北师大版数学八年级上册 5.4 应用二元一次方程组——增收节支 教案

5.4 应用二元一次方程组——增收节支
【教学目标】
1.会列一元一次方程或者二元一次方程组解有关“增收节支”类的应用题.
2.根据具体问题的数量关系,形成方程的模型.
【重点难点】
●重点:正确理解题意,分析数量关系列出二元一次方程组解应用.
●难点:将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型;会用图表分析数量关系.
【教法与学法】
●教法:通过设问,启发,引导学生讨论,发现解决问题的方法.
●学法:通过互动讨论,积极与同伴交流自己的想法,快速理解题意,并能够把教师讲解的要点归纳总结,找出解决问题的方法.
【教学过程】
一、情境引入
同学们,你知道你的生活有哪些必要开支吗
学生自由讨论发言.
经济生活在我们生活中多么重要!不会理财,就不会生活.你想运用数学知识使你的生活更加合理优化,更加幸福惬意吗 那么你能帮忙解决下面的实际经济问题吗
1.开商店
小明想开一家时尚服装专卖店,开店前他到其他专卖店调查价格.他看中了一套新款春装,成本共500元,专卖店店员告诉他在上市时通常将上衣按50%的利润定价,裤子按40%的利润定价.由于新年将至,节日优惠,在实际出售时,为吸引顾客,两件服装均按9折出售,这样专卖店共获利157元,小明觉得上衣款式好,销路会好些,想问问上衣的成本价,但店员有事走开了.
你能帮助他
2.购物
新年来临,爸爸想送Mike一个书包和一块手表作为新年礼物.爸爸对Mike说:“我在家乐福、永辉超市都发现同款的手表的单价相同,书包单价也相同,手表和书包单价之和是452元,且手表的单价比书包单价的4倍少8元,如果你能说出手表和书包单价各是多少元,那么我就买给你做新年礼物”.
　　你能帮助他吗
3.最优化决策
最近商家促销有促销活动,永辉超市所有商品打八折销售,家乐福超市全场购物满100元返物券30元销售(不足100元不返券,购物券全场通用),爸爸只给Mike 400元钱,如果他只在一家购买看中手表和书包,他应选择在哪一家购买更省钱 若两家都可以选择,在哪一家购买更省钱
【设计意图】开商店、购物、最优化决策等生活实例,可以引起学生兴趣,激发他们的求知欲和学习热情.
二、互动新授
【填一填】
1.某工厂去年的总产值是x万元,今年的总产值比去年增加了20%,则今年的总产值是　　　　万元.【(1+20%)x】】
2.若该厂去年的总支出为y万元,今年的总支出比去年减少了10%,则今年的总支出是　　　　万元.【(1-10%)y】】
3.若该厂今年的利润为780万元,那么由第1,2题可得方程　　　　.
【(1+20%)x-(1-10%)y=780】
应用题是学生学习的瓶颈.产值问题、利润问题往往是学生困惑的问题.因此学生必须通过自主探究,交流互动,才能理解利润的含义和求法.本课列出诸多思考题,目的是分解难度,给学生充分的时间探究交流,理解利润的求法.
【问题】某工厂去年的利润(总产值一总支出)为200万元.今年总产值比去年增加了20%,总支出比去年减少了10%,今年的利润为780万元.去年的总产值、总支出各是多少万元
(1)通过上面的讨论,你能找出题中的等量关系吗
学生探究、交流,关键是找出如下等量关系.
今年的总产值=去年总产值×(1+20%)　今年的总支出=去年的总支出×(1-10%)
题中的相等关系中的数量关系真多,让我们画个表格来表示它们吧!
因为题目中需要分析今年与去年;总产值与总支出和利润之间的关系,画个2×3的表格来试试看:
总产值/万元 总支出/万元 利润/万元
去年 x y 200
今年 (1+20%)x (1-10%)y 780
(2)你能通过上面的表格,找出等量关系,列出方程组吗
列表格表示数量关系,也是本课的一个难点,因此,要给学生探究交流的时间来理解复杂的数量关系.
【解法一】设去年的总产值为x万元,总支出为y万元,则
今年的总产值=(1+20%)x万元,今年的总支出=(1-10%)y万元.
根据题意,得
解得
所以去年的总收入为2 000万元,总支出为1 800万元.
(3)探索:如果只引进一个未知数,该如何解
【解法二】设去年的总产值为x万元,总支出为(x-200)万元,则
今年的总产值=(1+20%)x万元,今年的总支出=(1-10%)(x-200)万元.
根据题意,得(1+20%)x-(1-10%)(x-200)=780,解得x=2 000,所以x-200=1 800.
所以去年的总产值为2 000万元,总支出为1 800万元.
(4)思考:列二元一次方程组和列一元一次方程解应用题有什么异同点
学生探究、交流之后,可以得到以下结论:
相同的是:关键都是找出等量关系列方程或者方程组.
不同的是:列二元一次方程组解应用题与列一元一次方程解应用题比较,更容易列出方程组.
【探索】你能解决本课开始提出的三个问题吗
解决问题一
学生通过自主探究,合作交流,共同找出题中的等量关系.可以模仿例题,由学生自行列出表格,借助表格来分析并解决问题.
解:设上衣的成本价为x元,裙子的成本价为y元,则上衣利润0.9×(1+50%)x-x元,
裤子利润为0.9(1+40%)y-y元,根据题意,得
解得
所以上衣成本300元,裙子成本200元.
解决问题二
解:设书包单价为x元,则手表单价为y元,根据题意,得
解得:
所以书包单价92元,手表单价360元.
解决问题三
解:书包单价92元,手表单价360元.
在永辉超市购买手表与书包各一样需花费现金452×=361.6(元).
因为361.6<400,所以可以选择在永辉超市购买.
在家乐福超市可先花现金360元购买手表,再利用得到的90元返券,加上2元现金购买书包,共花现金360+2=362(元).
因为362<400,所以也可以选择在家乐福购买.
因为362>361.6,所以在永辉超市购买更省钱.
【设计意图】使学生初步学会设计适当的图表,帮助理清题目中的数量关系.再结合学生在以前的学习中已掌握的通过相等关系列方程的方法,使学生基本掌握运用图表去解决有关应用题的方法,从而提高学生分析问题和解决问题的能力.
三、例题讲解
【例1】某工厂去年总产值比总支出多500万元,而今年计划的总产值比总支出多950万元.已知今年计划总产值比去年增加15%,而计划总支出比去年减少10%,求今年计划的总产值和总支出各为多少.
解析:题中出现了去年的总产值和总支出,今年计划的总产值和总支出四个未知量,但由于每两组量之间存在一个相等关系,所以实质只设两个未知数.
【例2】某市房地产开发公司向中国建设银行借年利率分别为6%和8%的甲、乙两种贷款500万元,一年中应付出利息共34万元,求两种贷款的数额各是多少
解析:银行利率问题中利息=本金×利率×期数,题目中两个未知量——两种贷款的数额;两个相等关系:①本金和=500万元;②利息和=34万元.
四、巩固练习
1.某单位购买甲、乙两种纯净水共用250元,其中甲种水每桶8元,乙种水每桶6元;乙种水的桶数是甲种水桶数的75%.设买甲种水x桶,买乙种水y桶,则所列方程组中正确的是 (　　)
A.　 　B.
C. D.
2.21枚1角与5角的硬币,共是5元3角,其中1角与5角的硬币各是多少 设1角硬币x枚,5角硬币y枚,填写下表,并求出x、y的值填入表格.
1角 5角 总和
硬币数 x y 21
钱数 5元3角
　　3.甲、乙两工厂,上月原计划共生产机床360台,结果甲厂完成了计划的112%,乙厂完成了计划的110%,两厂共生产了机床400台,求上月两厂各超额生产了多少台机床
五、课堂小结
通过本节课的学习,你有什么收获
本节课主要学习了:
1.通过上面的例题,请同学们回顾总结列一元一次方程或者二元一次方程组解应用题的步骤:
(1)审题、设未知数;
(2)找出数量关系;
(3)列方程或方程组;
(4)解方程或方程组;
(5)检验并作答.
2.列二元一次方程组解应用题与列一元一次方程解应用题比较,更容易列出方程组.
3.遇到比较复杂的题目,我们可以设计适当的图表,帮助我们理清题目中的数量关系.然后,根据等量关系,列出方程组.
【布置作业】
教材习题5.5.
【板书设计】
4　应用二元一次方程组——增收节支
1.列二元一次方程组解应用题的步骤
2.列方程与列方程组解应用题的比较
3.借助图表理清题目中的数量关系
【教学反思】
本节课的教学过程中,从创设学生感兴趣的实际问题情景入手,激发学生的学习兴趣,通过学生观察、比较、归纳,获取知识,培养学生的自主学习能力和归纳能力.学生在学会运用列二元一次方程组解应用题的同时,还学到了一种分析数据的方法,为以后的学习生活做方法的准备.