第三章 圆锥曲线的方程（达标卷）—【高分突破】2022-2023学年高二数学上学期同步知识分层突破（人教A版2019选择性必修第一册）
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| 名称 | 第三章 圆锥曲线的方程（达标卷）—【高分突破】2022-2023学年高二数学上学期同步知识分层突破（人教A版2019选择性必修第一册） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 2.7MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-07-13 16:19:54 | ||
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文档简介
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圆锥曲线的方程（达标卷）
说明：1．本试题共4页，满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、试室号、座位号填写在答题卷上。
3. 答题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卷整洁，考试结束后，将答题卷交回，试卷自己保存。
第I卷(选择题 共60分)
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
1．如果方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是（ ）
A． B． C．， D．
2．椭圆与(0A．长轴的长相等
B．短轴的长相等
C．离心率相等
D．焦距相等
3．已知椭圆的左 右焦点分别是，，直线与椭圆交于，两点，，且，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
4．已知命题p：方程表示焦点在轴上的椭圆，则使命题成立的充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
5．已知椭圆，F是椭圆的左焦点，P是椭圆上一点，若椭圆内一点A(1,1)，则的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
6．曲率半径可用来描述曲线上某点处的弯曲变化程度，曲率半径越大则曲线在该点处的弯曲程度越小.已知椭圆：（）上点处的曲率半径公式为．若椭圆上所有点相应的曲率半径的最大值是最小值的8倍，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
8．已知椭圆的左，右两个焦点分别为，若椭圆C上存在一点A，满足，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．已知抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和，则的值可以是
A．2 B．6 C．4 D．8
10．设椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．|PF1|＋|PF2|＝2
B．离心率e＝
C．△PF1F2面积的最大值为
D．以线段F1F2为直径的圆与直线相切
11．已知双曲线过点，且渐近线方程为，则下列结论正确的是（ ）
A．的方程为 B．的离心率为
C．曲线经过的一个焦点 D．直线与有两个公共点
12．双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，，若，，则（ ）
A． B．
C． D．离心率为2
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．双曲线的两条渐近线的方程为______.
14．直线过抛物线的焦点，与交于俩点，则________．
15．已知双曲线的左焦点为，点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的渐近线方程为__________.
16．已知椭圆G：（）左、右焦点分别为，，短轴的两个端点分别为，，点P在椭圆C上，且满足，当m变化时，给出下列四个命题：①点P的轨迹关于y轴对称；②存在m使得椭圆C上满足条件的点P仅有两个；③的最小值为2；④最大值为，其中正确命题的序号是__．
四、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．已知椭圆C：的左右顶点分别为，，右焦点为，点在椭圆上.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)为椭圆上不与重合的任意一点，直线分别与直线相交于点，求证：.
18．已知点在抛物线上.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点的直线l交抛物线C于A，B两点，设直线，的斜率分别为，，O为坐标原点，求证：为定值.
19．已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为1.
(1)求的方程；
(2)经过点的直线交于两点，且为线段的中点，求的方程.
20．已知椭圆：的离心率为，短轴长为2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆交于两点，若的面积为（为坐标原点），求直线的方程．
21．已知抛物线，圆，是抛物线的焦点，过点的直线与抛物线交于 两点，与圆交于点，点是线段的中点.
（1）求抛物线的准线方程；
（2）求的面积.
22．如图，椭圆的离心率是，短轴长为，椭圆的左 右顶点为、.过椭圆与抛物线的公共焦点的直线与椭圆相交于两点，与抛物线相交于两点，点为的中点.
（1）求椭圆和抛物线的方程；
（2）记的面积为的面积为，若，求直线在轴上截距的范围.
参考答案：
1．D
【解析】
【分析】
化曲线方程为椭圆的标准方程，由题意可得，求解此不等式可得的取值范围.
【详解】
由方程，可得，
因为方程表示焦点在轴上的椭圆，可得，解得.
所以实数的取值范围是.
故选：D.
2．D
【解析】
【分析】
根据椭圆方程求得两个椭圆的，由此确定正确选项.
【详解】
椭圆与 (0前者a2＝25，b2＝9，则c2＝16，后者a2＝25－k，b2＝9－k，则．
显然只有D正确．
故选：D
3．B
【解析】
【分析】
根据椭圆的对称性可知，，设，由以及椭圆定义可得，，在中再根据余弦定理即可得到，从而可求出椭圆的离心率．
【详解】
由椭圆的对称性，得.设，则.由椭圆的定义，知，即，解得，故，.
在中，由余弦定理，得，即，则，故.
故选：B.
4．B
【解析】
【分析】
若表示焦点在轴上的椭圆，可得即可得的范围，再选取该范围的一个真子集即可求解.
【详解】
若方程表示焦点在轴上的椭圆，
则，解得：．
所以成立的充要条件是：．
结合四个选项可知：成立的充分不必要条件是，
故选：B.
5．A
【解析】
【分析】
由椭圆定义把转化为到右焦点的距离，然后由平面上到两定点的距离之差最小的性质可得.
【详解】
设椭圆的右焦点为，，，
又，，
当三点共线时取等号，的最小值为3（取最小值时是射线与椭圆的交点），
故选：A.
6．C
【解析】
【分析】
根据曲率半径的定义可判断何时曲率半径最大，合适曲率半径最小，再由题设可得基本量的关系，从而可求离心率.
【详解】
因为曲率半径越大则曲线在该点处的弯曲程度越小，
故椭圆在处曲率半径最小，则，而椭圆在处曲率半径最大，
则，因为，所以，所以，．
故选：C.
7．A
【解析】
【分析】
根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案.
【详解】
，，根据双曲线的定义可得，
，即，
，，
，即，解得，
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.
8．C
【解析】
【分析】
根据题意可知当A为椭圆的上下顶点时，即可满足椭圆C上存在一点A，使得，由此可得，解此不等式可得答案.
【详解】
由椭圆的对称性可知，当A为椭圆的上下顶点时， 最大，
故只需即可满足题意，
设O为坐标原点，则只需 ,即有，
所以 ，解得 ，
故选：C
9．AC
【解析】
由题意得，，解方程即可.
【详解】
设的横坐标为，由题意，，，解得或.
故选：AC
【点睛】
本题考查抛物线的定义，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.
10．AD
【解析】
【分析】
由椭圆定义可判断A；求出离心率可判断B；当P为椭圆短轴顶点时，△PF1F2的面积取得最大值，求出可判断C；求出圆心到直线距离可判断D.
【详解】
对于A，由椭圆的定义可知，故A正确；
对于B，由椭圆方程知，所以离心率，故B错误；
对于C，，当P为椭圆短轴顶点时，△PF1F2的面积取得最大值，最大值为，故C错误；
对于D，以线段F1F2为直径的圆的圆心为(0，0)，半径为c＝1，圆心到直线的距离为＝1，即圆心到直线的距离等于半径，所以以线段F1F2为直径的圆与直线相切，故D正确.
故选：AD.
11．AC
【解析】
【分析】
由双曲线的渐近线为，设出双曲线方程，代入已知点的坐标，求出双曲线方程判断；再求出双曲线的焦点坐标判断，；联立方程组判断．
【详解】
解：由双曲线的渐近线方程为，可设双曲线方程为，
把点代入，得，即．
双曲线的方程为，故正确；
由，，得，
双曲线的离心率为，故错误；
取，得，，曲线过定点，故正确；
联立，化简得，
所以直线与只有一个公共点，故不正确．
故选：．
12．ABC
【解析】
【分析】
根据已知条件结合双曲线定义，可得，，在中利用余弦定理可求得，再在中利用余弦定理可求得离心率.
【详解】
，，又，，
又，即，，故A正确；
又，，，故B正确；
在中，，，,
由余弦定理可得，故C正确；
在中，，
由余弦定理可得，解得，故D错误.
故选：ABC.
【点睛】
关键点睛：解决本题的关键是利用已知条件结合双曲线定义得出各线段长，利用余弦定理求解.
13．
【解析】
【分析】
根据双曲线的渐近线方程，直接求解.
【详解】
由条件可知，，
则双曲线的渐近线方程.
故答案为：
14．10
【解析】
【分析】
先求出，再利用公式可求.
【详解】
因为直线过抛物线的焦点，故即，
故抛物线，
设，
由可得，
故，
故答案为：10.
15．
【解析】
【分析】
利用点到直线距离公式可求得，由此可得渐近线方程.
【详解】
由双曲线方程知其渐近线方程为：，又，
点到双曲线的一条渐近线的距离，，
则双曲线的渐近线方程为：.
故答案为：.
16．①③
【解析】
【分析】
运用椭圆的定义和对称性进行分析即可判断①②；由图象可得当P 的横坐标和纵坐标的绝对值相等时，的值取得最小，即可判断③；点 P 靠近坐标轴时，越大，点 P 远离坐标轴时，越小，易得时，取得最小值，得到两椭圆方程，然后相加可得，可得的最小值为 2，即可判断③；椭圆上的点到中心的距离小于等于a，由于点 P 不在坐标轴上，可得，即可判断④.
【详解】
由椭圆的对称性及，
所以可得以，为焦点的椭圆为椭圆，
则点 P 为椭圆与椭圆的交点，
因为椭圆G的长轴顶点 ，短轴的绝对值小于，
椭圆的长轴顶点，短轴的交点的横坐标的绝对值小于，
所以两个椭圆的交点有4个，①正确②不正确，
点 P 靠近坐标轴时（或），越大，
点 P 远离坐标轴时，越小，易得时，取得最小值，
此时两椭圆方程为：，，
两方程相加得，即的最小值为 2，③正确；
椭圆上的点到中心的距离小于等于a，由于点 P 不在坐标轴上，
∴，④错误．
故答案为：①③．
【点睛】
关键点睛：本题考查椭圆的对称性和到定点距离的最值的判断，解题关键是由椭圆上的点到焦点的距离之和等于到短轴的顶点距离之和可得另一个椭圆．
17．(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）将点代入方程以及即可求解.（2）联立方程得 的坐标，进而根据向量数量积为0证明垂直关系.
(1)
由题知：，
将点代入方程得：，解得，
椭圆C的标准方程为.
(2)
由(1)知，.
设，则，
直线的方程为，
令，则，即，
直线的方程为，
令，则，即
，即.
18．(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）将点代入抛物线方程，求解的值即可；
（2）设直线方程，与抛物线C的方程联立，由韦达定理得的值，计算的值即可.
(1)
∵点在抛物线C上，
∴，解得，
∴抛物线C的方程为.
(2)
证明：设直线，，，
联立，消去y可得，，
由韦达定理有，，
∴，即得证.
19．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据双曲线方程得到渐近线方程，即可得到，再由点到线的距离公式求出，最后根据计算可得；
（2）设，，直线的斜率为，利用点差法计算可得；
(1)
解：双曲线的渐近线为，即，
所以，
又焦点到直线的距离，所以，
又，所以，，所以双曲线方程为
(2)
解：设，，直线的斜率为，则，，
所以，，
两式相减得，即
即，所以，解得，
所以直线的方程为，即，
经检验直线与双曲线有两个交点，满足条件，
所以直线的方程为.
20．（1），（2）.
【解析】
【分析】
（1）由椭圆的性质列方程可得即可得解；
（2）设直线的方程，联立方程组结合韦达定理可得，再由三角形面积即可解得，即可的解.
【详解】
（1）由题意可得，解得：
故椭圆C的标准方程为.
（2）由题意可知直线的斜率不为0，则设直线的方程为
联立，整理得
,
则，故,
因为的面积为,所以，
设，则整理得，解得或（舍去），即.
故直线的方程为，即.
21．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据抛物线的简单几何性质计算可得；
（2）设直线，，，联立直线与抛物线，消元、列出韦达定理，即可表示出的坐标，再将代入圆的方程，即可求出参数的值，即可求出直线方程，再利用焦点弦的性质求出，利用点到直线的距离公式求出高，即可求出三角形的面积；
【详解】
（1）因为抛物线，
所以准线方程为；
（2）设直线，，
联立直线与抛物线得，
由韦达定理可得，
故，∴，
将点坐标代入圆方程得，解得(0舍去).
根据抛物线的对称性，
不妨设，联立，消去得，所以
所以，
坐标原点到直线的距离，
所以.
22．（1）椭圆，拋物线；（2）.
【解析】
【分析】
（1）依题意得到方程组，求出的值，即可求出拖椭圆方程，再根据抛物线的焦点求出抛物线方程；
（2）设，联立与椭圆，利用韦达定理及弦长公式，点到直线的距离，求出三角形的面积，，再根据得到不等式，解得即可；
【详解】
（1）根据题意得：，解得，，，抛物线焦点，
因此椭圆，拋物线
（2）设，联立与椭圆，
整理得：，判别式：
弦长公式：，所以
联立与抛物线，整理得：，判别式：
弦长公式：，
所以，
因为，因此，解得：
在轴上截距或，因此在轴上截距取值范围是.
试卷第1页，共3页
圆锥曲线的方程（达标卷）
说明：1．本试题共4页，满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、试室号、座位号填写在答题卷上。
3. 答题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卷整洁，考试结束后，将答题卷交回，试卷自己保存。
第I卷(选择题 共60分)
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
1．如果方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是（ ）
A． B． C．， D．
2．椭圆与(0
B．短轴的长相等
C．离心率相等
D．焦距相等
3．已知椭圆的左 右焦点分别是，，直线与椭圆交于，两点，，且，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
4．已知命题p：方程表示焦点在轴上的椭圆，则使命题成立的充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
5．已知椭圆，F是椭圆的左焦点，P是椭圆上一点，若椭圆内一点A(1,1)，则的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
6．曲率半径可用来描述曲线上某点处的弯曲变化程度，曲率半径越大则曲线在该点处的弯曲程度越小.已知椭圆：（）上点处的曲率半径公式为．若椭圆上所有点相应的曲率半径的最大值是最小值的8倍，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
8．已知椭圆的左，右两个焦点分别为，若椭圆C上存在一点A，满足，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．已知抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和，则的值可以是
A．2 B．6 C．4 D．8
10．设椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．|PF1|＋|PF2|＝2
B．离心率e＝
C．△PF1F2面积的最大值为
D．以线段F1F2为直径的圆与直线相切
11．已知双曲线过点，且渐近线方程为，则下列结论正确的是（ ）
A．的方程为 B．的离心率为
C．曲线经过的一个焦点 D．直线与有两个公共点
12．双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，，若，，则（ ）
A． B．
C． D．离心率为2
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．双曲线的两条渐近线的方程为______.
14．直线过抛物线的焦点，与交于俩点，则________．
15．已知双曲线的左焦点为，点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的渐近线方程为__________.
16．已知椭圆G：（）左、右焦点分别为，，短轴的两个端点分别为，，点P在椭圆C上，且满足，当m变化时，给出下列四个命题：①点P的轨迹关于y轴对称；②存在m使得椭圆C上满足条件的点P仅有两个；③的最小值为2；④最大值为，其中正确命题的序号是__．
四、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．已知椭圆C：的左右顶点分别为，，右焦点为，点在椭圆上.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)为椭圆上不与重合的任意一点，直线分别与直线相交于点，求证：.
18．已知点在抛物线上.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点的直线l交抛物线C于A，B两点，设直线，的斜率分别为，，O为坐标原点，求证：为定值.
19．已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为1.
(1)求的方程；
(2)经过点的直线交于两点，且为线段的中点，求的方程.
20．已知椭圆：的离心率为，短轴长为2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆交于两点，若的面积为（为坐标原点），求直线的方程．
21．已知抛物线，圆，是抛物线的焦点，过点的直线与抛物线交于 两点，与圆交于点，点是线段的中点.
（1）求抛物线的准线方程；
（2）求的面积.
22．如图，椭圆的离心率是，短轴长为，椭圆的左 右顶点为、.过椭圆与抛物线的公共焦点的直线与椭圆相交于两点，与抛物线相交于两点，点为的中点.
（1）求椭圆和抛物线的方程；
（2）记的面积为的面积为，若，求直线在轴上截距的范围.
参考答案：
1．D
【解析】
【分析】
化曲线方程为椭圆的标准方程，由题意可得，求解此不等式可得的取值范围.
【详解】
由方程，可得，
因为方程表示焦点在轴上的椭圆，可得，解得.
所以实数的取值范围是.
故选：D.
2．D
【解析】
【分析】
根据椭圆方程求得两个椭圆的，由此确定正确选项.
【详解】
椭圆与 (0
显然只有D正确．
故选：D
3．B
【解析】
【分析】
根据椭圆的对称性可知，，设，由以及椭圆定义可得，，在中再根据余弦定理即可得到，从而可求出椭圆的离心率．
【详解】
由椭圆的对称性，得.设，则.由椭圆的定义，知，即，解得，故，.
在中，由余弦定理，得，即，则，故.
故选：B.
4．B
【解析】
【分析】
若表示焦点在轴上的椭圆，可得即可得的范围，再选取该范围的一个真子集即可求解.
【详解】
若方程表示焦点在轴上的椭圆，
则，解得：．
所以成立的充要条件是：．
结合四个选项可知：成立的充分不必要条件是，
故选：B.
5．A
【解析】
【分析】
由椭圆定义把转化为到右焦点的距离，然后由平面上到两定点的距离之差最小的性质可得.
【详解】
设椭圆的右焦点为，，，
又，，
当三点共线时取等号，的最小值为3（取最小值时是射线与椭圆的交点），
故选：A.
6．C
【解析】
【分析】
根据曲率半径的定义可判断何时曲率半径最大，合适曲率半径最小，再由题设可得基本量的关系，从而可求离心率.
【详解】
因为曲率半径越大则曲线在该点处的弯曲程度越小，
故椭圆在处曲率半径最小，则，而椭圆在处曲率半径最大，
则，因为，所以，所以，．
故选：C.
7．A
【解析】
【分析】
根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案.
【详解】
，，根据双曲线的定义可得，
，即，
，，
，即，解得，
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.
8．C
【解析】
【分析】
根据题意可知当A为椭圆的上下顶点时，即可满足椭圆C上存在一点A，使得，由此可得，解此不等式可得答案.
【详解】
由椭圆的对称性可知，当A为椭圆的上下顶点时， 最大，
故只需即可满足题意，
设O为坐标原点，则只需 ,即有，
所以 ，解得 ，
故选：C
9．AC
【解析】
由题意得，，解方程即可.
【详解】
设的横坐标为，由题意，，，解得或.
故选：AC
【点睛】
本题考查抛物线的定义，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.
10．AD
【解析】
【分析】
由椭圆定义可判断A；求出离心率可判断B；当P为椭圆短轴顶点时，△PF1F2的面积取得最大值，求出可判断C；求出圆心到直线距离可判断D.
【详解】
对于A，由椭圆的定义可知，故A正确；
对于B，由椭圆方程知，所以离心率，故B错误；
对于C，，当P为椭圆短轴顶点时，△PF1F2的面积取得最大值，最大值为，故C错误；
对于D，以线段F1F2为直径的圆的圆心为(0，0)，半径为c＝1，圆心到直线的距离为＝1，即圆心到直线的距离等于半径，所以以线段F1F2为直径的圆与直线相切，故D正确.
故选：AD.
11．AC
【解析】
【分析】
由双曲线的渐近线为，设出双曲线方程，代入已知点的坐标，求出双曲线方程判断；再求出双曲线的焦点坐标判断，；联立方程组判断．
【详解】
解：由双曲线的渐近线方程为，可设双曲线方程为，
把点代入，得，即．
双曲线的方程为，故正确；
由，，得，
双曲线的离心率为，故错误；
取，得，，曲线过定点，故正确；
联立，化简得，
所以直线与只有一个公共点，故不正确．
故选：．
12．ABC
【解析】
【分析】
根据已知条件结合双曲线定义，可得，，在中利用余弦定理可求得，再在中利用余弦定理可求得离心率.
【详解】
，，又，，
又，即，，故A正确；
又，，，故B正确；
在中，，，,
由余弦定理可得，故C正确；
在中，，
由余弦定理可得，解得，故D错误.
故选：ABC.
【点睛】
关键点睛：解决本题的关键是利用已知条件结合双曲线定义得出各线段长，利用余弦定理求解.
13．
【解析】
【分析】
根据双曲线的渐近线方程，直接求解.
【详解】
由条件可知，，
则双曲线的渐近线方程.
故答案为：
14．10
【解析】
【分析】
先求出，再利用公式可求.
【详解】
因为直线过抛物线的焦点，故即，
故抛物线，
设，
由可得，
故，
故答案为：10.
15．
【解析】
【分析】
利用点到直线距离公式可求得，由此可得渐近线方程.
【详解】
由双曲线方程知其渐近线方程为：，又，
点到双曲线的一条渐近线的距离，，
则双曲线的渐近线方程为：.
故答案为：.
16．①③
【解析】
【分析】
运用椭圆的定义和对称性进行分析即可判断①②；由图象可得当P 的横坐标和纵坐标的绝对值相等时，的值取得最小，即可判断③；点 P 靠近坐标轴时，越大，点 P 远离坐标轴时，越小，易得时，取得最小值，得到两椭圆方程，然后相加可得，可得的最小值为 2，即可判断③；椭圆上的点到中心的距离小于等于a，由于点 P 不在坐标轴上，可得，即可判断④.
【详解】
由椭圆的对称性及，
所以可得以，为焦点的椭圆为椭圆，
则点 P 为椭圆与椭圆的交点，
因为椭圆G的长轴顶点 ，短轴的绝对值小于，
椭圆的长轴顶点，短轴的交点的横坐标的绝对值小于，
所以两个椭圆的交点有4个，①正确②不正确，
点 P 靠近坐标轴时（或），越大，
点 P 远离坐标轴时，越小，易得时，取得最小值，
此时两椭圆方程为：，，
两方程相加得，即的最小值为 2，③正确；
椭圆上的点到中心的距离小于等于a，由于点 P 不在坐标轴上，
∴，④错误．
故答案为：①③．
【点睛】
关键点睛：本题考查椭圆的对称性和到定点距离的最值的判断，解题关键是由椭圆上的点到焦点的距离之和等于到短轴的顶点距离之和可得另一个椭圆．
17．(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）将点代入方程以及即可求解.（2）联立方程得 的坐标，进而根据向量数量积为0证明垂直关系.
(1)
由题知：，
将点代入方程得：，解得，
椭圆C的标准方程为.
(2)
由(1)知，.
设，则，
直线的方程为，
令，则，即，
直线的方程为，
令，则，即
，即.
18．(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）将点代入抛物线方程，求解的值即可；
（2）设直线方程，与抛物线C的方程联立，由韦达定理得的值，计算的值即可.
(1)
∵点在抛物线C上，
∴，解得，
∴抛物线C的方程为.
(2)
证明：设直线，，，
联立，消去y可得，，
由韦达定理有，，
∴，即得证.
19．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据双曲线方程得到渐近线方程，即可得到，再由点到线的距离公式求出，最后根据计算可得；
（2）设，，直线的斜率为，利用点差法计算可得；
(1)
解：双曲线的渐近线为，即，
所以，
又焦点到直线的距离，所以，
又，所以，，所以双曲线方程为
(2)
解：设，，直线的斜率为，则，，
所以，，
两式相减得，即
即，所以，解得，
所以直线的方程为，即，
经检验直线与双曲线有两个交点，满足条件，
所以直线的方程为.
20．（1），（2）.
【解析】
【分析】
（1）由椭圆的性质列方程可得即可得解；
（2）设直线的方程，联立方程组结合韦达定理可得，再由三角形面积即可解得，即可的解.
【详解】
（1）由题意可得，解得：
故椭圆C的标准方程为.
（2）由题意可知直线的斜率不为0，则设直线的方程为
联立，整理得
,
则，故,
因为的面积为,所以，
设，则整理得，解得或（舍去），即.
故直线的方程为，即.
21．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据抛物线的简单几何性质计算可得；
（2）设直线，，，联立直线与抛物线，消元、列出韦达定理，即可表示出的坐标，再将代入圆的方程，即可求出参数的值，即可求出直线方程，再利用焦点弦的性质求出，利用点到直线的距离公式求出高，即可求出三角形的面积；
【详解】
（1）因为抛物线，
所以准线方程为；
（2）设直线，，
联立直线与抛物线得，
由韦达定理可得，
故，∴，
将点坐标代入圆方程得，解得(0舍去).
根据抛物线的对称性，
不妨设，联立，消去得，所以
所以，
坐标原点到直线的距离，
所以.
22．（1）椭圆，拋物线；（2）.
【解析】
【分析】
（1）依题意得到方程组，求出的值，即可求出拖椭圆方程，再根据抛物线的焦点求出抛物线方程；
（2）设，联立与椭圆，利用韦达定理及弦长公式，点到直线的距离，求出三角形的面积，，再根据得到不等式，解得即可；
【详解】
（1）根据题意得：，解得，，，抛物线焦点，
因此椭圆，拋物线
（2）设，联立与椭圆，
整理得：，判别式：
弦长公式：，所以
联立与抛物线，整理得：，判别式：
弦长公式：，
所以，
因为，因此，解得：
在轴上截距或，因此在轴上截距取值范围是.
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