5.4 二次函数与一元二次方程 同步练习（含答案）

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5.4二次函数与一元二次方程苏科版初中数学九年级下册同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
已知抛物线经过点，且顶点坐标为，关于该抛物线，下列说法正确的是( )
A. 表达式为 B. 图象开口向下
C. 图象与轴有两个交点 D. 当时，随的增大而减小
如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴正半轴交于点，它的对称轴为直线则下列选项中正确的是( )
A.
B.
C.
D. 当为实数时，
如图，若抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，若则的值为( )
A.
B.
C.
D.
若抛物线经过第四象限的点，则关于的方程的根的情况是( )
A. 有两个大于的不相等实数根 B. 有两个小于的不相等实数根
C. 有一个大于另一个小于的实数根 D. 没有实数根
如图，已知抛物线为常数，经过点，且对称轴为直线，有下列结论：
；；；无论，，取何值，抛物线一定经过；；一元二次方程有两个不相等的实数根．其中正确结论有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
抛物线的对称轴是直线抛物线与轴的一个交点在点和点之间，其部分图象如图所示，下列结论中正确的个数有( )
；；关于的方程有两个不相等实数根；．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
已知抛物线的对称轴为，与轴正半轴的交点为，其部分图象如图所示，有下列结论：；；；若、、是抛物线上的三点，则其中正确结论的个数有( )
A. B. C. D.
已知二次函数的图象如图所示，下列结论：，，，，正确的是( )
A.
B.
C.
D.
如图，直线与抛物线交于，两点，且点的横坐标是，点的横坐标是，有以下结论：若点在轴上，则抛物线与轴的另一个交点坐标为；当时，一次函数与二次函数的函数值都随的增大而增大；的长度可以等于，其中正确的结论有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
已知，一次函数与二次函数的部分自变量与对应的函数值如表：
当时，自变量的取值范围是( )
A. 或 B. 或
C. D.
如图，抛物线与轴交于两点、，其中下列四个结论：；；；不等式的解集为其中正确结论的个数是( )
A. B. C. D.
如图，二次函数的图象过点，，，且点是抛物线上任意一点，则下列结论中正确的有( )
；
函数的最小值为；
若，则；
一元二次方程的两个根为和．
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
二次函数的图像如图所示，有下列结论：不等式的解集为其中，正确的是 填序号．
已知抛物线是常数，，且，下列四个结论：
对于任意实数，恒成立；
若，则不等式的解集是；
一元二次方程有一个根；
点，在抛物线上，若，则当时，总有．
其中正确的是______填写序号
若二次函数均为常数，的图象与轴两个交点的坐标是和，则方程的解是______．
如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，点是抛物线上的点，则点关于直线的对称点的坐标为______．
三、解答题（本大题共7小题，共56分）
如图，二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点，求二次函数的解析式和点的坐标．
已知二次函数为常数，的图象经过点．
求的值；
判断二次函数的图象与轴交点的个数，并说明理由．
如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的一半，则称这样的方程为“半等分根方程”，
方程______半等分根方程填“是”或“不是”；
若是半等分根方程，则代数式______；
若点在反比例函数的图象上，则关于的方程是半等分根方程吗？并说明
理由；
如果方程是半等分根方程，且相异两点，都在抛物线上，试说明方程的一个根为．
如图，二次函数为常数的图象的对称轴为直线．
求的值．
向上平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．
设二次函数，其中为实数．
若二次函数的图象经过点，求二次函数的表达式；
把二次函数的图象向上平移个单位，使图象与轴无交点，求的取值范围；
若二次函数的图象经过点，点，设，求的最小值．
已知二次函数为常数的图象与轴交于，两点，顶点为．
若把二次函数图象向下平移个单位恰好过原点，求的值．
若，在已知的二次函数图象上，比较，的大小；
求的面积．
如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，一次函数的图象经过点，，与抛物线对称轴交于点，且，点是抛物线上的动点．
求抛物线的函数解析式．
当点在直线上方时，求点到直线的距离的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：抛物线顶点坐标为，
，
将代入得，
解得，
，
时，随增大而减小，
故选：．
由二次函数顶点坐标可设抛物线解析式为顶点式，将代入解析式求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数图象与系数的关系．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系是解题的关键．
由图象开口向上，可知，与轴的交点在轴的上方，可知，根据对称轴方程得到，于是得到，故A错误；根据二次函数的图象与轴的交点，得到，求得，故B错误；根据对称轴方程得到，当时，，于是得到，故C错误；当为实数时，代入解析式得到，于是得到，故D正确．
【解答】
解：由图象开口向上，可知，
与轴的交点在轴的上方，可知，
又对称轴方程为，所以，所以，
，故A错误；
二次函数的图象与轴交于，两点，
，
，故B错误；
，
，
当时，，
，
，故C错误；
当为实数时，，
，，，
，故D正确，
故选：．
3.【答案】
【解析】解：设，，，
二次函数的图象过点，
，
，，
∽，
，
，
即，
令，
根据根与系数的关系知，
，
故，
故选：．
设，，，由可得∽，从而可得，由一元二次方程根与系数的关系可得，进而求解．
本题考查了二次函数与关于方程之间的相互转换，同时要将线段的长转化为点的坐标之间的关系，灵活运用数形结合的思想是解题关键．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了抛物线与轴的交点问题，二次函数图象上点的坐标特征，借助图象解题是关键．
根据题意画出函数的图象，根据抛物线与的交点情况即可判断．
【解答】解：由抛物线经过第四象限的点，
画出函数的图象如图：
由图象可知：关于的方程的根的情况是有一个大于另一个小于的实数根，
故选：．
5.【答案】
【解析】解：抛物线的对称轴为直线，即对称轴在轴的右侧，
，
抛物线与轴交在负半轴上，
，
，
故正确；
，
，
，
故不正确；
抛物线为常数，经过点，
，
，
，
故正确；
由抛物线的对称性可得：抛物线与轴的另一交点为，
，
，
，
当，，无论，取何值，抛物线一定经过，
故不正确；
，
，
，
，即，
故正确；
由图可知：令，有两个不相等的实数根．
故正确．
综上，本题正确的有，共个．
故选：．
根据二次函数图象与系数的关系即可判断；根据抛物线对称轴公式即可判断；根据点在函数图象上及即可判断；根据与的关系及点在函数图象上即可得到与的关系，再结合二次函数与轴的交点坐标即可判断；将配方，即可判断；结合图象时的情况即可判断．
本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象与性质，能够通过图象获取信息是解题关键．
6.【答案】
【解析】解：抛物线的对称轴为直线，
，所以正确；
与轴的一个交点在和之间，
由抛物线的对称性知，另一个交点在和之间，
时，且，
即，
，所以错误；
抛物线与轴有两个交点，且顶点为，
抛物线与直线有两个交点，
关于的方程有两个不相等实数根，所以正确；
抛物线的顶点坐标为，
，
，
，
，
，
，
，
，所以正确；
故选：．
根据抛物线的对称轴可判断；由抛物线与轴的交点及抛物线的对称性以及由时可判断，由抛物线与轴有两个交点，且顶点为，即可判断；利用抛物线的顶点的纵坐标为得到，即可判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时即，对称轴在轴左；当与异号时即，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点位置：抛物线与轴交于：抛物线与轴交点个数由决定：时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点．
7.【答案】
【解析】解：抛物线开口向上，
，
抛物线的对称轴是直线，
，
，
，
抛物线交轴于负半轴，
，
，故正确，
抛物线经过，
，
，
，故错误，
，故错误，
观察图象可知，，故正确，
故选：．
正确，根据抛物线的位置，判断出，，的符号，可得结论；
错误，利用对称轴公式，抛物线经过，求出，与的关系，判断即可；
正确．利用图象法判断即可．
本题考查二次函数的性质，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
8.【答案】
【解析】解：图象开口向下，与轴交于正半轴，能得到：，，
，故正确；
对称轴，
，，
，
，故正确．
图象与轴有个不同的交点，依据根的判别式可知，故错误．
当时，，，故错误；
故选：．
由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
9.【答案】
【解析】解：抛物线的对称轴为直线，
设抛物线与轴的另一个交点坐标为，
则，
，
若点在轴上，则抛物线与轴的另一个交点坐标为；
故正确；
根据图象得：直线为增函数，抛物线当时为增函数，
当时，一次函数与二次函数的函数值都随的增大而增大；
故正确；
由、的横坐标为，，若时，则直线轴，则，与已知矛盾，故AB不可能为，
故不正确．
综上所述，正确的有．
故选：．
先求出抛物线的对称轴为直线，若点在轴上，根据对称性可求抛物线与轴的另一交点为，即可判断；根据一次函数和二次函数的性质即可判断；由、的横坐标求出为时，可得直线轴，则，与已知矛盾，即可判断．
本题主要考查了抛物线与轴的交点，以及二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键．
10.【答案】
【解析】解：由表格可得直线的随增大而正大，
抛物线的先随增大而减小，再随增大而增大，
抛物线开口向上，
两函数都经过，，
当时，．
故选：．
由表格可得一次函数随增大而增大，二次函数图象开口向上，根据两函数图象交点坐标求解．
本题考查二次函数与不等式的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
11.【答案】
【解析】解：抛物线开口向上，对称轴在轴右边，与轴交于正半轴，
，，，
，
正确．
当时，，
，
错误．
抛物线对称轴，，
，
，
，
，
正确．
如图：
设，，
由图值，时，或，
故错误．
故选：．
利用二次函数的图象和性质依次判断即可．
本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键．
12.【答案】
【解析】解：抛物线经过，
抛物线对称轴为直线，
，即，正确．
抛物线与轴交点为，
，
将代入得，
抛物线顶点坐标为，
抛物线开口向上，
函数最小值为，正确．
，
点关于抛物线对称轴对称点坐标为，
，
或，错误．
，
，，
，
方程的两个根为和正确．
故选：．
由抛物线经过，可得抛物线对称轴及抛物线的交点式，从而可得与的关系，从而判断，将代入函数交点式可判断，求出点关于抛物线对称轴的对称点可判断，由抛物线的交点式可得与的关系，再根据与的关系可将方程化为只含参数的方程，从而判断．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数交点式与一般式的转换．
13.【答案】
【解析】略
14.【答案】
【解析】解：由不等式，
变形可得．
当时，，当时，，
不等式是抛物线当与时函数值的差．
根据已知条件不能判断当时，函数有最小值，
不正确．
不正确．
，
抛物线与轴交于点．
，
，
抛物线对称轴为直线，
抛物线与轴的另一个交点为．
，
抛物线开口向上．
抛物线在轴下方的部分的取值范围为．
不等式的解集是．
正确．
把代入一元二次方程得，，整理得，；
对于函数，当时，，
若，则抛物线过点，
但根据已知条件，抛物线不一定过点，
所以一元二次方程有一个根不正确，即错误．
，，
抛物线与轴正半轴相交．
抛物线过点，
抛物线的对称轴在直线的左侧，即．
点，在抛物线上，且．
，两点在对称轴右侧的抛物线上．
抛物线开口向上，在对称轴的右侧随的增大而增大，
．
正确．
综上所述，是正确的．
故答案为：．
由题意可得，抛物线开口向上，且过点，对于中不等式可变形为，对抛物线来说，是与时的差，根据已知条件不能判断时是最低点，所以中的式子不一定成立；根据、的关系确定对称轴，然后得出抛物线与轴的两个交点，再根据二次函数与不等式的关系判断；把代入方程，得到、、之间的关系，再根据抛物线上点的坐标特征判断；根据，，，可确定抛物线的大体位置，再根据抛物线的增减性判断．
本题考查了二次函数的图像与性质、二次函数与不等式，方程的关系，灵活运用二次函数的性质是解题的关键．
15.【答案】，
【解析】解：抛物线是由抛物线向左平移个单位所得，
抛物线与轴交点坐标为，，
方程的解是：，．
故答案为：，．
由抛物线是由抛物线向左平移个单位所得，从而可得平移后抛物线与轴交点坐标，进而求解．
本题考查抛物线与轴交点问题，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数图象平移规律．
16.【答案】或
【解析】解：把点代入抛物线中得：
，
解得：，，
或，
当时，，
或，
，，
当时，，
，
是等腰直角三角形，
，
如图，，此时点与重合，连接，
点与关于直线对称，
是的垂直平分线，
，且，
，
；
如图，，
点，
点在直线上，此时直线过点，
，即在直线上，
，，
则直线的解析式为：，
，
，
，
点与关于直线对称，
是的中点，
，
综上，点关于直线的对称点的坐标为或．
故答案为：或．
由抛物线解析式可得，，三点的坐标，则，将点的坐标代入抛物线的解析式可得的值，确定的坐标，根据计算的的坐标分情况画图可得结论．
本题考查了抛物线与轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的判定与性质、轴对称的性质；熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和轴对称的性质是解决问题的关键．
17.【答案】解：将代入得，
解得，
，
抛物线对称轴为直线，
点坐标为．
【解析】将代入解析式求出的值，进而求解．
本题考查二次函数与轴的交点问题，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数的性质．
18.【答案】解：将代入得，
解得，，
又，
．
，
，
，
二次函数图象与轴有个交点．
【解析】将代入解析式求解．
由判别式的符号可判断抛物线与轴交点个数．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．
19.【答案】解：不是
点在反比例函数的图象上，
，
关于的方程的根为，
即：，，
，
因此是“半等分根方程”．
方程是半等分根方程，
设，
相异两点 ， 都在抛物线上，
抛物线的对称轴为直线，
，
，
．
【解析】解：解方程得，，，
所以，方程不是半等分根方程，
故答案：不是；
方程的一个根为，则另一个根为或，
当另一个根为时，则，，
当另一个根为时，则，，
，
故答案为；
见答案；
见答案．
求得方程的根，根据“半等分根方程”的定义判定即可；
方程有一个根为，由“半等分根方程”的意义可知另一个根为或，当另一个根为时代入方程可得，当另一个根为代入方程可得，而代数式可分解为，因此，
点在反比例函数的图象上，可得，再根据求根公式求出方程的两个根为，，进而判断是“半等分根方程”；
求得抛物线对称轴，然后利用“半等分根方程”的定义以及方程与二次函数的关系进行解答．，
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程与抛物线的关系，一元二次方程的根与系数的关系，以及新定义“半等分根方程”的意义，掌握一元二次方程根与系数的关系和“半等分根方程”的意义是解决问题的关键．
20.【答案】解：由二次函数为常数知，该抛物线与轴的交点坐标是和．
对称轴为直线，
．
解得；
由知，，则该抛物线解析式是：，即．
抛物线向上平移个单位后经过原点．
平移后图象所对应的二次函数的表达式是．
【解析】根据抛物线解析式得到抛物线与轴的交点横坐标，结合抛物线的轴对称性质求得的值即可．
将的值代入，结合抛物线解析式求平移后图象所对应的二次函数的表达式．
本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数图象上的点的坐标，根据对于函数图象的描述能够理解函数的解析式的特点，是解决本题的关键．
21.【答案】解：二次函数的图象经过点，
，
解得：，
，
二次函数的表达式为；
由二次函数的交点式得二次函数与轴交点横坐标，，
二次函数的对称轴为直线，
把代入解析式得顶点纵坐标为，
将二次函数图象向上平移个单位可得顶点纵坐标为，
图象与轴无交点，
，
；
二次函数的对称轴为直线，不妨设，
，
，，
把，代入函数解析式，得，
，
的最小值为．
【解析】把代入解析式，即可解得值，即可求解；
先由二次函数交点式求出抛物线的对称轴，从而求得顶点纵坐标为，则将二次函数图象向上平移个单位可得顶点纵坐标为，因为图象与轴无交点，所以，即可求解；
二次函数的对称轴为直线，不妨设，由，得出，，把，代入函数解析式，得，再根据得出的取值范围．
本题考查用待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象平移，二次函数的最值，熟练掌握二次函数图象性质是解题词的关键．
22.【答案】解：二次函数图象向下平移个单位后解析式为，
由题意得，
解得．
，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
，
．
令，则，
解得，，
，点坐标为欸，
．
【解析】求出平移后抛物线解析式，由抛物线经过原点求解．
由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据，到对称轴的距离大小求解．
由抛物线解析式可得抛物线与轴交点坐标及顶点坐标，进而求解．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系．
23.【答案】解：一次函数的图象经过点，，
，，
设点，
抛物线对称轴为，
点，
，
，
解得：或舍去，
点，
将，，三点坐标代入解析式得：
，
解得：，
抛物线的函数解析式为；
过点作交于，于，
，，
，
，
，
，
点到直线的距离的最大只需最大，
设，则点，
，
，
当时，最大值为，
，
点到直线的距离的最大值为．
【解析】先利用一次函数求出、坐标，设点，求出点，根据，列出方程求出的值，然后利用待定系数法求抛物线解析式即可；
过点作交于，于，先证，利用平行线性质求出，利用三角函数得出，点到直线的距离的最大只需最大，设则点，求出即可．
本题考查一次函数与两轴的交点坐标，等腰三角形面积，一元二次方程，待定系数法求抛物线解析式，等腰直角三角形判定与性质，锐角三角函数，两点距离，二次函数的性质，本题难度一般，是常考题型．
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