3.1.1 导数的概念 同步测试 （苏教版选修1-1）

3.1.1 导数的概念 同步测试
1．函数f(x)＝x＋在区间[，1]上的平均变化率是________．
解析：＝－1.
答案：－1
2．函数f(x)＝x2＋1在区间[－1,1]上的平均变化率为________．
解析：函数f(x)＝x2＋1在区间[－1,1]上的平均变化率为＝＝0.
答案：0
3．设函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数值的改变量Δy等于________．
解析：函数值的改变量Δy是表示函数y＝f(x)在x＝x0＋Δx的函数值与x＝x0的函数值之差，因此有Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．
答案：f(x0＋Δx)－f(x0)
4．如果质点M按规律s＝3＋t2运动，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度是________．
解析：＝＝4.1.
答案：4.1
一、填空题
1．函数f(x)＝lnx在区间[，]上的平均变化率为________．
解析：函数f(x)＝lnx在区间[，]上的平均变化率为＝＝(－1＋2)＝.
答案：
2．函数y＝2x2＋5在区间[2,2＋Δx]内的平均变化率是________．
解析：∵Δy＝2(2＋Δx)2＋5－(2×22＋5)
＝8Δx＋2(Δx)2，变化率为＝8＋2Δx.
答案：8＋2Δx
3．婴儿从出生到第24个月的体重变化如图，第二年婴儿体重的平均变化率为________千克/月．
解析：由图可知，第二年婴儿体重的平均变化率为：
＝＝0.25(千克/月)．
答案：0.25
4．已知函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy)，则等于________．
解析：＝＝＝4＋2Δx.
答案：4＋2Δx
5．某市一天12 h内的气温变化图如图所示，则温度在[0,4]内的平均变化率为________．
解析：由图知，温度在[0,4]由－1变化到－2，故温度在[0,4]的平均变化率为＝－.
答案：－
6．如图所示，物体甲、乙在时间0到t1范围内，路程的变化情况，下列说法正确的是________．
①在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度；
②在0到t0范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度；
③在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度；
④在t0到t1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度．
解析：在0到t0范围内，甲、乙的平均速度都为＝，故①②错误；在t0到t1范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为.因为s2－s0>s1－s0，t1－t0>0，所以>，故③正确，④错误．
答案：③
7．已知质点按规律s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点在区间[1,2]上的平均速度为6 m/s，则常数a＝________.
解析：该质点在区间[1,2]上的平均速度，就是该质点在区间[1,2]上位移的平均变化率，
∴＝＝3a.
由题意知，3a＝6，∴a＝2.
答案：2
8．(2011年南宁高二检测)已知曲线y＝x2和这条曲线上的一点P，Q是曲线上点P附近的一点，则点Q的坐标为________．
解析：点P附近一点的横坐标为1＋Δx，其纵坐标为f(1＋Δx)＝(1＋Δx)2，∴Q.
答案：
二、解答题
9．求函数y＝x2在x＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx的值为，哪一点附近的平均变化率最大？
解：在x＝1附近的平均变化率为
k1＝＝＝2＋Δx；
在x＝2附近的平均变化率为
k2＝＝＝4＋Δx；
在x＝3附近的平均变化率为
k3＝＝＝6＋Δx.
若Δx＝，则k1＝2＋＝，
k2＝4＋＝，k3＝6＋＝，
由于k1∴在x＝3附近的平均变化率最大．
10．试比较余弦函数y＝cosx在区间和的平均变化率哪一个较大？
解：函数y＝cosx在上的平均变化率为
k1＝＝＝＝－；
在上的平均变化率为
k2＝＝＝＝－.
∵k1>k2，
∴y＝cosx在上的平均变化率大．
11．路灯距地面8 m，一个身高为1.6 m的人以84 m/min的速度在地面上从路灯在地面上的射影点C处沿某直线离开路灯．
(1)求身影的长度y与人距路灯的距离x之间的关系式；
(2)求人离开路灯的第一个10 s内身影的平均变化率．
解：(1)如图所示，设人从C点运动到B处的路程为x m，AB为身影长度，AB的长度为y m，由于CD∥BE，则＝，即＝，所以y＝f(x)＝x.
(2)84 m/min＝1.4 m/s，在[0,10]内自变量的增量为x2－x1＝1.4×10－1.4×0＝14，
f(x2)－f(x1)＝×14－×0＝，
所以＝＝.
即人离开路灯的第一个10 s内身影的平均变化率为.