1.1.1空间向量及其线性运算-【帮课堂】2022-2023学年高二数学《考点?题型 ?技巧》精讲与精练（学案+练习）（含解析）

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1.1空间向量及其运算
1.1.1空间向量及其线性运算
【考点梳理】
考点一　空间向量的概念
1．定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．
2．长度或模：向量的大小．
3．表示方法：
①几何表示法：空间向量用有向线段表示；
②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或||.
4．几类特殊的空间向量
名称 定义及表示
零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0
单位向量 模为1的向量称为单位向量
相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a
共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a
相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量
考点二　空间向量的线性运算
空间向量的线性运算 加法 a＋b＝＋ ＝
减法 a－b＝－＝
数乘 当λ>0时，λa＝λ＝；当λ<0时，λa＝λ＝；当λ＝0时，λa＝0
运算律 交换律：a＋b＝b＋a；结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.
考点三　共线向量
1．空间两个向量共线的充要条件
对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
2．直线的方向向量
在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量．
考点四　共面向量
1．共面向量
如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．
2．向量共面的充要条件
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
【题型归纳】
题型一：空间向量的概念
1．下列说法正确的是（ ）
A．经过空间中任意三点的平面有且仅有一个
B．如果一条直线垂直于平面中的无数条直线，那么该直线垂直于该平面
C．两个单位向量的长度相等
D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
2．下列说法正确的是（ ）
A．零向量没有方向
B．空间向量不可以平行移动
C．如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等
D．同向且等长的有向线段表示同一向量
3．在平行六面体中，下列四对向量：①与；②与；③与；④与.其中互为相反向量的有n对，则n等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
题型二：空间向量的线性运算
4．如图，在斜棱柱中，AC与BD的交点为点M，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
5．已知四棱锥，底面为平行四边形，M，N分别为棱BC，PD上的点，，，设，，，则向量用为基底表示为（ ）
A． B．
C． D．
6．如图所示，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
题型三：空间两个向量共线的问题
7．若空间向量不共线，且，则xy＝（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
8．满足下列条件，能说明空间不重合的A、B、C三点共线的是(　　)
A． B．
C． D．
9．已知空间的一组基底，若与共线，则的值为（ ）．
A．2 B． C．1 D．0
题型四：空间共面向量定理
10．已知，，，为空间中四点，任意三点不共线，且，若，，，四点共面，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
11．对于空间的任意三个向量 ，它们一定是（ ）
A．共面向量 B．共线向量
C．不共面向量 D．既不共线也不共面的向量
12．对空间任一点O和不共线三点A B C，能得到P A B C四点共面的是（ ）
A． B．
C． D．以上都错
【双基达标】
13．如图，在正方体中，，，，若为的中点，在上，且，则等于（ ）
A． B．
C． D．
14．已知三棱锥O—ABC，点M，N分别为线段AB，OC的中点，且，，，用，，表示，则等于（ ）
A． B． C． D．
15．如图所示，在平行六面体中，，，，点是的中点，点是上的点，且，则向量可表示为（ ）
A． B．
C． D．
16．下列命题为真命题的是（ ）
A．若两个空间向量所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量
B．若，则 的长度相等且方向相同
C．若向量 满足，且与同向，则
D．若两个非零向量与满足，则.
17．如图，在平行六面体中，点M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）.
A． B．
C． D．
18．平行六面体中，若则（ ）
A． B． C． D．
19．在长方体中，等于（ ）
A． B． C． D．
20．给出下列命题：①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；②若空间向量满足，则；③在正方体中，必有；④若空间向量满足，，则．其中正确的个数为（ ）．
A． B． C． D．
21．在平行六面体中，以顶点为向量的起点或终点，且与向量的模相等的向量有（ ）．
A．个 B．个 C．个 D．个
22．正六棱柱中，设，，，那么等于（ ）
A． B． C． D．
23．如图，在平行六面体中，为和的交点，若，，，则下列式子中与相等的是（ ）
A． B． C． D．
24．如图所示，在正方体中，下列各式中运算结果为向量的个数是（ ）
①； ②；
③； ④．
A．1 B．2 C．3 D．4
25．在长方体中，下列各式运算结果为的个数是（ ）
①；
②；
③；
④.
A．个 B．个 C．个 D．个
26．在以下命题中，真命题的是（ ）．
A．是、共线的充要条件
B．若，则存在唯一的实数，使
C．对空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若，则P、A、B、C四点共面
D．若、、是不共面的向量，则、、的线性组合可以表示空间中的所有向量
【高分突破】
一、单选题
27．有下列命题：
①若与平行，则与所在的直线平行；
②若与所在的直线是异面直线，则与一定不共面；
③若、、两两共面，则、、一定也共面；
④若与是平面上互不平行的向量，点，点，则与、一定不共面．
其中正确命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
28．下列说法正确的是（ ）
A．平面上的任意两个向量都共线
B．空间的任意三个向量都不共面
C．空间的任意两个向量都共面
D．空间的任意三个向量都共面
29．在下列命题中正确的是（ ）
A．已知是空间三个向量，则空间任意一个向量总可以唯一表示为
B．若所在的直线是异面直线，则不共面
C．若三个向量两两共面，则共面
D．已知A，B，C三点不共线，若，则A，B，C，D四点共面
30．若空间四点 共面且则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
31．在下列条件中，使与，，一定共面的是（ ）
A． B．
C． D．
32．下面关于空间向量的说法正确的是（ ）
A．若向量，平行，则，所在直线平行
B．若向量，所在直线是异面直线，则，不共面
C．若，，，四点不共面，则不共面
D．若，，，四点不共面，则不共面
33．在下列等式中，使点与点一定共面的是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
34．如图正四棱柱，则下列向量相等的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
35．给出下列命题，其中正确的命题是（ ）
A．若，则或
B．若向量是向量的相反向量，则
C．在正方体中，
D．若空间向量，，满足，，则
36．如图，在平行六面体中，AC和BD的交点为O，设，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
37．有下列四个命题，其中正确的命题有（ ）
A．已知A，B，C，D是空间任意四点，则
B．若两个非零向量与满足＋＝，则.
C．分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量可以是共面向量.
D．对于空间的任意一点O和不共线的三点A，B，C，若 (x，y，z)，则P，A，B，C四点共面.
38．已知三棱锥分别是的中点，为线段上一点，且，设，则下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
39．化简算式：______．
40．已知长方体，若为与的交点，则___________.
41．若、、、为空间不同的四点，则下列各式为零向量的序号是_______．
①；②；
③；④．
42．已知为正方体且，，，则______．
43．如图，，，，则______．
四、解答题
44．如图所示，在长方体中，E为棱上任意一点.只考虑以长方体的八个顶点及点E的两点为始点和终点的向量，分别写出：
(1)的相等向量，的负向量；
(2)用另外两个向量的和或差表示；
(3)用三个或三个以上向量的和表示（举两个例子）.
45．在长方体中，是的中点．
(1)设，，，用向量、、表示；
(2)设，，，用向量、、表示．
46．如图，在平行六面体中，，，两两夹角为60°，长度分别为2，3，1，点在线段上，且，记，，．试用，，表示．
47．如图所示，在以长方体的八个顶点的两点为始点和终点的向量中．
(1)试写出与相等的所有向量；
(2)试写出的相反向量．
48．如图，在平行六面体中，，．
(1)求证：、、三点共线；
(2)若点是平行四边形的中心，求证：、、三点共线．
49．已知A B C三点不共线，O为平面ABC外一点.
(1)若，判断 三个向量是否共面，以及M是否在平面ABC上；
(2)若，判断M是否在平面ABC上；
(3)请给出空间某点在某一平面上的一个充要条件（不必证明）.
50．如图所示，在平行六面体中，M、N分别是、BC的中点．设，，．
(1)已知P是的中点，用、、表示、、；
(2)已知P在线段上，且，用、、表示．
参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
若三点共线，则知A错误；若该直线垂直的平面内的无数条直线互相平行，则知B错误；由单位向量模长为知C正确；由平行向量定义可知D错误.
【详解】
对于A，若三点共线，则过这三点的平面有无数个，A错误；
对于B，若一条直线垂直于平面中的无数条互相平行的直线，则该直线未必垂直于该平面，B错误；
对于C，所有单位向量的模长均为，C正确；
对于D，两个单位向量平行，则两个单位向量可能同向或反向，则可能两个向量为相等向量或相反向量，D错误.
故选：C.
2．D
【解析】
【分析】
根据零向量的规定可以确定A错误；根据空间向量是自由向量可以确定B；根据相等向量的定义可以确定C、D.
【详解】
对于A：零向量的方向是任意的，A错误；
对于B：空间向量是自由向量可以平移，B错误；
对于C、D：大小相等方向相同的两个向量为相等向量即同一向量，
所以C中向量大小可以相等，只要方向不同即为向量不同，C错误；D符合定义，正确.
故选：D.
3．B
【解析】
【分析】
根据平行六面体的几何特征和相反向量的定义即可判断.
【详解】
对于①与，长度相等，方向相反，互为相反向量；
对于②与长度相等，但两向量不共线，∴两向量不是相反向量；
对于③与，易知是平行四边形，则两向量方向相反，大小相等，互为相反向量；
对于④与，易知是平行四边形，∴这两向量长度相等，方向相同．
故互为相反向量的是①③，共有2对，n＝2．
故选：B.
4．A
【解析】
【分析】
根据空间向量的线性运算用表示出即可得．
【详解】
-＝，
.
故选：A．
5．D
【解析】
【分析】
由图形可得，根据比例关系可得，，再根据向量减法，代入整理并代换为基底向量．
【详解】
即
故选：D．
6．D
【解析】
【分析】
根据空间向量的运算法则和空间向量基本定理相关知识求解即可.
【详解】
由题意得，.
故选：D
7．D
【解析】
【分析】
由题可知左右两边系数对应相等即可求出x和y.
【详解】
因为空间向量不共线，
要使，
则.
故选：D.
8．C
【解析】
【分析】
由题意逐一考查所给的说法是否正确即可.
【详解】
对于空间中的任意向量，都有 ，说法A错误；
若，则，而，据此可知，即两点重合，选项B错误；
，则A、B、C三点共线，选项C正确；
，则线段的长度与线段的长度相等，不一定有A、B、C三点共线，选项D错误；
本题选择C选项.
【点睛】
本题主要考查空间向量的运算法则，三点共线的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
9．D
【解析】
【分析】
根据与共线，由，即可求解.
【详解】
因为与共线，空间的一组基底，
所以，
所以
解得，
所以x＋y＝0.
故选：D.
10．D
【解析】
【分析】
根据四点共面结论：若四点共面，则且，
【详解】
若，，，四点共面，则，则
故选：D．
11．A
【解析】
【分析】
结合共面向量定理及共线向量判断即可.
【详解】
若 不共线，则由共面向量定理知， 共面；若 共线，则 共线，也共面.
故选：A.
12．B
【解析】
【分析】
证明出若且，则、、、四点共面，进而可得出合适的选项.
【详解】
设且，
则，，
则，所以，、、为共面向量，则、、、四点共面.
对于A选项，，，、、、四点不共面；
对于B选项，，，、、、四点共面；
对于C选项，，，、、、四点不共面.
故选：B.
13．B
【解析】
【分析】
利用空间向量的线性元素和空间向量的基本定理求解.
【详解】
，
，
故选：B
14．A
【解析】
【分析】
利用空间向量基本定理进行计算.
【详解】
.
故选：A
15．D
【解析】
【分析】
根据空间向量加法和减法的运算法则，以及向量的数乘运算即可求解.
【详解】
解：因为在平行六面体中，，，，点是的中点，点是上的点，且，
所以，
故选：D.
16．D
【解析】
【分析】
由空间向量的模长、共线、共面等相关概念依次判断4个选项即可.
【详解】
空间中任意两个向量必然共面，A错误；
若，则 的长度相等但方向不确定，B错误；
向量不能比较大小，C错误；
由可得向量与长度相等，方向相反，故，D正确.
故选：D.
17．A
【解析】
【分析】
根据空间向量的运算法则，化简得到，即可求解.
【详解】
由题意，根据空间向量的运算法则，可得
.
故选：A.
18．B
【解析】
【分析】
根据空间向量加法的平行四边形法则，以及向量相等的概念，根据题意，列出等量关系，求解即可.
【详解】
因为，又因为且等式右边的三个向量不共面，
故可得，解得，
故可得.
故选：B.
19．B
【解析】
【分析】
根据长方体，得到相等的向量，再利用空间向量的加法法则进行计算.
【详解】
如图，可得，，所以.
故选：B
20．C
【解析】
【分析】
由相等向量的定义依次判断各个选项即可得到结果.
【详解】
对于①，当两个空间向量起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等；但两个向量相等，它们的起点和终点都不一定相同，①错误；
对于②，根据向量相等的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量与的方向不一定相同，②错误；
对于③，根据正方体的性质，在正方体中，向量与向量的方向相同，模也相等，则，③正确；
对于④，由向量相等关系可知，④正确．
故选：C.
21．A
【解析】
【分析】
由平行六面体定义可确定与棱长度相等的棱，由此可确定结果.
【详解】
由平行六面体定义可知几何体各个面均为平行四边形，
，
则与向量的模相等的向量有，，，，，，，共个.
故选：A.
22．B
【解析】
【分析】
依据正六棱柱的结构特征并利用向量加减法的几何意义去求.
【详解】
正六棱柱中，
故选：B
23．A
【解析】
【分析】
根据空间向量的加减运算，表示出向量，即得答案.
【详解】
,
故选;A
24．D
【解析】
【分析】
根据空间向量的加法法则判断．
【详解】
由正方体，空间向量的加法法则可得．
；；
；．
故选：D．
25．B
【解析】
【分析】
利用空间向量线性运算直接化简即可.
【详解】
对于①，，①正确；
对于②，，②正确；
对于③，，③错误；
对于④，，④错误.
故选：B.
26．D
【解析】
【分析】
根据模的性质、向量共线定理、空间向量共面定理、空间向量基本定理判断各选项．
【详解】
A．若、不共线，则向量加法的三角形法则有，但当、同向时，也有，因此是、共线的充分不充要条件，A错；
B．若，当时，不存在唯一的实数，使，B错；
C．因为A、B、C三点不共线，则不共线，
若四点共面，则存在唯一的一组实数使得，
即，变形得，
而当由时，，所以不共面，C错；
D．若、、是不共面的向量，则、、也是不共面的向量，否则若、、，则存在实数，使得，
即，中至少有一个不等于0，
若，则 ，因此、、共面，与已知矛盾，或同样得出矛盾，所以、、也是不共面，由空间向量基本定理，可能用它们表示出空间任意向量．D正确．
故选：D．
27．A
【解析】
【分析】
根据空间向量共线、共面及基本定理判断即可；
【详解】
解：①若向量，平行，则向量，所在的直线平行或重合，因此①不正确；
②若向量，所在的直线为异面直线，则向量，是共面向量，因此②不正确；
③若三个向量，，两两共面，则向量，，不一定共面，
可能是空间三个不共面的向量，如空间直角坐标系中轴、轴、轴方向上的单位向量，因此③不正确；
④若与是平面上互不平行的向量，即与可以作为平面上的一组基底，点，点，
但是直线可以平行平面，则与、共面，故④错误．
故选：A
28．C
【解析】
【分析】
利用共线向量与共面向量的定义判断即可.
【详解】
平面上的任意两个向量都共线，显然不正确，例如一组基底向量，故A不正确;
空间的任意三个向量都不共面,显然不正确,例如一个零向量,两个非零向量，所以B不正确;
空间任意两个向量共面，故C正确;
显然空间直角坐标系一组基底向量，不是共面向量，所以D不正确.
故选： C
29．D
【解析】
【分析】
对于A，利用空间向量基本定理判断，对于B，利用向量的定义判断，对于C，举例判断，对于D，共面向量定理判断
【详解】
对于A，若三个向量共面，在平面，则空间中不在平面的向量不能用表示，所以A错误，
对于B，因为向量是自由向量，是可以自由平移，所以当所在的直线是异面直线时，有可能共面，所以B错误，
对于C，当三个向量两两共面时，如空间直角坐标系中的3个基向量两两共面，但这3个向量不共面，所以C错误，
对于D，因为A，B，C三点不共线，，且，所以A，B，C，D四点共面，所以D 正确，
故选：D
30．D
【解析】
【分析】
化简可得，由四点共面可知系数和，计算即可得解.
【详解】
依题意，
由四点共面,则系数和，则.
故选：D
31．C
【解析】
【分析】
根据四点共面的条件对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】
解：与，，一定共面的充要条件是，
对于A选项，由于，故不共面，错误；
对于B选项，由得，由于，故不共面，错误；
对于C选项，由得，即，由于，满足，故共面，正确；
对于D选项，由于，故不共面，错误；
故选：C
32．D
【解析】
【分析】
根据空间向量共线与直线平行，以及空间中四点共面与对应向量的共面关系，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】
对：若非零向量，平行，则，所在直线有可能重合；
若其中一个向量为零向量，则，所在直线位置关系不确定，故错误；
对：若向量，所在直线是异面直线，则，可以通过平移从而共面，故错误；
对：若，，，四点不共面，则可以通过平移从而共面，故错误；
对：若，，，四点不共面，则可以两两共面，
但是三个向量无法共面，故正确；
故选：.
33．C
【解析】
【分析】
结合共面性质，或且判断即可.
【详解】
对ABD，变形后均不满足且，故ABD错误；
对C，，满足，故C正确.
故选：C
34．CD
【解析】
【分析】
根据相等向量的定义，结合正四棱柱的结构特征依次判断选项即可.
【详解】
由正四棱柱可知，
A：，但与方向相反，故A不符题意；
B：，但与方向不同，故B不符题意；
C：，且与方向相同，故C符题意；
D：，且与方向相同，故D符题意.
故选：CD.
35．BCD
【解析】
【分析】
依据向量相等的概念否定选项A；依据向量相等的概念判断选项BCD正确.
【详解】
依据向量相等的概念，选项A判断错误；
若向量是向量的相反向量，则.选项B判断正确；
依据向量相等的概念，在正方体中，.选项C判断正确；
依据向量相等的概念，若空间向量，，满足，，则.选项D判断正确.
故选：BCD.
36．AC
【解析】
【分析】
求得判断选项A；求得判断选项B；求得判断选项C；求得判断选项D.
【详解】
选项A：.判断正确；
选项B：.判断错误；
选项C：.判断正确；
选项D：.判断错误.
故选：AC
37．ABC
【解析】
【分析】
根据空间向量的加法的几何意义、平行向量的定义，结合共面的定义逐一判断即可.
【详解】
A：因为，所以本选项命题正确；
B：由，所以，所以本选项命题正确；
C：根据平移，当空间向量的有向线段所在的直线是异面直线时，这两个向量可以是共面向量，所以本选项命题正确；
D：只有当时，P，A，B，C四点才共面，所以本选项命题不正确，
故选：ABC
38．ABD
【解析】
【分析】
根据三角形内中点的结论及向量加法、减法的三角形法则逐个分析选项即可得出答案.
【详解】
如图，因为为的中点，所以，故选项A正确；
，故选项B正确；
，故选项C错误；
，故选项D正确.
故选：ABD.
39．
【解析】
【分析】
根据向量的运算法则，准确运算，即可求解.
【详解】
由题意得.
故答案为：.
40．
【解析】
【分析】
由题知，进而计算即可得答案.
【详解】
解：如图，因为为与的交点，所以为的中点，
所以，
所以，.
故答案为：
41．②④
【解析】
【分析】
利用空间向量加法与减法法则化简①②③④中的向量，可得结果.
【详解】
对于①，；
对于②，
；
对于③，；
对于④，.
故答案为：②④.
42．
【解析】
【分析】
利用正方体结构特征，依据向量加减法去求
【详解】
正方体中
，则
故答案为：
43．
【解析】
【分析】
依据向量加减法的几何意义去求
【详解】
由，
可得
故答案为：
44．(1)，，；，，，
(2)，，，（答案不唯一）
(3)，（答案不唯一）
【解析】
【分析】
（1）根据相等向量，相反向量的定义，结合图形分析求解.
（2）由向量加减运算法则，结合图形分析求解.
（3）由向量加法运算法则，结合图形分析求解.
(1)
解：的相等向量有：，，；
的负向量即相反向量有：，，，.
(2)
由向量加减运算法则得：，，，（答案不唯一）
(3)
由向量加法运算法则得：，（答案不唯一）
45．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据向量加法运算求解即可；
（2）由题知，进而得，，，再根据求解即可.
(1)
解：如图，根据向量加法法则得：
.
(2)
解：由（1）得，
因为，
所以，，,
所以，
46．
【解析】
【分析】
利用空间向量的线性运算，即可用，，表示.
【详解】
因为在平行六面体中，点在线段上，且，
所以
.
47．(1)、、、
(2)、、、
【解析】
【分析】
（1）依据相等向量的定义写出与相等的所有向量；
（2）依据相反向量的定义写出的相反向量．
(1)
与相等的所有向量为、、、
(2)
的相反向量为：、、、
48．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据空间向量的加减运算，选定基底表示出向量，根据向量间的倍数关系可证明结论；
（2）根据空间向量的加减运算，选定基底表示出向量，根据向量间的倍数关系可证明结论；
(1)
由题意，，，
故
,
,
故，由于有公共点A，
故A、、三点共线；
(2)
由题意，点是平行四边形的中心，
故
，
故 ,因为有公共点D，
故、、三点共线．
49．(1)向量 共面，M在平面ABC上
(2)M在平面ABC上
(3)存在实数x y z，满足，且
【解析】
【分析】
（1）利用向量四点共面的表达式，，则可判断是否空面；
（2）利用向量四点共面的表达式，且，判断点在面内问题；
（3）且可采用向量的四点共面的证明方式证明.
(1)
因为，所以，
所以，
所以，所以向量 共面.
而它们有共同的起点M，所以M A B C共面，即M在平面ABC上；
(2)
因为，所以，
所以，
所以，所以向量 共面.
而它们有共同的起点M，所以M A B C共面，即M在平面ABC上；
(3)
若O为平面ABC外的一点，则点P在平面ABC上的充要条件是：“存在实数x y z，满足，且.”
证明：必要性，由，且，
则，
所以，
即，说明点P在平面ABC上
充分性，若点P在平面ABC上，O为平面ABC外的一点
则，
所以，
则，
令，则，且.
50．(1)，，
(2)
【解析】
【分析】
由空间向量的线性运算可得.
(1)
因为M、N、P分别是、BC、的中点
所以，；
；
；
(2)
因为，所以
所以．
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