【阶梯测试卷】人教A版（2019）高中数学必修第一册第二章《一元二次函数.方程和不等式》单元测试卷（标准难度）（含答案解析）

人教A版（2019）高中数学必修第一册第二章《一元二次函数.方程和不等式》单元测试卷
考试范围：第二章；考试时间：120分钟；总分：150分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）
下列四个结论，正确的是( )
，；，；；．
A. B. C. D.
如果、、满足，且，那么下列选项不恒成立的是( )
A. B. C. D.
若且，则下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
如图在北京召开的第届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．我们教材中利用该图作为一个说法的一个几何解释，这个说法正确的是( )
A. 如果，那么
B. 如果，那么
C. 对任意正实数和，有，当且仅当时等号成立
D. 对任意正实数和，有，当且仅当时等号成立
如图，在等腰直角三角形中，点为斜边的中点，点为斜边上异于顶点的一个动点，设，，则由可得( )
A. B.
C. D.
设，，，则下列说法错误的是．( )
A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为
A. B.
C. D.
一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）
已知，，则下列说法不正确的有( )
A. B. 若，则
C. 若，则 D.
已知正数，，则下列不等式中恒成立的是( )
A. B.
C. D.
下列命题正确的是( )
A. 要使关于的方程的一根比大且另一根比小，则的取值范围是
B. 在上恒成立，则实数的取值范围是．
C. 关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是
D. 若不等式的解集为或，则
已知不等式的解集是，则下列四个结论中正确的是
A.
B.
C. 若不等式的解集为，，则
D. 若不等式 的解集为，，且 ，则
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
已知，，则的取值范围是 ．
设为实数，且，则下列不等式正确的是 仅填写正确不等式的序号；；；；
已知，，，则的最大值为
已知关于的不等式的解集是空集，则实数的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
若，
Ⅰ求证：；
Ⅱ求证：；
实数，满足，．
求实数，的取值范围．
求的取值范围．
如图，长方形表示一张单位：分米的工艺木板，其四周有边框图中阴影部分，中间为薄板．木板上一瑕疵记为点到外边框，的距离分别为分米，分米．现欲经过点锯掉一块三角形废料，其中，分别在，上．设，的长分别为分米，分米．
求证：；
为使剩下木板的面积最大，试确定，的值；
求剩下木板的外边框长度的长度之和的最大值及取得最大值时，的值．
如图，长方形表示一张单位：分米的工艺木板，其四周有边框图中阴影部分，中间为薄板．木板上一瑕疵记为点到外边框，的距离分别为分米，分米．现欲经过点锯掉一块三角形废料，其中，分别在，上．设，的长分别为分米，分米．
求证：；
为使剩下木板的面积最大，试确定，的值；
求剩下木板的外边框长度的长度之和的最大值及取得最大值时，的值．
已知二次函数．
若关于的不等式的解集是，求实数，的值；
若，，解关于的不等式．
已知．
若的解集为，求关于的不等式的解集；
解关于的不等式．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查不等式的知识，关键是知道不等式的性质．
【解答】
解：，；正确，符合题意；
，；错误，不符合题意；
；正确，符合题意；
；错误，不符合题意．
正确．
故选D．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了不等式性质，不等关系的判断，属于基础题．
由，得到异号，再由，得到，再依据不等式性质判断即可．
【解答】
解：，
异号，
，
，
A.，
，
原不等式一定成立，此选项错误；
B.，
，当时，原不等式成立，
当时，原不等式不成立，此选项正确；
C.，
，
，
，
原不等式一定不成立，此选项错误；
D.，且，
，
，
原不等式成立，此选项错误．
故选B．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查不等式的性质，属于中档题．
解决问题的关键是根据各个选项结合不等式的性质逐一分析判断即可．
【解答】
解：对于，，，正负不确定，所以不正确；
对于，，，正负不确定，所以不正确；
对于，可能为，所以有可能，所以不正确；
对于， ，正确．
故选D．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查基本不等式及其应用，考查数形结合思想以及推理能力，属于基础题．
观察图形，设直角三角形的长直角边为，短直角边为，由个三角形的面积和与大正方形的面积的大小关系，得到并判明何时取等即可．
【解答】
解：通过观察，可以发现这个图中的四个直角三角形是全等的，
设直角三角形的长直角边为，短直角边为，
如图整个大正方形的面积大于等于个小三角形的面积和即，
即．
当时中间空白的正方形消失，即整个大正方形与个小三角形重合，其他选项通过该图无法证明，
故选C．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了基本不等式的无字证明，属于中档题．
根据图形知，由勾股定理求，由垂线段最短知，由此选出答案．
【解答】
解：易求：，
，
在中，，
显然，则
故选B．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查不等式性质，基本不等式以及利用基本不等式求最值，属于中等题．
根据题意，利用不等式性质以及基本不等式逐项判断即可．
【解答】
解：由题意，对各选项依次进行分析：
对，因为正实数，满足，
所以，当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立，故有最大值，故A正确
对，因为，
所以，当且仅当时等号成立，
所以有最小值，故B正确．
对，利用基本不等式，有，
当且仅当，即时等号成立，故有最小值，故C正确；
对，由题意，得，
故，当且仅当时等号成立，
即有最大值，故D错误．
故选D．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的根与系数的关系，考查了计算能力，属于中档题．
不等式的解集是，可知，是一元二次方程的实数根，利用根与系数的关系可得，，的关系，代入不等式即可求解．
【解答】
解：一元二次不等式的解集为，
，即
不等式可转化为，
故不等式的解集为．
故选C．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查一元二次不等式的解法与应用问题，考查根与系数的关系问题．
根据不等式的解集求出、与的关系，由此化不等式为，求出解集即可．
【解答】
解：不等式的解集为，
所以
解得，，
所以不等式可化为，
即，解得；
故所求不等式的解集为 ．
故选B．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了不等式性质，灵活运用不等式的性质是解决本题的关键，属于中档题．
由题意和不等式的性质，逐个选项验证即可．
【解答】
解：对于，若，，且，则，则，故选项A说法不正确；
对于，若则满足，而，不满足，故选项B说法不正确；
对于，若，满足，，而不满足，故选项C说法不正确；
对于，已知，，则
，当时，等号成立，故选项D成立．
故选ABC．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查基本不等式，属于中档题．
由即可判定；由即可判定；由即可判定；由可得，再利用不等式的性质可判定．
【解答】
解：因为，均为正数，所以，当且仅当时，等号成立，A正确
因为，均为正数，所以，当且仅当时，等号成立，B正确
因为，均为正数，所以，，当且仅当时，等号成立，C正确
因为，均为正数，所以，，所以，当且仅当时，等号成立，不正确．
故选ABC．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查一元二次方程根的分布，一元二次不等式恒成立问题，一元二次不等式与相应函数和方程的关系等知识点，属于中档题．
由一元二次方程根的分步以及二次不等式的解法，结合选项逐一判断即可．
【解答】
解：对于，要使关于的方程的一根比大且另一根比小，
令，必须，
即，解得，
故A正确，
对于，在上恒成立，
令，
则
即
解得，
故B正确，
对于，
关于的不等式的解集是，
，
则关于的不等式，
等价于，
即，
解得或，
故C正确，
对于，
若不等式的解集为或，
则，
则函数，
又，，
故D正确．
故选ABCD．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及根与系数的关系，属于中档题．
由集合有且仅有两个子集，得到，即可判断，利用基本不等式判断，利用韦达定理判断．
【解答】
解：由题意，，所以A正确；
对于：，等号当且仅当，即时成立，
所以B正确；
对于：由韦达定理，知，所以C错误；
对于：由韦达定理，知，，
则，解得，所以D正确；
故选ABD．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查不等式的性质，属于中档题．
根据不等式的性质求解即可．
【解答】
解：因为，，则，
所以，即的取值范围是．

14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了不等式的基本性质，属于中档题．
由，结合不等式的基本性质．即可判断出．
【解答】
解：对于：，，不正确；
对于：在时不成立，不正确
对于：，不正确，正确；；
对于：，，所以，正确，
故答案为．

15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了基本不等式的应用，属于中档题．
由不等式求解即可．
【解答】
解：对原题进行变形，有得到，
令，，于是原题等价于，求的最大值，
利用不等式，，得到，
当且仅当，即时取等号，
故答案为： ．

16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次不等式的解法，一元二次不等式与相应的函数与方程的关系，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键，属于中档题．
设，按二次项系数是否为进行分类讨论，当二次项系数不为时，利用二次函数的性质得到二次项系数小于，根的判别式小于列出关于的不等式，求出不等式的解集即可确定出的范围．
【解答】
解：设，
当时，不等式的解集为空集，符合题意；
当时，原不等式变形为，不是空集，不符合题意；
当时，则
解得：，
综上，的取值范围为
故答案为

17.【答案】证明： Ⅰ因为，
且，所以，
所以
Ⅱ因为，所以．
又因为，
所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得．
所以．
所以
因为，所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得．
又由Ⅰ，
所以
由不等式的相乘性可将以上两不等式相乘得

【解析】本题考查不等式的证明，利用不等式的性质是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．
Ⅰ由条件及不等式的性质得出，移项即可求解；
Ⅱ因为，所以，又，先得出；再得出，由不等式的相乘性即可证明．
18.【答案】解：，，，，
，，，；
综上可得：；
设，
，解得
，
，，，，
，
即．
【解析】本题考查利用不等式的性质求取值范围，属于中档题．
由不等式的同号相加法则进行化简求范围；
设，则，解得，由不等式的性质计算即可．
19.【答案】解：过点分别作，的垂线，垂足分别为，，
，
则与相似，
从而，
所以，
即
欲使剩下木板的面积最大，即要锯掉的三角形废料的面积最小．
由得，
当且仅当，即，时，“”成立，
故当，时，剩下木板的面积最大．

欲使剩下木板的外边框长度最大，即要最小．
由知，，
当且仅当即，时，“”成立，
故此时剩下木板的外边框长度的最大值为分米，此时，．
【解析】本题考查了利用基本不等式求解实际问题，属于中档题．
先过点分别作，的垂线，垂足分别为，，可得到与相似，从而得到；
由题意利用基本不等式即可得到的最小值，从而得到剩下木板的面积最大；
由题意知要使最小，再由得到的与相乘，利用基本不等式即可得到的最小值，最后即可得到剩下木板的外边框长度的最大值．
20.【答案】解：过点分别作，的垂线，垂足分别为，，
，
则与相似，
从而，
所以，
即
欲使剩下木板的面积最大，即要锯掉的三角形废料的面积最小．
由得，
当且仅当，即，时，“”成立，
故当，时，剩下木板的面积最大．

欲使剩下木板的外边框长度最大，即要最小．
由知，，
当且仅当即，时，“”成立，
故此时剩下木板的外边框长度的最大值为分米，此时，．
【解析】本题考查了利用基本不等式求解实际问题，属于中档题．
先过点分别作，的垂线，垂足分别为，，可得到与相似，从而得到；
由题意利用基本不等式即可得到的最小值，从而得到剩下木板的面积最大；
由题意知要使最小，再由得到的与相乘，利用基本不等式即可得到的最小值，最后即可得到剩下木板的外边框长度的最大值．
21.【答案】 解：由题意二次函数，可知：，
因为不等式的解集是，
所以和是一元二次方程的两实数根，
由一元二次方程根与系数关系，得，解得，；
不等式化为，
当时，不等式化为，
当，即时，解不等式，得或；
当，即时，不等式的解为；
当，即时，解不等式得或
综上所述，所求不等式的解集为：
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或

【解析】本题主要考查了一元二次不等式的解法，一元二次不等式与相应函数和方程的关系，二次函数零点与一元二次方程解得关系的应用，
根据已知及一元二次不等式的解法，一元二次不等式与相应函数和方程的关系的计算，得，求出，时，不等式的解集，
根据已知及一元二次不等式的解法，二次函数零点与一元二次方程解得关系的计算，得，，计算，求出，，时，不等式的解集．
22.【答案】解：由题意得与是方程的两个根，且，
故
解得，
故原不等式等价于，即
所以不等式的解集为．
当时，原不等式可化为，解集为
当时，原不等式可化为，解集为
当时，原不等式可化为，
当，即时，解集为
当，即时，解集为
当，即时，解集为．
【解析】本题主要考查了一元二次方程与一元二次不等式的关系，一元二次不等式，分式不等式的解法，考查了韦达定理，考查了分类讨论思想，属于中档题．
得到的根为，根据韦达定理得到的值，把分式不等式等价转化为不等式组求解；
根据题意分，，三种情况分别求出不等式解集即可．
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