第三章 圆锥曲线的方程（提升卷）—【高分突破】2022-2023学年高二数学上学期同步知识分层突破（人教A版2019选择性必修第一册）

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圆锥曲线的方程（提升卷）
说明：1．本试题共4页，满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、试室号、座位号填写在答题卷上。
3. 答题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卷整洁，考试结束后，将答题卷交回，试卷自己保存。
第I卷(选择题 共60分)
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
1．若双曲线mx2＋ny2＝1的焦点在y轴上，则（ ）
A．m<0，n<0 B．m>0，n>0 C．m<02．已知椭圆C：上的动点P到右焦点距离的最小值为，则（ ）
A．1 B． C． D．
3．已知分别为椭圆的左，右焦点，为上顶点，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．已知椭圆的左 右焦点分别是，，直线与椭圆交于，两点，，且，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
5．设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
6．设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
7．直线交抛物线于、两点，为抛物线的顶点，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．关于的方程表示的曲线可以是（ ）
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．直线
10．椭圆上的一点到椭圆焦点的距离的乘积为，当取最大值时，点的坐标不可能为（ ）
A． B． C． D．
11．已知抛物线，定点，，点是抛物线上不同于顶点的动点，则的取值可以为（ ）
A． B． C． D．
12．已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于点，且，.下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．△的面积为
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知双曲线C：的一个焦点是，则它的离心率为______．
14．已知直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点，则b的取值范围是___________.
15．已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为____________．
16．已知椭圆G：（）左、右焦点分别为，，短轴的两个端点分别为，，点P在椭圆C上，且满足，当m变化时，给出下列四个命题：①点P的轨迹关于y轴对称；②存在m使得椭圆C上满足条件的点P仅有两个；③的最小值为2；④最大值为，其中正确命题的序号是__．
四、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．已知双曲线：：(，)与有相同的渐近线，且经过点.
（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线与双曲线交于不同的两点 ，且线段的中点在圆上，求实数的值.
18．已知一条曲线在轴右边，上任一点到点的距离减去它到轴距离的差都是，为该曲线上一点，且，
（1）求曲线的方程；
（2）过点且斜率为的直线与交于，两点，，求直线的方程.
19．已知椭圆与椭圆有相同的离心率，且椭圆过点
（1）求椭圆的方程.
（2）若直线与椭圆交于、两点，求线段的垂直平分线的方程.
20．已知椭圆的右焦点为，上顶点为H，O为坐标原点，，点在椭圆E上．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设经过点且斜率不为0的直线l与椭圆E相交于A，B两点，点，．若M，N分别为直线AP，BQ与y轴的交点，记，的面积分别为，，求的值．
21．在平面直角坐标系中，椭圆)的离心率为，短轴的一个端点的坐标为.
（1）求椭圆的方程.
（2）点为椭圆的右焦点，过上一点的直线与直线交于点为，直线交于另一点，设与交于点.证明：
（i）；
（ii）为线段的中点.
22．已知椭圆的离心率为，左顶点为A，右焦点F，.过F且斜率存在的直线交椭圆于P，N两点，P关于原点的对称点为M.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线，的斜率分别为，，是否存在常数，使得恒成立？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由.
参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
根据双曲线的标准方程，即可得出结论.
【详解】
双曲线可化为，
因为双曲线的焦点在轴上，所以，即．
故选：C.
2．A
【解析】
【分析】
根据椭圆的性质可得椭圆上的点到右焦点距离最小值为，即可求出，再根据，即可得解；
【详解】
解：根据椭圆的性质，椭圆上的点到右焦点距离最小值为，
即 ，又，所以，
由，所以；
故选：A
3．D
【解析】
【分析】
根据椭圆方程求出焦点坐标和点A的坐标，进而求出三角形的面积.
【详解】
由椭圆方程得..
故选：D.
4．B
【解析】
【分析】
根据椭圆的对称性可知，，设，由以及椭圆定义可得，，在中再根据余弦定理即可得到，从而可求出椭圆的离心率．
【详解】
由椭圆的对称性，得.设，则.由椭圆的定义，知，即，解得，故，.
在中，由余弦定理，得，即，则，故.
故选：B.
5．D
【解析】
【分析】
由抛物线的焦点可求得直线的方程为，即得直线的斜率为，再根据双曲线的渐近线的方程为，可得，即可求出，得到双曲线的方程．
【详解】
由题可知，抛物线的焦点为，所以直线的方程为，即直线的斜率为，
又双曲线的渐近线的方程为，所以，，因为，解得．
故选：．
【点睛】
本题主要考查抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的位置关系的应用，属于基础题．
6．B
【解析】
【分析】
因为，可得双曲线的渐近线方程是，与直线联立方程求得，两点坐标，即可求得，根据的面积为，可得值，根据，结合均值不等式，即可求得答案.
【详解】
双曲线的渐近线方程是
直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点
不妨设为在第一象限，在第四象限
联立，解得
故
联立，解得
故
面积为：
双曲线
其焦距为
当且仅当取等号
的焦距的最小值：
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
7．A
【解析】
【分析】
设点、，将直线与抛物线的方程联立，列出韦达定理，由已知条件可得出，利用平面向量的数量积结合韦达定理可求得实数的值.
【详解】
设点、，联立，可得，
，可得，由韦达定理可得，由题意可知，
因为，则，解得.
故选：A.
8．C
【解析】
【分析】
本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案．
【详解】
由题，，则，
所以（当且仅当时，等号成立）．
故选：C．
【点睛】
9．ABD
【解析】
【分析】
对参数进行分类讨论m＝1， m＝0，0【详解】
解：由题意得：
对于方程（m﹣1）x2+my2＝m（m﹣1）
①当m＝1时，方程即y2＝0，即 y＝0，表示x轴；
②当m＝0时，方程即x2＝0，即 x＝0，表示y轴；
③当m≠1，且 m≠0时，方程即，
因为m≠m﹣1，所以方程不可能是圆；
若0若m＞1，方程表示椭圆．
综合可得：方程不可能是抛物线与圆．
故选：ABD．
10．BD
【解析】
根据，当时最大，进而求出点的坐标.
【详解】
解：记椭圆的两个焦点分别为，
有，
则知，
当且仅当，即点位于椭圆的短轴的顶点处时，取得最大值，
∴点的坐标为或，
故选：BD.
【点睛】
本题主要考查了椭圆的标准方程的性质，灵活运用椭圆的定义是解这道题的关键.
11．AC
【解析】
【分析】
求出直线与抛物线相切时，的大小即可数形结合求解.
【详解】
如图所示．
由图可知，当直线与抛物线相切时，最大．
设直线的方程为，则
化简得．
令，解得，
此时，所以．
故选：AC
12．BCD
【解析】
【分析】
选项A由抛物线的定义可得可判断；选项B将点坐标代入抛物线方程可判断；当时，直线的方程为：，可求出，从而可得，由，同理可得时的情况，从而可判断C，D.
【详解】
选项A. 由抛物线的定义可得，解得，所以A不正确.
选项B. 所以，，抛物线方程为
将点坐标代入抛物线方程，得，所以，所以B正确
选项C. 当时，则，则直线的方程为：
则 ，得，解得或
所以，则，
同理当时，可得，所以C正确.
选项D.由上可知当时，
同理当时，，所以D正确.
故选：BCD
【点睛】
关键点睛：本题考查直线与抛物线的位置关系，过焦点的弦的性质，解答本题的关键是由抛物线的定义可得，解得的值，由求解面积，属于中档题.
13．##
【解析】
【分析】
根据题意求出即可得出离心率.
【详解】
由题可得，所以，
所以离心率.
故答案为：.
14．
【解析】
【分析】
求出直线所过定点，由定点在椭圆内部或椭圆上，得出参数范围，同时注意椭圆的焦点在轴对参数范围的限制．
【详解】
由题意直线恒过定点，要使直线与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，则只需要点在椭圆上或椭圆内，，
又焦点在x轴上，..
故答案为：．
15．2.
【解析】
【分析】
通过向量关系得到和，得到，结合双曲线的渐近线可得从而由可求离心率.
【详解】
如图，
由得又得OA是三角形的中位线，即由，得则有，
又OA与OB都是渐近线，得又，得．又渐近线OB的斜率为，所以该双曲线的离心率为．
【点睛】
本题考查平面向量结合双曲线的渐进线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取几何法，利用数形结合思想解题．
16．①③
【解析】
【分析】
运用椭圆的定义和对称性进行分析即可判断①②；由图象可得当P 的横坐标和纵坐标的绝对值相等时，的值取得最小，即可判断③；点 P 靠近坐标轴时，越大，点 P 远离坐标轴时，越小，易得时，取得最小值，得到两椭圆方程，然后相加可得，可得的最小值为 2，即可判断③；椭圆上的点到中心的距离小于等于a，由于点 P 不在坐标轴上，可得，即可判断④.
【详解】
由椭圆的对称性及，
所以可得以，为焦点的椭圆为椭圆，
则点 P 为椭圆与椭圆的交点，
因为椭圆G的长轴顶点 ，短轴的绝对值小于，
椭圆的长轴顶点，短轴的交点的横坐标的绝对值小于，
所以两个椭圆的交点有4个，①正确②不正确，
点 P 靠近坐标轴时（或），越大，
点 P 远离坐标轴时，越小，易得时，取得最小值，
此时两椭圆方程为：，，
两方程相加得，即的最小值为 2，③正确；
椭圆上的点到中心的距离小于等于a，由于点 P 不在坐标轴上，
∴，④错误．
故答案为：①③．
【点睛】
关键点睛：本题考查椭圆的对称性和到定点距离的最值的判断，解题关键是由椭圆上的点到焦点的距离之和等于到短轴的顶点距离之和可得另一个椭圆．
17．（1）；（2）.
【解析】
（1）根据共渐近线设双曲线的方程，然后代入点计算；（2）联立直线与双曲线的方程，得关于的一元二次方程，写出韦达定理，然后表示出的中点坐标，代入圆的方程计算.
【详解】
（1）由题意，设双曲线的方程为，又因为双曲线过点，，所以双曲线的方程为：
（2）由得
设，则，，所以
则中点坐标为，代入圆
得，所以.
18．（1）；（2）或.
【解析】
【分析】
（1）根据题意，设出点的坐标，对已知条件进行等价转化，即可求得结果；
（2）设出直线的方程，联立直线方程与抛物线方程，利用弦长公式，即可求得直线斜率，则问题得解.
【详解】
（1）设点是曲线上任意一点，
那么点满足.
化简得曲线的方程为.
设，依题意
由抛物线定义，即
所以，又由
得，解得（舍去）
所以曲线的方程为.
（2）由（1）得，
设直线的方程为，，.
由，得.
因为，故
所以.
由题设知.解得或.
因此直线的方程为或.
【点睛】
本题考查抛物线方程的求解，以及由抛物线中的弦长求直线的斜率，属中档题.
19．（1）；（2）.
【解析】
（1）已知得，由离心率得，从而得，再计算出后可得椭圆方程；
（2）由韦达定理得中点坐标，由垂直得斜率，然后可得垂直平分线方程．
【详解】
（1）由题意，
椭圆的离心率为，∴，∴，∴，
∴椭圆方程为；
（2）设，
由，得，∴，
设中点为，则，∴．
又，∴的垂直平分线方程为，即．
【点睛】
关键点点睛：本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交弦中点问题，解题方法是设而不求的思想方法，即设交点为，由直线方程与椭圆方程联立消元后应用韦达定理求得，，利用中点坐标公式求得中点的横坐标得中点坐标，再结合斜率可和垂直平分线方程．
20．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由，得，再将点代入椭圆方程中，结合可求出，从而可求出椭圆方程，
（2）设直线，，，将直线方程代入椭圆方程消去，整理后利用根与系数的关系，可得，表示出直线AP的斜率，直线的斜率，而，代入化简即可
(1)
由，得（c为半焦距），
∵点在椭圆E上，则．
又，解得，，．
∴椭圆E的方程为．
(2)
由（1）知．设直线，，．
由消去x，得．
显然．
则，．
∴．
由，，得直线AP的斜率，直线的斜率．
又，，，
∴．∴．
∵．
∴．
21．（1）；（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据离心率及短轴的一个端点的坐标可求椭圆的方程；
（2）（i）求出点的坐标，然后利用向量的数量积证明；
（ii）利用中点坐标公式以及向量的共线就可以证明.
【详解】
（1）设椭圆的半焦距为，
因为的短轴的一个端点的坐标为，所以，
因为，所以.
得，所以，
所以椭圆C的方程为.
（2）证明：（i）将代人，
解得，
所以
，
所以，即.
（ii）由直线AB过焦点，得到直线方程为
代入.并结合整理，得.
设).则，
设AB中点为，则，
，
即，
所以，
又，，
所以，即共线，
即AB的中点在直线上，从而点与重合，
故是线段的中点.
【点睛】
关键点睛：解决本题的关键一是求出点的坐标，二是运用向量的数量积为零，从而证明，三是通过中点坐标公式以及向量的共线间接证明所提的问题.
22．（1），（2）
【解析】
（1）依题意得到，，即可求出、，再根据，即可求出椭圆方程；
（2）由（1）知，，设直线的方程为，，，，表示出，，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，即可求出参数的值；
【详解】
解：（1）因为离心率为，所以，又，所以，解得，，又，所以，所以椭圆方程为
（2）由（1）知，，设直线的方程为，，
因为与关于原点对称，所以
所以，
若存在，使得恒成立，所以
所以
两边同乘得
又因为在椭圆上，所以
所以
所以
当时，则
所以①；
当时，与重合，
联立方程，消元得，所以
所以，
代入①得，整理得，解得
【点睛】
(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
试卷第1页，共3页