2.4.2 抛物线 同步测试 （苏教版选修1-1）
文档属性
| 名称 | 2.4.2 抛物线 同步测试 （苏教版选修1-1） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 78.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2013-07-15 20:53:16 | ||
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2.4.2 抛物线 同步测试
1．(2011年高考辽宁卷改编)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为________．
解析：∵|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋＝3，
∴xA＋xB＝.
∴线段AB的中点到y轴的距离为＝.
答案：
2．抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，若其准线经过椭圆4x2＋9y2＝36的右焦点，则该抛物线方程为________．
解析：已知椭圆方程可化为＋＝1，其中c＝＝，故抛物线的准线为直线x＝，所以抛物线方程为y2＝－4x.
答案：y2＝－4x
3．抛物线y2＝x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标是________．
解析：由抛物线定义知，抛物线上的点到准线的距离等于其到焦点的距离，而焦点为F(，0)．故所求点坐标为(，±)．
答案：(，±)
4．过定点P(0,2)作直线l，使l与抛物线y2＝4x有且只有一个公共点，这样的直线l共有________条．
解析：如图，过点P与抛物线y2＝4x仅有一个公共点的直线有三条：二条切线、一条与x轴平行的直线．
答案：3
一、填空题
1．已知顶点与原点O重合，准线为直线x＝－的抛物线上有两点A(x1，y1)和B(x2，y2)，若y1·y2＝－1，则∠AOB的大小是________．
解析：由已知得抛物线方程为y2＝x，因此·＝x1x2＋y1y2＝y·y＋y1y2＝(－1)2＋(－1)＝0，故∠AOB＝90°.
答案：90°
2．M为抛物线x2＝2py(p>0)上任意一点，F为焦点，则以MF为直径的圆与x轴的位置关系是________．
解析：如图所示，设C为线段MF的中点，
即C为圆的圆心，过C作CC′⊥x轴，
过M作MM′⊥x轴，则|CC′|＝
(|MM′|＋|OF|)＝＝
|MF|，
∴该圆与x轴相切．
答案：相切
3．若抛物线x2＝－4y的通径为线段AB，O为抛物线的顶点，则下列说法正确的是________．
①通径长为8，△AOB的面积为4；
②通径长为8，△AOB的面积为2；
③通径长为4，△AOB的面积为4；
④通径长为4，△AOB的面积为2.
解析：由题意知|AB|＝2p＝4，∴S△AOB＝×4×1＝2.
答案：④
4．若点P在抛物线y2＝x上，点Q在圆(x－3)2＋y2＝4，则|PQ|的最小值为________．
解析：圆心C(3,0)，半径r＝2.设P(x，y)，则|PC|2＝(x－3)2＋y2＝(x－3)2＋x＝x2－5x＋9＝2＋≥，∴|PQ|min＝－2.
答案：－2
5．若点(3,1)是抛物线y2＝2px(p>0)的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p＝________.
解析：设弦的两个端点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，
则两式相减得＝＝2.
又∵y1＋y2＝2，∴p＝2.
答案：2
6．已知抛物线y2＝4x，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y＋y的最小值是________．
解析：显然x1>0，x2>0.又y＝4x1，y＝4x2，所以y＋y＝4(x1＋x2)≥8，当且仅当x1＝x2＝4时取等号，所以y＋y的最小值为32.
答案：32
7．如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l依次交抛物线及其准线于点A、B、C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为________．
解析：过A、B分别作准线的垂线AA′、BD，垂足分别为A′、D，则|BF|＝|BD|，
又2|BF|＝|BC|，
∴在Rt△BCD中，∠BCD＝30°，
又|AF|＝3，∴|AA′|＝3，∴|AC|＝6，
∴|AF|＋|FC|＝|AF|＋3|BF|＝6，
∴|BF|＝1，|AB|＝＝4，
2p＝4sin260°＝3，抛物线方程为y2＝3x.
答案：y2＝3x
8．已知抛物线y2＝8x，以坐标原点为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，|OA|＝|OB|，若焦点F是△OAB的重心，则△OAB的周长为________．
解析：如图所示．由|OA|＝|OB|可知AB⊥x轴，垂足为点M，又F是△OAB的重心，则|OF|＝|OM|.
∵F(2,0)，∴|OM|＝|OF|＝3.
∴M(3,0)，故设A(3，m)，代入y2＝8x得m2＝24，
∴m＝2或m＝－2.
∴A(3,2)．∴|OA|＝|OB|＝.
∴△OAB的周长为2＋4.
答案：2＋4
二、解答题
9．顶点在原点，焦点在x轴的抛物线截直线y＝－2x－1所得的弦长|AB|＝5，求抛物线的方程．
解：设抛物线的方程为y2＝2mx(m≠0)，点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2)，
?4x2＋(4－2m)x＋1＝0
?，
∴5＝·?m＝10或－6，
∴y2＝20x或y2＝－12x.
10．若直线l：y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A、B两点，且AB的中点为M(2，y0)，求y0及弦AB的长．
解：把y＝kx－2代入y2＝8x，得k2x2－(4k＋8)x＋4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
∵AB中点M(2，y0)，
∴x1＋x2＝4，即＝4，
解得k＝2或k＝－1.
又Δ＝16k2＋64k＋64－16k2>0，
∴k>－1，∴k＝2，
此时直线方程为y＝2x－2，
∵M(2，y0)在直线上，
∴y0＝2，|AB|＝|x2－x1|＝·＝2.
11．已知抛物线y2＝－x与直线y＝k(x＋1)相交于A、B两点．
(1)求证：OA⊥OB.
(2)当△OAB的面积等于时，求k的值．
解：(1)证明：如图所示，由方程组消去x后，整理得ky2＋y－k＝0.
设A(x1，y1)、B(x2，y2)，
由根与系数的关系y1·y2＝－1.
∵A、B在抛物线y2＝－x上，
∴y＝－x1，y＝－x2，y·y＝x1x2.
∵kOA·kOB＝·＝＝＝－1，∴OA⊥OB.
(2)设直线与x轴交于N，显然k≠0.
∴令y＝0，则x＝－1，即N(－1,0)．
∴S△OAB＝S△OAN＋S△OBN
＝|ON||y1|＋|ON||y2|
＝|ON|·|y1－y2|，
∴S△OAB＝·1·
＝.
∵S△OAB＝，∴＝，
解得k＝±.
1．(2011年高考辽宁卷改编)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为________．
解析：∵|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋＝3，
∴xA＋xB＝.
∴线段AB的中点到y轴的距离为＝.
答案：
2．抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，若其准线经过椭圆4x2＋9y2＝36的右焦点，则该抛物线方程为________．
解析：已知椭圆方程可化为＋＝1，其中c＝＝，故抛物线的准线为直线x＝，所以抛物线方程为y2＝－4x.
答案：y2＝－4x
3．抛物线y2＝x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标是________．
解析：由抛物线定义知，抛物线上的点到准线的距离等于其到焦点的距离，而焦点为F(，0)．故所求点坐标为(，±)．
答案：(，±)
4．过定点P(0,2)作直线l，使l与抛物线y2＝4x有且只有一个公共点，这样的直线l共有________条．
解析：如图，过点P与抛物线y2＝4x仅有一个公共点的直线有三条：二条切线、一条与x轴平行的直线．
答案：3
一、填空题
1．已知顶点与原点O重合，准线为直线x＝－的抛物线上有两点A(x1，y1)和B(x2，y2)，若y1·y2＝－1，则∠AOB的大小是________．
解析：由已知得抛物线方程为y2＝x，因此·＝x1x2＋y1y2＝y·y＋y1y2＝(－1)2＋(－1)＝0，故∠AOB＝90°.
答案：90°
2．M为抛物线x2＝2py(p>0)上任意一点，F为焦点，则以MF为直径的圆与x轴的位置关系是________．
解析：如图所示，设C为线段MF的中点，
即C为圆的圆心，过C作CC′⊥x轴，
过M作MM′⊥x轴，则|CC′|＝
(|MM′|＋|OF|)＝＝
|MF|，
∴该圆与x轴相切．
答案：相切
3．若抛物线x2＝－4y的通径为线段AB，O为抛物线的顶点，则下列说法正确的是________．
①通径长为8，△AOB的面积为4；
②通径长为8，△AOB的面积为2；
③通径长为4，△AOB的面积为4；
④通径长为4，△AOB的面积为2.
解析：由题意知|AB|＝2p＝4，∴S△AOB＝×4×1＝2.
答案：④
4．若点P在抛物线y2＝x上，点Q在圆(x－3)2＋y2＝4，则|PQ|的最小值为________．
解析：圆心C(3,0)，半径r＝2.设P(x，y)，则|PC|2＝(x－3)2＋y2＝(x－3)2＋x＝x2－5x＋9＝2＋≥，∴|PQ|min＝－2.
答案：－2
5．若点(3,1)是抛物线y2＝2px(p>0)的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p＝________.
解析：设弦的两个端点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，
则两式相减得＝＝2.
又∵y1＋y2＝2，∴p＝2.
答案：2
6．已知抛物线y2＝4x，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y＋y的最小值是________．
解析：显然x1>0，x2>0.又y＝4x1，y＝4x2，所以y＋y＝4(x1＋x2)≥8，当且仅当x1＝x2＝4时取等号，所以y＋y的最小值为32.
答案：32
7．如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l依次交抛物线及其准线于点A、B、C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为________．
解析：过A、B分别作准线的垂线AA′、BD，垂足分别为A′、D，则|BF|＝|BD|，
又2|BF|＝|BC|，
∴在Rt△BCD中，∠BCD＝30°，
又|AF|＝3，∴|AA′|＝3，∴|AC|＝6，
∴|AF|＋|FC|＝|AF|＋3|BF|＝6，
∴|BF|＝1，|AB|＝＝4，
2p＝4sin260°＝3，抛物线方程为y2＝3x.
答案：y2＝3x
8．已知抛物线y2＝8x，以坐标原点为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，|OA|＝|OB|，若焦点F是△OAB的重心，则△OAB的周长为________．
解析：如图所示．由|OA|＝|OB|可知AB⊥x轴，垂足为点M，又F是△OAB的重心，则|OF|＝|OM|.
∵F(2,0)，∴|OM|＝|OF|＝3.
∴M(3,0)，故设A(3，m)，代入y2＝8x得m2＝24，
∴m＝2或m＝－2.
∴A(3,2)．∴|OA|＝|OB|＝.
∴△OAB的周长为2＋4.
答案：2＋4
二、解答题
9．顶点在原点，焦点在x轴的抛物线截直线y＝－2x－1所得的弦长|AB|＝5，求抛物线的方程．
解：设抛物线的方程为y2＝2mx(m≠0)，点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2)，
?4x2＋(4－2m)x＋1＝0
?，
∴5＝·?m＝10或－6，
∴y2＝20x或y2＝－12x.
10．若直线l：y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A、B两点，且AB的中点为M(2，y0)，求y0及弦AB的长．
解：把y＝kx－2代入y2＝8x，得k2x2－(4k＋8)x＋4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
∵AB中点M(2，y0)，
∴x1＋x2＝4，即＝4，
解得k＝2或k＝－1.
又Δ＝16k2＋64k＋64－16k2>0，
∴k>－1，∴k＝2，
此时直线方程为y＝2x－2，
∵M(2，y0)在直线上，
∴y0＝2，|AB|＝|x2－x1|＝·＝2.
11．已知抛物线y2＝－x与直线y＝k(x＋1)相交于A、B两点．
(1)求证：OA⊥OB.
(2)当△OAB的面积等于时，求k的值．
解：(1)证明：如图所示，由方程组消去x后，整理得ky2＋y－k＝0.
设A(x1，y1)、B(x2，y2)，
由根与系数的关系y1·y2＝－1.
∵A、B在抛物线y2＝－x上，
∴y＝－x1，y＝－x2，y·y＝x1x2.
∵kOA·kOB＝·＝＝＝－1，∴OA⊥OB.
(2)设直线与x轴交于N，显然k≠0.
∴令y＝0，则x＝－1，即N(－1,0)．
∴S△OAB＝S△OAN＋S△OBN
＝|ON||y1|＋|ON||y2|
＝|ON|·|y1－y2|，
∴S△OAB＝·1·
＝.
∵S△OAB＝，∴＝，
解得k＝±.