第一章 空间向量与立体几何（提升卷）—【高分突破】2022-2023学年高二数学上学期同步知识分层突破（人教A版2019选择性必修第一册）

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空间向量与立体几何（提升卷）
说明：1．本试题共4页，满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、试室号、座位号填写在答题卷上。
3. 答题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卷整洁，考试结束后，将答题卷交回，试卷自己保存。
第I卷(选择题 共60分)
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
1．已知空间中四点，，，，则点D到平面ABC的距离为（ ）
A． B． C． D．0
2．在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．若向量，，则向量与的夹角为（ ）
A．0 B． C． D．
4．若空间两直线与的方向向量分别为和，则两直线与垂直的充要条件为（ ）
A．，，（）
B．存在实数k，使得
C．
D．
5．若构成空间的一个基底，则下列向量也可以构成空间中的一个基底的是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知且，则x的值为（ ）
A． B． C．3 D．-3
7．如图，四面体中，，分别为和的中点，，，且向量与向量的夹角为，则线段长为（ ）
A． B． C．或 D．3或
8．四面体中，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．以下说法正确的有（ ）
A．对，且，就一定有A，B，C，D四点共面；
B．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底；
C．若，，则；
D．正方体，棱长为1，如图所示建立坐标系，则点在平面上．
10．给出下列命题，其中正确的是（ ）
A．任意向量，，满足
B．在空间直角坐标系中，点关于坐标平面yOz的对称点是
C．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
D．若为正四面体，G为的重心，则
11．设，为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
12．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为与的交点，若，则下列正确的是（ ）
A． B．
C．的长为 D．
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若空间两个单位向量、与的夹角都等于，则______．
14．已知，，则______.
15．正方形的边长是分别是和的中点，将正方形沿折成直二面角 (如图所示).为矩形内一点，如果和平面所成角的正切值为，那么点到直线的距离为______.
16．已知空间向量＝（1，1，0），＝（﹣1，0，2），则在方向上的投影向量为__________________．
四、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．如图，在直三棱柱中，．以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系．
(1)分别写出向量的坐标；
(2)求平面的法向量；
(3)求平面与平面夹角的余弦值．
18．如图，在直三棱柱中，，点分别在棱和棱上，且．
(1)设为中点，求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
19．如图，三棱锥，平面，且垂足在棱上，，，，；
（1）证明△为直角三角形；
（2）求点到平面的距离；
20．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD=2，点E，F，G分别为PA，AB，BC的中点，平面EFGM∩棱PC=M．
(1)试确定的值，并证明你的结论；
(2)求平面EFGM与平面PAD夹角的余弦值．
21．如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面CDP，，，且．
(1)求证：平面平面ABCD；
(2)若，，求直线PB与平面ADP所成角的正弦值．
22．在如图所示的五面体中，面是边长为2的正方形，面，，且，为的中点，N为CD中点.
(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值；
(3)求点到平面的距离．
参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
根据题意，求得平面的一个法向量，结合距离公式，即可求解.
【详解】
由题意，空间中四点，，，，
可得，
设平面的法向量为，则，
令，可得，所以，
所以点D到平面ABC的距离为.
故选：C.
2．B
【解析】
【分析】
结合已知条件，利用对称的概念即可求解.
【详解】
不妨设点关于轴对称的点的坐标为，
则线段垂直于轴且的中点在轴，
从而点关于轴对称的点的坐标为.
故选：B.
3．D
【解析】
【分析】
利用向量数量积的定义，直接计算即可.
【详解】
设向量与的夹角为，且，
所以，，
所以，
故选：D
4．C
【解析】
【分析】
由空间直线垂直时方向向量，即可确定充要条件.
【详解】
由空间直线垂直的判定知：.
当时，即，两直线与垂直.
而A、B、D说明与平行.
故选：C
5．A
【解析】
【分析】
由空间向量基底的定义即可得出答案.
【详解】
选项A：令，则，，A正确；
选项B：因为，所以不能构成基底；
选项C：因为，所以不能构成基底；
选项D：因为，所以不能构成基底．
故选：A.
6．B
【解析】
【分析】
转化，由空间向量数量积的坐标表示即得解
【详解】
由题意，
又
故
解得：
故选：B
7．A
【解析】
【分析】
取AC的中点E，可得，然后利用模长公式即得.
【详解】
取AC的中点E，连接ME、EN，又，分别为和的中点，
∴ME∥BC，且，∥AD，且，
∵向量与向量的夹角为，
∴向量与向量的夹角为，
又，
∴，
∴，即线段长为.
故选：A.
8．C
【解析】
【分析】
根据空间向量数量积的运算律及定义计算可得；
【详解】
解：因为，，所以
所以，
所以，又，所以，
所以，因为，所以；
故选：C
9．ACD
【解析】
【分析】
根据向量的基本定理即可判断.
【详解】
对于A，若 与 不共线，则可以将 与看作一组基底，
由向量的基本定理可知 与 ，共面，即A，B，C，D在一个平面内；
若 与 共线，则 ， ，
即A，D，B在同一直线上，故A，B，C，D也在一个平面内；
故A正确；
对于B， ，即 与 共面，故B错误；
对于C，如下图：
，
，
故C正确；
对于D，由图可知， ，
， ， ，
显然， ， 与 共面，即E在平面 上，
故D正确；
故选：ACD.
10．CD
【解析】
【分析】
根据相等向量的概念即可判断选项A；
根据空间向量的坐标系中，点关于坐标平面对称点的特征即可判断选项B；
根据空间向量的基底的概念即可判断选项C；
根据空间向量的线性运算和重心的定义即可判断选项D.
【详解】
A：因为与是一个标量，设，，
若要，则需要向量方向相同，但不一定相同，
所以不一定成立，故A错误；
B：点关于坐标平面的对称点为，故B错误；
C：因为是空间的一个基底，所以不共面，
假设共面，则存在实数使得，
即，所以，方程组无解，
所以不共面，所以也是空间的一个基底，故C正确；
D：，
则，又为的重心，
所以，故，故D正确.
故选：CD
11．AD
【解析】
【分析】
根据空间向量数量积的定义与运算律一一判断即可；
【详解】
解：对于A：，故A正确；
对于B：因为向量不能做除法，即无意义，故B错误；
对于C：，故C错误；
对于D：，故D正确；
故选：AD
12．BD
【解析】
【分析】
AB选项，利用空间向量基本定理进行推导即可；C选项，在B选项的基础上，平方后计算出，从而求出；D选项，利用向量夹角的余弦公式进行计算.
【详解】
根据题意，依次分析选项：
对于A选项，，A错误，
对于B选项，，B正确：
对于C选项，，则，
则，C错误：
对于，则，D正确.
故选：BD.
13．.
【解析】
【分析】
利用空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】
因为是单位向量，所以有，
因为与的夹角都等于，
所以，
所以有，
，
故答案为：
14．
【解析】
【分析】
利用向量的坐标运算直接求解即可.
【详解】
，
故答案为：
15．##
【解析】
【分析】
利用空间向量运算处理，根据直线夹角结合可得，再根据线面夹角运算求解．
【详解】
如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系
则，设
则
∵，则，即
∴
平面的一个法向量，则
∵和平面所成角的正切值为，则，则
∴点到直线的距离为
故答案为：．
16．
【解析】
【分析】
根据投影向量的定义直接求解.
【详解】
空间向量＝（1，1，0），＝（﹣1，0，2），则, ,所以在上的投影向量为,其坐标为.
故答案为：.
17．(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）分别求出对应点的坐标，利用向量的坐标公式计算即可；
（2）利用计算即可得出结果.
（3）由（2）计算平面与平面法向量的夹角余弦值即可求得结果.
(1)
，
(2)
设平面的法向量为，
，
取，则
为平面的一个法向量,
平面的法向量可写为；
(3)
由已知可得面，所以面的一个法向量为
，
平面与平面夹角的余弦值为.
18．(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）取中点，连接、，即可得到且，从而得到，即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角的正弦值；
(1)
证明：取中点，连接、，
则，且，
所以且，所以四边形为平行四边形，所以．
又平面，平面，
所以平面．
(2)
解：因为直三棱柱中，所以、、两两垂直．
分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
所以，，，
设平面法向量为，则，，
即，令，得到平面的一个法向量．
设直线与平面所成的角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
19．（1）证明见解析；（2）；
【解析】
【分析】
（1）建立空间坐标系，利用向量法即可证明△PBC为直角三角形；（2）求出平面的法向量，利用向量法即可求直线AP与平面PBC所成角的正弦值．
【详解】
（1）以点E为坐标原点，以EB，EC所在的直线分别为x轴，y轴建立如图的空间直角坐标系，如图：
则，
于是，
即
为直角三角形.
（2）由（1）可得，，
故，，
设平面PBC的法向量为，
则，
即，
取，则，
∴平面PBC的一个法向量为，
设点到平面的距离为d,
则，
所以点到平面的距离为.
【点睛】
本题主要考查了空间坐标系，利用向量法求证线线垂直，点到平面的距离，属于中档题．
20．(1)，证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据线面平行的性质，可得PB∥GM，即可确定的值；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面EFGM与平面PAD的法向量，再利用向量的数量积可确定夹角的余弦值.
(1)
．
在中，因为点E，F分别为PA，AB的中点，所以EF∥PB．
又EF 平面PBC，PB 平面PBC，所以EF∥平面PBC．
因为EF 平面EFG，平面EFG∩平面PBC=GM，
所以EF∥GM．所以PB∥GM．
在△PBC中，因为点G为BC的中点，
所以点M为PC的中点，即．
(2)
因为底面ABCD为正方形，所以AD⊥CD．
因为PD⊥底面ABCD，ABCD，平面所以PD⊥AD，PD⊥CD．
如图，建立空间直角坐标系D-xyz，
则D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），P（0，0，2），
因为E，F，G分别为PA，AB，BC的中点，
所以E（1，0，1），F（2，1，0），G（1，2，0）．
所以．
设平面EFGM的法向量，则即
令x=1，y=1，z=2，于是．又因为平面PAD的法向量为，
所以．
所以平面EFGM与平面PAD夹角的余弦值为．
21．(1)证明过程见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）先证明线线垂直，从而证明线面垂直，再证明面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，用空间向量求解线面角.
(1)
因为平面CDP，平面CDP，所以，因为，且，所以，，因为，所以，，所以，因为，所以平面ABCD，因为平面ABCD，所以平面平面ABCD
(2)
因为底面ABCD是矩形，所以AD⊥CD，由第一问可知：，平面ABCD，平面ABCD，所以，所以以D为坐标原点，DE，DC，DA所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，因为，，所以，，，，，，，设平面ADP的法向量，则 ，解得：，令得：，所以，设直线PB与平面ADP所成角为，则
22．(1)证明见解析
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）（2）（3）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得；
(1)
证明：如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，，
所以，显然平面的法向量可以为，
所以，即，又平面，所以平面；
(2)
解：因为，，设平面的法向量为，
则，令，则，所以，
显然平面的法向量可以为，
设二面角为，由图可知二面角为钝角，
则，
所以二面角的余弦值为；
(3)
解：由（2）知平面的法向量为，
又，设点到平面的距离为，
则
所以点到平面的距离；
试卷第1页，共3页