第三章函数单元测试(含答案).docx

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函数单元测试
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．函数f(x)＝的定义域为(　　)
A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)
C．[1,2) D．[1,2)∪(2，＋∞)
2．已知f ＝2x＋3，则f(6)的值为(　　)
A．15 B．7 C．31 D．17
3．下列函数中，既是奇函数又是增函数的是(　　)
A．y＝x＋1 B．y＝－x3 C．y＝ D．y＝x|x|
4．若函数f(x)＝x2＋4x＋6，x∈[－3,0)，则f(x)的值域为(　　)
A．[2,6] B．[2,6) C．[2,3] D．[3,6]
5．已知函数f(x)＝ax3＋bx(a≠0)满足f(－3)＝3，则f(3)等于(　　)
A．2 B．－2 C．－3 D．3
6．函数y＝(－6≤a≤3)的最大值为(　　)
A．9 B. C．3 D.
7．已知正方形的周长为x，它的外接圆的半径为y，则y关于x的解析式为(　　)
A．y＝x B．y＝x
C．y＝x D．y＝x
8．函数f(x)是定义在R上的奇函数，下列说法：
①f(0)＝0；
②若f(x)在[0，＋∞)上有最小值－1，则f(x)在(－∞，0]上有最大值1；
③若f(x)在[1，＋∞)上为增函数，则f(x)在(－∞，－1]上为减函数．
其中正确的个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
9．若幂函数y＝(m2－3m＋3)xm－2的图象不过原点，则m的取值范围为(　　)
A．1≤m≤2 B．m＝1或m＝2
C．m＝2 D．m＝1
10．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，x≥0时，f(x)＝x2－2x，则函数f(x)在R上的解析式是(　　)
A．f(x)＝－x(x－2) B．f(x)＝x(|x|－2)
C．f(x)＝|x|(x－2) D．f(x)＝|x|(|x|－2)
11．已知函数f(x)＝若f(－a)＋f(a)≤0，则实数a的取值范围是(　　)
A．[－1,1] B．[－2,0]
C．[0,2] D．[－2,2]
12．二次函数f(x)＝ax2＋2a是区间[－a，a2]上的偶函数，又g(x)＝f(x－1)，则g(0)，g，g(3)的大小关系为(　　)
A．gC．g二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．若幂函数y＝f(x)的图象过点，则f(2)的值为________．
14．设f(x)＝若f(2)＝4，则a的取值范围为________．
15．已知f(x)＝ax3＋bx－4，其中a，b为常数，若f(－2)＝2，则f(2)＝________.
16．若函数f(x)同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有f(x)＋f(－x)＝0；②对于定义域上的任意x1，x2，当x1≠x2时，恒有<0，则称函数f(x)为“理想函数”．给出下列三个函数中：(1)f(x)＝；(2)f(x)＝x2；(3)f(x)＝能被称为“理想函数”的有________．(填相应的序号)
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知函数f(x)＝ax＋b，且f(1)＝2，f(2)＝－1.
(1)求f(m＋1)的值；
(2)判断函数f(x)的单调性，并用定义证明．
18．(12分)已知f(x)＝2x2＋mx＋n(m，n为常数)是偶函数，且f(1)＝4.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若关于x的方程f(x)＝kx有两个不相等的实数根，求实数k的取值范围．
19．(12分)已知函数f(x)＝
(1)求f(f(－2))的值；
(2)若f(a)＝，求a.
20．(12分)已知幂函数y＝f(x)＝，其中m∈{x|－2(1)在区间(0，＋∞)上是增函数；
(2)对任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0.
求同时满足条件(1)(2)的幂函数f(x)的解析式，并求当x∈[0,3]时，f(x)的值域．
21．(12分)某商场经销一批进价为每件30元的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x(元)与日销售量y(件)之间有如下表所示的关系(其中30≤x≤50，且x∈N*)：
x 30 40 45 50
y 60 30 15 0
(1)在所给的坐标图纸中，根据表中提供的数据，描出实数对(x，y)的对应点，并确定y与x的一个函数关系式；
(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系，写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价为多少元时，才能获得最大日销售利润．
22．(12分)已知函数y＝x＋有如下性质：
如果常数t>0，那么该函数在(0，]上是减函数，在[，＋∞)上是增函数．
(1)已知f(x)＝，x∈[0,1]，利用上述性质，求函数f(x)的单调区间和值域；
(2)对于(1)中的函数f(x)和函数g(x)＝－x－2a，若对任意x1∈[0,1]，总存在x2∈[0,1]，使得g(x2)＝f(x1)成立，求实数a的值．
参考答案
选择题
1．　D
解析　根据题意有解得x≥1且x≠2.
2．　C
解析　令－1＝t，则x＝2t＋2.
将x＝2t＋2代入f ＝2x＋3，
得f(t)＝2(2t＋2)＋3＝4t＋7.
所以f(x)＝4x＋7，所以f(6)＝4×6＋7＝31.
3．　D
4．　B
解析　f(x)＝(x＋2)2＋2，
当x＝－2时，f(x)min＝2，
又f(－3)＝3，f(0)＝6，
所以f(x)在[－3,0)上的值域为[2,6)．
5．　C
解析　∵f(－x)＝a(－x)3＋b(－x)＝－(ax3＋bx)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，
∴f(3)＝－f(－3)＝－3.
6．　B
解析　因为＝
＝(－6≤a≤3)，
所以当a＝－时，的值最大，最大值为.故选B.
7．　C
解析　正方形边长为，
而(2y)2＝2＋2，
所以y2＝.
所以y＝＝x.
8．　C
解析　①f(0)＝0正确；②正确；③不正确；奇函数在关于原点的对称区间上具有相同的单调性．
9．　B
解析　由题意得
解得∴m＝1或m＝2.
10．　D
解析　设x<0，则－x>0，
f(x)＝f(－x)＝x2－2(－x)＝x2＋2x.
故f(x)＝|x|(|x|－2)．
11．　D
解析　方法一　依题意，可得
或或
解得－2≤a≤2.
方法二　f(x)是偶函数，其图象如图所示．
f(－a)＋f(a)＝2f(a)≤0，即f(a)≤0.
由图知－2≤a≤2.
12．　A
解析　由题意得解得a＝1，
所以f(x)＝x2＋2，
所以g(x)＝f(x－1)＝(x－1)2＋2.
因为函数g(x)的图象关于直线x＝1对称，
所以g(0)＝g(2)．
又因为函数g(x)＝(x－1)2＋2在区间[1，＋∞)上单调递增，
所以g所以g填空题
13．　
解析　设幂函数为y＝xα，过点，
则＝3α，所以α＝－1，
所以y＝x－1，
则f(2)＝2－1＝.
14．　(－∞，2]
解析　若2∈(－∞，a)，则f(2)＝2不合题意．
∴2∈[a，＋∞)，∴a≤2.
15．　－10
解析　设g(x)＝ax3＋bx，显然g(x)为奇函数，
则f(x)＝ax3＋bx－4＝g(x)－4，
于是f(－2)＝g(－2)－4＝－g(2)－4＝2，
所以g(2)＝－6，所以f(2)＝g(2)－4＝－6－4＝－10.
16．　(3)
解析　①要求函数f(x)为奇函数，②要求函数f(x)为减函数．函数(1)是奇函数但在整个定义域上不是减函数，函数(2)是偶函数而且也不是减函数，只有函数(3)既是奇函数又是减函数．
解答题
17．解　(1)由f(1)＝2，f(2)＝－1，
得a＋b＝2,2a＋b＝－1，
即a＝－3，b＝5，故f(x)＝－3x＋5，
f(m＋1)＝－3(m＋1)＋5＝－3m＋2.
(2)函数f(x)在R上单调递减，证明如下：
任取x1则f(x2)－f(x1)＝(－3x2＋5)－(－3x1＋5)
＝3x1－3x2＝3(x1－x2)，
因为x1所以f(x2)－f(x1)<0，
即f(x2)所以函数f(x)在R上单调递减．
18．解　(1)因为f(x)是偶函数，
所以f(－x)＝f(x)(x∈R)，
即2(－x)2－mx＋n＝2x2＋mx＋n(x∈R)，
解得m＝0.
又f(1)＝4，所以2×12＋n＝4，解得n＝2.
所以f(x)＝2x2＋2.
(2)由(1)知f(x)＝2x2＋2，方程f(x)＝kx有两个不相等的实数根，
转化为方程2x2－kx＋2＝0有两个不相等的实数根，
由Δ＝k2－16>0，解得k<－4或k>4.
所以实数k的取值范围为(－∞，－4)∪(4，＋∞)．
19解　(1)因为－2<－1，所以f(－2)＝2×(－2)＋3＝－1，
所以f(f(－2))＝f(－1)＝2.
(2)当a>1时，f(a)＝1＋＝，所以a＝2>1；
当－1≤a≤1时，f(a)＝a2＋1＝，
所以a＝±∈[－1,1]；
当a<－1时，f(a)＝2a＋3＝，
所以a＝－>－1(舍去)．
综上，a＝2或a＝±.
20．解　因为m∈{x|－2所以m＝－1,0,1.
因为对任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0，
即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
当m＝－1时，f(x)＝x2只满足条件(1)而不满足条件(2)；
当m＝1时，f(x)＝x0，条件(1)(2)都不满足；
当m＝0时，f(x)＝x3，条件(1)(2)都满足．
因此m＝0，且f(x)＝x3在区间[0,3]上是增函数，
所以0≤f(x)≤27，故f(x)的值域为[0,27]．
21．解　(1)由题表作出(30,60)，(40,30)，(45,15)，(50,0)的对应点，它们分布在一条直线上．
设它们所在直线为y＝kx＋b(k≠0)，
则解得
所以y＝－3x＋150(30≤x≤50，且x∈N*)，
经检验(30,60)，(40,30)也在此直线上，
所以所求函数解析式为y＝－3x＋150(30≤x≤50，且x∈N*)．
(2)依题意P＝y(x－30)＝(－3x＋150)(x－30)
＝－3(x－40)2＋300(30≤x≤50，且x∈N*)．
所以当x＝40时，P有最大值300，即销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润．
22．解　(1)y＝f(x)＝＝2x＋1＋－8，
设u＝2x＋1，x∈[0,1]，则1≤u≤3，
则y＝u＋－8，u∈[1,3]．
由已知性质得，当1≤u≤2，即0≤x≤时，f(x)单调递减；
当2≤u≤3，即≤x≤1时，f(x)单调递增，
所以f(x)的单调递减区间为，
单调递增区间为；
由f(0)＝－3，f ＝－4，f(1)＝－，
得f(x)的值域为[－4，－3]．
(2)g(x)＝－x－2a为减函数，
故g(x)∈[－1－2a，－2a]，x∈[0,1]．
由题意得，当x∈[0,1]时，f(x)的值域是g(x)的值域的子集，
所以
所以a＝.
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