苏教版2019高中数学必修1第3章 3.2.1基本不等式的证明 课件（共67张PPT）

(共67张PPT)
3.2.1　基本不等式的证明
第3章　§3.2　基本不等式
学习目标
1.了解基本不等式的证明过程.
2.能利用基本不等式证明简单的不等式.
3.会利用基本不等式求简单的函数的最值.
导语
国际数学家大会是世界上数学家的盛会，如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，三国时期赵爽在《勾股方圆图
注》中证明勾股定理时采用了该图形，你能找到正方形ABCD的面积与四个直角三角形的面积之和的大小关系吗？带着这个问题我们继续研究不等式的相关知识.
课时对点练
一、基本不等式的推导与证明
二、用基本不等式证明不等式
三、用基本不等式求最值
随堂演练
内容索引
基本不等式的推导与证明
一
问题1　我们可以将(a－b)2≥0变形，有不等式a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立.该不等式对任意的实数a，b都能成立，我们称该不等式为重要不等式.现在我们讨论一种特别的情况，如果a>0，b>0，我们用
， 分别替换上式中的a，b，能得到什么样的结论？
问题2　上述不等式是在重要不等式基础上转化出来的，是否对所有的a>0，b>0都能成立？请给出证明.
提示　方法一　(作差法)
当且仅当a＝b时，等号成立.
方法二　(性质法)
方法三　对于正数a，b，有
当且仅当a＝b时，等号成立.
方法四　(利用几何意义证明)
如图AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC＝a，BC＝b，过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD，故有△ACD∽△DCB，故CD＝ ，由于CD
小于或等于圆的半径，故用不等式表示为 ，由此也可以得出
圆的半径不小于半弦.
知识梳理
≤
a＝b
对于正数a，b，我们把_______称为a，b的算术平均数， 称为a，b的___________.
几何平均数
(2)两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，当两个正数相等时，两者相等.
注意点：
(1)若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是
例1
对于A项，当a＝b时，应有a2＋b2＝2ab，所以A项错；
对于B，C，条件ab>0，只能说明a，b同号，当a，b都小于0时，B，C错误；
√
(2)不等式a＋1≥ (a>0)中等号成立的条件是
A.a＝0 B.a＝
C.a＝1 D.a＝2
√
在基本不等式应用过程中要注意“一正、二定、三相等”.
一正：a，b均为正数；
二定：不等式一边为定值；
三相等：不等式中的等号能取到，即a＝b有解.
反思感悟
下列不等式的推导过程正确的是______.(填序号)
跟踪训练1
②
①中忽视了基本不等式等号成立的条件，
③中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件.
用基本不等式证明不等式
二
已知a，b，c均为正实数，且a＋b＋c＝1.
例2
因为a，b，c均为正实数，a＋b＋c＝1，
上述三个不等式两边均为正，分别相乘，
≥3＋2＋2＋2＝9，
利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项
(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”.
(2)注意事项：
①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用.
反思感悟
跟踪训练2
因为a，b，c为正数，
用基本不等式求最值
三
(1)若x>0，求 ＋4x的最小值；
例3
∵x>0，
∵x<1，∴1－x>0，
拼凑法求解最值，其实质就是先通过代数式变形拼凑出和或积为常数的两项，然后利用基本不等式求解最值.利用基本不等式求解最值时，要注意“一正、二定、三相等”，尤其是要注意验证等号成立的条件.
反思感悟
跟踪训练3
∵x>1，∴x－1>0，
课堂
小结
1.知识清单：
(3)利用基本不等式求最值.
2.方法归纳：通过凑项、拆项凑成基本不等式的形式.
3.常见误区：一正、二定、三相等，常缺少条件导致错误.
随堂演练
1.下列等式中最小值为4的是
A中x＝－1时，y＝－5<4；
B中t＝－1时，y＝－3<4；
√
D中t＝－1时，y＝－2<4.
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2.已知a>0，b>0，a＋b＝4，则下列各式中正确的是
√
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所以A，B选项错误；
当且仅当a＝b＝2时等号成立.
所以C选项正确.
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3.如果a>0，那么a＋ ＋2的最小值是_____.
因为a>0，
4
当且仅当a＝1时等号成立.故所求最小值为0.
√
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基础巩固
1.(多选)下列条件可使 成立的有
A.ab>0 B.ab<0
C.a>0，b>0 D.a<0，b<0
√
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2.a，b∈R，则a2＋b2与2|ab|的大小关系是
A.a2＋b2≥2|ab| B.a2＋b2＝2|ab|
C.a2＋b2≤2|ab| D.a2＋b2>2|ab|
√
∵a2＋b2－2|ab|＝(|a|－|b|)2≥0，
∴a2＋b2≥2|ab|(当且仅当|a|＝|b|时，等号成立).
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3.已知x>－2，则x＋　　 的最小值为
A. 　　　B.－1 　　　 C.2 　　　 D.0
√
∵x>－2，∴x＋2>0，
当且仅当x＝－1时，等号成立.故所求最小值为0.
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4.已知m＝a＋ (a>2)，n＝4－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是
A.m>n B.mC.m＝n D.不确定
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因为a>2，所以a－2>0.
由b≠0得b2≠0，
所以4－b2<4，即n<4，所以m>n.
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5.(多选)设y＝x＋ －2，则
A.当x>0时，y有最小值0
B.当x>0时，y有最大值0
C.当x<0时，y有最大值－4
D.当x<0时，y有最小值－4
√
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当x>0时，
故A正确，B错误；
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6.若0√
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∵0a＋b，
又∵b>a>0，∴ab>a2，
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7.函数y＝4x＋ (x>－1)的最小值是____.
由题意可知，x>－1，则x＋1>0，
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8.已知x<0，则x＋ 的最大值是_____.
已知x<0，则
－3
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9.设a，b为正实数，求证：(a＋b)(a2＋b2)(a3＋b3)≥8a3b3.
因为a，b为正实数，
当且仅当a＝b时取等号，
即(a＋b)(a2＋b2)(a3＋b3)≥8a3b3，当且仅当a＝b时取等号.
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10.设x>－1，求 的最小值.
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因为x>－1，
所以x＋1>0，
设x＋1＝t>0，则x＝t－1，于是有：
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综合运用
11.式子 的最小值为
A.3 　　B.4　　 C.6　　 D.8
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12.下列不等式中一定成立的是
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若a＝1，b＝1，则a2＋b2<4ab，故B错误；
由基本不等式可知C项正确；
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13.(多选)下面四个推导过程正确的有
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B中，∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，
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14.已知当x＝3时，代数式4x＋ (x>0，a>0)取得最小值，则a＝_____.
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拓广探究
15.《几何原本》第二卷中的几何代数法(几何方法研究代数问题)成了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，并称之为无字证明.现有如图所示的图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB. 设AC＝a，BC＝b(a>0，b>0)，则该图形可以完成的无字证明为
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在Rt△OCF中，
因为CF≥OF，
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