3.1.2 导数的概念 同步测试 （苏教版选修1-1）

3.1.2 导数的概念 同步测试
1．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则f′(x0)＝________.
解析：＝＝a＋bΔx，当Δx→0时，→a，所以f′(x0)＝a.
答案：a
2．如果质点A按规律s＝2t3运动，则在t＝3秒的瞬时速度为________．
解析：＝，当Δt→0时，→54.
答案：54
3．下列说法中正确的是________．
①若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线；②若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在；③若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在；④若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在，则曲线在该点处没有切线．
解析：函数f(x)在一点x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是在这一点处切线的斜率．f′(x0)不存在，并不能说明在这一点处不存在切线，而是说明在这一点处的切线斜率不存在，即若在这一点处的切线斜率不存在，曲线在该点处也可能有切线，所以函数f(x)在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分不必要条件．
答案：③
4．已知f(x)＝x3－2x，则f′(x)＝________.
解析：Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝(x＋Δx)3－2(x＋Δx)－(x3－2x)＝3x2·Δx＋3x(Δx)2＋(Δx)3－2Δx
＝(3x2－2)Δx＋3x(Δx)2＋(Δx)3，
∴＝3x2－2＋3x(Δx)＋(Δx)2.
∴当Δx→0时，→3x2－2.
∴f′(x)＝3x2－2.
答案：3x2－2
一、填空题
1．一质点运动方程为s＝5－3t2，则t＝1时质点的瞬时速度为________．
解析：在t＝1到t＝1＋Δt的时间内，质点的平均速度为
＝＝
＝－3Δt－6.
当Δt无限趋近于0时，无限趋近于－6，所以t＝1时质点的瞬时速度为－6.
答案：－6
2．设f(x)＝x·(1＋x)，则f′(0)等于________．
解析：f(x)＝x(1＋x)＝x＋x2，
∴Δy＝(0＋Δx)＋(0＋Δx)2－(0＋02)
＝Δx＋(Δx)2＝Δx(1＋Δx)，
∴＝＝1＋Δx，
Δx→0时，→1.
答案：1
3．函数y＝－在处的切线方程是________．
解析：∵＝＝，
当Δx→0时，→，∴f′()＝4，
∴切线方程是y＋2＝4(x－)得y＝4x－4.
答案：y＝4x－4
4．曲线y＝x2－2在点处的切线倾斜角为________．
解析：利用导数的定义可求得曲线在点处切线的斜率为1，所以倾斜角为.
答案：
5．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为________．
解析：用定义求出：＝，可得到：y′＝4x3.
∵y＝x4的一切线与x＋4y－8＝0垂直，则切线斜率为4.
设切点为(x0，y0)，则4x＝y′＝4，则x＝1，x0＝1，y0＝14＝1.故切点坐标为(1,1)．设切线方程为y＝4x＋b，则代入切点坐标求得切线方程为4x－y－3＝0.
答案：4x－y－3＝0
6．曲线y＝x3在点P处的切线斜率为3，则P点的横坐标为________．
解析：Δy＝(x＋Δx)3－x3＝3x2Δx＋3x(Δx)2＋(Δx)3，
∴＝3x2＋3x(Δx)＋(Δx)2.
∴当Δx→0时，→3x2.∴y′＝3x2.
设P点坐标为(x0，y0)，则y′＝3x＝3，得x0＝－1或1.
答案：－1或1
7．设函数f(x)＝ax2＋2，若f′(－1)＝4，则a＝________.
解析：Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)＝a(－1＋Δx)2＋2－[a(－1)2＋2]＝－2aΔx＋a(Δx)2，∴＝－2a＋aΔx.
当Δx→0时，→－2a.∴f′(－1)＝－2a＝4，∴a＝－2.
答案：－2
8．已知f(x)＝，则当Δx趋近于0时，趋近于________．
解析：f(x＋Δx)－f(x)＝－＝－，
∴＝－.
当Δx→0时，→－.
答案：－
二、解答题
9．在曲线f(x)＝x2＋3的图象上取一点P(1,4)及附近一点(1＋Δx,4＋Δy)，求：(1)；(2)f′(1)．
解：(1)＝
＝＝2＋Δx.
(2)当Δx→0时，＝2＋Δx→2.
∴f′(1)＝2.
10．已知自由落体的运动方程为s＝gt2，求：
(1)落体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度；
(2)落体在t0时的瞬时速度；
(3)落体在t0＝2秒到t1＝2.1秒这段时间内的平均速度；
(4)落体在t0＝2秒时的瞬时速度．
解：(1)落体在t0到t0＋Δt这段时间内(即Δt时间内)取得的路程增量为
Δs＝g(t0＋Δt)2－gt.
因此，落体在这段时间内的平均速度为：
＝＝＝g
＝g(2t0＋Δt)．
(2)落体在t0时的瞬时速度为
当Δt→0时，＝→gt0.
∴v＝gt0.
(3)落体在t0＝2秒到t1＝2.1秒时，其时间增量
Δt＝t1－t0＝0.1(秒)，由(1)知平均速度为
＝g(2×2＋0.1)＝2.05g
≈2.05×9.8＝20.09(米/秒)．
(4)由(2)知落体在t0＝2秒的瞬时速度为
v＝g×2≈9.8×2＝19.6(米/秒)．
11．设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a<0)，若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值．
解：∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)
＝(x0＋Δx)3＋a(x0＋Δx)2－9(x0＋Δx)－1－(x＋ax－9x0－1)
＝(3x＋2ax0－9)Δx＋(3x0＋a)(Δx)2＋(Δx)3，
∴＝3x＋2ax0－9＋(3x0＋a)Δx＋(Δx)2.
当Δx无限趋近于零时，
无限趋近于3x＋2ax0－9.
即f′(x0)＝3x＋2ax0－9.
∴f′(x0)＝32－9－.
当x0＝－时，f′(x0)取最小值－9－.
∵斜率最小的切线与12x＋y＝6平行，
∴该切线斜率为－12，
∴－9－＝－12，
解得a＝±3.
又a<0，∴a＝－3.