第二章 平面向量
第三课时 向量减法运算及其几何意义
【学习目标】
1.通过自主学习,掌握向量减法概念,理解两个向量的减法就是转化为加法来进行,掌握相反向量.
2.通过探究活动,能够发现问题和提出问题,善于独立思考,学会分析问题和创造性地解决问题.能熟练地掌握用三角形法则和平行四边形法则作出两向量的差向量.
【学习重点】向量的减法运算及其几何意义
【学习难点】对向量减法定义的理解
【学习过程】 自主学习教材P85——86
㈠思考探究:（想一想,动一动）
我们定义了向量的加法概念,并给出了求作和向量的两种方法.由向量的加法运算自然联想到向量的减法运算。实数的减法运算法则是：减去一个数等于加上这个数的相反数.向量的减法是否也有类似的法则呢
㈡探求新知：
探究一：向量减法的含义
思考1：两个相反向量的和向量是什么？向量的相反向量可以怎样表示？－的相反向量是什么？零向量的相反向量是什么？
思考2：在实数的运算中，减去一个数等于加上这个数的相反数.据此原理，向量可以怎样理解？
探究二：向量减法的几何意义
思考1：如果向量与同向，如何作出向量？若与反向呢？
思考2：若向量与不共线，如何作出向量？
思考3：通过思考1和2，请你概括向量减法的定义及几何意义。
思考4：求作两个向量的和向量有三角形法则和平行四边形法则。那么，两个向量的差向量遵循什么法则？其作图特点是什么？
思考5：向量a－b与b－a是什么关系？|a－b|与|a|＋|b|、|a|－|b|的大小关系如何？
思考6：|a－b|与|a＋b|有什么大小关系吗？为什么？
思考7：对于非零向量a与b，向量a＋b与a－b可能相等吗？
【自主学习检测】
1． 在ABCD中,下列结论中错误的是( )
A.= B.+= C. D.
2． 已知一点O到ABCD的3个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c,则向量等于( )
A.a+b+c B.a-b+c C.a+b-c D.a-b-c
3．若||=8,||=5,则||的取值范围是( )
A.[3,8] B.(3,8) C.[3,13] D.(3,13)
㈢典型例题
例1：已知向量a、b、c,求作向量a+b-c.
例2.化简下列各式： （1）
（2）
例3．在四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，求证：
(四)【知识提升】：（超出别人定是你的追求！）
若=a+b,=a-b.
①当a、b满足什么条件时,a+b与a-b垂直？
②当a、b满足什么条件时,|a+b|=|a-b|？
③当a、b满足什么条件时,a+b平分a与b所夹的角 ？
④a+b与a-b可能是相等向量吗？
思路小结：
【归纳小结】
1.向量的减法运算与加法运算是对立统一的两种运算，在向量的几何运算的主体内容，二者相互协调和补充.
2.用三角形法则求两个向量的差向量，要注意起点相同的条件，差向量的方向要指向被减向量的终点.这个法则对共线向量也适应.
3.如果a＋b=c，则a=c－b，这是向量运算的移项法则，它与实数运算的移项法则完全一致，体现了数学的和谐美.
【自我反思】：
【作业】: 教材P91 习题2.2 A组4，8第二章 平面向量
第4课时 平面向量的数乘运算及其几何意义
【学习目标】
1.通过经历探究数乘运算法则及几何意义的过程,掌握实数与向量积的定义,理解实数与向量积的几何意义,掌握实数与向量的积的运算律.
2.理解两个向量共线的等价条件,能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行.
3.通过探究,体会类比迁移的思想方法,渗透研究新问题的思想和方法,培养创新能力和积极进取精神.通过解决具体问题,体会数学在生活中的重要作用.
【学习重点】1.实数与向量积的意义及实数与向量积的运算律.
2.两个向量共线的等价条件及其运用.
【学习难点】对向量共线的等价条件的理解运用.
【学习过程】自主学习教材P87——90
㈠思考探究（想一想,动一动）
1.相同的几个数相加可以转化为数乘运算，如3＋3＋3＋3＋3=5×3=15.那么相等的几个向量相加是否也能转化为数乘运算呢？
2.一物体做匀速直线运动,一秒钟的位移对应的向量为,那么在同一方向上3秒钟的位移对应的向量怎样表示？怎样用图形表示？
㈡探求新知
探究一：向量的数乘运算及其几何意义
思考1：已知非零向量，如何求作向量＋＋和（－）＋（－）＋ （－）？如何简化其表示形式？向量3和－3与向量各有什么关系？
思考2：设为非零向量，那么和还是向量吗？它们分别与向量有什么关系？
思考3：由1和2请你归纳一下，什么是向量的数乘运算？一个实数λ与向量的积与向量有什么关系？
思考4：设点M为△ABC的重心，D为BC的中点，那么向量与，与分别有什么关系？向量与和之间又有何关系
探究二:向量的数乘运算性质
思考1：你认为－2×（5），2＋2， （3+）可分别转化为什么运算？
思考2：一般地，设λ，μ为实数，则λ(μ)，(λ＋μ) ，λ(＋)分别等于什么？
思考3：对于向量（≠0）和，若存在实数λ，使=λ，则向量与的方向有什么关系？若向量（≠0）与共线，则一定存在实数λ，使=λ成立吗？
思考4：由思考3，请你概括一下向量共线定理。
思考5：若存在实数λ，使，则A、B、C三点的位置关系如何？
思考6：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量、，以及任意实数λ、x、y，λ(x±y）可转化为什么运算？
【自主学习检测】
1.化简：（1）（a+b）-3(a-b)
(2)
2.在中，c, =b,若点D满足，则=（ ）
A.bc B.cb C. .bc D.bc
3.在△ABC中,已知D是AB边上一点,若=2,=+λ,则λ等于( )
A. B. C.- D.-
㈢典型例题
例1. 计算
（1）（－3）×4a； （2）3（a＋b）－2（a－b）－a；
（3）（2a＋3b－c）－（3a－2b＋c）
例2． 已知任意两个非零向量a、b,试作=a+b,=a+2b,=a+3b.你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗 为什么
例3． 如图4, ABCD的两条对角线相交于点M,且=a,=b,你能用a、b表示和吗
(四)【知识提升】（超出别人定是你的追求！）
设两个不共线的向量e1、e2,若向量a=2e1-3e2,向量b=2e1+3e2,向量c=2e1-9e2,问是否存在这样的实数λ、μ,使向量d=λa+μb与向量c共线？
思路小结：
【归纳小结】
1.实数与向量可以相乘，其积仍是向量，但实数与向量不能相加、相减.实数除以向量没有意义，向量除以非零实数就是数乘向量.
2.若λ=，则可能有λ=0，也可能有=.
3.向量的数乘运算律，不是规定，而是可以证明的结论.向量共线定理是平面几何中证明三点共线，直线平行，线段数量关系的理论依据.
【自我反思】
【作业】 教材P91 习题2.2 A组 9，10第二章 平面向量
第一课时 平面向量的实际背景及基本概念
【学习目标】:
1.通过实例,利用平面向量的实际背景以及研究平面向量的必要性,理解平面向量的概念以及确定平面向量的两个要素,搞清数量与向量的区别.
2.理解向量、相等向量、相反向量、平行向量等概念,并能判断向量之间的关系,并会辨认图形中的相等向量或作出与某一已知向量相等的向量.
3.根据平面向量的两个要素加以研究向量的关系,揭示向量可以平移这一特性.
【学习重点】：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念,会表示向量.
【学习难点】：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.
【学习过程】: 自主学习教材P74—76.
㈠思考探究:（想一想,动一动）
如图1,在同一时刻,老鼠由A向西北方向的C处逃窜,猫在B处向正东方向的D处追去,猫能否追到老鼠呢？为什么
㈡探求新知： 图1
思考1：在物理课中,我们学过力的概念.请回顾一下力的三要素是什么？还有哪些量和力具有同样特征呢 这些量的共同特征是什么？怎样利用你所学的数学中的知识抽象这些具有共同特征的量呢？
思考2：数量与向量的区别在哪里
思考3：如何表示向量 有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么
思考4：零向量和单位向量分别是什么样的向量
思考5：满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗
思考6：有一组向量,它们的方向相同或相反,这组向量有什么关系？怎样定义平行向量
思考7：如果把一组平行向量的起点全部移到一点O,它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系
【自主学习检测】:
1.简要回答下列问题,并说明理由
(1)平行向量是否一定方向相同？ （ ）
(2)不相等的向量是否一定不平行？ （ ）
(3)与零向量相等的向量必定是什么向量？ （ ）
(4)与任意向量都平行的向量是什么向量？ （ ）
(5)若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？ （ ）
(6)共线向量一定在同一直线上吗？ （ ）
(7)ABCD中，与一定是共线向量吗 （ ）
2.把一切单位平面向量归结到共同的始点,那么这些向量的终点所构成的图形是( )
A.一条线段 B.一段圆弧 C.两个点 D.一个圆
3.将平行于一直线的所有单位向量的起点平移到同一始点,则这些向量的终点所构成的图形是( )
A.一个点 B.两个点 C.一个圆 D.一条线段
㈢典型例题：
例1.飞机从A地按北偏东30°方向飞行2000km到达B地，再从B地按南偏东30°方向飞行2000km到达C地，再从C地按西南方向飞行1000km到达D地.
（1）画图表示向量；
（2）求飞机从A地到达D地的位移所对应的向量的模和方向.
例2. 下列命题正确的是( )
A. 向量a与b共线,向量b与c共线,则向量a与c也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点
C.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量
D.有相同起点的两个非零向量不平行
例3．如图8,设O是正六边形ABCDEF的中心,分别写出图中所示向量与相等的向量.
变式一:与向量长度相等的向量有多少个？
变式二:是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？
(四)【知识提升】：（超出别人定是你的追求！）
如图，O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在图中所示的向量中：
分别写出与相等的向量；
（2）写出与共线的向量；
（3）写出与模相等的向量；
（4）向量与是否相等？
思路小结：
【归纳小结】：
1.向量是为了表示、刻画既有大小，又有方向的量而产生的，物理中有许多相关背景材料，数学中的向量是物理中矢量的提升和拓展，它有一系列的理论和方法，是沟通代数、几何、三角的一种工具，有着广泛的实际应用
2.由于有向线段具有长度和方向双重特征，所以向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，二者只是一种对应关系.
3.零向量是一个特殊向量，其模为0，方向是不确定的.引入零向量将为以后的研究带来许多方便，但须注意：
【自我反思】：
【作业】: 教材P77——78习题2.1A组 2，3，5
D
E
A
B
F
C
O湖南省岳阳县一中 数学导学案 高一（下） 必修四 平面向量
第二章 平面向量
第十课时 平面向量应用举例（二）
【学习目标】:
1．通过力和速度的合成与分解的物理模型,掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤,明了向量在物理中应用的基本题型,进一步加深对所学向量的概念和向量运算的认识.
2．应用向量解决一些代数问题 .
3．通过对具体问题的探究解决,进一步培养学生的数学应用意识,提高应用数学的能力.体会数学在现实生活中的重要作用.养成善于发现生活中的数学,善于发现物理及其他科目中的数学及思考领悟各学科之间的内在联系的良好习惯.
【学习重点】：运用向量的有关知识对物理中力的作用、速度的分解进行相关分析和计算
【学习难点】：将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题
【学习过程】: 自主学习教材P111-112
㈠思考探究:（想一想,动一动）
在日常生活中，你是否有这样的经验：在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力；两个人共提一个旅行袋，夹角越大越费力.你能从数学的角度解释这种想象吗？
【自主学习检测】:
1.若将向量绕原点按逆时针方向旋转得到，则的坐标为 .
2.已知向量，且，那么与的夹角的大小为 .
3.作用于原点的两个力，为使它们平衡，需加力 .
4.一条河宽为400m，一船从岸边A处垂直达到正对岸的B处，船速（在静水中）为20km/h，水速为12km/h，则船达到B处所需要的时间为 min.
㈡典型例题：
例1. 如图所示，支座受两个力的作用，已知，与水平线成角；，沿水平方向；两个力的合力，求角的余弦值以及合力与水平线的夹角的余弦值 .
例2.一条河的两岸平行，河的宽度，一艘船从处出发到河对岸.已知船的静水速度，水流速度.要使船行驶的时间最短，那么船行驶的距离与合速度的比值必修最小.此时我们分三种情况讨论：
（1）当船逆流行驶，与水流成钝角时；
（2）当船逆流行驶，与水流成锐角时；
（3）当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时.
请同学们计算上面三种情况，是否当船垂直于对岸行驶时，与水流成直角时，所用时间最短.
例3． 证明：对于任意的，恒有不等式
㈢【知识提升】：（超出别人定是你的追求！）
平面直角坐标系内的向量都可以用一有序实数对唯一表示，这使我们想到可以用向量作为解析几何的研究工具。如：设直线的倾斜角为，在上任取两个不同的点，不妨设向量的方向是向上的，那么向量的坐标是
，过原点作向量，则的坐标是，而且直线的倾斜角也是，根据正切函数的定义得，这就是《数学2》中已经得到的斜率公式。上述推导过程比《数学2》中的推导简捷。
你能用向量作为工具讨论一下直线的有关问题吗？如：
（1） 过点，平行于向量的直线方程；
（2） 向量与直线的关系；
（3） 设直线的方程分别是，那么
的条件各是什么？如果它们相交，如何得到它们的夹角公式？
（4） 点到直线的距离公式如何推导？
思路小结：
(四)练习达标：见学海导航
【归纳小结】
1.通过本节的学习，总结如何把物理问题转化为数学问题？
2.总结如何应用向量解决一些代数问题？
3.结合本节内容，谈谈你对数学的认识.
【自我反思】：
【作业】: 教材P113习题2.5A组T3，4
PAGE
3湖南省岳阳县一中 数学导学案 高一（下） 必修四 平面向量
第二章 平面向量
第七课时 平面向量数量积的物理背景及其含义
【学习目标】:
1．通过经历探究过程,掌握平面向量的数量积及其几何意义.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律.
2．了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,并掌握向量垂直的条件.
3．通过问题的解决,培养学生观察问题、分析问题和解决问题的实际操作能力;培养学生的交流意识、合作精神;培养学生叙述表达自己解题思路和探索问题的能力.
【学习重点】：平面向量数量积的定义
【学习难点】：平面向量数量积的定义及其运算律的理解和平面向量数量积的应用
【学习过程】: 自主学习教材P103-105
㈠思考探究:（想一想,动一动）
任意两个向量都可以进行加、减运算，同时两个向量的和与差仍是一个向量，并且向量的加法运算满足交换律和结合律.由于任意两个实数可以进行乘法运算，我们自然会提出，任意两个向量是否也可以进行乘法运算呢？
㈡探求新知：
探究1:平面向量数量积的背景与含义
思考1：一个物体在力F的作用下产生位移s，且力F与位移s的夹角为θ，那么力F所做的功W是多少
思考2：功是一个标量，它由力和位移两个向量所确定，数学上，我们把“功”称为向量F与s “数量积”.一般地，对于非零向量a与b的数量积是指什么？零向量与任一向量的数量积呢？
思考3：对于两个非零向量a与b，其数量积a·b何时为正数？何时为负数？何时为零？
思考4：对于两个非零向量a与b，设其夹角为θ，那么︱a︱cosθ的几何意义如何？数量积a·b=︱a|︱b︱cosθ的几何意义呢？
探究2：平面向量数量积的运算性质
思考1：设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？反之成立吗？
思考2：当a与b同向时，a·b等于什么？当a与b反向时，a·b等于什么？特别地，a·a等于什么？
思考3：︱a·b︱与︱a︱︱b︱的大小关系如何？为什么？
思考4：对于向量a，b，如何求它们的夹角θ？
思考5：运算律和运算紧密相连，对于实数乘法运算满足交换律，结合律，分配律；向量数量积有这些类似的运算律吗？请给出证明。
思考6：对于实数有,对于向量成立吗？
【自主学习检测】:
1.给出以下四个结论，其中正确的有 （写出所有正确答案）
①a⊥ba·b=0 ②若a·b=0，且a≠0则b=0
③若a≠0，b=0，则|a·b|=|a||b| ④当a与a反向时，a·b=-|a||b|
2.已知a∥b,| a|=1,| b|=2,则a·b= 。
3.已知|b|=3，a在b方向上的投影是，则a·b= 。
4.在四边形ABCD中，且，则四边形ABCD是（ ）
A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形
㈢典型例题：
例1. 已知|a|=6,|b|=4,a与b的夹角为60°,求(a+2b)·(a-3b).
例2. 已知|a|=3,|b|=4,且a与b不共线,当k为何值时,向量a+kb与a-kb互相垂直
例3． 已知三角形ABC中，，求的值.
(四)【知识提升】：（超出别人定是你的追求！）
设，且，又与是两个不同时为零的实数。
（1） 若垂直，求关于的函数
（2） 求函数的最小值
(五)练习达标：见学海导航
【归纳小结】
1.本节主要学面向量数量积的定义，向量的投影，性质及运算律，请归纳整理。
2.向量数量积运算源于物理中的功，抽象概括形成数学定义后，进一步探讨了数量积的性质，运算律，应用。请体会数学知识的形成过程，进一步认识数学定义的重要性。
【自我反思】：
【作业】: P108习题2.4A组T3,7
PAGE
4
1第二章 平面向量
第5课时 平面向量的基本定理及坐标表示
【学习目标】
1.通过探究活动,能推导并理解平面向量基本定理.
2.掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法.能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表示.
3.了解向量的夹角与垂直的概念,并能应用于平面向量的正交分解中,会把向量正交分解,会用坐标表示向量.
【学习重点】平面向量基本定理、向量的夹角与垂直的定义、平面向量的正交分解、平面向量的坐标表示.
【学习难点】平面向量基本定理的运用.
【学习过程】自主学习教材P93——96
㈠思考探究（想一想,动一动）
1.在物理学中我们知道,力是一个向量,力的合成就是向量的加法运算.力也是可以分解的,任何一个大小不为零的力,都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来,会产生什么样的结论呢？
2.光滑斜面上一个木块受到的重力为G，下滑力为，木块对斜面的压力为，这三个力的方向分别如何？三者有何相互关系？试画图加以说明.
㈡探求新知
探究1：平面向量基本定理
思考1：给定平面内任意两个不共线的向量e1、e2,请你作出向量3e1+2e2、e1-2e2.
思考2：如图,设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量,a是这一平面内的任一向量,请通过作图研究向量a与e1、e2之间的关系. 平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e1+λ2e2R的向量表示呢
思考3：若向量a与e1或e2共线，a还能用λ1e1+λ2e2R表示吗？
思考4：请你完整地描述平面向量的基本定理，并说明什么是平面向量的一组基底？同一平面内可以作基底的向量有多少组？不同基底对应向量a的表示式是否相同？
探究2:平面向量的正交分解及坐标表示
思考1：平面中的任意两个向量之间存在夹角吗？若存在,向量
的夹角与直线的夹角一样吗？你认为向量的夹角的取值范围应如何约定为宜？
思考2：如果向量a与b的夹角是90°，则称向量a与b垂直，记作a⊥b. 互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？
思考3：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得 a＝xi＋yj.我们把有序数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y).其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，上式叫做向量的坐标表示.那么x、y的几何意义如何？
思考4：在平面直角坐标系中,一个向量和坐标是否是一一对应的？
【自主学习检测】
1．下面三种说法:①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底;②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底;③零向量不可以作为基底中的向量,其中正确的说法是( )
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
2．已知G为△ABC的重心,设=a,=b,试用a、b表示向量.
3．已知向量a=(x+3,x2-3x-4)与相等,其中A(1,2),B(3,2),求x.
㈢典型例题
例1 如图,ABCD,=a,=b,H、M是AD、DC之中点,F使BF=BC,以a,b为基底分别表示向量.
例2 如图,分别用基底ｉ、j表示向量a、b、c、d,并求出它们的坐标.
(四)【知识提升】（超出别人定是你的追求！）
设e1与e2是两个不共线向量,a=3e1+4e2,b=-2e1+5e2,若实数λ、μ满足λa+μb=5e1-e2,求λ、μ的值.
思路小结：
【归纳小结】
1.平面向量基本定理是建立在向量加法和数乘运算基础上的向量分解原理，同时又是向量坐标表示的理论依据，是一个承前起后的重要知识点.
2.向量的夹角是反映两个向量相对位置关系的一个几何量，平行向量的夹角是0°或180°，垂直向量的夹角是90°.
3.向量的坐标表示是一种向量与坐标的对应关系，它使得向量具有代数意义.将向量的起点平移到坐标原点，则平移后向量的终点坐标就是向量的坐标.
【自我反思】
【作业】 《学海导航》P49 达标练习 1——6题第二章 平面向量
第七课时 平面向量数量积的物理背景及其含义
【学习目标】:
1．通过经历探究过程,掌握平面向量的数量积及其几何意义.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律.
2．了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,并掌握向量垂直的条件.
3．通过问题的解决,培养学生观察问题、分析问题和解决问题的实际操作能力;培养学生的交流意识、合作精神;培养学生叙述表达自己解题思路和探索问题的能力.
【学习重点】：平面向量数量积的定义
【学习难点】：平面向量数量积的定义及其运算律的理解和平面向量数量积的应用
【学习过程】: 自主学习教材P103-105
㈠思考探究:（想一想,动一动）
任意两个向量都可以进行加、减运算，同时两个向量的和与差仍是一个向量，并且向量的加法运算满足交换律和结合律.由于任意两个实数可以进行乘法运算，我们自然会提出，任意两个向量是否也可以进行乘法运算呢？
㈡探求新知：
探究1:平面向量数量积的背景与含义
思考1：一个物体在力F的作用下产生位移s，且力F与位移s的夹角为θ，那么力F所做的功W是多少
思考2：功是一个标量，它由力和位移两个向量所确定，数学上，我们把“功”称为向量F与s “数量积”.一般地，对于非零向量a与b的数量积是指什么？零向量与任一向量的数量积呢？
思考3：对于两个非零向量a与b，其数量积a·b何时为正数？何时为负数？何时为零？
思考4：对于两个非零向量a与b，设其夹角为θ，那么︱a︱cosθ的几何意义如何？数量积a·b=︱a|︱b︱cosθ的几何意义呢？
探究2：平面向量数量积的运算性质
思考1：设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？反之成立吗？
思考2：当a与b同向时，a·b等于什么？当a与b反向时，a·b等于什么？特别地，a·a等于什么？
思考3：︱a·b︱与︱a︱︱b︱的大小关系如何？为什么？
思考4：对于向量a，b，如何求它们的夹角θ？
思考5：运算律和运算紧密相连，对于实数乘法运算满足交换律，结合律，分配律；向量数量积有这些类似的运算律吗？请给出证明。
思考6：对于实数有,对于向量成立吗？
【自主学习检测】:
1.给出以下四个结论，其中正确的有 （写出所有正确答案）
①a⊥ba·b=0 ②若a·b=0，且a≠0则b=0
③若a≠0，b=0，则|a·b|=|a||b| ④当a与a反向时，a·b=-|a||b|
2.已知a∥b,| a|=1,| b|=2,则a·b= 。
3.已知|b|=3，a在b方向上的投影是，则a·b= 。
4.在四边形ABCD中，且，则四边形ABCD是（ ）
A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形
㈢典型例题：
例1. 已知|a|=6,|b|=4,a与b的夹角为60°,求(a+2b)·(a-3b).
例2. 已知|a|=3,|b|=4,且a与b不共线,当k为何值时,向量a+kb与a-kb互相垂直
例3． 已知三角形ABC中，，求的值.
(四)【知识提升】：（超出别人定是你的追求！）
设，且，又与是两个不同时为零的实数。
若垂直，求关于的函数
求函数的最小值
(五)练习达标：见学海导航
【归纳小结】
1.本节主要学面向量数量积的定义，向量的投影，性质及运算律，请归纳整理。
2.向量数量积运算源于物理中的功，抽象概括形成数学定义后，进一步探讨了数量积的性质，运算律，应用。请体会数学知识的形成过程，进一步认识数学定义的重要性。
【自我反思】：
【作业】: P108习题2.4A组T3,7湖南省岳阳县一中 数学导学案 高一（下） 必修四 平面向量
第二章 平面向量
第九课时 平面向量应用举例（一）
【学习目标】:
1．.通过平行四边形这个几何模型,归纳总结出用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”.
2．明了平面几何图形中的有关性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示.
3．让学生深刻理解向量在处理有关平面几何问题中的优越性,活跃学生的思维,发展学生的创新意识,激发学生的学习积极性,并体会向量在几何和现实生活中的意义.
【学习重点】：用向量方法解决实际问题的基本方法;向量法解决几何问题的“三步曲”.
【学习难点】：如何将几何等实际问题化归为向量问题.
【学习过程】: 自主学习教材P109-111
㈠思考探究:（想一想,动一动）
1.一般地，利用向量的 运算可以证明共线，平行，长度问题，
利用向量的 运算可以解决长度，角度，垂直等问题.
2.向量的方法可运用于证明有关直线平行，垂直，线段的相等及点共线等问题，其基本方法有：
（1）要证明两线段，可转化为证明或 ；
（2）要证明两线段，只要证明：存在一实数，使 成立；
（3）要证明三点共线，只要证明：存在一实数，使 成立；
（4）要证明两线段，只要证明 ；
【自主学习检测】:
1.已知且，则的坐标为 .
2.若为所在平面内一点，且满足，则的形状为（ ）
A.正三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.以上都不对
3.平面向量，，则 .
4.已知且与的夹角为钝角，则的取值范围是 .
㈡典型例题：
例1. 平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型,如图1,
,你能观察、发现并猜想出平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系吗？
图1
例2. 如图2, ABCD中,点E、F分别是AD、DC边的中点,BE、BF分别与AC交于R、T两点,你能发现AR、RT、TC之间的关系吗
图2
例3．已知定点和，是圆上的一动点，求的最大值和最小值.
例4．已知圆,求过圆上一点的圆的切线方程.
小结： 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是：
（1）
（2）
（3）
㈢【知识提升】：（超出别人定是你的追求！）
已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量
，叫做把点绕点逆时针方向旋转角得到点.
（1） 已知平面内点，点. 把点绕点逆时针方向旋转角得到点,求点的坐标；
（2） 设平面内曲线上的每一点绕坐标原点沿逆时针方向旋转后得到的点的轨迹是曲线，求原来的曲线的方程.
(四)练习达标：见学海导航
【归纳小结】
本节主要学习了应用向量知识解决平面几何问题，请你归纳总结用向量方法解决平面几何问题的一般步骤.
【自我反思】：
【作业】: 教材P113习题2.5A组T1,2
PAGE
4第二章 平面向量
第6课 平面向量的坐标运算及共线向量的坐标表示
【学习目标】
1.通过经历探究活动,掌握平面向量的和、差、实数与向量的积的坐标表示方法.理解并掌握平面向量的坐标运算以及向量共线的坐标表示.
2.引入平面向量的坐标可使向量运算完全代数化,平面向量的坐标成了数与形结合的载体.
3.在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯,以加深理解知识要点,增强应用意识.
【学习重点】平面向量的坐标运算.
【学习难点】对平面向量共线的坐标表示的理解
【学习过程】自主学习教材P96——99
㈠思考探究（想一想,动一动）
1.对于平面内的任意向量a,过定点O作向量=a,则点A的位置由向量a的大小和方向所唯一确定.如果以定点O为原点建立平面直角坐标系,那么点A的位置可通过什么来反映呢
2.引进向量的坐标表示后,向量的线性运算是否可以通过坐标运算来实现呢 向量的平行、垂直,是否也能通过坐标来研究呢？
㈡探求新知
探究1：平面向量的坐标运算
思考1：设i、j分别是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若a＝i＋j，b＝i＋j，你能得出向量a+b,a-b,λa的坐标表示吗
思考2：如何用数学语言描述上述向量的坐标运算？
思考3：若向量a=(x，y)，则|a|如何计算？若点A()，B()，则如何计算？
思考4：如图,已知A(x1,y1),B(x2,y2),怎样表示的坐标？你能在图中标出坐标为(x2-x1,y2-y1)的P点吗 标出点P后,你能总结出什么结论
探究2：平面向量共线的坐标表示
思考1：设向量a，b都是非零向量，且a=(x1,y1),b=(x2,y2), 若向量a与b共线，则这两个向量的坐标应满足什么关系？反之成立吗？
思考2：向量a与非零向量b为共线的一个等价条件是：有且只有一个实数λ使得a=λb,那么这个等价条件如何用坐标来表示呢？
思考3：已知点，若点P分别是线段的中点、三等分点，如何用向量方法求点P的坐标？
思考4：一般地，若点，点P是直线上一点，且（R），那么点P的坐标有何计算公式？
【自主学习检测】
1．已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),则向量ab等于( )
A.(-2,-1) B.(-2,1) C.(-1,0) D.(-1,2)
2．已知a=(4,2),b=(6,y),且a∥b,则 y=
3．在△ABC中,已知点A(3,7)、B(-2,5).若线段AC、BC的中点都在坐标轴上,求点C的坐标.
㈢典型例题
例1． 已知a=(2,1),b=(-3,4),求a+b,a-b,3a+4b的坐标.
例2． 如图2,已知ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是(-2,1)、(-1,3)、(3,4),试求顶点D的坐标.
例3 已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),试判断A、B、C三点之间的位置关系.
(四)【知识提升】（超出别人定是你的追求！）
已知点A(1,2),B(4,5),O为坐标原点,=+t.若点P在第二象限,求实数t的取值范围.
思路小结：
【归纳小结】
1. 向量的坐标运算是根据向量的坐标表示和向量的线性运算律得出的结论，它符合实数的运算规律，并使得向量的运算完全代数化.
2.对于两个非零向量共线的坐标表示，可借助斜率相等来理解和记忆.
3.利用向量的坐标运算，可以求点的坐标，判断点共线等问题，这是一种向量方法，体现了向量的工具作用.
【自我反思】
【作业】 教材P101 A组 4，6，7题湖南省岳阳县一中 数学导学案 高一（下） 必修四 平面向量
第二章 平面向量
第八课时 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【学习目标】:
1．通过探究平面向量的数量积的坐标运算,掌握两个向量数量积的坐标表示方法.
2．掌握两个向量垂直的坐标条件以及能运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题.
3．通过平面向量数量积的坐标表示,进一步加深学生对平面向量数量积的认识,提高学生的运算速度,培养学生的运算能力,培养学生的创新能力,提高学生的数学素质.
【学习重点】：平面向量数量积的坐标表示.
【学习难点】：向量数量积的坐标表示的应用.
【学习过程】: 自主学习教材P106-107
㈠思考探究:（想一想,动一动）
已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),怎样用a与b的坐标表示a·b呢
㈡探求新知：
探究1：平面向量数量积的坐标表示
思考1：设i、j是分别与x轴、y轴同向的两个单位向量，若两个非零向量a＝,b＝，则向量a与b用向量i、j分别如何表示？
思考2：根据数量积的运算性质，a·b等于什么？
探究2：向量的模和夹角的坐标表示
思考1：设向量a＝(x，y)，利用数量积的坐标表示，︱a︱等于什么？
思考2：如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为，，那么向量a的坐标如何表示？︱a︱等于什么？
思考3：设向量a＝,b＝，若a⊥b，则之间的关系如何？反之成立吗？
思考4：设a、b是两个非零向量，其夹角为θ，若a＝,b＝，那么
cosθ如何用坐标表示？
【自主学习检测】:
1.设a＝(5，y)，b＝(-6，-4)，且a·b=-2，则y= 。
2.已知a＝(2，4)，与a平行的单位向量的坐标是 ，与a垂直的单位向量的坐标是 。
3.平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2，0)，| b|=1，则|a+2b|= 。
㈢典型例题：
例1. 已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),试判断△ABC的形状,并给出证明.
变式：在△ABC中,=(2,3),=(1,k),且△ABC的一个内角为直角,求k的值.
例2. 已知向量，它们的夹角为，当分别取什么实数时，为
（1）直角 （2）锐角 （3）钝角
例3．已知中，，是边上的高，求及点的坐标
(四)【知识提升】：（超出别人定是你的追求！）
已知a与b是两个非零向量，同时满足|a|=| b|=| a-b|，求a与a+b的夹角.（用多种不同方法求解）
思路小结：
(五)练习达标：见学海导航
【归纳小结】
完成下表：
数量积a·b 模︱a︱ cos
垂直a⊥b 平行a∥b
向量形式
坐标形式
【自我反思】：
【作业】: P108习题2.4A组T9，10
PAGE
4
1第二章 平面向量
第二课时 向量加法运算及其几何意义
【学习目标】
1.通过经历向量加法的探究,掌握向量加法概念,结合物理学实际理解向量加法的意义.能熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则,并能作出已知两向量的和向量.
2.在应用活动中,理解向量加法满足交换律和结合律及表述两个运算律的几何意义.掌握有特殊位置关系的两个向量的和,比如共线向量、共起点向量、共终点向量等.
3.通过本节内容的学习,认识事物之间的相互转化,培养数学应用意识,体会数学在生活中的作用.培养类比、迁移、分类、归纳等能力.
【学习重点】向量加法的运算及其几何意义.
【学习难点】对向量加法法则定义的理解.
【学习过程】自主学习教材P80——83
㈠思考探究:（想一想,动一动）(1)2004年大陆和台湾没有直航,因此春节探亲,要先从台北到香港,再从香港到上海,这两次位移之和是什么 怎样列出数学式子？
(2)一位同学按以下的命令进行活动:向北走20米,再向西走15米,再向东走5米,最后向南走10米,怎样计算他所在的位置
㈡探求新知：
探究一：向量加法的几何运算法则
思考1：某人先从点A到点B， (1) 若再从点B按原方向到点C，则两次位移的和可用哪个向量表示？(2)若再从点B按反方向到点C呢 (3)若再从点B改变方向到点C呢 由此可得什么结论？
思考2：从上述事例,请你概括一下向量的加法运算及其运算法则.对于两个向量与，如何用这个法则求其和向量？
思考3: 如 图(1)表示橡皮条在两个力的作用下,沿着GC的方向伸长了EO；图(2)表示撤去F1和F2,用一个力F作用在橡皮条上,使橡皮条沿着相同的方向伸长相同的长度.
改变力F1与F2的大小和方向,重复以上的实验,你能发现F与F1、F2之间的关系吗
思考4：从思考3请你概括一下两个向量的加法的另一个运算法则. 对于两个向量与，如何用这个法则求其和向量？
探究二：向量加法的代数运算性质
思考1：零向量与任一向量a可以相加吗？
思考2：若向量a与b为相反向量，则a＋b等于什么？反之成立吗？
思考3：若向量a与b同向，则向量a＋b的方向如何？若向量a与b反向，则向量a＋b的方向如何？
思考4：|a＋b|与|a|＋|b|的大小关系如何？|a＋b|与|a|－|b|的大小关系如何？
思考5：实数的加法运算满足交换律，即对任意a，b∈R，都有a＋b=b＋a.那么向量的加法也满足交换律吗？如何检验？
思考6：实数的加法运算满足结合律，即对任意a，b，c∈R，都有（a＋b）＋c=a＋（b＋c）.那么向量的加法也满足结合律吗？如何检验？
【自主学习检测】:
1.化简:(1)+; (2)++; (3)++++.
2.用向量方法证明对角线互相平分的四边形是平行四边形.
3.如图,O为正六边形ABCDEF的中心,作出下列向量:
(1)+;(2)+;(3)+.
㈢典型例题：
例1 如图,已知向量a、b,求作向量a+b.
例2 长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡进行运输.如图所示,一艘船从长江南岸A点出发,以5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度为向东2 km/h.
(1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度(保留两个有效数字);
(2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水速度间的夹角表示,精确到度).
(四)【知识提升】：（超出别人定是你的追求！）
在长江的某渡口处,江水以12.5 km/h的速度向东流,渡船的速度是25 km/h,渡船要垂直地渡过长江,其航向应如何确定？
思路小结：
【归纳小结】
1.向量概念源于物理，位移的合成是向量加法三角形法则的物理模型，力的合成是向量加法平行四边形法则的物理模型.
2.任意多个向量可以相加，并可以按任意次序、组合进行.若平移这些向量使其首尾相接，则以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点的向量，即为这些向量的和.
3.两个向量的和的模不大于这两个向量的模的和，这是一个不等式性质，解题中具有一定的功能作用
【自我反思】：
【作业】: 习题2.2 A组 2,3