3.4 导数在实际生活中的应用 同步测试 （苏教版选修1-1）

3.4 导数在实际生活中的应用 同步测试
1．把长为12厘米的细铁丝锯成两断，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形最小的面积之和是________．
解析：设一个三角形的边长为x cm，则另一个三角形的边长为(4－x)cm，两个三角形的面积和为
S＝x2＋(4－x)2＝x2－2x＋4.
令S′＝x－2＝0，则x＝2，所以Smin＝2.
答案：2 cm2
2．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为________．
解析：∵x>0，y′＝－x2＋81＝(9－x)(9＋x)，
令y′＝0，x＝9.∴x∈(0,9)，y′>0；
x∈(9，＋∞)，y′<0，y先增后减，
∴x＝9时函数取最大值．
答案：9万件
3．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则其高为________．
解析：设圆锥的高为h cm，
∴V圆锥＝π(400－h2)×h，
∴V′(h)＝π(400－3h2)．令V′(h)＝0，
得h2＝，∴h＝ (cm)．
答案： cm
4．某商品一件的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，当每件商品的定价为________元时，利润最大．
解析：利润为S(x)＝(x－30)(200－x)
＝－x2＋230x－6000，S′(x)＝－2x＋230，
由S′(x)＝0得x＝115，这时利润达到最大．
答案：115
一、填空题
1．设底为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为________．
解析：设底面边长为x，高为h，
∴x2·h＝V，∴h＝＝.
∴S表＝2·x2＋3x·h＝x2＋，
S′(x)＝x－，令S′(x)＝0可得x＝，
∴x3＝4V，∴x＝.
答案：
2．某车间靠墙壁要盖一间矩形小屋，现有存砖只够砌20 m长的墙壁，则应围成与墙平行的边长为________m，与墙垂直的边长为________m的矩形才能使小屋面积最大(门的大小忽略不计)．
解析：设与墙平行的一边长为x m，与墙垂直的一边长为y m，则x＋2y＝20，y＝10－(0S＝x·y＝x＝10x－，S′＝10－x，
令S′＝0，所以x＝10，y＝5.
答案：10　5
3．一房地产公司有50套公寓要出租，当月租金定为1000元时，公寓会全部租出去，当月租金每增加50元，就会多一套租不出去，而租出去的公寓每月需花费100元维修费，则房租定为________元时可获得最大收入．
解析：设x套为没有租出去的公寓数，则收入函数f(x)＝(1000＋50x)(50－x)－100(50－x)，
∴f′(x)＝1600－100x，令1600－100x＝0，得x＝16.
∴当x＝16时，f(x)取最大值，即把租金定为1000＋16×50＝1800元时，收入最大．
答案：1800
4．某工厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁．当砌壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为________．
解析：要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短，如图所示，设场地宽为x米，则长为米，
因此新墙总长度L＝2x＋(x>0)，则L′＝2－.
令L′＝0，得x＝±16.
∵x>0，∴x＝16.
当x＝16时，L极值＝Lmin＝64，
∴堆料场的长为＝32(米)．
答案：32米，16米
5．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________．
解析：设底面半径为r，高为h，
∴πr2·h＝27π，
∴r2·h＝27，∴h＝.
∴S表＝2πr·h＋πr2＝＋πr2.
∴S′(r)＝2πr－54πr－2，令S′(r)＝0，
∴r＝3.
答案：3
6．已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，则这种矩形中面积最大的矩形边长分别为________．
解析：设位于抛物线y＝4－x2(－20，则另一个在曲线上的顶点为(－x，y)，在x轴上的两个顶点分别为(－x,0)，(x,0)．设矩形的面积为S，则S＝2x(4－x2)(00；当答案：，
7．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1(万元)与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2(万元)与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，y1和y2分别为2万元和8万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．
解析：依题意可设每月土地占用费y1＝，每月库存货物的运费y2＝k2x，其中x是仓库到车站的距离，k1，k2是比例系数．
于是由2＝，得k1＝20；由8＝10k2，得k2＝.
因此，两项费用之和为y＝＋(x>0)，y′＝－＋，令y′＝0，得x＝5，或x＝－5(舍去)．当05时，y′>0.因此，当x＝5时，y取得极小值，也是最小值．故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小．
答案：5
8．横梁的强度和它的矩形横断面的宽成正比，并和矩形横断面的高的平方成正比，要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，则横断面的宽是________．
解析：如图所示，设矩形横断面的宽为x，高为y.由题意，知当xy2取最大值时，横梁的强度最大．
∵y2＝d2－x2，
∴xy2＝x(d2－x2)(0令f(x)＝x(d2－x2)(0得f′(x)＝d2－3x2，令f′(x)＝0，
解得x＝，或x＝－(舍去)．
当00；当因此，当x＝时，f(x)取得极大值，也是最大值．
答案：d
二、解答题
9．(2011年泰安模拟)某种产品每件成本为6元，每件售价为x元(x>6)，年销量为u万件，若已知－u与(x－)2成正比，且售价为10元时，年销量为28万件．
(1)求年销售利润y关于x的函数关系式；
(2)求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润．
解：(1)设－u＝k(x－)2，
∵售价为10元时，年销量为28万件，
∴－28＝k(10－)2，解得k＝2.
∴u＝－2(x－)2＋
＝－2x2＋21x＋18.
∴y＝(－2x2＋21x＋18)(x－6)
＝－2x3＋33x2－108x－108.
(2)y′＝－6x2＋66x－108
＝－6(x2－11x＋18)
＝－6(x－2)(x－9)
令y′＝0得x＝2(∵x>6，舍去)或x＝9.
显然，当x∈(6,9)时，y′>0；
当x∈(9，＋∞)时，y′<0.
∴函数y＝－2x3＋33x2－108x－108在(6,9)上是关于x的增函数，在(9，＋∞)上是关于x的减函数，
∴当x＝9时，y取最大值，且ymax＝135.
∴售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元．
10．某商场预计2011年从1月份起前x个月，顾客对某种商品的需求总量p(x)件与月份x的近似关系是
p(x)＝x(x＋1)(39－2x)(x∈N*，且x≤12)．
该商品的进价q(x)元与月份x的近似关系是
q(x)＝150＋2x(x∈N*，且x≤12)．
(1)写出今年第x月的需求量f(x)与月份x的函数关系式；
(2)该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每年都能满足市场需求，则此商场今年销售该商品的月利润预计最大是多少元？
解：(1)当x＝1时，f(1)＝p(1)＝37；
当2≤x≤12时，f(x)＝p(x)－p(x－1)
＝x(x＋1)(39－2x)－(x－1)x(41－2x)
＝－3x2＋40x(x∈N*，且2≤x≤12)．
验证x＝1符合f(x)＝－3x2＋40x，
∴f(x)＝－3x2＋40x(x∈N*，且1≤x≤12)．
(2)该商场预计销售该商品的月利润为
g(x)＝(－3x2＋40x)(185－150－2x)
＝6x3－185x2＋1400x(x∈N*，且1≤x≤12)，
g′(x)＝18x2－370x＋1400，
令g′(x)＝0，解得x＝5，x＝(舍去)．
当1≤x<5时，g′(x)>0；
当5∴当x＝5时，g(x)max＝g(5)＝3125(元)．
综上5月份的月利润最大是3125元．
11．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶时每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为：y＝x3－x＋8(0(1)当该种型号的汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
(2)当该种型号的汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地的耗油量最少？最少为多少升？
解：(1)当x＝40时，该种型号的汽车从甲地到乙地行驶了100÷40＝2.5(小时)，耗油量为
×2.5＝17.5(升)．
故当该种型号的汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油17.5升．
(2)当速度为x千米/小时时，该种型号的汽车从甲地到乙地行驶了小时，则耗油量为
h(x)＝·
＝x2＋－(0求导数，得h′(x)＝－＝.
令h′(x)＝0，得x＝80.
当x∈(0,80)时，h′(x)<0；当x∈(80,120]时，h′(x)>0.所以当x＝80时，h(x)取得极小值h(80)＝11.25.
因为h(x)在(0,120]上只有一个极值，
所以该极值也就是最小值．
所以当该种型号的汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地的耗油量最少，最少为11.25升．