2.3.2 双曲线 同步测试 （苏教版选修1-1）

2.3.2 双曲线 同步测试
1．(2011年高考湖南卷改编)设双曲线－＝1(a>0)的渐近线方程3x±2y＝0，则a的值为________．
解析：渐近线方程可化为y＝±x.∵双曲线的焦点在x轴上，∴＝(±)2，解得a＝±2，由题意知a>0，∴a＝2.
答案：2
2．若双曲线－＝1(a>0)的离心率为2，则a等于________．
解析：由－＝1可知b＝，而e＝＝＝2，所以a2＋3＝4a2，故a＝1.
答案：1
3．双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为________．
解析：双曲线－＝1的焦点(4,0)到渐近线y＝x的距离为d＝＝2.
答案：2
4．双曲线的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的离心率为________．
解析：由e＝及c2＝a2＋b2得e＝，
故当双曲线焦点在x轴上时，＝，
∴e＝＝.
当双曲线焦点在y轴上时，＝，
＝，∴e＝＝.
答案：或
一、填空题
1．(2011年高考北京卷)已知双曲线x2－＝1(b>0)的一条渐近线的方程为y＝2x，则b＝________.
解析：∵双曲线的焦点在x轴上，
∴＝2，
∴＝4.∵a2＝1，∴b2＝4.
又∵b>0，∴b＝2.
答案：2
2．若双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于________．
解析：双曲线的方程可化为y2－＝1，则a2＝1，b2＝－.由已知得b＝2a，解得m＝－.
答案：－
3．与双曲线x2－＝1有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的标准方程是________．
解析：依题意设双曲线的方程为x2－＝λ(λ≠0)，将点(2,2)代入求得λ＝3，
所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
答案：－＝1
4．如图所示，F1和F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，A和B是以O为圆心、|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则该双曲线的离心率为________．
解析：|AF2|＝|F1F2|·sin60°＝c，|AF1|＝|F1F2|·sin30°＝c.由双曲线的定义得|AF2|－|AF1|＝2a.即2a＝(－1)c，∴e＝＝＝＋1.
答案：＋1
5．已知双曲线－＝1的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是________．
解析：由题意知F(4,0)，双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，当过点F的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图形，通过图形可知该直线斜率的取值范围是.
答案：
6．过点P(3,0)的直线l与双曲线4x2－9y2＝36只有一个公共点，则这样的直线l共有________条．
解析：已知双曲线方程为－＝1，故P(3,0)为双曲线的右顶点，所以过P点且与双曲线只有一个公共点的直线共有三条(一条切线和两条与渐近线平行的直线)．
答案：3
7．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，点P在双曲线右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线离心率e的最大值为________．
解析：由|PF1|－|PF2|＝2a及|PF1|＝4|PF2|得：
|PF2|＝，又|PF2≥c－a，
所以≥c－a，c≤，
∴e＝≤，即e的最大值为.
答案：
8．设一个圆的圆心在双曲线－＝1的上支上，且恰好经过双曲线的上顶点和上焦点，则原点O到该圆圆心的距离是________．
解析：由已知得双曲线的上顶点为A(0,3)，上焦点为F(0,5)，设圆心为P(x0，y0)，则y0＝＝4.代入双曲线方程得－＝1，所以x＝，故|PO|＝＝＝.
答案：
二、解答题
9．如图所示，已知F1，F2为双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且∠PF1F2＝30°，求双曲线的渐近线方程．
解：∵在Rt△F1F2P中，∠PF1F2＝30°，
∴|PF1|＝2|PF2|.
由双曲线的定义知|PF1|－|PF2|＝2a，
∴|PF2|＝2a.
∴|F1F2|＝|PF2|，即2c＝2a，∴c2＝3a2.
又∵c2＝a2＋b2，∴2a2＝b2.∴＝.
故所求双曲线的渐近线方程为y＝±x.
10．如图，已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1与双曲线的交点P满足＝3，试求双曲线的离心率．
解：连结PF2，设|F1F2|＝2c，
由＝3知|PF1|
＝|MF1|.
又△MF1F2为正三角形，
∴|PF1|＝×2c＝c，
∠PF1F2＝60°，
由余弦定理可得：
|PF2|＝
＝＝c.
根据双曲线定义有
2a＝|PF2|－|PF1|＝c，
∴离心率e＝＝＝.
11．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线y＝kx＋m(k≠0，m≠0)与双曲线C交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线过点A(0，－1)，求实数m的取值范围．
解：(1)设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)．由已知得a＝，c＝2.又∵a2＋b2＝c2，∴b2＝1.∴双曲线C的方程为－y2＝1.
(2)由题意得整理得(1－3k2)·x2－6kmx－3m2－3＝0.
∵直线与双曲线C有两个不同的交点，
∴
解得m2>3k2－1.①
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
线段MN的中点为B(x0，y0)，则x1＋x2＝，
∴x0＝＝，y0＝kx0＋m＝.
由题意知AB⊥MN，
∴kAB＝＝－(k≠0，m≠0)，
整理得3k2＝4m＋1，②
将②代入①得m2－4m>0，∴m<0或m>4.
∵3k2＝4m＋1>0(k≠0)，∴m>－.
综上所述，－4.