2.5 圆锥曲线的共同性质 同步测试 （苏教版选修1-1）
文档属性
| 名称 | 2.5 圆锥曲线的共同性质 同步测试 （苏教版选修1-1） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 70.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2013-07-15 20:53:42 | ||
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文档简介
2.5 圆锥曲线的共同性质 同步测试
1．已知双曲线3x2－y2＝9，则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离之比等于________．
解析：∵3x2－y2＝9，
∴－＝1.
∴a＝，b＝3，c＝2.
∴e＝＝2.
答案：2
2．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则下列说法正确的是________．(填序号)
①|FP1|＋|FP2|＝|FP3|；
②|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2；
③|FP1|＋|FP3|＝2|FP2|；
④|FP2|2＝|FP1|·|FP3|.
解析：由题意得|FP1|＝x1＋，|FP2|＝x2＋，|FP3|＝x3＋.再由2x2＝x1＋x3得2＝＋，即2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|.
答案：③
3．如果双曲线的两个焦点分别为F1(－3,0)，F2(3,0)，一条渐近线方程为y＝x，那么它的两条准线之间的距离为________．
解析：由题意得c＝3，＝，∴a＝，∴d＝＝2.
答案：2
4．已知椭圆的方程＋＝1，点M(4，y0)，则M到右焦点F的距离为________．
解析：由已知可得，椭圆的右准线方程为x＝，
设M(4，y0)到右准线的距离为d，则＝e.
∴|MF|＝ed＝×＝.
答案：
一、填空题
1．已知双曲线－y2＝1(a>0)的一条准线方程为x＝，则双曲线的离心率为________．
解析：由双曲线的准线方程求基本量的值，进而求出离心率．∵准线方程为x＝，∴＝.① 又∵b2＝1，∴c2＝a2＋1.② 由①②得a＝，c＝2，∴e＝＝.故填.
答案：
2．设椭圆＋＝1(m>1)上一点P到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P到右准线的距离为________．
解析：∵m2>m2－1，∴m2＝a2，m2－1＝b2.
∴c2＝1.又3＋1＝2a，
∴a＝2.∴e＝.
∴d＝＝＝2.
答案：2
3．如图所示，P是椭圆＋＝1上任意一点，F是椭圆的左焦点，且＝(＋)，||＝4，则点P到该椭圆左准线的距离为________．
解析：因为＝(＋)，所以Q为线段PF的中点．因为||＝4，所以点P到右焦点F′的距离为8.所以|PF|＝2×5－8＝2.又因为＝e＝＝，所以d＝.
答案：
4．(2010年高考江西卷)点A(x0，y0)在双曲线－＝1的右支上，若点A到右焦点的距离等于2x0，则x0＝________.
解析：由－＝1知，a＝2，b＝4，∴c＝6，∴e＝＝3，
∴＝＝，由双曲线的第二定义知＝e，
即＝3，解得x0＝2.
答案：2
5．已知椭圆的两个焦点将长轴三等分，焦点到相应准线的距离为8，则该椭圆的长轴长为________．
解析：由题意得解得a＝3，∴2a＝6.
答案：6
6．已知直线l与抛物线y2＝8x交于A，B两点，且l经过抛物线的焦点，点A的坐标为(8,8)，则线段AB的中点到准线的距离是________．
解析：如图所示，抛物线y2＝8x的准线方程为x＝－2.因为l过抛物线的焦点，所以xA·xB＝＝＝4，即xB＝.所以线段AB的中点的横坐标为.所以中点到准线的距离为＋2＝.
答案：
7．如果双曲线－＝1上一点P到双曲线右焦点的距离是2，那么点P到y轴的距离是________．
解析：∵双曲线的离心率e＝＝，由双曲线的定义知，P点到右准线的距离d＝＝＝，∴P点到y轴的距离为.
答案：
8．若双曲线－＝1(a>0，b>0)上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是________．
解析：设e为双曲线离心率，c为半焦距，且a>0，
则e>a＋，
∴－＋<0，
∴2－－1>0，
∴3e2－5e－2>0，即(3e＋1)(e－2)>0.
又e>1，∴e>2.
答案：(2，＋∞)
二、解答题
9．已知双曲线－＝1的右焦点为F，点A(9,2)，试在这个双曲线上求一点M，使|MA|＋|MF|的值最小，并求出这个最小值．
解：如图所示，l为双曲线的右准线，M为双曲线上任意一点，分别作MN⊥l，AB⊥l交于N、B两点．
∵离心率e＝，
∴由双曲线的统一定义有＝e，即|MN|＝|MF|.
∴|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MN|≥|AB|.
当且仅当M为AB与双曲线右支的交点时，|MA|＋|MF|取得最小值．此时，点M的坐标为，最小值为9－＝9－＝.
10．双曲线－＝1(a>0，b>0)的右支上存在与右焦点和左准线等距离的点，求离心率e的取值范围．
解：如图所示，设M(x0，y0)是双曲线右支上满足条件的点，且它到右焦点F2的距离等于它到左准线的距离|MN|，即|MF2|＝|MN|.
由圆锥曲线统一定义可知＝e，
∴|MF1|＝e|MN|＝e|MF2|.
∴＝e.
∴x0＝.
又x0≥a，∴≥a.
即e2－2e－1≤0，解得1－≤e≤＋1，
又e>1，∴111．已知椭圆＋＝1上不同的三点A(x1，y1)，B，C(x2，y2)与焦点F(4,0)的距离成等差数列．
(1)求证x1＋x2＝8；
(2)若线段AC的垂直平分线与x轴交于点T，求直线BT的斜率．
解：(1)证明：由已知得a＝5，b＝3，c＝4.
因为|AF|＝a－ex1＝5－x1，
|CF|＝a－ex2＝5－x2，|BF|＝5－×4＝，
且|AF|＋|CF|＝2|BF|，
所以＋＝，
即x1＋x2＝8.
(2)因为A(x1，y1)，C(x2，y2)在椭圆上，
所以＋＝1，①
＋＝1.②
由①－②得y－y＝－(x1＋x2)(x1－x2)＝－(x1－x2)．
又因为线段AC的中点为，
所以线段AC的垂直平分线的方程为y－＝－(x－4)．③
因为点T在x轴上，则设点T的坐标为(x0,0)，
代入③得x0－4＝，
所以x0－4＝－.
所以直线BT的斜率k＝＝.
故直线BT的斜率为.
1．已知双曲线3x2－y2＝9，则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离之比等于________．
解析：∵3x2－y2＝9，
∴－＝1.
∴a＝，b＝3，c＝2.
∴e＝＝2.
答案：2
2．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则下列说法正确的是________．(填序号)
①|FP1|＋|FP2|＝|FP3|；
②|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2；
③|FP1|＋|FP3|＝2|FP2|；
④|FP2|2＝|FP1|·|FP3|.
解析：由题意得|FP1|＝x1＋，|FP2|＝x2＋，|FP3|＝x3＋.再由2x2＝x1＋x3得2＝＋，即2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|.
答案：③
3．如果双曲线的两个焦点分别为F1(－3,0)，F2(3,0)，一条渐近线方程为y＝x，那么它的两条准线之间的距离为________．
解析：由题意得c＝3，＝，∴a＝，∴d＝＝2.
答案：2
4．已知椭圆的方程＋＝1，点M(4，y0)，则M到右焦点F的距离为________．
解析：由已知可得，椭圆的右准线方程为x＝，
设M(4，y0)到右准线的距离为d，则＝e.
∴|MF|＝ed＝×＝.
答案：
一、填空题
1．已知双曲线－y2＝1(a>0)的一条准线方程为x＝，则双曲线的离心率为________．
解析：由双曲线的准线方程求基本量的值，进而求出离心率．∵准线方程为x＝，∴＝.① 又∵b2＝1，∴c2＝a2＋1.② 由①②得a＝，c＝2，∴e＝＝.故填.
答案：
2．设椭圆＋＝1(m>1)上一点P到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P到右准线的距离为________．
解析：∵m2>m2－1，∴m2＝a2，m2－1＝b2.
∴c2＝1.又3＋1＝2a，
∴a＝2.∴e＝.
∴d＝＝＝2.
答案：2
3．如图所示，P是椭圆＋＝1上任意一点，F是椭圆的左焦点，且＝(＋)，||＝4，则点P到该椭圆左准线的距离为________．
解析：因为＝(＋)，所以Q为线段PF的中点．因为||＝4，所以点P到右焦点F′的距离为8.所以|PF|＝2×5－8＝2.又因为＝e＝＝，所以d＝.
答案：
4．(2010年高考江西卷)点A(x0，y0)在双曲线－＝1的右支上，若点A到右焦点的距离等于2x0，则x0＝________.
解析：由－＝1知，a＝2，b＝4，∴c＝6，∴e＝＝3，
∴＝＝，由双曲线的第二定义知＝e，
即＝3，解得x0＝2.
答案：2
5．已知椭圆的两个焦点将长轴三等分，焦点到相应准线的距离为8，则该椭圆的长轴长为________．
解析：由题意得解得a＝3，∴2a＝6.
答案：6
6．已知直线l与抛物线y2＝8x交于A，B两点，且l经过抛物线的焦点，点A的坐标为(8,8)，则线段AB的中点到准线的距离是________．
解析：如图所示，抛物线y2＝8x的准线方程为x＝－2.因为l过抛物线的焦点，所以xA·xB＝＝＝4，即xB＝.所以线段AB的中点的横坐标为.所以中点到准线的距离为＋2＝.
答案：
7．如果双曲线－＝1上一点P到双曲线右焦点的距离是2，那么点P到y轴的距离是________．
解析：∵双曲线的离心率e＝＝，由双曲线的定义知，P点到右准线的距离d＝＝＝，∴P点到y轴的距离为.
答案：
8．若双曲线－＝1(a>0，b>0)上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是________．
解析：设e为双曲线离心率，c为半焦距，且a>0，
则e>a＋，
∴－＋<0，
∴2－－1>0，
∴3e2－5e－2>0，即(3e＋1)(e－2)>0.
又e>1，∴e>2.
答案：(2，＋∞)
二、解答题
9．已知双曲线－＝1的右焦点为F，点A(9,2)，试在这个双曲线上求一点M，使|MA|＋|MF|的值最小，并求出这个最小值．
解：如图所示，l为双曲线的右准线，M为双曲线上任意一点，分别作MN⊥l，AB⊥l交于N、B两点．
∵离心率e＝，
∴由双曲线的统一定义有＝e，即|MN|＝|MF|.
∴|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MN|≥|AB|.
当且仅当M为AB与双曲线右支的交点时，|MA|＋|MF|取得最小值．此时，点M的坐标为，最小值为9－＝9－＝.
10．双曲线－＝1(a>0，b>0)的右支上存在与右焦点和左准线等距离的点，求离心率e的取值范围．
解：如图所示，设M(x0，y0)是双曲线右支上满足条件的点，且它到右焦点F2的距离等于它到左准线的距离|MN|，即|MF2|＝|MN|.
由圆锥曲线统一定义可知＝e，
∴|MF1|＝e|MN|＝e|MF2|.
∴＝e.
∴x0＝.
又x0≥a，∴≥a.
即e2－2e－1≤0，解得1－≤e≤＋1，
又e>1，∴1
(1)求证x1＋x2＝8；
(2)若线段AC的垂直平分线与x轴交于点T，求直线BT的斜率．
解：(1)证明：由已知得a＝5，b＝3，c＝4.
因为|AF|＝a－ex1＝5－x1，
|CF|＝a－ex2＝5－x2，|BF|＝5－×4＝，
且|AF|＋|CF|＝2|BF|，
所以＋＝，
即x1＋x2＝8.
(2)因为A(x1，y1)，C(x2，y2)在椭圆上，
所以＋＝1，①
＋＝1.②
由①－②得y－y＝－(x1＋x2)(x1－x2)＝－(x1－x2)．
又因为线段AC的中点为，
所以线段AC的垂直平分线的方程为y－＝－(x－4)．③
因为点T在x轴上，则设点T的坐标为(x0,0)，
代入③得x0－4＝，
所以x0－4＝－.
所以直线BT的斜率k＝＝.
故直线BT的斜率为.