3.3.1 导数在研究函数中的应用 同步测试 （苏教版选修1-1）

3.3.1 导数在研究函数中的应用 同步测试
1．函数y＝x3＋x2－5x－5的单调递增区间是________．
解析：令y′＝3x2＋2x－5>0得x<－或x>1.
答案：(－∞，－)，(1，＋∞)
2．若f(x)在(a，b)内存在导数，则f′(x)<0是f(x)在(a，b)内单调递减的________条件．
解析：对于导数存在的函数f(x)，若f′(x)<0，则f(x)在区间(a，b)内单调递减，反过来，函数f(x)在(a，b)内单调递减，不一定恒有f′(x)<0，如f(x)＝－x3在R上是单调递减的，但f′(0)＝0.
答案：充分不必要
3．函数y＝x2－lnx的单调减区间为________．
解析：y′＝x－，令y′<0，有x<－1或00，∴0答案：(0,1)
4．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是________．
解析：f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，
令f′(x)>0，解得x>2.
答案：(2，＋∞)
一、填空题
1．函数f(x)＝lnx－ax(a>0)的单调递增区间为________．
解析：∵f(x)的定义域为(0，＋∞)，
由f′(x)＝－a>0得0答案：(0，)
2．若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－7在R上单调递增，则实数a，b一定满足的条件是________．
解析：∵f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由于f(x)在R上递增，故f′(x)≥0在R上恒成立．故只需Δ＝4a2－12b≤0?a2－3b≤0.
答案：a2－3b≤0
3．函数f(x)＝ax3－x在R上为减函数，则a的取值范围是________．
解析：f′(x)＝3ax2－1，∵f(x)在R上为减函数，∴f′(x)≤0在R上恒成立，∴a≤0，经检验a＝0符合题意．
答案：a≤0
4．在区间(－1,1)内不是增函数的函数是________．
①y＝ex＋x；②y＝sinx；
③y＝x3－6x2＋9x＋2；④y＝x2＋x＋1.
解析：①y＝ex＋x，y′＝ex＋1>0，在区间(－1,1)内是增函数；
②y＝sinx，y′＝cosx>0，在区间(－1,1)内是增函数；
③y＝x3－6x2＋9x＋2，y′＝3x2－12x＋9＝3(x－2)2－3>0，在区间(－1,1)内是增函数；
④y＝x2＋x＋1，y′＝2x＋1，在区间(－，1)内y′>0，在区间(－1，－)内y′<0，在区间(－1,1)内不单调．
答案：④
5．设f(x)、g(x)是定义域为R的恒大于零的可导函数，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，则当a①f(x)g(x)>f(b)g(b)；
②f(x)g(a)>f(a)g(x)；
③f(x)g(b)>f(b)g(x)；
④f(x)g(x)>f(a)g(a)．
解析：令F(x)＝，则F′(x)＝<0.又∵f(x)、g(x)是定义域为R的恒大于零的可导函数，∴F(x)在R上为递减函数，∴当x∈(a，b)时，>.∴f(x)g(b)>f(b)g(x)．
答案：③
6．若函数f(x)＝2x3＋ax2＋1(a为常数)在区间(－∞，0)和(2，＋∞)内单调递增，且在区间(0,2)内单调递减，那么常数a的值为________．
解析：f′(x)＝6x2＋2ax，令6x2＋2ax<0，若a>0，解得－答案：－6
7．若f(x)＝ax3＋x恰有三个单调区间，则实数a的取值范围是________．
解析：f′(x)＝3ax2＋1.①若a>0，则f′(x)>0，此时函数f(x)只有一个单调区间，不合题意；②若a＝0，则f′(x)＝1，此时f(x)也只有一个单调区间，不合题意；③若a<0，f′(x)＝3a(x＋)(x－)，此时恰好有三个单调区间．
答案：(－∞，0)
8．已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示，其中f′(x)是函数f(x)的导函数，则y＝f(x)的图象大致是图中的________．
解析：由y＝xf′(x)的图象，知当x<－1时，f′(x)>0，这时f(x)是增函数．
同理，当－1答案：③
二、解答题
9．求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝3x2－lnx；
(2)f(x)＝－ax3＋x2＋1(a≤0)．
解：(1)函数的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝6x－＝，
令f′(x)>0，即>0.
∵x>0，∴6x2－1>0，∴x>.
令f′(x)<0，即<0.
∵x>0，∴6x2－1<0，∴0∴f(x)的单调递增区间为，
单调递减区间为.
(2)①当a＝0时，f(x)＝x2＋1，其减区间为(－∞，0)，增区间为(0，＋∞)．
②当a<0时，
∵f′(x)＝－ax2＋2x，
f′(x)>0?(－ax＋2)x>0?x>0?x>0或x<.
f′(x)<0?故f(x)的递增区间为和(0，＋∞)，递减区间为.
综上：当a＝0时，f(x)递增区间为(0，＋∞)，递减区间为(－∞，0)；
当a<0时，f(x)递增区间为和(0，＋∞)，递减区间为.
10．设函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax＋8，其中a∈R，若f(x)在区间(－∞，0)上为增函数，求a的取值范围．
解：f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a＝6(x－a)(x－1)，
令f′(x)＝0得x1＝a，x2＝1.
①当a<1时，若x∈(－∞，a)∪(1，＋∞)，则f′(x)>0，
所以f(x)在(－∞，a)和(1，＋∞)上为增函数，
故当0≤a<1时，f(x)在(－∞，0)上为增函数．
②当a≥1时，若x∈(－∞，1)∪(a，＋∞)，则f′(x)>0，
所以f(x)在(－∞，1)和(a，＋∞)上为增函数，
从而f(x)在(－∞，0)上也为增函数．
综上所述，当a∈[0，＋∞)时，f(x)在(－∞，0)上为增函数．
11．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋1，a∈R.
(1)讨论函数f(x)的单调区间；
(2)设函数f(x)在区间内是减函数，求a的取值范围．
解：(1)f(x)＝x3＋ax2＋x＋1，f′(x)＝3x2＋2ax＋1，
当Δ＝(2a)2－3×4＝4a2－12≤0，即－≤a≤时，
f′(x)≥0恒成立，此时，f(x)为单调递增函数，单调区间为(－∞，＋∞)．
当Δ＝(2a)2－3×4＝4a2－12>0，即a>或a<－时，函数f′(x)存在零解．
此时，当x<或x>时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；
当综上，当－≤a≤时，f(x)的单调递增区间为[－∞，＋∞)．
当a>或a<－时，f(x)的单调递增区间为(－∞，)和(，＋∞)，f(x)的单调递减区间为.
(2)若函数在区间内是减函数，则说明f′(x)＝3x2＋2ax＋1＝0两根在区间外，
因此f′≤0，且f′≤0，解得a≥2.
因此a的取值范围是[2，＋∞)．