苏教版2019高中数学必修1 第3章 培优课 基本不等式的综合问题 课件（共64张PPT）

(共64张PPT)
培优课　基本不等式的综合问题
第3章　不等式
基本不等式 (a，b≥0)在求最值中的应用广泛，方法
灵活多变，常见考查情形有常数代换法求最值、消元法求最值、换元法求最值等.
课时对点练
一、常数代换法求最值
二、消元法求最值
三、换元法求最值
随堂演练
内容索引
常数代换法求最值
一
例1
√
由x＋y＝1，得(x＋2)＋(y＋1)＝4，
常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值.应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商.
反思感悟
已知a>0，b>0，a＋2b＝1，求t＝ 的最小值.
跟踪训练1
因为a>0，b>0，a＋2b＝1，
消元法求最值
二
已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，求x＋2y的最小值.
例2
所以x＋2y的最小值为4.
延伸探究　已知x>0，y>0，满足xy＝x＋y＋3，求xy的最小值.
所以xy的最小值为9.
含有多个变量的条件最值问题的解决方法
对含有多个变量的条件最值问题，若无法直接利用基本不等式求解，可尝试减少变量的个数，即用其中一个变量表示另一个，再代入代数式中转化为只含有一个变量的最值问题.
反思感悟
已知a>0，b>0，且2a＋b＝ab－1，则a＋2b的最小值为________.
跟踪训练2
换元法求最值
三
已知x，y为正实数，且x＋2y＝4，则 的最小值为____.
例3
令x＋2＝a,2y＋2＝b，则a＋b＝8，
2
＝1＋ ≥2，当且仅当a＝b＝4时取等号，此时x＝2，y＝1.
故所求最小值为2.
换元法求最值的思路
观察已知与所求的结构特点，通过配凑系数，合理的变换新元，将问题转化为熟悉的模型，将问题明朗化，从而使问题得以解决.
反思感悟
已知a>0，b>0且a＋b＝3.式子 的最小值是___.
跟踪训练3
2
令a＋2 020＝x，b＋2 021＝y，
则x>2 020，y>2 021且x＋y＝4 044，
∴所求最小值为2.
课堂
小结
1.知识清单：
(1)常数代换法求最值.
(2)消元法求最值.
(3)换元法求最值.
2.方法归纳：常数代换法、消元法、换元法.
3.常见误区：一正、二定、三相等，常因缺少条件或符号导致错误.
随堂演练
1.y＝ (x＞1)的最小值为
A.8 B.2 C.6 D.12
√
1
2
3
4
令t＝x－1＞0，∴x＝t＋1，
∴ymin＝8.
1
2
3
4
2.已知x>0，y>0， ＝1，则使不等式x＋y≥m恒成立的实数m的取值范
围是
A.m≥18 B.m≤18
C.m≥16 D.m≤16
√
即x＝4，y＝12时，等号成立，
又不等式x＋y≥m恒成立，所以只需m≤16.
1
2
3
4
1
2
3
4
3.若正数x，y满足x2＋xy－2＝0，则3x＋y的最小值是
A.4 B.2
C.2 D.4
√
因为x2＋xy－2＝0，
当且仅当x＝1时等号成立.所以3x＋y的最小值是4.
1
2
3
4
4.已知x，y为正实数，且x＋y＝2，则 的最小值为________.
1
2
3
4
∵x，y是正实数，且x＋y＝2，
课时对点练
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基础巩固
1.若x>4，则y＝
A.有最大值10 B.有最小值10
C.有最大值6 D.有最小值6
√
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因为x>4，
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2.(多选)已知a>0，b>0，a＋b＝1，对于代数式 ，下列说法正
确的是
A.最小值为9
B.最大值是9
C.当a＝b＝ 时取得最小值
D.当a＝b＝ 时取得最大值
√
√
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3.已知a>0，b>0，　　　 ，若不等式2a＋b≥9m恒成立，则m的最大值为
A.8 　　B.7　　 C.6　　 D.5
√
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∴9m≤54，即m≤6.
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因为a>b>c，所以a－b>0，b－c>0，
当且仅当a－b＝b－c时，等号成立.
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∵正数x，y满足x＋4y－xy＝0，
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6.(多选)已知a>0，b>0，则下列不等式中成立的是
√
√
√
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当且仅当a＝b时，等号成立，B成立；
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当且仅当a＝b时，等号成立，C不成立；
当且仅当a＝b时，等号成立，D成立.
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7.若a，b都是正数，且a＋b＝1，则(a＋1)(b＋1)的最大值是_____.
因为a，b都是正数，且a＋b＝1，
当且仅当a＋1＝b＋1，
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8.已知t>0，则函数y＝ 的最小值为______.
当且仅当t＝1时，等号成立.
故y的最小值为－2.
－2
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9.已知正数x，y满足x＋2y＝2.求 的最小值.
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由于x＋2y＝2，
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10.已知a>0，b>0，a＋3b＝1.若m>a2＋9b2＋7ab恒成立，求实数m的取值范围.
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∵a>0，b>0，a＋3b＝1，
∴a2＋9b2＋7ab＝(a＋3b)2＋ab
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综合运用
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设4x＋y＝a，x＋y＝b，
当a＝2b，即2x＝y时等号成立.
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12.已知x>0，y>0，且x＋y＝2，若4x＋1－mxy≥0恒成立，则m的最大值为
A.6 　　 B.4 　　 C.8 　　D.2
√
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因为x＋y＝2，
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13.设0A.9 B.
C.5 D.2
√
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∵00，
由基本不等式可得
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拓广探究
15.一家商店使用一架两臂不等长的天平秤黄金，一位顾客到店里购买10 g黄金，售货员先将5 g的砝码放在天平的左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5 g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次秤得的黄金交给顾客，你认为顾客购得的黄金是
A.大于10 g B.大于等于10 g
C.小于10 g D.小于等于10 g
√
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由于天平两臂不等长，
可设天平左臂长为a(a>0)，右臂长为b(b>0)，则a≠b，
再设先称得黄金为x g，后称得黄金为y g，
则bx＝5a，ay＝5b，
当且仅当 ,即a＝b时等号成立，但a≠b，等号不成立，即x＋y>10，
因此，顾客购得的黄金大于10 g.
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由条件可得c＝a2－3ab＋4b2，
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