2.4.1 抛物线 同步测试 （苏教版选修1-1）

2.4.1 抛物线 同步测试
1．(2011年高考陕西卷改编)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是________．
解析：因为抛物线的准线方程为x＝－2，所以＝2，
所以p＝4，
所以抛物线方程是y2＝8x.
答案：y2＝8x
2．抛物线x2＝4ay(a≠0)的准线方程为________．
解析：抛物线x2＝4ay(a≠0)的焦点坐标及准线方程与a的符号无关，只与焦点所在的坐标轴有关．∵抛物线的焦点在y轴上，∴准线方程为y＝－，即y＝－a.
答案：y＝－a
3．抛物线y＝12x2的焦点到准线的距离为________．
解析：将方程化为标准形式是x2＝y，因为2p＝，所以p＝，故焦点到准线的距离为.
答案：
4．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，那么|AB|的值为________．
解析：由抛物线定义可得|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.
答案：8
一、填空题
1．到定点A(3,0)和定直线l：x＝－3距离相等的点的轨迹是________．
解析：先判断出A?l，根据抛物线的定义知，动点的轨迹是以A为焦点，l为准线的抛物线．
答案：抛物线
2．以双曲线－＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为________．
解析：∵双曲线的方程为－＝1，∴右顶点为(4,0)．设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，则＝4，即p＝8，∴抛物线的标准方程为y2＝16x.故填y2＝16x.
答案：y2＝16x
3．已知定点F(0,2)，若动点M(x，y)满足|MF|＝y＋2，则点M的轨迹方程为________．
解析：由已知得点M到点F的距离等于点M到直线y＝－2的距离，故点M的轨迹方程为x2＝8y.
答案：x2＝8y
4．设抛物线的顶点坐标为(2,0)，准线方程为x＝－1，则它的焦点坐标为________．
解析：准线与坐标轴的交点和焦点连线的中点即为顶点．
答案：(5,0)
5．动点P到直线x＋4＝0的距离比它到点M(2,0)的距离大2，则点P的轨迹方程是________．
解析：由已知得动点P到直线x＝－2的距离等于P点到点M(2,0)的距离，故P点的轨迹为抛物线y2＝8x.
答案：y2＝8x
6．已知直线l经过抛物线y2＝8x的焦点F，且与抛物线交于A、B两点，若|AB|＝10，则线段AB的中点横坐标为________．
解析：已知抛物线y2＝8x的焦点为F(2,0)，准线为x＝－2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，由抛物线定义知|AB|＝x1＋x2＋4＝10，∴x1＋x2＝6，所以x0＝＝3.
答案：3
7．过点F(1,0)且与直线l：x＝－1相切的动圆圆心的轨迹方程是________．
解析：设动圆圆心为C(x，y)，则|FC|＝d，即点C的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，∴轨迹方程是y2＝4x.
答案：y2＝4x
8．类似于抛物线的拱桥，当水面离拱顶2 m时，水面宽4 m，若水面下降1 m后，则水面宽是________m.
解析：如图所示，建立平面直角坐标系．设抛物线的方程为x2＝my(m≠0)，将A(2，－2)代入方程得m＝－2，∴x2＝－2y，将yB＝－3代入得xB＝，∴水面宽是2xB＝2.
答案：2
二、解答题
9．若抛物线通过直线y＝x与圆x2＋y2＋6x＝0的两个交点，且以坐标轴为对称轴，求该抛物线的方程．
解：由得，或，
根据题意可设抛物线的方程为x2＝－2my(m>0)或y2＝－2px(p>0)，
则(－，－)在抛物线上，∴m＝，p＝，
∴方程为x2＝－y或y2＝－x.
10．已知抛物线x2＝4y，点P是抛物线上的动点，点A的坐标为(12,6)，求点P到点A的距离与到x轴的距离之和的最小值．
解：将x＝12代入x2＝4y，得y＝36>6，所以点A在抛物线外部．抛物线焦点为F(0,1)，准线l：y＝－1.如图所示，过P点作PB⊥l于点B，交x轴于点C，则|PA|＋|PC|＝|PA|＋|PB|－1＝|PA|＋|PF|－1.
由图可知，当A、P、F三点共线时，|PA|＋|PF|最小，所以|PA|＋|PF|的最小值为|FA|＝13，故|PA|＋|PC|的最小值为12.
11．如图所示，在△ABC中，⊥，＝(0，－2)，点M在y轴上，且＝(＋)，点C在x轴上运动，求点B的轨迹E的方程．
解：设B(x，y)，C(x0,0)，M(0，y0)(x0≠0)．
∵⊥，∴∠ACB＝.
∴·＝－1，即x＝2y0.①
∵点M在y轴上，且＝(＋)，
∴M是线段BC的中点．
∴解得
把②③代入①得y＝x2(x≠0)，
∴点B的轨迹E的方程为y＝x2(x≠0)．