苏教版2019高中数学必修1 第3章 培优课 不等式恒成立、能成立问题 课件（共47张PPT）

(共47张PPT)
培优课　不等式恒成立、能成立问题
第3章　不等式
在面临不等式恒成立、能成立的问题时，常常使用不等式解集法、分离参数法、主参换位法和数形结合法解决，方法灵活，能提升学生的逻辑推理、数学运算等素养.
课时对点练
一、在R上的恒成立问题
二、在给定区间上恒成立的问题
三、简单的能成立问题
随堂演练
内容索引
在R上的恒成立问题
一
(1)已知不等式kx2＋2kx－(k＋2)<0恒成立，求实数k的取值范围；
例1
当k＝0时，原不等式化为－2<0，显然符合题意.
当k≠0时，令y＝kx2＋2kx－(k＋2)，由y<0恒成立，
∴其图象都在x轴的下方，即开口向下，且与x轴无交点.
综上，实数k的取值范围是{k|－1(2)若不等式－x2＋2x＋3≤a2－3a对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围.
原不等式可化为x2－2x＋a2－3a－3≥0，
∵该不等式对任意实数x恒成立，∴Δ≤0，
即4－4(a2－3a－3)≤0，即a2－3a－4≥0，
解得a≤－1或a≥4，
∴实数a的取值范围是{a|a≤－1或a≥4}.
转化为一元二次不等式解集为R的情况，即
反思感悟
注意：若题目中未强调是一元二次不等式，且二次项系数含参，则一定要讨论二次项系数是否为0.
反思感悟
当k＝0时，－2≤0恒成立，符合题意；
若关于x的不等式kx2＋3kx＋k－2≤0的解集为R，则实数k的取值范围是
跟踪训练1
√
在给定区间上恒成立的问题
二
当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则实数m的取值范围为___________.
例2
令y＝x2＋mx＋4.
∵y<0在1≤x≤2上恒成立.
∴y＝0的根一个小于1，另一个大于2.
{m|m<－5}
∴m的取值范围是{m|m<－5}.
设函数y＝mx2－mx－1,1≤x≤3，若y<－m＋5恒成立，则m的取值范围为________.
例3
y<－m＋5恒成立，即m(x2－x＋1)－6<0恒成立，
在给定区间上的恒成立问题
(1)a>0时，ax2＋bx＋c<0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立 y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时小于0；a<0时，ax2＋bx＋c>0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立 y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时大于0.
(2)通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题.
反思感悟
若对任意的－3≤x≤－1都有ax2－x－3<0成立，则实数a的取值范围是______.
跟踪训练2
a<0
简单的能成立问题
三
若存在x∈R，使得 ≥2成立，求实数m的取值范围.
例4
∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0，
∴4x＋m≥2(x2－2x＋3)能成立，
∴m≥2x2－8x＋6能成立，
令y＝2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2≥－2，
∴m≥－2，
∴m的取值范围为{m|m≥－2}.
能成立问题的解题思路
(1)结合二次函数图象，将问题转化为端点值的问题解决；
(2)对一些简单的问题，可转化为m>ymin或m反思感悟
若不等式ax2＋x＋1>0在x∈[1,2]时有解，则实数a的取值范围为_____________.
跟踪训练3
(－2，＋∞)
由ax2＋x＋1>0，得ax2>－x－1，
则f(x)在[1,2]上单调递增，
所以f(x)min＝f(1)＝－2，所以a>－2.
课堂
小结
1.知识清单：
(1)在R上的恒成立问题.
(2)给定区间上的恒成立问题.
(3)解决简单的能成立问题.
2.方法归纳：等价转换法、数形结合法.
3.常见误区：要注意端点值的取舍.
随堂演练
1.若不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，则实数m的取值范围是
A.m≥2 B.m≤－2
C.m≤－2或m≥2 D.－2≤m≤2
√
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不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，则Δ＝m2－4≤0，解得－2≤m≤2，∴实数m的取值范围是－2≤m≤2.
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2.对于任意x∈R， 都有意义，则m的取值范围是
A.m≥2 B.0C.0≤m≤2 D.0≤m≤4
√
m≠0时，mx2＋2mx＋2≥0恒成立，
综上0≤m≤2.
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3.已知1≤x≤2，x2－ax>0恒成立，则实数a的取值范围是
A.a≥1 B.a>1
C.a≤1 D.a<1
√
因为1≤x≤2，故x>0，故x2－ax>0在1≤x≤2上恒成立等价于x－a>0在1≤x≤2上恒成立，故1－a>0，即a<1.
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原不等式为ax(x＋1)－1<0，即ax2＋ax－1<0，a＝0时，不等式为－1<0，符合题意，
－4综上所述，a的取值范围是－4课时对点练
基础巩固
1.一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为全体实数的条件是
一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为全体实数等价于二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象全部在x轴下方，需要开口向下，且与x轴无交点，
故需要
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2.若关于x的不等式－x2＋mx－1≥0有解，则实数m的取值范围是
A.{m|m≤－2或m≥2}
B.{m|－2≤m≤2}
C.{m|m<－2或m>2}
D.{m|－2√
因为关于x的不等式－x2＋mx－1≥0有解，
所以Δ＝m2－4≥0，解得m≥2或m≤－2.
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3.已知不等式x2＋ax＋4<0的解集为空集，则a的取值范围是
A.{a|－4≤a≤4}
B.{a|－4C.{a|a≤－4或a≥4}
D.{a|a<－4或a>4}
√
由题意得，Δ＝a2－16≤0，
解得－4≤a≤4.
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4.已知不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，则实数a的取值范围为
A.{a|－1≤a≤4}
B.{a|－1C.{a|a≥4或a≤－1}
D.{a|－4≤a≤1}
√
由题意知，－(x－2)2＋4≥a2－3a在R上有解，
∴a2－3a≤4，即(a－4)(a＋1)≤0，
∴－1≤a≤4.
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5.若两个正实数x，y满足 ，且不等式x＋ A.{m|－1B.{m|m<0或m>3}
C.{m|－4D.{m|m<－1或m>4}
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解得m>4或m<－1.
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6.(多选)不等式ax2－2x＋1<0的解集非空的一个必要不充分条件是
A.a<1 B.a≤1
C.a<2 D.a<0
√
∵ax2－2x＋1<0的解集非空，显然a≤0成立，
√
综上，ax2－2x＋1<0的解集非空的充要条件为a<1.
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7.若不等式x2＋(m－3)x＋m<0无解，则实数m的取值范围是__________.
∵x2＋(m－3)x＋m<0无解，
∴Δ＝(m－3)2－4m＝m2－10m＋9≤0，
解得1≤m≤9.
1≤m≤9
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8.若关于x的不等式x2－4x－2－a≥0在{x|1≤x≤4}内有解，则实数a的取值范围是________.
由x2－4x－2－a≥0，
得a≤x2－4x－2＝(x－2)2－6，
所以当1≤x≤4时，(x－2)2－6∈[－6，－2]，
所以a≤－2.
a≤－2
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9. x∈{x|2≤x≤3}，不等式mx2－mx－1<0恒成立，求m的取值范围.
由不等式mx2－mx－1<0，得m(x2－x)<1，
因为x∈{x|2≤x≤3}，所以x2－x>0，
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10.已知函数y＝mx2－mx－6＋m，若对于1≤m≤3，y<0恒成立，求实数x的取值范围.
y<0 mx2－mx－6＋m<0 (x2－x＋1)m－6<0.
∵1≤m≤3，
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综合运用
11.设p：“ x∈R，x2－mx＋1>0”，q：“－2≤m≤2”，则p是q成立的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
√
∵ x∈R，x2－mx＋1>0，
∴Δ＝m2－4<0，∴－2∴命题p：－2p是q成立的充分不必要条件.
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12.在R上定义运算：x y＝x(1－y)，若 x∈R使得(x－a) (x＋a)>1成立，则实数a的取值范围是
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由题意知
(x－a) (x＋a)＝(x－a)[1－(x＋a)]
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13.对任意x满足－1≤x≤2，不等式x2－2x＋a<0成立的必要不充分条件是
A.a<－3 B.a<－4
C.a<0 D.a>0
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因为x2－2x＋a<0，
所以a<－x2＋2x，
又因为－1≤x≤2，
－x2＋2x＝－x(x－2)≥－3，
所以a<－3，
又因为求“对任意x满足－1≤x≤2，不等式x2－2x＋a<0成立的必要不充分条件”.
所以C正确.
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14.若存在1≤a≤3，使得不等式ax2＋(a－2)x－2>0成立，则实数x的取值
范围为_________________.
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令y＝ax2＋(a－2)x－2＝(x2＋x)a－2x－2，是关于a的函数，由题意得
(x2＋x)－2x－2＞0或(x2＋x)·3－2x－2＞0.
即x2 －x－2＞0①，或3x2＋x－2＞0②.
解①可得x＜－1或x＞2. 解②可得x＜－1或x> .
把①②的解集取并集可得x＜－1或x> .
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拓广探究
15.关于x的不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1≤0的解集为R，则实数a的取值
范围是________________.
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当a2－1＝0时，a＝1或a＝－1，
若a＝1，不等式为－1≤0，恒成立，
若a＝－1，不等式为2x－1≤0，
解得x≤ ，不符合题意，
当a2－1≠0时，
若要不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1≤0的解集为R，
则a2－1<0，且Δ＝(a－1)2＋4(a2－1)≤0，解得 ≤a<1，
综上可得 ≤a≤1.
16.不等式x2＋8y2≥λy(x＋y)对于任意的x，y∈R恒成立，求实数λ的取值范围.
因为x2＋8y2≥λy(x＋y)对于任意的x，y∈R恒成立，
所以x2＋8y2－λy(x＋y)≥0对于任意的x，y∈R恒成立，
即x2－λyx＋(8－λ)y2≥0恒成立，
由二次不等式的性质可得，
Δ＝λ2y2＋4(λ－8)y2＝y2(λ2＋4λ－32)≤0，
所以(λ＋8)(λ－4)≤0，解得－8≤λ≤4.
即实数λ的取值范围为{λ|－8≤λ≤4}.
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