第三章 圆锥曲线的方程（培优卷）—【高分突破】2022-2023学年高二数学上学期同步知识分层突破（人教A版2019选择性必修第一册）
文档属性
| 名称 | 第三章 圆锥曲线的方程（培优卷）—【高分突破】2022-2023学年高二数学上学期同步知识分层突破（人教A版2019选择性必修第一册） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 2.9MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-07-13 16:19:54 | ||
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文档简介
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圆锥曲线的方程（培优卷）
说明：1．本试题共4页，满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、试室号、座位号填写在答题卷上。
3. 答题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卷整洁，考试结束后，将答题卷交回，试卷自己保存。
第I卷(选择题 共60分)
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
1．准线方程为的抛物线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
2．已知双曲线的一条渐近线与直线平行，则该双曲线的离心率是（ ）
A． B． C．2 D．
3．已知是椭圆的左，右焦点，点A是椭圆上的一个动点，则的内切圆的半径的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．
4．已知双曲线的一条渐近线方程为，且焦距为，则双曲线焦点到渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．不垂直于坐标轴的直线与双曲线的渐近线交于，两点，若线段的中点为，和的斜率满足，则顶点在坐标原点，焦点在轴上，且经过点的抛物线方程是（ ）
A． B． C． D．
6．已知，是双曲线的两条渐近线，直线经过的右焦点，且，交于点，交于点，若，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．直线交抛物线于、两点，为抛物线的顶点，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知、为双曲线的焦点，为与双曲线的交点，且有，则该双曲线的离心率为（ ）．
A． B． C． D．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．经过点的抛物线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
10．在平面直角坐标系中，有两个圆和，其中常数为正数满足，一个动圆与两圆都相切，则动圆圆心的轨迹可以是（ ）
A．两个椭圆 B．两个双曲线
C．一个双曲线和一条直线 D．一个椭圆和一个双曲线
11．已知曲线.（ ）
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m=n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为
D．若m=0，n>0，则C是两条直线
12．已知是椭圆上一点，椭圆的左 右焦点分别为，且，则（ ）
A．的周长为 B．
C．点到轴的距离为 D．
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知点，椭圆的右焦点为，若线段的中点恰好在椭圆上，则椭圆的长轴长为______．
14．已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为______.
15．已知椭圆的一个顶点为，对于x轴上的点，椭圆E上存在点M，使得，则实数t的取值范围是____________.
16．已知双曲线：(，)的左 右焦点分别为，，是双曲线右支上一点，，直线交轴于点，且，则双曲线的离心率为___________.
四、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．已知抛物线，其焦点到其准线的距离为，过焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点，
（1）求抛物线的方程及其焦点坐标；
（2）求.
18．已知椭圆，离心率为，点在椭圆C上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若，，过直线交椭圆于、两点，且直线倾斜角为，求的面积．
19．已知椭圆：的离心率为，短轴长为2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆交于两点，若的面积为（为坐标原点），求直线的方程．
20．双曲线的左顶点为，右焦点为，动点在上．当时，．
（1）求的离心率；
（2）若在第一象限，证明：．
21．已知抛物线的焦点为坐标原点，是抛物线C上异于O的两点.
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线的斜率之积为，求证：直线过定点，并求出定点坐标.
22．已知抛物线：，坐标原点为，焦点为，直线：．
（1）若与只有一个公共点，求的值；
（2）过点作斜率为的直线交抛物线于、两点，求的面积．
参考答案：
1．D
【解析】
【分析】
的准线方程为.
【详解】
的准线方程为.
故选：D.
2．D
【解析】
【分析】
写出渐近线，再利用斜率相等，进而得到离心率
【详解】
双曲线的渐近线为，易知与直线平行，
所以.
故选：D.
3．D
【解析】
【分析】
利用椭圆的定义即可求解.
【详解】
设的内切圆的半径为，
由，则，，
所以，，
由，
即，
即，若的内切圆的半径最大，
即最大，又，
所以.
故选：D
4．A
【解析】
根据已知条件求得焦点坐标，结合点到直线距离公式求得正确结果.
【详解】
双曲线的焦距为，所以焦点为，
所以双曲线焦点到渐近线的距离为.
故选：A
5．C
【解析】
【分析】
运用点差法得到得解
【详解】
设，则，
相减得，，所以，
即，所以，．由题意设抛物线方程是，则．于是所求抛物线方程是．
故选：C．
6．B
【解析】
【分析】
首先根据直线平行，可设直线的方程，通过联立得点，的横坐标，求出的表达式，从而可解不等式组得到的取值范围.
【详解】
由题意可知，，不妨记，，
由且经过的右焦点可得的方程为，
与的方程联立可解得，
与的方程联立得，
所以，
解得，.
故选：B.
【点睛】
双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a或a2转化为关于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）.
7．A
【解析】
【分析】
设点、，将直线与抛物线的方程联立，列出韦达定理，由已知条件可得出，利用平面向量的数量积结合韦达定理可求得实数的值.
【详解】
设点、，联立，可得，
，可得，由韦达定理可得，由题意可知，
因为，则，解得.
故选：A.
8．A
【解析】
【分析】
设，则，将、用表示，即可求得该双曲线的离心率.
【详解】
由题意知，
在中，，可设，则，
由勾股定理可得，
又由得，所以，.
故选：A.
9．AC
【解析】
根据题意，分抛物线的焦点在x轴上，设抛物线的方程为，和抛物线的焦点在y轴上，设抛物线的方程为，分别代入点P的坐标，计算可得选项．
【详解】
解：若抛物线的焦点在x轴上，设抛物线的方程为，又因为抛物线经过点，所以，解得，所以抛物线的方程为.
若抛物线的焦点在y轴上，设抛物线的方程为，又因为抛物线经过点，所以，解得，所以抛物线的方程为.
故选：AC．
【点睛】
本题考查求抛物线的标准访，注意考虑抛物线的焦点所在的位置，属于基础题．
10．BC
【解析】
【分析】
由题意得，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，所以，设动圆的半径为；分动圆可能与两圆①均内切，②均外切，③一个外切，一个内切，三种情况，根据圆与圆位置关系，即可结合双曲线的定义，即可判断出结果.
【详解】
由题意得，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，所以，设动圆的半径为．
当时，两圆相离，动圆可能与两圆均内切或均外切或一个外切一个内切．
①若均内切，则，
此时，
当时，点的轨迹是以为焦点的双曲线，
当时，点在线段的垂直平分线上．
②若均外切，则，
此时，则点的轨迹与①相同．
③若一个外切，一个内切，不妨设与圆内切，与圆外切，则．同理，当与圆内切，与圆外切时，．
此时点的轨迹是以为焦点的双曲线，与①中双曲线不一样．
故选：BC．
【点睛】
本题主要考查动点的轨迹问题，熟记双曲线的定义以及圆与圆位置关系即可，属于常考题型.
11．ACD
【解析】
【分析】
结合选项进行逐项分析求解，时表示椭圆，时表示圆，时表示双曲线，时表示两条直线.
【详解】
对于A，若，则可化为，
因为，所以，
即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；
对于B，若，则可化为，
此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；
对于C，若，则可化为，
此时曲线表示双曲线，
由可得，故C正确；
对于D，若，则可化为，
，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确；
故选：ACD.
【点睛】
本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
12．BCD
【解析】
【分析】
A．根据椭圆定义分析的周长并判断；
B．根据椭圆定义以及已知条件先求解出的值，结合三角形的面积公式求解出并判断；
C．根据三角形等面积法求解出点到轴的距离并判断；
D．根据向量数量积运算以及的值求解出结果并判断.
【详解】
A．因为，
所以，故错误；
B．因为，，
所以，
所以，所以，故正确；
C．设点到轴的距离为，
所以，所以，故正确；
D．因为，故正确；
故选：BCD.
13．4
【解析】
【分析】
由线段的中点恰好在椭圆上，则为右顶点，由中点坐标公式即可得解.
【详解】
由线段的中点恰好在椭圆上，即为右顶点，
可得，
解得，所以椭圆的长轴长为4．
故答案为：.
14．
【解析】
【分析】
先用坐标表示，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得，即得结果.
【详解】
抛物线： ()的焦点,
∵P为上一点，与轴垂直，
所以P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为,
不妨设,
因为Q为轴上一点，且，所以Q在F的右侧，
又，
因为，所以,
，
所以的准线方程为
故答案为：.
【点睛】
利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.
15．
【解析】
【分析】
设，则，由可得，整理可得，即可求出t的取值范围.
【详解】
设，则,①
，，
由可得，即,②
由①②消去，整理得,
因为，所以,
因为，所以,
所以实数t的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】
设椭圆上点的坐标为，则，这往往在求与椭圆有关的最值问题中用到，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因.
16．
【解析】
【分析】
解法一：根据已知可得，而可得，进而利用等面积法可得，再根据向量关系可得点的横坐标，将点的坐标代入双曲线方程，解方程即可求得结果；
解法二：设为坐标原点，根据题意可得，根据设及可得，再根据相似比可得，又根据勾股定理可得，最后根据双曲线定义即可求得结果.
【详解】
解法一：由题意知，，
所以.
设，则，所以，
因为，所以，
将代入双曲线方程，整理得，
解得或，
因为，所以.
解法二：设为坐标原点，由题易得，所以，
设，因为，所以，
则，得.
又，所以，
所以，得，
所以.
故答案为：.
17．（1），焦点坐标为；（2）8.
【解析】
【分析】
（1）由抛物线的焦点到其准线的距离为，可得即可求解；
（2）将直线的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理及过焦点的弦长公式即可求解.
【详解】
解：（1）抛物线的焦点到其准线的距离为，得，
所以抛物线的方程为，焦点坐标为.
（2）过焦点且倾斜角为的直线的方程为，设，
联立方程组消去可得，则，
所以.
18．（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）根据离心率可得，代入点可得，进而得方程；
（2）先写出直线方程，再与椭圆联立，由的面积为可得解.
【详解】
（1）因为椭圆的离心率，
所以，点代入椭圆C得：；联立解得，，
所以，所求椭圆方程为
（2）直线的斜率，
故直线的方程为：，．
与椭圆方程联立，消去得：，
∴或．
∴的面积为
19．（1），（2）.
【解析】
【分析】
（1）由椭圆的性质列方程可得即可得解；
（2）设直线的方程，联立方程组结合韦达定理可得，再由三角形面积即可解得，即可的解.
【详解】
（1）由题意可得，解得：
故椭圆C的标准方程为.
（2）由题意可知直线的斜率不为0，则设直线的方程为
联立，整理得
,
则，故,
因为的面积为,所以，
设，则整理得，解得或（舍去），即.
故直线的方程为，即.
20．（1）；（2）见解析.
【解析】
（1）根据已知条件可得，据此可求离心率.
（2）设，则，，再计算，利用点在双曲线上化简后可得，从而可得结论成立.
【详解】
（1）设双曲线的半焦距为，则，，
因为，故，故，即，
故.
（2）设，其中.
因为，故，，
故渐近线方程为：，所以，，
当时，
又，，
所以
，
因为，
故.
当，由（1）可得，故.
综上，.
【点睛】
方法点睛：（1）圆锥曲线中离心率的计算，关键是找到一组等量关系（齐次式）.
（2）圆锥曲线中与有角有关的计算，注意通过动点的坐标来刻画角的大小，还要注意结合点在曲线上满足的方程化简目标代数式.
21．（1），（2）证明见解析，定点
【解析】
（1）利用抛扔线的焦点坐标，求出，然后求抛物线的方程；
（2）通过直线的斜率是否存在，设出直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理以及斜率乘积关系，转化求解即可
【详解】
解：（1）因为抛物线的焦点坐标为，
所以，得，
所以抛物线的方程为，
（2）①当直线的斜率不存在时，设，
因为直线的斜率之积为，所以，化简得，
所以，此时直线的方程为，
②当直线的斜率存在时，设其方程为，，
由，得，则，
因为的斜率之积为，所以，
即，即可，
解得（舍去），或，
所以，即，所以，即，
综上所述，直线过轴上的一定点
【点睛】
关键点点睛：此题考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的方程的求法，解题的关键是将直线方程与抛物线方程联立方程组可得，再利用根与系数的关系可得，再结合直线的斜率之积为，可得到的关系，从而可得答案，考查计算能力，属于中档题
22．（1）1或0；（2）.
【解析】
【分析】
（1）将直线方程与抛物线方程联立，由或即可求解；
（2）求出抛物线的焦点坐标，即可得直线方程，设，，联立直线与抛物线方程，根据及韦达定理即可求解；
【详解】
解：（1）依题意消去得，即，
①当时，显然方程只有一个解，满足条件；
②当时，，解得；
综上，当或时直线与抛物线只有一个交点；
（2）抛物线：，所以焦点，所以直线方程为，设，，
由，消去得，所以，，
所以，
所以.
试卷第1页，共3页
圆锥曲线的方程（培优卷）
说明：1．本试题共4页，满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、试室号、座位号填写在答题卷上。
3. 答题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卷整洁，考试结束后，将答题卷交回，试卷自己保存。
第I卷(选择题 共60分)
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
1．准线方程为的抛物线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
2．已知双曲线的一条渐近线与直线平行，则该双曲线的离心率是（ ）
A． B． C．2 D．
3．已知是椭圆的左，右焦点，点A是椭圆上的一个动点，则的内切圆的半径的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．
4．已知双曲线的一条渐近线方程为，且焦距为，则双曲线焦点到渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．不垂直于坐标轴的直线与双曲线的渐近线交于，两点，若线段的中点为，和的斜率满足，则顶点在坐标原点，焦点在轴上，且经过点的抛物线方程是（ ）
A． B． C． D．
6．已知，是双曲线的两条渐近线，直线经过的右焦点，且，交于点，交于点，若，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．直线交抛物线于、两点，为抛物线的顶点，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知、为双曲线的焦点，为与双曲线的交点，且有，则该双曲线的离心率为（ ）．
A． B． C． D．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．经过点的抛物线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
10．在平面直角坐标系中，有两个圆和，其中常数为正数满足，一个动圆与两圆都相切，则动圆圆心的轨迹可以是（ ）
A．两个椭圆 B．两个双曲线
C．一个双曲线和一条直线 D．一个椭圆和一个双曲线
11．已知曲线.（ ）
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m=n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为
D．若m=0，n>0，则C是两条直线
12．已知是椭圆上一点，椭圆的左 右焦点分别为，且，则（ ）
A．的周长为 B．
C．点到轴的距离为 D．
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知点，椭圆的右焦点为，若线段的中点恰好在椭圆上，则椭圆的长轴长为______．
14．已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为______.
15．已知椭圆的一个顶点为，对于x轴上的点，椭圆E上存在点M，使得，则实数t的取值范围是____________.
16．已知双曲线：(，)的左 右焦点分别为，，是双曲线右支上一点，，直线交轴于点，且，则双曲线的离心率为___________.
四、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．已知抛物线，其焦点到其准线的距离为，过焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点，
（1）求抛物线的方程及其焦点坐标；
（2）求.
18．已知椭圆，离心率为，点在椭圆C上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若，，过直线交椭圆于、两点，且直线倾斜角为，求的面积．
19．已知椭圆：的离心率为，短轴长为2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆交于两点，若的面积为（为坐标原点），求直线的方程．
20．双曲线的左顶点为，右焦点为，动点在上．当时，．
（1）求的离心率；
（2）若在第一象限，证明：．
21．已知抛物线的焦点为坐标原点，是抛物线C上异于O的两点.
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线的斜率之积为，求证：直线过定点，并求出定点坐标.
22．已知抛物线：，坐标原点为，焦点为，直线：．
（1）若与只有一个公共点，求的值；
（2）过点作斜率为的直线交抛物线于、两点，求的面积．
参考答案：
1．D
【解析】
【分析】
的准线方程为.
【详解】
的准线方程为.
故选：D.
2．D
【解析】
【分析】
写出渐近线，再利用斜率相等，进而得到离心率
【详解】
双曲线的渐近线为，易知与直线平行，
所以.
故选：D.
3．D
【解析】
【分析】
利用椭圆的定义即可求解.
【详解】
设的内切圆的半径为，
由，则，，
所以，，
由，
即，
即，若的内切圆的半径最大，
即最大，又，
所以.
故选：D
4．A
【解析】
根据已知条件求得焦点坐标，结合点到直线距离公式求得正确结果.
【详解】
双曲线的焦距为，所以焦点为，
所以双曲线焦点到渐近线的距离为.
故选：A
5．C
【解析】
【分析】
运用点差法得到得解
【详解】
设，则，
相减得，，所以，
即，所以，．由题意设抛物线方程是，则．于是所求抛物线方程是．
故选：C．
6．B
【解析】
【分析】
首先根据直线平行，可设直线的方程，通过联立得点，的横坐标，求出的表达式，从而可解不等式组得到的取值范围.
【详解】
由题意可知，，不妨记，，
由且经过的右焦点可得的方程为，
与的方程联立可解得，
与的方程联立得，
所以，
解得，.
故选：B.
【点睛】
双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a或a2转化为关于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）.
7．A
【解析】
【分析】
设点、，将直线与抛物线的方程联立，列出韦达定理，由已知条件可得出，利用平面向量的数量积结合韦达定理可求得实数的值.
【详解】
设点、，联立，可得，
，可得，由韦达定理可得，由题意可知，
因为，则，解得.
故选：A.
8．A
【解析】
【分析】
设，则，将、用表示，即可求得该双曲线的离心率.
【详解】
由题意知，
在中，，可设，则，
由勾股定理可得，
又由得，所以，.
故选：A.
9．AC
【解析】
根据题意，分抛物线的焦点在x轴上，设抛物线的方程为，和抛物线的焦点在y轴上，设抛物线的方程为，分别代入点P的坐标，计算可得选项．
【详解】
解：若抛物线的焦点在x轴上，设抛物线的方程为，又因为抛物线经过点，所以，解得，所以抛物线的方程为.
若抛物线的焦点在y轴上，设抛物线的方程为，又因为抛物线经过点，所以，解得，所以抛物线的方程为.
故选：AC．
【点睛】
本题考查求抛物线的标准访，注意考虑抛物线的焦点所在的位置，属于基础题．
10．BC
【解析】
【分析】
由题意得，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，所以，设动圆的半径为；分动圆可能与两圆①均内切，②均外切，③一个外切，一个内切，三种情况，根据圆与圆位置关系，即可结合双曲线的定义，即可判断出结果.
【详解】
由题意得，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，所以，设动圆的半径为．
当时，两圆相离，动圆可能与两圆均内切或均外切或一个外切一个内切．
①若均内切，则，
此时，
当时，点的轨迹是以为焦点的双曲线，
当时，点在线段的垂直平分线上．
②若均外切，则，
此时，则点的轨迹与①相同．
③若一个外切，一个内切，不妨设与圆内切，与圆外切，则．同理，当与圆内切，与圆外切时，．
此时点的轨迹是以为焦点的双曲线，与①中双曲线不一样．
故选：BC．
【点睛】
本题主要考查动点的轨迹问题，熟记双曲线的定义以及圆与圆位置关系即可，属于常考题型.
11．ACD
【解析】
【分析】
结合选项进行逐项分析求解，时表示椭圆，时表示圆，时表示双曲线，时表示两条直线.
【详解】
对于A，若，则可化为，
因为，所以，
即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；
对于B，若，则可化为，
此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；
对于C，若，则可化为，
此时曲线表示双曲线，
由可得，故C正确；
对于D，若，则可化为，
，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确；
故选：ACD.
【点睛】
本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
12．BCD
【解析】
【分析】
A．根据椭圆定义分析的周长并判断；
B．根据椭圆定义以及已知条件先求解出的值，结合三角形的面积公式求解出并判断；
C．根据三角形等面积法求解出点到轴的距离并判断；
D．根据向量数量积运算以及的值求解出结果并判断.
【详解】
A．因为，
所以，故错误；
B．因为，，
所以，
所以，所以，故正确；
C．设点到轴的距离为，
所以，所以，故正确；
D．因为，故正确；
故选：BCD.
13．4
【解析】
【分析】
由线段的中点恰好在椭圆上，则为右顶点，由中点坐标公式即可得解.
【详解】
由线段的中点恰好在椭圆上，即为右顶点，
可得，
解得，所以椭圆的长轴长为4．
故答案为：.
14．
【解析】
【分析】
先用坐标表示，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得，即得结果.
【详解】
抛物线： ()的焦点,
∵P为上一点，与轴垂直，
所以P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为,
不妨设,
因为Q为轴上一点，且，所以Q在F的右侧，
又，
因为，所以,
，
所以的准线方程为
故答案为：.
【点睛】
利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.
15．
【解析】
【分析】
设，则，由可得，整理可得，即可求出t的取值范围.
【详解】
设，则,①
，，
由可得，即,②
由①②消去，整理得,
因为，所以,
因为，所以,
所以实数t的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】
设椭圆上点的坐标为，则，这往往在求与椭圆有关的最值问题中用到，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因.
16．
【解析】
【分析】
解法一：根据已知可得，而可得，进而利用等面积法可得，再根据向量关系可得点的横坐标，将点的坐标代入双曲线方程，解方程即可求得结果；
解法二：设为坐标原点，根据题意可得，根据设及可得，再根据相似比可得，又根据勾股定理可得，最后根据双曲线定义即可求得结果.
【详解】
解法一：由题意知，，
所以.
设，则，所以，
因为，所以，
将代入双曲线方程，整理得，
解得或，
因为，所以.
解法二：设为坐标原点，由题易得，所以，
设，因为，所以，
则，得.
又，所以，
所以，得，
所以.
故答案为：.
17．（1），焦点坐标为；（2）8.
【解析】
【分析】
（1）由抛物线的焦点到其准线的距离为，可得即可求解；
（2）将直线的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理及过焦点的弦长公式即可求解.
【详解】
解：（1）抛物线的焦点到其准线的距离为，得，
所以抛物线的方程为，焦点坐标为.
（2）过焦点且倾斜角为的直线的方程为，设，
联立方程组消去可得，则，
所以.
18．（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）根据离心率可得，代入点可得，进而得方程；
（2）先写出直线方程，再与椭圆联立，由的面积为可得解.
【详解】
（1）因为椭圆的离心率，
所以，点代入椭圆C得：；联立解得，，
所以，所求椭圆方程为
（2）直线的斜率，
故直线的方程为：，．
与椭圆方程联立，消去得：，
∴或．
∴的面积为
19．（1），（2）.
【解析】
【分析】
（1）由椭圆的性质列方程可得即可得解；
（2）设直线的方程，联立方程组结合韦达定理可得，再由三角形面积即可解得，即可的解.
【详解】
（1）由题意可得，解得：
故椭圆C的标准方程为.
（2）由题意可知直线的斜率不为0，则设直线的方程为
联立，整理得
,
则，故,
因为的面积为,所以，
设，则整理得，解得或（舍去），即.
故直线的方程为，即.
20．（1）；（2）见解析.
【解析】
（1）根据已知条件可得，据此可求离心率.
（2）设，则，，再计算，利用点在双曲线上化简后可得，从而可得结论成立.
【详解】
（1）设双曲线的半焦距为，则，，
因为，故，故，即，
故.
（2）设，其中.
因为，故，，
故渐近线方程为：，所以，，
当时，
又，，
所以
，
因为，
故.
当，由（1）可得，故.
综上，.
【点睛】
方法点睛：（1）圆锥曲线中离心率的计算，关键是找到一组等量关系（齐次式）.
（2）圆锥曲线中与有角有关的计算，注意通过动点的坐标来刻画角的大小，还要注意结合点在曲线上满足的方程化简目标代数式.
21．（1），（2）证明见解析，定点
【解析】
（1）利用抛扔线的焦点坐标，求出，然后求抛物线的方程；
（2）通过直线的斜率是否存在，设出直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理以及斜率乘积关系，转化求解即可
【详解】
解：（1）因为抛物线的焦点坐标为，
所以，得，
所以抛物线的方程为，
（2）①当直线的斜率不存在时，设，
因为直线的斜率之积为，所以，化简得，
所以，此时直线的方程为，
②当直线的斜率存在时，设其方程为，，
由，得，则，
因为的斜率之积为，所以，
即，即可，
解得（舍去），或，
所以，即，所以，即，
综上所述，直线过轴上的一定点
【点睛】
关键点点睛：此题考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的方程的求法，解题的关键是将直线方程与抛物线方程联立方程组可得，再利用根与系数的关系可得，再结合直线的斜率之积为，可得到的关系，从而可得答案，考查计算能力，属于中档题
22．（1）1或0；（2）.
【解析】
【分析】
（1）将直线方程与抛物线方程联立，由或即可求解；
（2）求出抛物线的焦点坐标，即可得直线方程，设，，联立直线与抛物线方程，根据及韦达定理即可求解；
【详解】
解：（1）依题意消去得，即，
①当时，显然方程只有一个解，满足条件；
②当时，，解得；
综上，当或时直线与抛物线只有一个交点；
（2）抛物线：，所以焦点，所以直线方程为，设，，
由，消去得，所以，，
所以，
所以.
试卷第1页，共3页