苏教版2019高中数学必修1 第1章集合 §1.1集合的概念与表示 课件（共70张PPT）

(共70张PPT)
§1.1　集合的概念与表示
第1章　集　合
学习目标
1.了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用.
2.理解集合中元素的基本属性.
3.初步掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法，会用集合的两种表示方法表示一些简单集合.
4.理解集合相等、有限集、无限集、空集等概念.
导语
在体育课上，体育老师常说的一句话就是“集合”，这个时候，同学们从四面八方集合到一起，而这个集合是一个动词，在我们数学课上，也有一个名词“集合”，比如在小学和初中，我们学习过自然数的集合，同一平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合等，为了进一步了解集合的有关知识，请同学们观察下面的几个例子.
课时对点练
一、集合的相关概念
二、集合元素基本属性的应用
三、集合的表示
随堂演练
内容索引
集合的相关概念
一
问题1　看下面的几个例子，观察并讨论它们有什么共同特点？
(1)1～10之间的所有偶数；
(2)立德中学今年入学的全体高一学生；
(3)所有正方形；
(4)到直线l的距离等于定长d的所有点；
(5)方程x2－3x＋2＝0的所有实数根；
(6)地球上的四大洋.
提示　以上例子中指的都是“所有的”，即某种研究对象的全体，而且每个例子中的研究对象都是确定的、互不相同的.
知识梳理
1.集合：一般地，一定范围内某些 、 对象的全体组成一个集合，通常用 拉丁字母来表示集合.
元素：集合中的 称为该集合的元素，简称 .通常用 拉丁字母来表示.
2.常用数集及表示符号
确定的
不同的
大写
每一个对象
元
小写
名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法 ___ ________ ___ ___ ___
N
N*或N＋
Z
Q
R
问题2　如果体育老师说“男同学打篮球，女同学跳绳”，你去打篮球吗？
提示　是男生就去，不是男生就不去.
3.元素与集合的关系
知识点 关系 概念 记法 读法
元素与集合的关系 属于 如果 ，就说a属于集合A _____ a属于A
不属于 如果 ，就说a不属于集合A 或_____ a不属于A
a是集合A的元素
a∈A
a不是集合A的元素
a A
a?A
元素与集合之间是属于或不属于的关系，注意符号的书写.
注意点：
(1)下列对象能组成集合的是
A. 的所有近似值
B.某个班级中学习好的所有同学
C.2022年高考数学试卷中所有难题
D.北京冬奥会的全体运动员
例1
√
D中的对象都是确定的，而且是不同的.
A中的“近似值”，B中的“学习好”，C中的“难题”标准不明确，不满足确定性，因此A，B，C都不能构成集合.
(2)(多选)下列选项中，正确的是
A.2∈Q B.|－3|∈N
C.|－3|∈Z D.0 N
√
根据元素与集合的关系得2∈Q，A正确；
|－3|＝3∈N，B正确；
|－3|＝3∈Z，C正确；
0∈N，D错误.
√
√
(1)判断一组对象能构成集合的条件是，能找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素.
(2)判断元素和集合关系的两种方法
①直接法：集合中的元素是直接给出的.
②推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可.
反思感悟
(1)(多选)下列说法正确的有
A.花坛上色彩艳丽的花朵构成一个集合
B.正方体的全体构成一个集合
C.未来世界的高科技产品构成一个集合
D.不大于3的所有自然数构成一个集合
跟踪训练1
√
√
在A中，花坛上色彩艳丽的花朵不能构成一个集合，故A错误；
在B中，正方体的全体能构成一个集合，故B正确；
在C中，未来世界的高科技产品不能构成一个集合，故C错误；
在D中，不大于3的所有自然数能构成一个集合，故D正确.
(2)设集合M是由不小于 的数组成的集合，a＝ ，则下列关系中正
确的是
A.a∈M B.a M
C.a＝M D.a≠M
√
集合元素基本属性的应用
二
知识梳理
集合元素的基本属性
(1)确定性：集合的元素必须是确定的.
(2)互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的.
(3)无序性：集合中的元素可以任意排列.
集合中的元素必须是确定的，不能是模棱两可的，任何两个元素不能相同，且与顺序无关.
注意点：
　　已知集合A是由a－2，2a2＋5a，12三个元素组成的，且－3∈A，求实数a.
例2
由－3∈A，可得－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，
当a＝－1时，a－2＝－3，2a2＋5a＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a＝－1应舍去.
延伸探究　在本例中，若集合A中的三个元素换为a－3，2a－1，a2－4，其余不变，求实数a的值.
①若a－3＝－3，则a＝0，
此时A中的元素为－3，－1，－4，满足题意.
②若2a－1＝－3，则a＝－1，
此时A中的元素为－4，－3，－3，不满足元素的互异性.
③若a2－4＝－3，则a＝±1.
当a＝1时，A中的元素为－2，1，－3，满足题意；
当a＝－1时，由②知不符合题意.
综上可知，a＝0或a＝1.
利用集合中元素的确定性、互异性求参数的策略及注意点
(1)策略：根据集合中元素的确定性，可以解出参数的所有可能值，再根据集合中元素的互异性对求得的参数值进行检验.
(2)注意点：利用集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应用.
反思感悟
　　　 设集合A中含有三个元素3，x，x2－2x.
(1)求实数x应满足的条件；
跟踪训练2
由集合中元素的互异性可知，x≠3，
且x≠x2－2x，x2－2x≠3.
解得x≠－1且x≠0，x≠3.
(2)若－2∈A，求实数x的值.
∵－2∈A，∴x＝－2或x2－2x＝－2.
由于x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，∴x＝－2.
集合的表示
三
问题3　用A表示“本班所有的男生”组成的集合，这是利用的哪种方法表示的集合？你能把集合A中的所有元素逐一列举出来吗？
提示　①这是用自然语言法表示的集合；
②我们可以把所有男生的名字写出来，或者把所有男生的学号一一写出.
知识梳理
列举法：将集合的元素 出来，并置于花括号“{　}”内的表示集合的方法叫做 .
列举法
一一列举
(1)集合中的元素之间用逗号分隔，元素不重复，元素无顺序.
(2)元素个数较少时，把元素一一列举并用“{ }”括起来即可；元素个数较多且有明显规律，可用列举法，但必须把规律显示清楚，然后加省略号.
注意点：
问题4　你能用列举法表示不等式x－7<3的解集吗？
提示　不等式x－7<3的解是x<10，因为满足x<10的实数有无数个，所以x－7<3的解集无法用列举法表示.但是，我们可以利用解集中元素的共同特征，即x是实数，且x<10，把解集表示为{x|x<10，x∈R}.
问题5　仿照上面的例子以及阅读课本，你能表示偶数集吗？
提示　{x|x＝2k，k∈Z}.
知识梳理
1.描述法：将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来，写成_______的形式，这样表示集合的方法称为描述法.
{x|p(x)}
(1)用描述法表示集合时，应写清该集合中元素的代表符号，并用简明、准确的语言描述集合的特征性质.
(2)从上下文的关系来看，若元素的取值(或变化)范围是明确的，则可省略不写.
注意点：
2.为了直观地表示集合，我们常画一条 的曲线，用它的内部来表示一个集合，称为 .
3.集合的分类
按照集合元素的多少，集合可以分为有限集和无限集.
(1)一般地，含有 个元素的集合称为有限集.
(2)一般地，含有 个元素的集合称为无限集.
(3)不含 元素的集合称为空集，记作 .
4.集合相等
如果两个集合所含的元素 (即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素)，那么称这两个集合相等.
封闭
有限
无限
任何

完全相同
Venn图
　　(1)用恰当的方法表示下列给定的集合：
①不大于10的非负偶数组成的集合A；
例3
不大于10的非负偶数有0，2，4，6，8，10，
所以A＝{0，2，4，6，8，10}.
②方程x2－2x－3＝0的实数根组成的集合C；
方程x2－2x－3＝0的实数根为－1，3，
所以C＝{－1，3}.
所以方程组的解集D＝{(3，1)}.
④不等式2x－3<1的解组成的集合A；
不等式2x－3<1的解组成的集合为A，则集合A中的元素是数，设代表元素为x，则x满足2x－3<1，则A＝{x|2x－3<1}，
即A＝{x|x<2}.
⑤被3除余2的正整数的集合B；
设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z.但元素为正整数，故x＝3n＋2，n∈N.所以被3除余2的正整数的集合B＝{x|x＝3n＋2，n∈N}.
⑥平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合D.
平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，即x<0，y>0，故第二象限内的点的集合为D＝{(x，y)|x<0，y>0}.
(2)设集合A＝{x，y}，B＝{0，x2}，若A，B相等，则实数x的值为____，y的值为_____.
因为集合A，B相等，则x＝0或y＝0.
①当x＝0时，x2＝0，不满足集合中元素的互异性，故舍去；
②当y＝0时，x＝x2，解得x＝0或x＝1，由①知x＝0应舍去，故x＝1.综上可知，x＝1，y＝0.
1
0
(1)用列举法表示集合的注意点
①把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次.
②这里“{　}”已包含所有的意思，不能出现“全体”“所有”等.
(2)利用描述法表示集合的注意点
①写清楚该集合代表元素的符号.
②所有描述的内容都要写在花括号内.
(3)一个集合可以用不同的方法表示.若两个集合相等，则这两个集合的元素相同，要注意其中的元素不一定按顺序对应相等，应注意检验元素是否满足互异性.
反思感悟
(1)用列举法或描述法表示下列集合.
①由所有小于10的既是奇数又是质数的自然数组成的集合；
跟踪训练3
满足条件的数有3，5，7，
所以所求集合为{3，5，7}.
②A＝{(x，y)|x＋y＝3，x∈N，y∈N}；
因为x∈N，y∈N，x＋y＝3，
故A＝{(0，3)，(1，2)，(2，1)，(3，0)}.
③比1大又比10小的实数组成的集合；
可以表示成{x|1④不等式3x＋4≥2x的所有解；
可以表示成{x|3x＋4≥2x}，即{x|x≥－4}.
⑤直线y＝x上的点的集合.
可以表示成{(x，y)|x－y＝0}.
(2)设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝ ，则b－a＝____.
由题意可知a≠0，
2
∴a＝－1，b＝1，∴b－a＝2.
课堂
小结
1.知识清单：
(1)集合的概念、元素与集合的关系.
(2)集合中元素的特性及应用.
(3)用列举法和描述法表示集合.
2.方法归纳：分类讨论、等价转化.
3.常见误区：忽视集合中元素的互异性；忽视点集与数集的区别.
随堂演练
1.(多选)下列各组对象能构成集合的有
A.接近于1的所有正整数 B.小于0的实数
C.点(2 022，1)与点(1，2 022) D.某班级里身高较高的学生
√
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A中，接近于1的所有正整数标准不明确，故不能构成集合；
B中，小于0是一个明确的标准，能构成集合；
C中，(2 022，1)与(1，2 022)是两个不同的点，是确定的，能构成集合；
D中，某班级里身高较高的学生不能构成一个集合.
√
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2.已知集合A中的元素x满足x－1< ，则下列各式正确的是
A.3∈A且－3 A B.3∈A且－3∈A
C.3 A且－3 A D.3 A且－3∈A
√
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3.集合{x|x－3<2，x∈N*}的另一种表示法是
A.{0，1，2，3，4} B.{1，2，3，4}
C.{0，1，2，3，4，5} D.{1，2，3，4，5}
√
∵x－3<2，x∈N*，∴x<5，x∈N*，
∴x＝1，2，3，4.
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4.设a，b∈R，集合A＝{1，a}，B＝{x|x(x－a)(x－b)＝0}，若A＝B，则a＝___，b＝___.
A＝{1，a}，解方程x(x－a)(x－b)＝0，
得x＝0或a或b，若A＝B，
则a＝0，b＝1.
0 　1
课时对点练
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基础巩固
1.(多选)下列选项中能构成集合的是
A.高一年级跑得快的同学
B.中国的大河
C.3的倍数
D.大于6的有理数
√
选项A，B都不具备确定性，不能构成集合.
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2.若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是
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3.集合M是由大于－2且小于1的实数构成的，则下列关系式正确的是
－2<0<1，故B错；
1不小于1，故C错；
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4.若以集合A的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是
A.梯形 B.平行四边形
C.菱形 D.矩形
√
由于a，b，c，d四个元素互不相同，故它们组成的四边形的四条边都不相等，则这个四边形可能是梯形.
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5.用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为
A.{1，1} B.{1}
C.{x＝1} D.{x2－2x＋1＝0}
√
方程x2－2x＋1＝0有两个相等的实数根1，根据集合元素的互异性知B正确.
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6.(多选)下列说法中不正确的是
A.0与{0}表示同一个集合
B.集合M＝{3，4}与N＝{(3，4)}表示同一个集合
C.方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1，1，2}
D.集合{x|4√
√
√
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对于A，0是一个元素(数)，而{0}是一个集合，可得0∈{0}，所以A不正确；
对于B，集合M＝{3，4}表示数3，4构成的集合，集合N＝{(3，4)}表示点集，所以B不正确；
对于C，根据集合元素的互异性，可得方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1，2}，所以C不正确；
对于D，集合{x|41
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7.设由2，4，6构成的集合为A，若实数a∈A时，6－a∈A，则a＝______.
代入验证，若a＝2，则6－2＝4∈A，符合题意；
若a＝4，则6－4＝2∈A，符合题意；
若a＝6，则6－6＝0 A，不符合题意，舍去.
所以a＝2或a＝4.
2或4
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8.若集合 与集合{a2，a＋b，0}相等，则a2 022＋b2 022的值为___.
由已知可得a≠0，因为两集合相等，
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经检验，a＝－1，b＝0满足条件，
所以a2 022＋b2 022＝1.
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9.已知集合A含有两个元素1和a2，若a∈A，求实数a的值.
由题意可知，a＝1或a2＝a.
(1)若a＝1，则a2＝1，这与a2≠1相矛盾，故a≠1.
(2)若a2＝a，则a＝0或a＝1(舍去)，又当a＝0时，A中含有元素1和0，满足集合中元素的互异性，符合题意.
综上可知，实数a的值为0.
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10.用适当的方法表示下列集合：
(1)方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集；
{0，－1}.
(2)在自然数集内，小于1 000的奇数构成的集合；
{x|x＝2k＋1，且x<1 000，k∈N}.
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(3)不等式x－2>6的解的集合；
{x|x>8}.
(4)大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合；
{1，2，3，4，5，6}.
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解集用描述法表示为
解集用列举法表示为{(2，－1)}.
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综合运用
11.由大于－3且小于11的偶数所组成的集合是
A.{x|－3B.{x|－3C.{x|－3D.{x|－3√
由题意可知，满足题设条件的只有选项D.
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12.已知a，b是非零实数，代数式 的值组成的集合是M，则
下列判断正确的是
A.0∈M B.－1∈M
C.3 M D.1∈M
√
当a，b全为正数时，代数式的值是3；
当a，b全是负数时，代数式的值是－1；
当a，b是一正一负时，代数式的值是－1.
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13.(多选)已知集合M中的元素x满足x＝a＋ b，其中a，b∈Z，则下列选项中属于集合M的是
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当a＝b＝0时，x＝0；
综上所述，A，B，D中的数都是集合M中的元素.
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14.若集合A＝{a－3，2a－1，a2－4}，且－3∈A，则实数a＝______.
由题意，若a－3＝－3，可得a＝0，
此时集合A＝{－3，－1，－4}，符合题意；
若2a－1＝－3，可得a＝－1，
此时a2－4＝－3，不满足集合元素的互异性，舍去；
若a2－4＝－3，可得a＝1或a＝－1(舍去)，
当a＝1时，集合A＝{－2，1，－3}，符合题意，
综上可得，实数a的值为0或1.
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拓广探究
15.已知集合M有2个元素x，2－x，若－1 M，则下列说法一定错误的是______.(填序号)
①2∈M；②1∈M；③x≠3.
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解得x≠－1，x≠1且x≠3，
所以②错误，③正确.
当x＝2或2－x＝2，即x＝2或x＝0时，M中的元素为0，2，故①可能正确.
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16.已知集合A＝{x|x＝3n＋1，n∈Z}，B＝{x|x＝3n＋2，n∈Z}，M＝{x|x＝6n＋3，n∈Z}.
(1)若m∈M，则是否存在a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立？
设m＝6k＋3＝3k＋1＋3k＋2(k∈Z)，
令a＝3k＋1(k∈Z)，b＝3k＋2(k∈Z)，则m＝a＋b.
故若m∈M，则存在a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立.
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(2)对于任意a∈A，b∈B，是否一定存在m∈M，使a＋b＝m？证明你的结论.
设a＝3k＋1，b＝3l＋2，k，l∈Z，
则a＋b＝3(k＋l)＋3，k，l∈Z.
当k＋l＝2p(p∈Z)时，a＋b＝6p＋3∈M，此时存在m∈M，使a＋b＝m成立；
当k＋l＝2p＋1(p∈Z)时，a＋b＝6p＋6 M，此时不存在m∈M，使a＋b＝m成立.
故对于任意a∈A，b∈B，不一定存在m∈M，使a＋b＝m.