3.3.2 导数在研究函数中的应用 同步测试 （苏教版选修1-1）

3.3.2 导数在研究函数中的应用 同步测试
1．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点________个．
解析：当f′(x)>0时，f(x)单调递增，f′(x)<0时，f(x)单调递减．
极小值点应有先`减后增的特点，
即f′(x)<0→f′(x)＝0→f′(x)>0.
由图象可知只有1个极小值点．
答案：1
2．关于函数的极值，下列说法正确的是________．
①导数为零的点一定是函数的极值点
②函数的极小值一定小于它的极大值
③f(x)在定义域内最多只能有一个极大值一个极小值
④若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数
答案：④
3．函数f(x)＝x3－ax2－bx＋a2，在x＝1时有极值10，则a、b的值为________．
解析：f′(x)＝3x2－2ax－b，因在x＝1处f(x)有极值，所以f′(1)＝0，∴3－2a－b＝0.①
又∵f(x)极值＝10，
∴f(1)＝1－a－b＋a2＝10，
即a2－a－b－9＝0.②
由①②得a2＋a－12＝0.
∴a＝3，或a＝－4.
∴或
但当a＝3，b＝3时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，f(x)在R上单调递增，不存在极值，舍去．故a＝－4，b＝11.
答案：－4,11
4．函数f(x)＝x3－6x＋a的极大值为________，极小值为________．
解析：f′(x)＝3x2－6＝3(x＋)(x－)．
令f′(x)＝0得x1＝－，x2＝.
当x<－时，f′(x)>0；
当－当x>时，f′(x)>0.
∴f(x)的极值为f(x)极大值＝f(－)＝4＋a.
f(x)极小值＝f()＝－4＋a.
答案：4＋a　－4＋a
一、填空题
1．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为________．
解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，
依题意得Δ>0即4a2－4×3(a＋6)>0，
解得a>6或a<－3.
答案：a>6或a<－3
2．(2011年苏州模拟)若函数f(x)＝在x＝1处取得极值，则a＝________.
解析：f′(x)＝，由f′(1)＝0，得a＝3.
答案：3
3．函数y＝sin(x＋)＋π在区间[－π，π]上取极大值时x的值为________．
解析：y＝sin(x＋)＋π＝cosx＋π，y′＝－sinx.令y′>0，则－π 答案：0
4．直线y＝a与函数y＝x3－3x的图象有相异的三个交点，则a的取值范围是________．
解析：易求当x＝－1时有y极大值＝2，当x＝1时有y极小值＝－2，由函数y＝x3－3x的图象可知，若直线与函数图象有三个不同交点，则y极小值答案：(－2,2)
5．若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值为13，则实数m等于________．
解析：y′＝－3x2＋12x，由y′＝0，得x＝0或x＝4，容易得出当x＝4时函数取得极大值，所以－43＋6×42＋m＝13，解得m＝－19.
答案：－19
6．(2011年苏州模拟)若函数f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围是________．
解析：由f′(x)＝3x2－6b＝0，得x＝±(b>0)，
∴0<<1，∴0答案：07．若函数f(x)＝x·2x在x0处有极小值，则x0等于________．
解析：∵y＝x·2x，
∴y′＝2x＋x·2x·ln2＝2x·(1＋x·ln2)．
令y′＝0可得：x＝－.
当x∈时，y′<0，
当x∈时，y′>0.
∴x＝－为极小值点．
答案：－
8．已知函数f(x)＝x3＋x2－2x＋m的图象不经过第四象限，则实数m的取值范围是________．
解析：由于f′(x)＝x2＋x－2，令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝1.
当x<－2时，f′(x)>0，f(x)是增函数；当－21时，f′(x)>0，f(x)是增函数，∴f(x)在x＝－2时取得极大值，且f(－2)＝＋m；f(x)在x＝1时取得极小值，且f(1)＝－＋m，因此要使函数f(x)的图象不经过第四象限，应使其极小值不小于零，即－＋m≥0，m≥，故m的取值范围是m≥.
答案：m≥
二、解答题
9．设函数f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.
(1)若f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1x2＝1，求实数a的值；
(2)是否存在实数a，使得f(x)是(－∞，＋∞)上的单调函数？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
解：(1)f′(x)＝18x2＋6(a＋2)x＋2a，令f′(x)＝0，
由题意知，18x2＋6(a＋2)x＋2a＝0的两根为x1，x2，
x1x2＝1＝，∴a＝9.
(2)由f′(x)＝18x2＋6(a＋2)x＋2a，开口向上，
Δ＝36(a＋2)2－8×18a＝36(a2＋4)>0恒成立，
∴18x2＋6(a＋2)x＋2a＝0有两个不等根．
故不存在a使f(x)单调．
10．已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．
解：(1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)．
当a<0时，对x∈R，有f′(x)>0，
∴当a<0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)；
当a>0时，由f′(x)>0解得x<－，或x>，
由f′(x)<0解得－∴当a>0时，f(x)的单调增区间为(－∞，－)，(，＋∞)，
f(x)的单调减区间为(－，)．
(2)∵f(x)在x＝－1处取得极值，
∴f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0.∴a＝1.
∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3.
由f′(x)＝0解得x1＝－1，x2＝1，
由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.
∵直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，
又f(－3)＝－19<－3，f(3)＝17>1，
结合f(x)的单调性可知m的取值范围是(－3,1)．
11．设函数y＝x3＋ax2＋bx＋c的图象如图所示，且与y＝0在原点相切，若函数的极小值为－4.
(1)求a、b、c的值；
(2)求函数的递减区间．
解：(1)因为函数的图象经过点(0,0)，易得c＝0.
又图象与x轴相切于点(0,0)，且y′＝3x2＋2ax＋b.
故0＝3×02＋2a×0＋b，解得b＝0.
所以y＝x3＋ax2，则y′＝3x2＋2ax.
令y′＝0，解得x＝0或x＝－a，
即x＝0和x＝－a是极值点．
由图象知函数在x＝0时取极大值，故在x＝－a时取极小值．
当x＝－a时，函数有极小值－4，
所以3＋a2＝－4，
整理得a3＝－27，解得a＝－3.
故a＝－3，b＝0，c＝0.
(2)由(1)得y＝x3－3x2，则y′＝3x2－6x，
令y′<0，即y′＝3x2－6x<0，解得0所以，函数的递减区间是(0,2)．