苏教版2019高中数学必修1 第3章§3.1 不等式的基本性质 课件（共64张PPT）

(共64张PPT)
§3.1　不等式的基本性质
第3章　不等式
学习目标
1.了解等式的基本性质.
2.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题.
3.初步学会用作差法(作商法)比较两实数的大小.
导语
大家知道，相等关系与不等关系是数学也是日常生活中最基本的关系.比如说：长与短、远与近的比较；比如说：同学们之间高与矮、轻与重的比较；比如说：国家人口的多少、面积的大小的比较；再比如说：新冠疫情传播速度的快与慢的比较.正所谓：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”.
课时对点练
一、作差法比较大小
二、不等式的性质
三、利用不等式性质证明不等式
随堂演练
内容索引
作差法比较大小
一
问题1　在初中，我们知道由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系，具体是如何规定的呢？
提示　设a，b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A，B.那么，当点A在点B的左边时，ab.
知识梳理
基本事实
依据 a>b ________
a＝b ________
a结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的 与 的大小
a－b>0
a－b＝0
a－b<0
差
0
(1)利用作差法比较大小，只需判断差的符号，至于差的值是多少无关紧要，通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积的形式.
(2)对于两个正值，也可采用作商的方法，比较商与1的大小.
(3)对于某些问题也可采用取中间值的方法比较大小.
注意点：
已知a，b均为正实数.试利用作差法比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小.
例1
∵a3＋b3－(a2b＋ab2)
＝(a3－a2b)＋(b3－ab2)
＝a2(a－b)＋b2(b－a)
＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b).
当a＝b时，a－b＝0，a3＋b3＝a2b＋ab2；
当a≠b时，(a－b)2>0，a＋b>0，a3＋b3>a2b＋ab2.
综上所述，a3＋b3≥a2b＋ab2.
延伸探究
1.若a>0，b>0，则比较a5＋b5与a3b2＋a2b3的大小.
(a5＋b5)－(a3b2＋a2b3)＝a5－a3b2＋b5－a2b3
＝a3(a2－b2)＋b3(b2－a2)＝(a2－b2)(a3－b3)
＝(a－b)2(a＋b)(a2＋ab＋b2).
∵a>0，b>0，∴(a－b)2≥0，a＋b>0，a2＋ab＋b2>0.
∴a5＋b5≥a3b2＋a2b3.
2.对于an＋bn，你能有一个更具一般性的猜想吗？
若a>0，b>0，n>r，n，r∈N*，
则an＋bn≥arbn－r＋an－rbr.
作差法比较两个实数a，b大小的基本步骤：
反思感悟
比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小.
跟踪训练1
(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＝x2＋x＋1
∴(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)>0，
∴2x2＋5x＋3>x2＋4x＋2.
不等式的性质
二
问题2　你能根据下列等式的性质，类比出不等式的性质吗？
(1)如果a＝b，那么b＝a；
提示　如果a>b，那么b(2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
提示　如果a>b，b>c，那么a>c；
(3)如果a＝b，那么a±c＝b±c；
提示　如果a>b，那么a＋c>b＋c；
(4)如果a＝b，那么ac＝bc.
提示　如果a>b，若c>0，那么ac>bc，若c<0，则ac知识梳理
不等式的性质
性质 别名 性质内容 注意
1 对称性 a>b b a
2 传递性 a>b，b>c a>c _______
3 可加性 a>b a＋c b＋c _____
4 可乘性 a>b，c>0 ______ a>b，c<0 _________ c的符号
5 同向可加性 a>b，c>d ______________ 同向
6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0 _________ 同向
不可逆
可逆
<
>
ac>bc
aca＋c>b＋d
ac>bd
(1)可加性是不等式中移项的根据.
(2)应用同向可加性时，应注意“同向”.
(3)同向同正可乘性应注意数的正负.
注意点：
(1)对于实数a，b，c，下列命题中的真命题是
A.若a>b，则ac2>bc2
例2
√
方法一　∵c2≥0，∴c＝0时，有ac2＝bc2，故A为假命题；
∵a>b，∴a>0且b<0，故D为真命题.
方法二　特殊值排除法.
取c＝0，则ac2＝bc2，故A错；
(2)已知－1①求x－y的取值范围；
因为－1所以－3<－y<－2，所以－4②求3x＋2y的取值范围.
由－1得－3<3x<12，4<2y<6，
所以1<3x＋2y<18.
延伸探究　若将本例条件改为－1设3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，
又因为－1(1)利用不等式性质判断命题真假的注意点
①运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质.
②解有关不等式的选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算.
反思感悟
(2)利用不等式的性质求取值范围的策略
①建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围.
②同向不等式的两边可以相加，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围.
反思感悟
(1)(多选)若 ，则下面四个不等式成立的有
A.|a|>|b| B.aC.a＋ba2
跟踪训练2
√
从而|a|<|b|，A，B均不正确；
a＋b<0，ab>0，
则a＋bab>a2，D正确.
√
(2)已知1________.
∵3∴1－4(－3,3)
利用不等式性质证明不等式
三
例3
因为c－d>0，
因为a>b>0，所以a－c>b－d>0，
∵c－d>0.
又∵a>b>0，∴a－c>b－d>0.
∴(a－c)2>(b－d)2>0.
利用不等式的性质证明不等式的注意事项
(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用.
(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.
反思感悟
跟踪训练3
∵c>a>b>0，
∴c－a>0，c－b>0，－a<－b，
∴0课堂
小结
1.知识清单：
(1)作差法比较大小.
(2)不等式的性质.
(3)利用不等式性质证明不等式.
2.方法归纳：作差法(作商法)、特殊值法.
3.常见误区：注意不等式性质的单向性或双向性，即每条性质是否具有可
逆性.
随堂演练
1.设bA.a－c>b－d B.ac>bd
C.a＋c>b＋d D.a＋d>b＋c
√
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因为b1
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2.已知xA.x2ax>a2
C.x2a2>ax
√
因为xa2；不等号两边同时乘x，则x2>ax，故x2>ax>a2.
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3.若y1＝2x2－2x＋1，y2＝x2－4x－1，则y1与y2的大小关系是
A.y1>y2
B.y1＝y2
C.y1D.随x值变化而变化
√
y1－y2＝2x2－2x＋1－(x2－4x－1)
＝x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1>0，
故y1>y2.
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4.若1因为1所以－3<－b<1，所以－2(－2,3)
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基础巩固
1.如果a<0，b>0，那么下列不等式中正确的是
A. B.
C.a2|b|
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2.(多选)已知a，b，c，d∈R，则下列命题中错误的是
A.若a>b，c>d，则a＋b>c＋d B.若a>－b，则c－aC.若a>b，cb2，则－a<－b
√
选项A，取a＝1，b＝0，c＝2，d＝1，则a＋b选项B，因为a>－b，所以－a选项C，如a>b>0，c<0选项D，如a＝－1，b＝0时不成立.
√
√
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3.设a>1>b>－1，则下列不等式中恒成立的是
A. B. C.a2>2b D.a>b2
√
由a>1，b2<1得a>b2，故D正确.
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4.已知0A.MN
C.M＝N D.M≥N
√
∵0∴－1∴M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1
＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)>0，
∴M>N.
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5.若1A.－3C.－3√
∵－4∴－4<－|b|≤0.
又∵11
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6.(多选)设a，b，c，d为实数，且a>b>0>c>d，则下列不等式正确的是
A.c2C.ac>bd D.
√
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因为a>b>0>c>d，所以a>b>0,0>c>d，
对于A，因为0>c>d，由不等式的性质可得c2对于B，取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，则a－c＝3，b－d＝3，所以a－c＝b－d，故选项B错误；
对于C，取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，则ac＝－2，bd＝－2，所以ac＝bd，故选项C错误；
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7.若－1因为－1(－2,2)
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8.若A＝ ＋3与B＝ ＋2，则A____B.(填“>”“<”“≥”“≤”或“＝”)
>
所以A>B.
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9.利用不等式的性质证明下列不等式：
(1)若a0；
∵a又c<0，∴(a－b)c>0.
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(2)若a<0，－1∵－1∴1>b2>0>b>－1，
又a<0，∴a1
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10.已知a≠1且a∈R，试 比较与1＋a的大小.
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综合运用
11.已知x>y>z，x＋y＋z＝0，则下列不等式中一定成立的是
A.xy>yz 　　B.xz>yz 　　 C.xy>xz 　　 D.x|y|>z|y|
√
因为x>y>z，x＋y＋z＝0，
所以3x>x＋y＋z＝0,3z所以x>0，z<0.
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12.手机屏幕面积与整机面积的比值叫手机的“屏占比”，它是手机外观设计中的一个重要参数，其值通常在(0,1)之间，设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量，升级为一款新手机，则该手机的“屏占比”和升级前比的变化是
A.“屏占比”不变 B.“屏占比”变小
C.“屏占比”变大 D.变化不确定
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∴手机的“屏占比”和升级前相比变大.
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13.若a>b>0，则下列不等式中恒成立的是
√
方法二(特值法)　令a＝2，b＝1，排除A，D；
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①
②
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又知α<β，∴α－β<0.
拓广探究
15.古希腊时期，人们把宽与长之比为　　 的矩形称为黄金矩形，把这
个比值 称为黄金分割比例.如图为希腊的一古建筑.其中部分廊、檐、
顶的连接点为图中所示相关对应点，图中的矩形ABCD，EBCF，FGHC，FGJI，LGJK，MNJK均近似为黄金矩形.若A与D间的距离大于18.7 m，C与F间的距离小于12 m.则该古建筑中A与B间的距离可能是
(参考数据： ≈0.618，0.6182≈0.38，
0.6183≈0.236)
A.29 m B.29.8 m C.30.8 m D.32.8 m
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即AB∈(30.26，31.58)，对照各选项，只有C符合.
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16.实数a，b满足－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4.
(1)求实数a，b的取值范围；
由－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4，
两式相加得，－4≤2a≤6，则－2≤a≤3，
由－1≤a－b≤4，
得－4≤－a＋b≤1，
又－3≤a＋b≤2，
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(2)求3a－2b的取值范围.
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设3a－2b＝m(a＋b)＋n(a－b)
＝(m＋n)a＋(m－n)b，
∵－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4，