3.2.2 导数的运算 同步测试 （苏教版选修1-1）

3.2.2 导数的运算 同步测试
1．设f(x)＝－，则f′(1)等于________．
解析：f(x)＝x－－x－，f′(x)＝－x－＋x－，所以f′(1)＝－＋＝.
答案：
2．若y＝2x3＋＋cosx，则y′等于________．
解析：y＝2x3＋x＋cosx，y′＝6x2＋x－－sinx.应注意的是(cosx)′＝－sinx，切不要忘掉负号．
答案：6x2＋x －sinx
3．(2011年深圳模拟)函数f(x)＝的导数是________．
答案：
4．设f(x)＝ax2－bsinx，且f′(0)＝1，f′()＝，则a＋b＝________.
解析：∵f′(x)＝2ax－bcosx，
∴f′(0)＝－b，f′()＝a－bcos＝a－，
∴解得∴a＋b＝－1.
答案：－1
一、填空题
1．函数y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于________．
解析：法一：y′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′＝2(x＋1)·(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1.
∴y′|x＝1＝4.
法二：∵y＝(x＋1)2(x－1)
＝(x2－1)(x＋1)＝x3＋x2－x－1，
∴y′＝(x3)′＋(x2)′－(x)′－(1)′＝3x2＋2x－1，
∴y′|x＝1＝4.
答案：4
2．若f(x)＝lnx＋10x，则f′(－1)＝________.
解析：f′(x)＝＋10xln10，
f′(－1)＝－1＋ln10.
答案：－1＋
3．(2011年苏州模拟)已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)＝________.
解析：f′(x)＝2x＋2f′(1)，f′(1)＝2＋2f′(1)，
∴f′(1)＝－2.∴f′(0)＝2f′(1)＝－4.
答案：－4
4．已知曲线y＝－3lnx的一条切线的斜率为，则切点的坐标为________．
解析：y′＝－，令y′＝，即－＝，解得：x＝3或x＝－2(舍去)，∴切点为(3，－3ln3)．
答案：(3，－3ln3)
5．在曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，斜率最小的切线方程为________．
解析：y′＝3x2＋6x＋6＝3(x＋1)2＋3，∴当x＝－1时，切线斜率最小，最小斜率为3，此时y＝(－1)3＋3×(－1)2＋6×(－1)－10＝－14，故切点为(－1，－14)．∴切线方程为y＋14＝3(x＋1)，即3x－y－11＝0.
答案：3x－y－11＝0
6．已知f(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)，则f′(1)＝________.
解析：设(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)＝g(x)，
则f′(x)＝(x－1)′g(x)＋(x－1)g′(x)
＝g(x)＋(x－1)g′(x)，∴f′(1)＝g(1)＝24.
答案：24
7．已知函数f(x)＝f′cosx＋sinx，则f的值为________．
解析：∵f′(x)＝－f′()·sinx＋cosx，
∴f′()＝－f′·sin＋cos
?f′＝－1，
故f＝f′()cos＋sin?f＝1.
答案：1
8．曲线f(x)＝xex＋2x＋1在点(0,1)处的切线方程为________．
解析：∵f′(x)＝(xex＋2x＋1)′＝ex＋xex＋2，
∴f′(0)＝3.
∴函数f(x)在点(0,1)处的切线方程为y－1＝3x，
即y＝3x＋1.
答案：y＝3x＋1
二、解答题
9．求下列函数的导数：
(1)f(x)＝(x3＋1)(2x2＋8x－5)；
(2)f(x)＝x·tanx－；
(3)f(x)＝.
解：(1)∵f′(x)＝(2x5＋8x4－5x3＋2x2＋8x－5)′，
∴f′(x)＝10x4＋32x3－15x2＋4x＋8.
(2)f′(x)＝′＝′
＝
＝
＝
＝tan x＋－.
(3)f′(x)＝′＝′＋′
＝＋
＝
＝.
10．(2011年西安高二检测)已知f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝x2＋cx＋d，又f(2x＋1)＝4g(x)，且f′(x)＝g′(x)，f(5)＝30.求g(4)．
解：由f(2x＋1)＝4g(x)，得
4x2＋2(a＋2)x＋(a＋b＋1)＝4x2＋4cx＋4d.
于是有
由f′(x)＝g′(x)，得2x＋a＝2x＋c，∴a＝c，③
由f(5)＝30，得25＋5a＋b＝30.④
∴由①③可得a＝c＝2，由④得b＝－5，
再由②得d＝－，
∴g(x)＝x2＋2x－.
故g(4)＝16＋8－＝.
11．已知曲线C1：y＝x2与C2：y＝－(x－2)2.直线l与C1、C2都相切，求直线l的方程．
解：设l与C1相切于点P(x1，x)，与C2相切于Q(x2，－(x2－2)2)．
对于C1：y′＝2x，则与C1相切于点P的切线方程为
y－x＝2x1(x－x1)，即y＝2x1x－x.①
对于C2：y′＝－2(x－2)，与C2相切于点Q的切线方程为y＋(x2－2)2＝－2(x2－2)(x－x2)，即
y＝－2(x2－2)x＋x－4.②
∵两切线重合，∴2x1＝－2(x2－2)且－x＝x－4，解得x1＝0，x2＝2或x1＝2，x2＝0，
∴直线方程为y＝0或y＝4x－4.