3.3.3 导数在研究函数中的应用 同步测试 （苏教版选修1-1）

3.3.3 导数在研究函数中的应用 同步测试
1．函数f(x)＝4x－x4在[－1,2]上的最大值是________．
解析：f′(x)＝4－4x3，令f′(x)＝0，得x＝1，又当x<1时，f′(x)>0，当x>1时，f′(x)<0，∴f(x)＝4x－x4在x＝1时取得最大值f(1)＝3.
答案：3
2．函数f(x)＝xlnx在(0，＋∞)上的最小值为________．
解析：f′(x)＝(xlnx)′＝x′·lnx＋x·(lnx)′＝lnx＋1.由f′(x)>0，得x>；由f′(x)<0，得x<.∴f(x)＝xlnx在x＝处取得极小值f()＝－，∴－就是f(x)在(0，＋∞)上的最小值．
答案：－
3．函数f(x)＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值和最小值的和是________．
解析：f′(x)＝6x2－6x－12，令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝2.但x∈[0,3]，∴x＝－1舍去，∴x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
0
(0,2)
2
(2,3)
3
f′(x)
－
0
＋
f(x)
5
?
－15
?
－4
由上表，知f(x)max＝5，f(x)min＝－15，
所以f(x)max＋f(x)min＝－10.
答案：－10
4．函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g(x)＝在区间[1，＋∞)上一定有________(最大或最小值)．
解析：由函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，可得a的取值范围为a<1，
∴g(x)＝＝x＋－2a，
则g′(x)＝1－.
易知在x∈(1，＋∞)上g′(x)>0，
∴g(x)为增函数．
答案：最小值
一、填空题
1．函数f(x)＝x(1－x2)在[0,1]上的最大值为________．
解析：f(x)＝x－x3，∴f′(x)＝1－3x2.
当x＝时，f′(x)＝0；当x∈时，f′(x)>0；
当x∈时，f′(x)<0.
∴f＝为极大值，而f(0)＝0，f(1)＝0，
∴f(x)的最大值是f＝.
答案：
2．函数y＝5－36x＋3x2＋4x3在区间[－2，＋∞)上的最大值为________，最小值为________．
解析：y′＝－36＋6x＋12x2，令y′＝0，得x1＝－2，x2＝，当x>时，函数为增函数，所以无最大值，
f(－2)＝57，f＝－28，
所以最小值为－28.
答案：不存在　－28
3．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为________．
解析：∵f′(x)＝3x2－3a，令f′(x)＝0，可得a＝x2，
又∵x∈(0,1)，∴0答案：04．函数y＝x＋2 cosx在区间[0，]上的最大值是________．
解析：令y′＝1－2sinx＝0，得x＝，
比较0，，处的函数值，得ymax＝＋.
答案：＋
5．若函数f(x)＝ax2＋4x－3在[0,2]上有最大值f(2)，则a的取值范围是________．
解析：f′(x)＝2ax＋4，由f(x)在[0,2]上有最大值f(2)，则要求f(x)在[0,2]上单调递增，则2ax＋4≥0在[0,2]上恒成立．当a≥0时，2ax＋4≥0恒成立；当a<0时，要求4a＋4≥0恒成立，即a≥－1.∴a的取值范围是a≥－1.
答案：a≥－1
6．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，则m的值为________．
解析：f′(x)＝6x2－12x,6x2－12x＝0?x＝0或x＝2.
当x>2，或x<0时，f′(x)>0；
当0∴当x＝0时，f(x)取得极大值，当x＝2时，f(x)取得极小值．又f(0)＝m，f(2)＝m－8，f(－2)＝m－40，
∴f(x)的最大值为f(0)＝3.∴m＝3.
答案：3
7．设函数f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对于任意x∈[－1,1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为________．
解析：若x＝0，则不论a取何值，f(x)≥0显然成立；
当x>0，即x∈(0,1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≥－.
设g(x)＝－，则g′(x)＝.
所以，g(x)在区间(0，]上单调递增，在区间[，1]上单调递减．
因此，g(x)max＝g()＝4，从而a≥4；
当x<0，即x∈[－1,0)时，
f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≤－，
g(x)在区间[－1,0)上单调递增，
因此g(x)min＝g(－1)＝4，从而a≤4.
所以a＝4.
答案：4
8．已知函数f(x)＝x4－2x3＋3m，x∈R，若f(x)＋9≥0恒成立，则实数m的取值范围是________．
解析：因为函数f(x)＝x4－2x3＋3m，
所以f′(x)＝2x3－6x2，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝3，
经检验知x＝3是函数的一个最小值点，
所以函数的最小值为f(3)＝3m－，
因为不等式f(x)＋9≥0恒成立，即f(x)≥－9恒成立，
所以3m－≥－9，解得m≥.
答案：m≥
二、解答题
9．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a，求函数f(x)在区间[－2,2]上的最大值与最小值．
解：f′(x)＝－3x2＋6x＋9＝－3(x＋1)(x－3)．
令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝3.
f(－2)＝2＋a，f(－1)＝－5＋a，f(2)＝22＋a.
易知f(－1)所以函数f(x)在区间[－2,2]上的最大值为22＋a，最小值为－5＋a.
10．设解：f′(x)＝3x2－3ax＝3x(x－a)．
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况列表如下：

当x＝0时，f(x)取极大值b.
而f(0)>f(a)，f(－1)∴需要比较f(0)与f(1)的大小．
∵f(0)－f(1)＝a－1>0，
∴f(x)的最大值为f(0)＝b＝1.
又f(－1)－f(a)＝(a3－3a－2)
＝(a＋1)2(a－2)<0，
∴f(x)min＝f(－1)，
∴－a－1＋b＝－a＝－，∴a＝，b＝1.
11．设a∈R，函数f(x)＝ax3－3x2.
(1)若x＝2是函数y＝f(x)的极值点，求a的值；
(2)若函数g(x)＝f(x)＋f′(x)，x∈[0,2]，在x＝0处取得最大值，求a的取值范围．
解：(1)f′(x)＝3ax2－6x＝3x(ax－2)．
因为x＝2是函数y＝f(x)的极值点，所以f′(2)＝0，
即6(2a－2)＝0，因此a＝1.
经验证，当a＝1时，x＝2是函数y＝f(x)的极值点．
(2)由题设知，
g(x)＝ax3－3x2＋3ax2－6x＝ax2(x＋3)－3x(x＋2)．
当g(x)在区间[0,2]上的最大值为g(0)时，
g(0)≥g(2)，即0≥20a－24.故得a≤.
反之，当a≤时，对任意x∈[0,2]，
g(x)≤x2(x＋3)－3x(x＋2)＝(2x2＋x－10)
＝(2x＋5)(x－2)≤0，
而g(0)＝0，故g(x)在区间[0,2]上的最大值为g(0)．
综上，a的取值范围是.