北师大版数学八年级上册 2.2 平方根 教案

2.2 平方根
【教学目标】
了解平方根和算术平方根的意义,会进行开平方运算,了解算术平方根与平方根的区别与联系,能用符号正确地表示一个数的平方根,理解开平方运算和乘方运算之间的互逆关系.
【重点难点】
●重点:平方根和算术平方根的概念和求一个非负数的平方根和算术平方根.
●难点:平方根和算术平方根的联系与区别.
【教法与学法】
●教法:引导学生通过小组合作探究、师生合作探究,调动学生思考的积极性,给学生留出足够的时间,探索平方根与算术平方根的联系与区别,从特殊到一般理解平方根的概念.
●学法:了解开平方与平方的互逆运算关系,再通过与算术平方根的对比,从而理解算术平方根与平方根的本质,归纳得出平方根的特征.
【教学过程】
一、情境引入
下图中阴影部分是正方形,求出此正方形的面积,此正方形的边长是有理数还是无理数
　　
学生活动:组合作探究.
教师总结:利用勾股定理可得直角三角形斜边长的平方是289,则正方形面积是289.
那么我们如何表示这个斜边长呢 接下来,我们一起来学习新知识——算术平方根.
【设计意图】通过简单问题,复习了勾股定理,渗透数形结合的思想,提出了前面课程中一直未解决的如何表示类似边长是无理数的问题,从而激起学生对算术平方根的学习兴趣.
二、互动新授
教材图2-4
【问题1】(1)根据教材图2-4填空:
x2=　　　　,y2=　　　　,z2=　　　　,w2=　　　　.
(2)x,y,z,w中哪些是有理数 哪些是无理数 你能表示它们吗
学生活动:独立完成,再小组合作交流结果.
教师总结:(1)x2=2,y2=3,z2=4,w2=5.
(2)x,y,w都是无理数.因为22=4,所以z=2,则z是有理数.
一般地,如果一个正数x的平方为a,即x2=a,那么这个正数x就叫做a的算术平方根,记作,读作“根号a”.
特别地,我们规定0的算术平方根是0,即=0.
【问题2】(1)9的算术平方根是3,也就是说,3的平方是9,还有其他的数,它的平方也是9吗
(2)平方等于的数有几个 平方等于0.64的数呢
学生活动:小组合作交流.
师生合作探究:尝试一下,两个相反数的平方有什么关系
教师总结:一般地,如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个数x就叫做a的平方根(也叫做二次方根).,
例如,3和-3是9的平方根,简记为±3是9的平方根.
【问题3】(1)一个正数有几个平方根 (2)0有几个平方根 (3)负数呢
学生活动:小组合作探究.
师生合作探究:试举例几个正数或负数,观察、发现它们的平方根都有什么共同点.
教师总结:一个正数有两个平方根;0只有一个平方根,它是0本身;负数没有平方根.
正数a有两个平方根,一个是a的算术平方根,另一个是-.它们互为相反数,这两个平方根合起来可以记作±,读作“正、负根号a”.
求一个数a的平方根的运算,叫做开平方,a叫做被开方数.
【问题4】填图:
学生活动:先独立完成,小组合作探究.
师生合作探究:题目的含义是从左边到右边分别进行了平方、开平方运算,求结果.根据开平方和平方根的概念,对1开平方,就是求(　　)2=1.
教师总结:左边图从上到下依次填:1,4,9;右边图从上到下依次填:±1,±2,±3.
这里我们可以总结出,平方与开平方互为逆运算.根据这种互逆的运算关系,可以求一个数的平方根.
【问题5】(1)()2等于多少 2等于多少
(2)()2等于多少
(3)对于正数a,()2等于多少
学生活动:小组合作探究.
师生合作探究:可以先计算=　　　　,然后再计算这个数的平方,就可得到()2的值了.其他同理可得,观察特殊的几个式子,看它们有什么共同点,从而发现()2的值.
教师总结:(1)()2=64;2=;(2)()2=7.2;(3)对于正数a,()2=a.
归纳:正数有两个平方根,它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根.
对于正数a,()2=a.
【问题6】求下列各式中x的值:
(1)x2=64;(2)5x2+2=22.
学生活动:小组合作探究.
师生合作探究:先确定x2的值,则x为x2的平方根.
【设计意图】从学生熟悉的正方形面积计算公式,引导学生利用逆推来由面积得出边长,进而概括出算术平方根的概念.从而培养学生分析问题、概括问题的能力.让学生先写出求解算术平方根的过程,教师再通过规范,培养学生主动学习的能力;学生经历从特殊到一般,发现求平方根与平方运算是互为逆运算,从而为平方根的求解提供解题思路.让学生分类讨论正数、负数、0是否有平方根、平方根有何特点,并用式子表示算术平方根与平方根,从不同角度应用平方根知识,加深对平方根的理解.
三、例题讲解
【例1】(1)16的算术平方根是　　　　;(2)的算术平方根是　　　　.
解析:(1)正数4的平方等于16,∴16的算术平方根是4;
(2)是81的算术平方根,它的值为9,此题的实质是求9的算术平方根.
【例2】的平方根是 (　　)
A.±7　　　B.7　　　C.1　　　D.-1
解析:根据=|a|,先把化简得49,再求49的平方根.
四、巩固练习
1.(-2)2的算术平方根是 (　　)
A.2 B.±2 C.-2 D.
2.4的平方根是 (　　)
A.2 B.16 C.±2 D.±16
3.若+(y+3)2=0,则x-y的值为 (　　)
A.1 B.-1 C.7 D.-7
4.若一个正数的平方根是2a-1和-a+2,则a=　　　　,这个正数是　　　　.
五、课堂小结
通过本节课的学习,你有什么收获
本节课主要学习了:
1.算术平方根和平方根的概念.
2.如果x2=a,那么x叫做a的平方根.
3.求一个数a的平方根的运算,叫做开平方.
4.正数有两个平方根,它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根.
5.正数a的负的平方根,可以用符号“-”表示,故正数a的平方根可以用符号“±”表示,读作“正、负根号a”.例如,±=±3.
6.对于正数a,()2=a.
7.会对(其中x是平方数)求值.
8.是一个非负数,其中a也是一个非负数.
【布置作业】
教材习题2.3和习题2.4.
【板书设计】
2.平方根
1.算术平方根和平方根的概念
2.开平方、求一个正数的算术平方根
3.正数,0,负数的平方根情况
4.正数的平方根的式子表示
5.对于正数a,()2=a
【教学反思】
为了更好地理解算术平方根和平方根的意义,突破“正数有两个平方根,它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根”理解上的难点,在教学设计中安排了先学后教,采用启发式教学法,通过生生互动、师生合作探究,让学生主动地发现问题、解决问题、修正解题过程,事实证明这样的教学方式能促进学生良好的学习习惯.学生在学习中还会出现混淆平方根与算术平方根,在式子表达时出现错误,为了避免此类错误,在教学中还需多对算术平方根与平方根进行比较.并通过适量的练习加深认识.