 ，从而 由二倍角公式算出.
26．【答案】解：（Ⅰ） ABC中，
∵ ，
由正弦定理得： ，
∴ 或 ，又B> ，所以 。
（Ⅱ）设AB边上的高为h，则h=asinC.又 ，
而h= 。
【知识点】解三角形；正弦定理的应用
【解析】【分析】（1）先由正弦定理，求出sinA，再由B角范围，进一步确定A；
（2）由h=asinC发现反需求出sinC，又已知A，B由和角公式，则h可求出。
1 / 1解三角形（解答题）——大数据之五年（2018-2022）高考真题汇编（新高考卷与全国理科）
一、解答题
1．（2022·浙江）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．
已知 ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若 ，求 的面积．
【答案】解：（Ⅰ） 由于 ，则 .
由正弦定理可知 ，则 .
（Ⅱ）因为 ，则 .
故 ，
则 ， 的面积 .
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（Ⅰ）由，易知，再根据同角三角函数基本关系求出sinC，最后由正弦定理可求得sinA；
（Ⅱ）根据A，C的正、余弦值，求出sinB，再由正弦定理求出a，代入面积公式计算即可．
2．（2022·新高考Ⅱ卷）记 的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为 ，已知 ．
（1）求 的面积；
（2）若 ，求b．
【答案】（1）解：∵边长为a的正三角形的面积为 ，
∴ ，即 ，
由 得： ，
∴
故 .
（2）解：由正弦定理得： ，故 .
【知识点】解三角形；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）先表示出，再由求得，结合余弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可；
（2）由正弦定理得，即可求解.
3．（2022·全国乙卷）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知 ．
（1）若 ，求C；
（2）证明： .
【答案】（1）解：∵
且
∴
∵sinB＞0
∴
∴C=C-A（舍）或C+（C-A）=π
即：2C-A=π
又∵A+B+C=π，A=2B
∴C=
（2）证明：由 可得，
，再由正弦定理可得，
，然后根据余弦定理可知，
，化简得：
，故原等式成立．
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）根据题意可得， ，再结合三角形内角和定理即可解出；
（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得 ，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出．
4．（2022·全国乙卷）记 的内角 的对边分别为 ，已知 ．
（1）证明： ；
（2）若 ，求 的周长．
【答案】（1）证明：因为 ，
所以 ，
所以 ，
即 ，
所以 ；
（2）解：因为 ，
由（1）得 ，
由余弦定理可得 ，
则 ，
所以 ，
故 ，
所以 ，
所以 的周长为 .
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；
（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出 ，从而可求得 ，即可得解.
5．（2022·北京）在 中， ．
（I）求 ：
（II）若 ，且 的面积为 ，求 的周长．
【答案】（I） ，根据正弦的二倍角公式可得 ，可得 ，所以 ；
（II）∵ ，∴ ， ，由余弦定理 ，得 ，所以 周长为 .
【知识点】解三角形；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）根据正弦的二倍角公式化简求值即可；
（2）根据三角形面积公式求得 ，再由余弦定理求得 ，即可得 周长.
6．（2022·新高考Ⅰ卷）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
（1）若 求B；
（2）求 的最小值.
【答案】（1）因为 ，
所以 ，
所以 ，
又因为 ，
，所以 ，故 .
（2）因为
所以
所以
由余弦定理
所以
当且仅当 ，即 时取得等号，
综上， 的最小值为 .
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；运用诱导公式化简求值；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）先由二倍角公式与两角和的余弦公式，化简得 ，再由诱导公式，结合三角形的内角和性质，得 ，可得B；
（2）由诱导公式求得 ， ，再结合余弦定理与三角恒等变换，化简得 ，并利用基本不等式求最值即可.
7．（2022·新高考Ⅰ卷）已知点A(2，1)在双曲线 C： 上，直线 交C于P，Q两点，直线
AP，AQ的斜率之和为0.
（1）求 的斜率；
（2）若 求 的面积.
【答案】（1）因为点A(2，1)在双曲线 上，所以有
解得 ，所以双曲线
设直线 ，
联立 消去y得到
显然 ，否则不可能有两个交点，
而 ，
由韦达定理得 ，
因为直线AP，AQ的斜率之和为0，
所以
所以 所以
即 ，
所以有 ，
将韦达定理代入化简得 ，
而当 ，此时直线 为 ，易知恒过定点 ，故舍去，
所以 ，此时满足 .
（2）又由（1）易知 ，
且
依题可设AP斜率为 ， 斜率为- ，
则由夹角公式知（后面补充证明） ，
由对称性易知，只需考虑 的情况就行，
所以有 ，解得 或 （舍）.
而 ，同理 ，
而 ，
另一方面，联立 ，（1）
同理 ，（2）
将以上两式相加，得 ，
解得 ，
所以
【知识点】斜率的计算公式；平面内两直线的夹角与到角问题；双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）先根据题意列式求得双曲线C的方程 ，再结合直线与双曲线的位置关系，以及直线的斜率公式，列式得 ，再判断2k+m-1=0不成立，易得k=-1；
（2）先设AP斜率为 ， 斜率为- ，由夹角公式求得 ，同时根据两直线的位置可得 ，结合(1)，可得 ，再由韦达定理与三角形面积公式可得 ，代入计算即可.
8．（2021·新高考Ⅱ卷）在 中，角A，B，C所对的边长分别为 ．
（1）若 ，求 的面积；
（2）是否存在正整数a，使得 为钝角三角形 若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）因为 ，则 ，则 ，故 ， ，
，所以， 为锐角，则 ，
因此， ；
（2）显然 ，若 为钝角三角形，则 为钝角，
由余弦定理可得 ，
解得 ，则 ，
由三角形三边关系可得 ，可得 ， ，故 .
【知识点】同角三角函数间的基本关系；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由正弦定理可得出2c=3a，结合已知条件求出a的值，进一步可求得b、c的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出sinB，再利用三角形的面积公式可求得结果；
（2）分析可知，角c为钝角，由cosC<0结合三角形三边关系可求得整数a的值.
9．（2021·北京）已知在 中， ， ．
（1）求 的大小；
（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使 存在且唯一确定，并求出 边上的中线的长度．
① ；②周长为 ；③面积为 ；
【答案】（1） ，则由正弦定理可得 ，
， ， ， ，
，解得 ；
（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得 ，
与 矛盾，故这样的 不存在；
若选择②：由（1）可得 ，
设 的外接圆半径为 ，
则由正弦定理可得 ，
，
则周长 ，
解得 ，则 ，
由余弦定理可得 边上的中线的长度为：
；
若选择③：由（1）可得 ，即 ，
则 ，解得 ，
则由余弦定理可得 边上的中线的长度为：
.
【知识点】正弦定理；余弦定理；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据正弦定理，结合三角形内角和的性质求解即可；
（2） 选择① ：根据正弦定理，结合（1）进行判断即可；
选择② ：根据正弦定理，及余弦定理求解即可；
选择③ ：根据三角形的面积公式，结合余弦定理求解即可.
10．（2021·天津）在 ，角 所对的边分别为 ，已知 ， ．
（1）求a的值；
（2）求 的值；
（3）求 的值．
【答案】（1）因为 ，由正弦定理可得 ，
， ；
（2）由余弦定理可得 ；
（3） ， ，
， ，
所以 .
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；同角三角函数基本关系的运用；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）根据正弦定理直接求解即可；
（2）根据余弦定理直接求解即可；
（3）根据同角三角函数的基本关系，二倍角公式以及两角差的正弦公式求解即可.
11．（2021·新高考Ⅰ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a.，b.，c，已知 =ac，点D在边AC 上，BDsin∠ABC=asinC.
（1）证明：BD = b：
（2）若AD = 2DC
.求cos∠ABC.
【答案】（1）在 中，
，
，
，
联立 得 ，即 ，
，
．
（2）若 ，
中， ，
中， ，
，
，
整理得 ，
，
，
，即 或 ，
若 时， ，
则 （舍），
若 ， ，
则 .
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）根据正弦定理求解即可；
（2）根据余弦定理，结合方程思想和分类讨论思想求解即可.
12．（2020·新课标Ⅱ·理） 中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．
（1）求A；
（2）若BC=3，求 周长的最大值.
【答案】（1）解：由正弦定理可得： ，
，
， .
（2）解：由余弦定理得： ，
即 .
（当且仅当 时取等号），
，
解得： （当且仅当 时取等号），
周长 ， 周长的最大值为 .
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出 的形式，进而求得A；（2）利用余弦定理可得到 ，利用基本不等式可求得 的最大值，进而得到结果.
13．（2020·新高考Ⅰ）在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在 ，它的内角 的对边分别为 ，且 ， ， ▲
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】解：解法一：
由 可得： ，
不妨设 ，
则： ，即 .
选择条件①的解析：
据此可得： ， ，此时 .
选择条件②的解析：
据此可得： ，
则： ，此时： ，则： .
选择条件③的解析：
可得 ， ，
与条件 矛盾，则问题中的三角形不存在.
解法二：∵ ,
∴ ,
，
∴ ,∴ ,∴ ,∴ ,
若选①， ,∵ ,∴ ,∴c=1;
若选②， ,则 , ;
若选③,与条件 矛盾.
【知识点】两角和与差的正弦公式；诱导公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】解法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到a,b的比例关系，根据比例关系，设出长度长度，由余弦定理得到 的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解.解法二：利用诱导公式和两角和的三角函数公式求得 的值，得到角 的值，然后根据选择的条件进行分析判断和求解.
14．（2020·天津）在 中，角 所对的边分别为 ．已知 ．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求 的值；
（Ⅲ）求 的值．
【答案】解：（Ⅰ）在 中，由 及余弦定理得
，
又因为 ，所以 ；
（Ⅱ）在 中，由 ， 及正弦定理，可得 ；
（Ⅲ）由 知角A为锐角，由 ，可得 ，
进而 ，
所以 .
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（Ⅰ）直接利用余弦定理运算即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理即可得到答案；（Ⅲ）先计算出 进一步求出 ，再利用两角和的正弦公式计算即可.
15．（2020·江苏）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
（1）求 的值；
（2）在边BC上取一点D，使得 ，求 的值．
【答案】（1）解：由余弦定理得 ，所以 .
由正弦定理得 .
（2）解：由于 ， ，所以 .
由于 ，所以 ，所以 .
所以
.
由于 ，所以 .
所以 .
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用余弦定理求得 ，利用正弦定理求得 . （2）根据 的值，求得 的值，由（1）求得 的值，从而求得 的值，进而求得 的值.
16．（2020·北京）在 中， ，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
（Ⅰ）a的值：
（Ⅱ） 和 的面积．
条件①： ；
条件②： ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【答案】解：选择条件①（Ⅰ）
（Ⅱ）
由正弦定理得：
选择条件②（Ⅰ）
由正弦定理得：
（Ⅱ）
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】选择条件①（Ⅰ）根据余弦定理直接求解，（Ⅱ）先根据三角函数同角关系求得 ，再根据正弦定理求 ，最后根据三角形面积公式求结果；选择条件②（Ⅰ）先根据三角函数同角关系求得 ，再根据正弦定理求结果，（Ⅱ）根据两角和正弦公式求 ，再根据三角形面积公式求结果.
17．（2020·浙江）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bsinA＝ a．
（Ⅰ）求角B；
（Ⅱ）求cosA+cosB+cosC的取值范围．
【答案】解：（Ⅰ）∵2bsinA＝ a，
∴2sinBsinA＝ sinA，
∵sinA≠0，
∴sinB＝ ，
∵ ＜B＜ ，
∴B＝ ，
（Ⅱ）∵△ABC为锐角三角形，B＝ ，
∴C＝ ﹣A，
∴cosA+cosB+cosC＝cosA+cos（ ﹣A）+cos ＝cosA﹣ cosA+ sinA+ ＝ cosA+ sinA+ ＝sin（A+ ）+ ，
△ABC为锐角三角形，0＜A＜ ，0＜C＜ ，
解得 ＜A＜ ，
∴ ＜A+ ＜ ，
∴ ＜sin（A+ ）≤1，
∴ + ＜sin（A+ ）+1≤ ，
∴cosA+cosB+cosC的取值范围为（ ， ]．
【知识点】两角和与差的余弦公式；正弦函数的性质；正弦定理
【解析】【分析】（Ⅰ）根据正弦定理可得sinB＝ ，结合角的范围，即可求出，（Ⅱ）根据两角和差的余弦公式，以及利用正弦函数的性质即可求出．
18．（2019·江苏）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．
（1）若a=3c，b= ，cosB= ，求c的值；
（2）若 ，求 的值．
【答案】（1）解：因为 ，
由余弦定理 ，得 ，即 .
所以
（2）解：因为 ，
由正弦定理 ，得 ，所以 .
从而 ，即 ，故 .
因为 ，所以 ，从而 .
因此
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）根据已知条件结合余弦定理求出c的值。
（2）根据已知条件结合正弦定理得出 ，再利用同角三角函数基本关系式和诱导公式求出 的值。
19．（2019·天津）在 中，内角 所对的边分别为 .已知 ， .
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求 的值.
【答案】解：在 中，由正弦定理 ，得 ，又由 ，得 ，即 .又因为 ，得到 ， .由余弦定理可得 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 ，从而 ， ，故
【知识点】简单的三角恒等变换；正弦定理；余弦定理
【解析】 【分析】（Ⅰ）利用正余弦定理即可求得
（Ⅱ）利用 ，求得 ，进而根据二倍角公式求出 ， ，再利用两角和的正弦即可求得答案。
本题考查同角三角函数的基本关系式、两角和的公式、倍角公式、正余弦定理等知识。
20．（2019·全国Ⅲ卷理）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知
（1）求B；
（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围.
【答案】（1）解：由题设及正弦定理得 ．
因为sinA 0，所以 ．
由 ，可得 ，故 ．
因为 ，故 ，因此B=60°．
（2）由题设及（1）知△ABC的面积 ．
由正弦定理得 ．
由于△ABC为锐角三角形，故0°因此，△ABC面积的取值范围是 ．
【知识点】正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】 【分析】（1）由已知利用正弦定理列式，结合诱导公式化简，即可求出角B的值；（2）利用正弦定理列式，结合△ABC为锐角三角形得到 ，即可求出△ABC面积的取值范围．
21．（2019·北京）在△ABC中，a=3，b-c=2，cosB=- .
（I）求b，c的值：
（II）求sin（B+C）的值.
【答案】解：（I）根据余弦定理 ，
故 ，
解得c=5，b=7；
（II）根据 ，得 ，
根据正弦定理， ，
得 ，解得 ，所以 ，
所以 .
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（I）根据余弦定理，解方程即可求出c和b；
（II）根据同角三角函数的平方关系，求出sinB，结合正弦定理，求出sinC和cosC，即可依据两角和的正弦公式，求出sin（B+C）.
22．（2019·北京）在△ABC中，a=3，b-c=2，cosB=- .
（I）求b，c的值；
（II）求sin（B-C）的值.
【答案】 解：（I）根据余弦定理 ，
故 ，
解得c=5，B=7；
（II）根据 ，得 ，
根据正弦定理， ，
得 ，解得 ，所以 ，
所以 .
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】 【分析】（I）根据余弦定理，解方程即可求出c和b；
（II）根据同角三角函数的平方关系，求出sinB，结合正弦定理，求出sinC和cosC，即可依据两角和的正弦公式，求出sin（B-C）.
23．（2019·全国Ⅰ卷理） ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC。
（1）求A；
（2）若 ,求sinC.
【答案】（1）解：由正弦定理得： 由余弦定理得： 在三角形中，
（2）解： A=由正弦定理得：
代入A得： +sin（-C）=2sinC解得：sin（C-）=∴C-=，C=+
∴sinC=（+）=sincos+=cossin=×+×=
【知识点】正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用实际问题的已知条件结合正弦定理和余弦定理求出角A的余弦值。（2）利用实际问题的已知条件结合正弦定理和辅助角公式求出 sin（C-），从而求出角C的值，再利用两角和的正弦公式求出角C的正弦值.
24．（2018·全国Ⅰ卷理）在平面四边形 中，
（1）求 ；
（2）若 求 .
【答案】（1）解：在 中，由正弦定理得 .
由题设知， ，所以 .
由题设知， ，所以 .
（2）解：由题设及（1）知， .
在 中，由余弦定理得
.
所以 .
【知识点】三角形中的几何计算
【解析】【分析】：(1)在三角形ABD中，由正弦定理求出 ，再由同角关系式求出 ；(2)由 ，求出 ，再在 中由余弦定理求出BC.
25．（2018·天津）在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 已知 .
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和 的值.
【答案】解：.解：（Ⅰ） 中，由正弦定理
∴
又
（Ⅱ） 中，∵a=2，c=3， 则
由
∵∴
∴
∴
【知识点】正弦定理
【解析】【分析】（Ⅰ）由正弦定理，得到A.B关系，代入等式，解出 .
（Ⅱ）由余弦定理，得到b，再由正弦定理得到 ，从而 由二倍角公式算出.
26．（2018·北京）在△ABC中，a=7，b=8，cosB=- ，
（Ⅰ）求∠A：
（Ⅱ）求AC边上的高。
【答案】解：（Ⅰ） ABC中，
∵ ，
由正弦定理得： ，
∴ 或 ，又B> ，所以 。
（Ⅱ）设AB边上的高为h，则h=asinC.又 ，
而h= 。
【知识点】解三角形；正弦定理的应用
【解析】【分析】（1）先由正弦定理，求出sinA，再由B角范围，进一步确定A；
（2）由h=asinC发现反需求出sinC，又已知A，B由和角公式，则h可求出。
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