第二章 直线和圆的方程（提升卷）—【高分突破】2022-2023学年高二数学上学期同步知识分层突破（人教A版2019选择性必修第一册）

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直线和圆的方程（提升卷）
说明：1．本试题共4页，满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、试室号、座位号填写在答题卷上。
3. 答题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卷整洁，考试结束后，将答题卷交回，试卷自己保存。
第I卷(选择题 共60分)
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
四、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
一、单选题
1．若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．设直线，，若，则（ ）
A．-1 B．1 C．±1 D．0
3．已知直线与圆相交于两点，则线段的垂直平分线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．圆关于直线l：对称的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知圆的圆心坐标是,圆的圆心坐标是,若圆的半径为,圆的半径为,则圆与的位置关系是
A．外切 B．相离
C．内切 D．相交
6．两圆与的公切线有（ ）
A．条 B．条 C．条 D．条
7．已知，，直线：，：，且，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
8．已知A，B为圆上的两动点，，点P是圆上的一点，则的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
二、多选题
9．(多选)经过点B(3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线方程为（ ）
A．x－y＋1＝0 B．x＋y－7＝0
C．2x－y－2＝0 D．2x＋y－10＝0
10．已知点，那么下面四个结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知直线，，，则下列结论正确的是（ ）
A．直线l恒过定点 B．当时，直线l的斜率不存在
C．当时，直线l的倾斜角为 D．当时，直线l与直线垂直
12．已知直线经过点，且被两条平行直线：和：截得的线段长为，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．自点A(－1，4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线，切点为B，则AB的长为________．
14．无论为何值，直线必过定点坐标为__
15．经过点且在坐标轴上截距互为相反数的直线方程为________.
16．已知圆，则过点作圆的切线的方程为___________.
四、解答题
17．已知的三个顶点分别是点，，，求的外接圆的标准方程．
18．已知的三个顶点，，.
（1）求边所在直线的方程；
（2）求边上中线所在直线的方程.
19．已知圆C满足:圆心在直线x+y=0上，且过圆x2+y2-2x+10y-24=0与圆x2+y2+2x+2y-8=0的交点A，B.
（1）求弦AB所在直线的方程；
（2）求圆C的方程.
20．已知圆C过点，，且圆心在x轴上．
(1)求圆C的方程；
(2)设直线与圆C相交于A，B两点，若，求实数m的值．
21．已知圆C经过两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为2，
（1）求圆C的方程；
（2）求过点且与圆C相切的直线方程．
22．已知圆的圆心为，且圆与直线相切．
（1）求圆的方程；
（2）圆与轴交于两点，若一条动直线交圆于两点，记圆心到直线的距离为．
（i）当时，求的值．
（ii）当时，试问是否为定值，并说明理由．
参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
由于点在圆的外部，所以，从而可求出的取值范围
【详解】
解：由题意得，解得，
故选：C．
2．D
【解析】
【分析】
由得，当斜率存在时，，计算可得.
【详解】
，
当时，，矛盾，
当时，符合题意，
故选：D.
【点睛】
此题考直线垂直的性质，属于简单题.
3．D
【解析】
【分析】
由圆的平面几何性质可知，过圆心与垂直的直线即为所求，根据垂直关系求出AB中垂线斜率即可求解.
【详解】
因为直线AB：的斜率为，可知垂直平分线的斜率为，
又圆的圆心为，
所以弦AB的垂直平分线方程为，化简得，
故选：D
4．A
【解析】
【分析】
首先求出圆的圆心坐标与半径，再设圆心关于直线对称的点的坐标为，即可得到方程组，求出、，即可得到圆心坐标，从而求出对称圆的方程；
【详解】
解：圆的圆心为，半径，设圆心关于直线对称的点的坐标为，
则，解得，即圆关于直线对称的圆的圆心为，半径，
所以对称圆的方程为；
故选：A
5．A
【解析】
根据圆与圆的位置关系判断方法即可得出．
【详解】
因为圆与的圆心距为：，而圆与的半径之和为，
所以圆与的位置关系是外切．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查圆与圆的位置关系判断，属于基础题．
6．C
【解析】
【分析】
根据两圆方程判断两圆位置关系，并判断公切线条数.
【详解】
由，，
可得，；，，
，
故两圆相外切，共有条公切线，
故选：C.
7．D
【解析】
根据得到，再将化为积为定值的形式后，利用基本不等式可求得结果.
【详解】
因为，所以，即，
因为，所以，
所以，
当且仅当时，等号成立.
故选：D
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
8．C
【解析】
【分析】
根据向量的运算律将题意转化为圆上的点到的中点的距离最值问题即可得解.
【详解】
设M是AB的中点，因为，所以，
即M在以O为圆心，1为半径的圆上，
，所以．
又，所以，
所以．
故选：C.
9．AB
【解析】
【分析】
由题设可知直线的斜率为±1，结合直线过的点，由点斜式写出直线方程即可.
【详解】
由题意知，所求直线的斜率为±1，又过点(3,4)，
由点斜式得y－4＝±(x－3)．
所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y－7＝0.
故选：AB
10．AD
【解析】
【分析】
分别计算,,,的斜率，根据斜率的关系判断．
【详解】
因为，，即不在直线上，所以，故A正确，B错误；
又，，∴，∴，故D正确，C错误．
故选：AD．
11．CD
【解析】
【分析】
根据已知条件逐一判断正误即可.
【详解】
直线，故时，，故直线l恒过定点，选项A错误；
当时，直线，斜率，故选项B错误；
当时，直线，斜率，故倾斜角为，选项C正确；
当时，直线，斜率，，
故，故直线l与直线垂直，选项D正确.
故选：CD.
【点睛】
本题考查了直线的方程与斜率的应用，属于基础题.
12．BC
【解析】
【分析】
先分析当直线的斜率不存在，则直线的方程为，符合题意；再分析直线的斜率存在时，先求出的坐标，解方程求出的值，综合即得解.
【详解】
若直线的斜率不存在，则直线的方程为，
此时与、的交点分别为，，
截得的线段的长，符合题意，
若直线的斜率存在，则设直线的方程为，
解得，
解得，
由，得，解得，
即所求的直线方程为，
综上可知，所求直线的方程为或，
故选：BC.
13．3
【解析】
【分析】
先运用两点间的距离公式求得圆心到点A的距离，再利用勾股定理可求得答案.
【详解】
点A到圆心C(2，3)的距离为＝，所以切线长为＝3.
故答案为：3.
14．
【解析】
【分析】
把直线方程变形可得，联立方程组，即可求解.
【详解】
根据题意，直线，即，
变形可得，联立方程组，解得，
即直线必过定点.
故答案为：.
15．或
【解析】
当截距不为0时可设直线方程为,当截距为0时可设直线方程为,再将点代入,进而求解即可.
【详解】
由题,若截距不为0,
设直线方程为,
因为点在直线上,所以,所以,
所以直线方程为,即.
若截距为0,设直线方程为,
因为点在直线上,所以,所以,
所以直线方程为,即.
故答案为:或
【点睛】
本题考查直线的截距式方程,考查分类讨论思想.
16．或
【解析】
【分析】
本题考查求圆的切线方程，分斜率存在与不存在，利用由圆心到切线的距离等于半径，求解即得.
【详解】
圆的圆心坐标，半径,
当切线的斜率不存在时，，显然到圆心的距离等于半径，故而是圆的一条切线；
当切线的斜率存在时，设斜率为，，即：,
由圆心到切线的距离等于半径，得，解得，
故切线的方程为，
故答案为：或
【点睛】
易错点睛：本题考查求过点作圆的切线，关键是由首先验证斜率不存在时是否是圆的切线，考查学生的分类讨论思想，属于易错题.
17．
【解析】
【分析】
由题意可确定圆的直径为，根据中点坐标公式求出圆心坐标，结合两点距离公式求出半径即可.
【详解】
由题意知，为圆的直径，设圆心为，
则中点即为，
所以半径为，
故外接圆的标准方程为：.
18．（1）
（2）
【解析】
【分析】
（1）由直线的两点式方程求解即可；
（2）先由中点坐标公式求出中点的坐标，再结合直线的两点式方程求解即可.
【详解】
（1）因为，，
由直线的两点式方程可得：边所在直线的方程，
化简可得；
（2）由，，
则中点，即，
则边上中线所在直线的方程为，
化简可得.
【点睛】
本题考查了中点坐标公式，重点考查了直线的两点式方程，属基础题.
19．（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）联立两圆方程求出弦AB所在直线的方程；
（2）由求出的坐标，设，利用距离公式得出半径和圆心坐标，从而得出圆的方程.
【详解】
（1）由，得
故弦AB所在直线的方程为
（2）由，解得或
故
设圆心，由，解得，即
，故圆C的方程为
20．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）设圆C的半径为r，圆心，由距离公式得出圆C的方程；
（2）由得出直线l过圆心，从而得出的值.
(1)
设圆C的半径为r，圆心，由题意得
解得
∴圆C的方程为．
(2)
∵点M在圆上，且，
∴直线l过圆心，∴，解得．
21．（1）；（2）或
【解析】
【分析】
（1）设出圆的一般式方程，两坐标轴上的四个截距之和是2，令和，利用韦达定理和圆过，坐标可求．
（2）由（1）可得圆的圆心坐标与半径，可判断切线的斜率存在，设斜率为，表示出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径得到方程，解得即可．
【详解】
解：（1）由题意设圆，
令，得，则，
令，得，则，
两坐标轴上的四个截距之和是2，
且圆过两点，
将，代入方程得，
解得：，，．
故得圆．
（2）由（1）得圆，即，圆心，半径，
过作圆的切线，显然切线的斜率存在，设斜率为，则切线方程为，即，则，解得或，故切线方程为或
22．（1）；
（2）（ⅰ） ；（ⅱ）为定值，理由见详解.
【解析】
【分析】
（1）求出圆心到切线的距离（即半径），则可求得圆的方程；
（2）（i）联立直线与圆的方程，得点、的坐标，写出直线的方程，求出圆心到直线的距离，再求出，进而可得；
（ii）联立直线与圆的方程，得点、的坐标，写出直线的方程，求出圆心到直线的距离，再求出，进而可得，即.
【详解】
（1）依题意得圆的半径，又圆心为，
所以，圆的方程为；
（2）由，令得，所以.
（i）联立得或，所以.
则直线的方程为，即.
圆心到直线的距离，，

（ii）因为，所以
联立得.
则直线的方程为，
即.
圆心到直线的距离
，
，
所以，
，故为定值.
【点睛】
关键点点睛：本题第（2）（ii）问主要考查直线与圆的位置关系，运算量大，因此关键要细心准确.
试卷第1页，共3页