3.2.1 导数的运算 同步测试 （苏教版选修1-1）

3.2.1 导数的运算 同步测试
1．下列各式正确的是________．
①(sinα)′＝cosα(α为常数)；②(cosx)′＝sinx；③(sinx)′＝cosx；④(x－5)′＝－x－6.
解析：α为常数，则sinα为常数，∴(sinα)′＝0，故①错；(cosx)′＝－sinx，故②错；(sinx)′＝cosx，故③对；(x－5)′＝－5x－6，故④错．
答案：③
2．函数y＝cosx在x＝处切线的斜率为________．
解析：y′|x＝＝－sin＝－.
答案：－
3．质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s＝，则质点在t＝4时的速度为________．
解析：s′＝t－，当t＝4时，s′＝·＝.
答案：
4．若曲线y＝xn(n∈N*)在x＝2处切线的斜率为12，则n＝________.
解析：y′＝nxn－1，∴y′|x＝2＝n·2n－1＝12，∴n＝3.
答案：3
一、填空题
1．已知f(x)＝xα，若f′(－1)＝－4，则α＝________.
解析：f′(x)＝α·xα－1，∴f′(－1)＝α(－1)α－1＝－4，
∴α＝4.
答案：4
2．已知f(x)＝x2，g(x)＝x3，若f′(x)－g′(x)＝－2，则x＝________.
解析：f′(x)＝2x，g′(x)＝3x2，于是有2x－3x2＝－2，解得x＝.
答案：
3．已知函数f(x)＝x3的切线的斜率等于1，则这样的切线有________条．
解析：设切点为(x0，x)，∵y′＝3x2，∴3x＝1，
∴x0＝±，即切点有两个，故斜率为1的切线有两条．
答案：两
4．曲线y＝x2上过点(2,4)的切线与x轴、直线x＝2所围成的三角形的面积为________．
解析：∵y′＝2x，∴y′|x＝2＝4，∴过点(2,4)的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0，令y＝0得切线在x轴上的截距为1，故所求面积为S＝×(2－1)×4＝2.
答案：2
5．曲线y＝x3在点P处的切线斜率为k，当k＝3时，点P的坐标为________．
解析：设切点为(x0，x)，∴y′|x＝x0＝3x＝3，∴x0＝±1.
答案：(1,1)或(－1，－1)
6．下列四个命题中，正确命题的个数为________．
①若f(x)＝，则f′(0)＝0；②(logax)′＝xlna；③加速度是动点位移函数s(t)对时间t的导数；④曲线y＝x2在(0,0)处没有切线．
解析：①因为f(x)＝，当x趋向于0时不存在极限，所以f(x)在0处不存在导数，故错误；②(logax)′＝logae，故错误；③瞬时速度是位移s(t)对时间t的导数，故错误；④y＝x2在(0,0)处的切线为y＝0，故错误．
答案：0
7．已知P(－1,1)，Q(2,4)是曲线f(x)＝x2上的两点，则与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程为________．
解析：y＝x2的导数为y′＝2x.设切点为(x0，y0)，则y′|x＝x0＝2x0.又∵PQ的斜率k＝＝1，切线平行于PQ.∴k＝y′|x＝x0＝2x0＝1，∴x0＝，∴切点为(，)．∴切线方程为y－＝x－，即4x－4y－1＝0.
答案：4x－4y－1＝0
8．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lgxn，则a1＋a2＋…＋a99的值为________．
解析：点(1,1)在函数y＝xn＋1(n∈N*)的图象上，∴(1,1)为切点，y＝xn＋1的导函数为y′＝(n＋1)xn，∴y′|x＝1＝n＋1，∴切线是y－1＝(n＋1)(x－1)．
令y＝0得，xn＝.
所以a1＋a2＋…＋a99＝lg(x1x2…x99)＝lg(··…··)＝lg＝－2.
答案：－2
二、解答题
9．求过曲线y＝cosx上点P且与在这点的切线垂直的直线方程．
解：因为y＝cosx，所以y′＝－sinx.
曲线在点P处的切线斜率是
y′|x＝＝－sin＝－.
所以过点P且与切线垂直的直线的斜率为，
所以所求的直线方程为y－＝，
即2x－y－＋＝0.
10．求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离．
解：法一：依题意知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线的切点到直线x－y－2＝0的距离最短，设切点坐标为(x0，x)．
∵y′＝(x2)′＝2x，∴2x0＝1.∴x0＝.
∴切点坐标为(，)．
∴所求的最短距离d＝＝.
法二：设与抛物线y＝x2相切且与直线x－y－2＝0平行的直线l的方程为x－y＋m＝0(m≠－2)．
由得x2－x－m＝0，
其判别式Δ＝1＋4m＝0，∴m＝－.
∴直线l的方程为x－y－＝0.
由两平行线间的距离公式得所求的最短距离d＝＝.
法三：设点(x，x2)是抛物线y＝x2上任意一点，则该点到直线x－y－2＝0的距离d＝＝＝|x2－x＋2|＝(x－)2＋，
当x＝时，d有最小值，即所求的最短距离为.
11．经过定点(1,3)作直线l与抛物线y＝x2相交于A、B两点，求证：抛物线上A，B两点处的切线的交点M在一条定直线上．
证明：显然，如果直线l的斜率不存在，则它与x轴垂直，这时它与抛物线只有一个交点，不合题意．故可设直线l的斜率为k，则其方程为y－3＝k(x－1)，它与抛物线的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由，消去y得x2－kx＋k－3＝0，因此，又因为y′＝2x，所以抛物线在A，B两点处的切线的斜率分别为2x1,2x2，切线方程分别为：y－x＝2x1(x－x1)，y－x＝2x2(x－x2)，联立解得两切线的交点M的坐标为(，x1x2)，即M(，k－3)．
若令，
消去k得y＝2x－3.
故抛物线上A，B两点处的切线的交点M在定直线y＝2x－3上．