第6章 实数
6.2实数
第2课时 用数轴上的点表示实数
教学目标 1.掌握实数的两种分类. 2.理解实数和数轴上的点一一对应，并能在数轴上表示一个无理数. 教学重难点 重点: 理解实数和数轴上的点一一对应. 难点：在数轴上表示一个无理数. 教学过程 导入新课 【问题1】什么叫做实数 【问题2】实数按定义如何分类 （找学生回答） 探究新知 1.实数的另一种分类方法 【问题】让学生思考，实数除了按有理数和无理数进行分类外，还能按什么进行分类？（按性质符号） 有理数、无理数都有正、负之分，实数也可以作如下分类： 【注意】零既不是正数也不是负数；对实数进行分类时，可以用不同的方法，但必须按同一标准分类，做到不重不漏. 2.用数轴上的点表示实数 【问题1】每一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但是数轴上的点是否都表示有理数？ 【问题2】无理数如可以用数轴上的点来表示吗？画一画，说说你的方 法.能画出来吗？ 【归纳1】每一个无理数都可以用数轴上的一个点来表示. 【归纳2】把数从有理数扩充到实数后，实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数. 课堂练习 1．如图，数轴上与对应的点是（ ） A．点A B．点B C．点C D．点D 2．如图，数轴上有A，B，C，D四个点，下列说法正确的是（ ） A．点A表示的数约为 B．点B表示的数约为 C．点C表示的数约为 D．点D表示的数约为 参考答案 1.C 2.C 课堂小结 本节课学习了实数的另一种分类方法及用数轴上的点表示实数. 布置作业? 课本第20页复习题B组第5题. 板书设计 6.2实数 第2课时 用数轴上的点表示实数 2.实数和数轴上的点一一对应.第6章 实数
6.2实数
第3课时 实数的运算
教学目标 1.了解实数的相反数、倒数、绝对值的意义. 2.了解在有理数范围内的运算法则在实数范围内仍然适用. 教学重难点 重点: 求实数的相反数、倒数、绝对值. 难点：运算法则在实数运算中的运用. 教学过程 导入新课 【问题1】实数的两种分类方法分别是什么 【问题2】回顾有理数的相反数、倒数、绝对值的意义.（找学生回答） 探究新知 1.求实数的相反数、倒数和绝对值. 在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与在有理数范围内相反数、倒数、绝对值的意义完全一样.任意一个实数a的绝对值仍然用表示，如，. 【问题】一个无理数的相反数、倒数和绝对值仍是无理数吗？回答：是. 例1 （1）的相反数是（ ），倒数是 ，绝对值是（ ）； （2）的相反数是（），倒数是 ，绝对值是（ ）； （3）的相反数是（ ），倒数是，绝对值是（）. 2.有理数的运算法则在实数运算中的运用. 【问题1】在数从有理数扩充到实数后，我们已学过哪些运算？ 学生回答：已学过加、减、乘、除、乘方、开方运算. 【问题2】有哪些规定吗？ 除法运算中除数不能为0，而且只有正数和零可以进行开平方运算，任意一个实数都可以进行开立方运算. 【问题3】有理数满足哪些运算律？ 加法交换律：a+b＝b+a； 加法结合律：； 乘法交换律：ab＝ba； 乘法结合律：(ab)c＝a(bc)； 乘法对加法的分配律：a(b+c)＝ab+ac. 【归纳】在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算律同样适用. 【问题4】两个无理数的和仍然是无理数吗？两个无理数的乘积呢？ 回答：不一定是无理数，比如π和-π的和，π和 的乘积. 例2 近似计算： （1）（精确到0.01）； （2）（精确到0.1）. 【解】（1）≈2.236+3.142＝5.378≈5.38. （2）≈2.242.65＝5.936≈5.9. 课堂练习 1.求下列各数的相反数和绝对值： . 2.近似计算（精确到0.01）： （1） ； （2）. 参考答案 相反数依次为 绝对值依次为 2.（1）4.88（2）-2.85 课堂小结 本节课学习了实数的相反数、倒数、绝对值的意义.了解在有理数范围内的运算法则及运算律在实数范围内仍然适用. 布置作业? 课本第15页习题6.2第5题. 板书设计 6.2实数 第3课时 实数的运算 1.在实数范围内相反数、倒数、绝对值的意义与在有理数范围内相反数、倒数、绝对值的意义完全一样.
2.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算律同样适用.第6章 实数
6.2实数
第4课时 实数的大小比较
教学目标 1.能根据具体情况，初步学会比较两个实数的大小. 2.会用多种方法比较两个实数的大小. 教学重难点 重点: 初步学会比较两个实数的大小. 难点：探究多种方法比较两个实数的大小. 教学过程 导入新课 【问题1】有理数大小比较的法则是什么？ 【问题2】数轴上的点与什么一一对应？ （找学生回答） 探究新知 【探究】实数的大小比较的方法. 【方法1】利用数轴比较实数的大小. 【问题】利用数轴，我们怎样比较两个有理数的大小？对实数也适用吗？ 学生回答：在数轴上表示的数，右边的数总比左边的大.也适用. 例 在数轴上作出表示下列各数的点，比较它们的大小，并用“＜”连接它们.. 【解】 由数轴上各点的位置，得＜＜＜＜＜. 【方法2】利用法则比较实数的大小. 【问题】两个有理数比较大小的法则是什么？这个结论在实数范围内也成 立吗？ 学生回答： 正数大于零，负数小于零，正数大于负数. 两个正数，绝对值大的数较大. 两个负数，绝对值大的数反而小. 也成立. 【方法3】利用计算器求值比较实数的大小. 【问题】你会比较与的大小吗？ （学生讨论交流） 用计算器求得≈0.215，≈0.333，所以＜. 【方法4】作差比较法. 因为-＝＜0，所以＜. 【结论】比较两个实数的大小的方法有很多，除了上面讲到的方法外，还有作商法、倒数法等，要根据具体问题选择合适的方法进行比较. 课堂练习 1.比较下列各组中两个数的大小： （1） ，1.4 ； （2） ； （3）-2，． 2.若无理数a满足不等式1
6.2 实数
第1课时 实数的概念及分类
教学目标 1.能用无限逼近的方法估计一个无理数的大小. 2.掌握无理数、实数的概念. 3.初步掌握实数的分类. 教学重难点 重点: 掌握无理数、实数的概念及实数的分类. 难点：能用无限逼近的方法估计一个无理数的大小. 教学过程 导入新课 阅读课本第9页，我们以后会经常遇到这样像这样的数据，由此回答下列问题： 【问题1】什么叫有理数 有理数的分类是什么 【问题2】是有理数吗 （找学生回答） 探究新知 【探究】是一个怎样的数呢？我们用下面的方法来研究它. 因为12＝ 1＜2，22＝ 4＞2， 所以 1 ＜＜2. 因为1.42＝ 1.96＜2，1.52＝2.25＞2， 所以1.4＜＜1.5. 因为1.412＝1.988 1＜2，1.422＝2.016 4＞2， 所以1.41＜＜1.42. 类似地，可得1.414＜＜1.415. …… 像上面这样一直（无限）做下去，我们可以得到：≈1.414 213 5…. 发现：是一个无限不循环的小数. 【问题1】与我们之前学过的数有什么不同？（已经学过的是有理数） 我们知道，有理数包括整数和分数，整数和分数可统一写成分数的形式（整数可以看作分母为1的分数）.也就是说，有理数总可写成 （m，n是整数，且m≠0）的形式.例如， 2＝＝2.0； ＝0.5； . 任何整数、分数都可以化为有限小数或无限循环小数. 反过来，任何有限小数和无限循环小数都可以写成分数形式，因此有理数是有限小数或无限循环小数. 结论：是一个无限不循环小数，它不是有理数. 【问题2】像这样的无限不循环小数还有哪些？ ＝1.732 050 80…，π＝3.141 592 65…，这些数都是无限不循环小数. 归类： （1）根号型；（2）π型；（3）类似循环但不循环小数. 1.无理数和实数 我们给这样的数下一个定义：无限不循环小数叫做无理数. 无理数可分为正无理数与负无理数，如，，π是正无理数；-，-，-π是负无理数. 定义：有理数和无理数统称为实数. 2.实数的分类 我们认识的数的范围又一次扩大了，我们可以将实数按如下方式分类： （按定义分类） 例 把下列各数分别填入相应的集合里： . 正有理数：{ }； 负有理数：{ }； 正无理数：{ }； 负无理数：{ }. 课堂练习 1.判断正误. （1）不带根号的数都是有理数.（ ） （2）带根号的数都是无理数.（ ） （3）无理数都是无限小数.（ ） （4）无限小数都是无理数.（ ） 2.下列各数中：-，，3.141 59,π,,-,0, ,,, 2.121 122 111 222…. （1）有理数有___________________________________. （2）无理数有_______________________________________. 参考答案 1.（1）错（2）错（3）对（4）错 2.（1）-，3.141 59，0,,, （2），π，，-，2.121 122 111 222… 课堂小结 本节课学习了无理数、实数的概念及实数的分类，用无限逼近的方法可以估计一个无理数的大小. 布置作业? 课本第15页习题6.2第2题. 板书设计 6.2 实数 第1课时 实数的概念及分类 1.无限不循环小数叫做无理数. 2.有理数和无理数统称为实数.第6章 实数
6.1 平方根、立方根
第3课时 立方根的概念及简单计算
教学目标 1.了解立方根的概念，能够用根号表示一个数的立方根. 2.能用类比平方根的方法学习立方根及开立方运算，并能区分立方根与平方根的不同. 教学重难点 重点: 立方根的概念和性质． 难点：立方根与平方根的区别与联系． 教学过程 导入新课 【问题】要做一个容积为64 dm3的正方体木箱,如图，问它的棱长是多少？ 你是怎么知道的 我们设正方体木箱的棱长是x dm ， 根据题意，有 . 怎么求出x呢？ 这是已知一个数的立方，求这个数的问题. 由此引入立方根的概念. 探究新知 1.立方根的概念及表示 一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，也叫做三次方根. 即x 3＝a,x叫做a的立方根. 数a的立方根用符号“”表示，读作“三次根号a” ，其中a叫做被开方数，3叫做根指数. 【注意】根指数为3时,不能省略,只有当根指数为2时,才能省略不写. 2.开立方 求一个数的立方根的运算叫做开立方. 开立方与立方也是互为逆运算，因此求一个数的立方根可以通过立方运算来求. 例 求下列各数的立方根： (1)27； (2)-64； (3) 0. 【解】(1) ∵ 33＝27， ∴ 27的立方根是3，即. (2) ∵ (-4)3＝-64， ∴ -64的立方根是-4，即. (3) ∵ 03＝0， ∴ 0的立方根是0，即. 3.立方根的性质 【问题1】(1)一个正数的立方根有几个？ (2) 0的立方根是多少？ (3)负数有没有立方根？ (请学生自己也编几道题目，同桌交换解答，你发现了什么 ) 通过“交流”让学生自己发现结论，教师再加以总结.? 【归纳】已知正数的立方是正数,负数的立方是负数, 0的立方是0,那么正数的立方根是一个正数,负数的立方根是一个负数, 0的立方根是0. 【问题2】填空，并回答从这些问题中，你能得到什么结论？ ＝ -2 ， ＝ -2 ， ＝ -3 ， ＝ -3 . 【结论】一般地， ＝ . 即互为相反数的两个数的立方根也互为相反数. 【问题3】平方根和立方根的区别和联系分别是什么？ 【归纳】区别： 平方根立方根性质正数两个，互为相反数一个，为正数000负数没有平方根一个，为负数表示方法被开方数的范围非负数可以为任何数
联系：求平方根和立方根的运算都是开方运算，都是乘方的逆运算 . 课堂练习 1.求下列各式的值: ① ； ② ； ③； ④81-. 2.某数的立方根等于它本身,这个数是多少 3.求下列各数的立方根: (1)-1+; (2)64 000. 参考答案 1.①＝-0.1; ②＝2; ③＝6; ④81-＝81-6＝75. 2.这个数为0,±1. 3.(1)- (2)40 课堂小结 这节课学习了立方根的概念,立方根的表示方法以及如何求一个数的立方根.?注意区分平方根与立方根. 布置作业? 课本第8页习题第7，9题. 板书设计 6.1 平方根、立方根 第3课时 立方根的概念及简单计算 1.一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根. 2.正数的立方根是一个正数,负数的立方根是一个负数,0的立方根是0. 3.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.第6章 实数
6.1 平方根、立方根
第4课时 用计算器求立方根及应用
教学目标 1.会用计算器计算一个数的立方根. 2.能运用立方根解决一些简单的实际问题，通过学习立方根，认识数学与生活的密切联系. 教学重难点 重点: 会用计算器计算一个数的立方根. 难点：通过学习立方根，认识数学与生活的密切联系. 教学过程 导入新课 【问题1】立方根的定义是什么？ 【问题2】立方根的性质是什么？ （找学生回答） 以上所求的被开方数都比较简单，当我们遇到比较复杂的被开方数时，应该怎么求解呢？ 探究新知 1.利用计算器可以求一个数的立方根或它的近似值. 例1 用计算器求下列各数的立方根(精确到0.01 ). (学生自主完成) 【注意】不同品牌的计算器按键顺序可能不同. 2.开立方在生活中的应用. 例2 一种形状为正方体的玩具名为“魔方”，它是由三层完全相同的小正方体组成的，体积为216立方厘米，求组成它的每个小正方体的棱长． 【分析】立方体的体积等于棱长的立方，所以这是一个求立方根的问题． 【解】方法1：∵ ，∴ ，即这种玩具的棱长为6厘米，所以每个小正方体的棱长为（厘米）. 方法2：设小正方体的棱长为a厘米，则玩具的棱长为厘米，由题意得，∴ ，，（厘米）． 方法3：设小正方体的棱长为a厘米，则玩具的棱长为厘米，由题意得，∴ ，∴ （厘米）． 课堂练习 1.某金属冶炼厂将27个大小相同的正方体钢铁在炉火中熔化后浇铸成一个长方体钢铁,此长方体的长,宽,高分别为160 cm,80 cm和40 cm,求原来正方体钢铁的棱长. 2.在一棱长为6 cm的正方体的容器中盛满水,将这些水倒入另一正方体容器时,还需再加水127 cm3才满,求另一正方体容器的棱长. 参考答案 1. cm 2.7 cm 课堂小结 本节课学习了利用计算器求一个数的立方根或它的近似值和开立方在生活中的应用.? 布置作业? 课本第8页习题6.1第8，10题. 板书设计 6.1 平方根、立方根 第4课时 用计算器求立方根及应用 1.利用计算器我们可以求一个数的立方根或它的近似值. 2.开立方在生活中的应用.